4.2.2 第2课时 圆锥曲线的极坐标方程及应用

第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程．

2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．

3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．

[基础·初探]

圆锥曲线的统一极坐标方程

ρ＝θ)，(***)

其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距．

当0＜e＜1时，方程ρ＝θ)表示椭圆；

当e＝1时，方程(***)为ρ＝θ)，表示抛物线；

当e＞1时，方程ρ＝θ)表示双曲线，其中ρ∈R.

[思考·探究]

1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？

【提示】应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝θ)的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝θ)，则e＝，表示椭圆．

2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？

【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

疑问4：

解惑：

已知A、B为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上两点，⊥(O为原点)．求证：＋为定值．

【自主解答】以O为极点，x轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x＝ρθ，y＝ρθ，代入＋＝1中得＝＋.设A(ρ1，α)，＋＝＋＝＋(为定值)．[再练一题]

1．本例条件不变，试求△面积的最大值和最小值．

【解】由例题解析得，S△＝ρ1ρ2，

而ρ1＝，

ρ2＝，

∴S△＝·

＝·

＝

∴当2α＝1时，(S△)＝；

∴当2α＝时，(S△)＝.

过双曲线－＝1的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，求.

【思路探究】求出双曲线极坐标方程，得出A、B两点极坐标，进而求.

【自主解答】双曲线－＝1中，a＝2，b＝，c＝3，所以e＝，p＝＝.

取双曲线的右焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为ρ＝θ).

代入数据并化简，得ρ＝θ).

设，，于是＝|ρ1＋ρ2|＝＝.

应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.

[再练一题]

2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝θ)，求双曲线的实轴长、虚轴长和准线方程．

【解】双曲线方程ρ＝θ)可以化为ρ＝θ)，所以e＝，p＝.

设c＝5r，a＝4r，则b2＝c2－a2＝9r2.由p＝＝，得r＝1.所以2a＝8,2b＝6.

所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6.

准线方程ρθ＝－p，即ρθ＝－；或ρθ＝－p－2，即ρθ＝－.

(1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；

(2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜角．

【自主解答】(1)极坐标方程为ρ＝θ).

(2)设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)．

＝ρ1＋ρ2＝θ)＋

＝＝16，即2θ＝得θ＝±.

故l的倾斜角为或π.

[再练一题]

3．平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l：x＝－2.求与定点F 的距离和定直线l的距离的比等于常数的点的轨迹的极坐标方程．

【导学号：98990015】【解】过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，的反向延长线为极轴，建立极坐标系．

由题意，设所求极坐标方程为ρ＝θ)，

∵定点F(2,0)，定直线l：x＝－2，

∴p为F点到直线l的距离，为2－(－2)＝4.

又∵常数＝e，

∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝θ)＝θ)，即ρ＝θ).

[真题链接赏析]

(教材第33页习题4.2第10题)我国自行研制的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为439 和2 384 .若地球半径取6 378 ，试写出卫星运行轨道的极坐标方程．

已知双曲线的极坐标方程为ρ＝θ)，过极点作直线与它交于A，B 两点，且＝6，求直线的极坐标方程．

【命题意图】本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程．

【解】设直线的极坐标方程为θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)．则ρ1＝θ1)，ρ2＝＝θ1).

＝|ρ1＋ρ2|＝θ1)＋θ1)|

＝|＝6，

∴＝±1.

∴θ1＝0或θ1＝±.

故直线的极坐标方程为θ＝或θ＝或θ＝.

1．抛物线ρ＝θ)(ρ＞0)的准线方程为．

【答案】ρθ＝－4

2．设椭圆的极坐标方程是ρ＝θ)，则λ的取值范围是．

【导学号：98990016】【解析】ρ＝θ)＝θ)，

所以离心率e＝，

由0＜＜1，得λ∈(0,2)．

【答案】(0,2)

3．椭圆ρ＝θ)的焦距是．

【答案】

4．双曲线ρ＝θ)的焦点到准线的距离为．

【答案】

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)