2013.10.6完美的正方形分割

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分割正方形

分割分割正方形正方形正方形我們可以將一個正方形分割成七個不規定大小的正方形 (正方形不能重疊)，如下圖：問題（a ）你可否將一個正方形分割成兩個不規定大小的正方形？若可以，請使用下圖把答案畫出來。

若不可以，請簡單解釋原因。

答：__不可以不可以。

_________________________________________________________ ________________________________________________________________________問題（b ）你可否將一個正方形分割成三個不規定大小的正方形？若可以，請使用下圖把答案畫出來。

若不可以，請簡單解釋原因。

答：__不可以不可以。

__________________________________________________________ _________________________________________________________________________成功問題（c ）你可否將一個正方形分割成八個不規定大小的正方形？若可以，請使用下圖把答案畫出來。

若不可以，請簡單解釋原因。

答：__可以。

一個正方形可被分割成8個正方形，如右圖：___________________問題（d）你可否將一個正方形分割成2009個不規定大小的正方形？請解釋你的答案。

答：_可以可以。

只要將第三題的8個正方形中的一個正方形再分割成4個正方形個正方形，，就可得到11個正方形個正方形；；重覆將其中一個正方形分割成4個正個正方形方形方形，，就可得到14個正方形方形；；…；重覆這些動作重覆這些動作，，每次都會增加3個正方形個正方形，，即一個正方形分被割成的正方形的個數是N = 8N = 8、、1111、、1414、、1717、、2020、、…等，其中其中 N 是一個3的倍數加2的正整數(除2及5以外以外))。

巧分正方形

在解决较难的数学问题时，同学们往往找不到突破口。其实，打开突破口并不难，请看下面三例。
例Ｊ挖一条水渠，如果由甲队挖，Ｄ可以挖完。如７天
果乙队每天挖７２米，现由甲、乙两队同时挖，完工时，甲、
乙两队完成任务的比是７３，这条水渠长多少米？
研究 “ 分正方形 ” 巧。例，你能将一个边长Ｊ米的正方形分成６个小正方『２厘
形吗？（所分成的都是正方形，并且边长必须是整厘米数，
大小可以不相同）
分析与解我们可以先把边长平均分成份，ｘ＝，３３９大
知甲队单独挖Ｄ天可以挖完，也就是每天挖这条水渠的，
科学是将领，实践是士兵。
— —
［］．奇意达芬
大小可以不相同）分析与解我们可以先把边长平均分成４份，４４１，ｘ＝６大正方形可以分成６个相等的小正方形，小正方形边长为１－＝厘米）２４３（，如图。如果将图中９个相等的小正方形合并成一个较大的正方形，那么正方形的个数将减少个，如图６即为所求。
正方形可以分成９相等的小正方形。正方形边长为１＋＝个小图，中４个相等的小正方形合并成
一
个较大的正方形，那么正方形的个数将减少３个，如图２
即为所求。
４
４
４
图１
匿嗣露
江苏蒋明玉
同学们，我们知道正方形的特征是 “ 四条边相等、四个角都是直角” 。其实，正方形里还有很多奥秘。我们可以把一个大正方形分成若干个相等的小正方形，还可以把一个大正方形分成若干个大小不同的较小的正方形。下面我们一起来

完美图形教学文档

完美矩形一般房屋的装修，客厅地面铺设地砖，通常都是使用同样大小的正方形地砖．而若客厅里的矩形地面上，方砖大小各不相同，砖与砖之间、砖与墙之间没有空隙，并且能使每块方砖都保持完整，那将是多么奇怪别致啊．如果一个矩形的内部能用一些大小各不相同的正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为完美矩形（perfect rectangle），或者叫做完全长方形．完美矩形非常罕见．一旦遇到，总会立刻吸引人们注意，多看几眼．图1在图1中，画着一个完美矩形的例子，它是用10个不同大小的正方形拼成的．其中最小的一个正方形内写着数字3，表明它的边长是3，其他正方形内用字母表示边长．图中这些用字母表示的正方形边长各是多少呢？从图1可看出各线段长满足以下关系式：a＝g＋3，h＝g－3，b＝a＋3－d，c＝b－d，f＝d－e，h＝d＋f＋3，c＝b＋e，k＝f＋h，e＋c＝f＋k．这样就构成了一个九元一次方程组．由前六个式子可得g＝2d．由此容易求出a ＝25，b＝17，c＝23，d＝11，e＝6，f＝5，g＝22，h＝19，k＝24．矩形的长和宽分别是65和47．这是一个非常好的例子，因为相对说来，它的矩形边长很小，正方形个数又少，只有10个，叫做10阶完美矩形．组成完美矩形的正方形个数能不能更少些呢？图2是一个9阶完美矩形的例子，它的长和宽分别是33和32，组成它的9个正方形，边长从小到大，顺次是1，4，7，8，9，10，14，15，18．图2正方形的个数还能不能再减少呢？能不能用8个边长各不相同的正方形拼合成一个矩形？这是不可能的，数学上已经证明，完美矩形的最低阶数是9．完美矩形的例子，再次说明了，在简单的生活现象里，隐含着许多数学的道理，等待我们去研究和探索．。

完美的正方形2-

a
90
当a=90°时,这个四边 ° 这个四边形还是菱形,但它是特形还是菱形但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形这个四边形是矩形, 这个四边形是矩形它是特殊的矩形是一组邻边相等的矩形也是正方形
A
A
B
B
什么是正方形？什么是正方形？
有一组邻边相等的矩形是正方形
正方形的定义
四边形平行四边形矩形菱形正方形
矩形
四边形平行四边形正方形菱形
作业
作业
如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使是正方形，如图，四边形ABCD是正方形延长BC到 CE=AC，连接AE， CD于 CE=AC，连接AE，交CD于F，求 ∠AFC的度数. A D
B
C
E
菱形的识别方法: 菱形的识别方法
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.有四条边都相等的四边形是菱形有四条边都相等的四边形是菱形 3.对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形 4.对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 5.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形， 2.如图四边形如图四边形ABCD和DEFG都是正方形都是正方形，试说明AE=CG 试说明AE=CG D A
因为四边形ABCD是正方形因为四边形ABCD是正方形解：根据正方形的四边相等，根据正方形的四边相等，得 AD=CD 又知四边形DEFG也是正方形又知四边形DEFG也是正方形 DE=DG 所以又因为正方形的每个内角为 90的绳子围成四边形,如用给定长度的绳子围成四边形如何令其面积最大? 何令其面积最大

完美的正方形

《向正方形致敬》是一幅画。画中有
四个正方形，他们一个比一个小，其中三个正方形比把自己小的正方形包在里面。这幅画有价值的地方在于可以联想。数学家说它是几何图形；孩子们说它是积木；艺术家说它是通道。四个绝对标准的正方形严密相套，丝毫没有调皮和欺骗的姿态，然而，颜色却在近于刻板的图形中悄悄变幻，从苍白的橙色到深粉色，微妙的过程消失在人们漫不经心的一瞥中。作品用一种深沉的语言表现色彩本身的魅力，不惜牺牲绘画艺术的趣味和美感，理性的画面使人感到一种可爱的沉默。

由此可见，我们一个向外走，一个向
内走行，这正符合我们彼此的人生秩序。成年人追求更小的“正方形”，意即放下、消融自我。因为到了一定的年纪，你就会明白；外在的追求无穷无尽，而这正是我们焦虑、痛苦、烦恼的原因。那一个大过一个的“正方形”，可以看做不断成长的自我，那一个小于一个的“正方形”，可以看做不断缩减的自我。自我的“扩展”为了生存，为了自我价值的实现，而自我的“缩减”是为了更好地存在，为了充分认识自己真实的身份从而活在当下。这一内一外，有来有回，才是一个完美的人生。
形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀
速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）(2013年浙江省衢州市)
A
B
C
D
链接考纲，详见考纲P45第12题及
P51第12题
函数关系式

23．（2013杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．（1）求证：∠APE=∠CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，． ①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y 的值．

完美正方形

完美正方形完美正方形「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形.而我们的研究,则放宽条件,允许同样大小的正方形不超过三个.我们先估算出正方形中可切割的最大正方形边长范围,再以方格纸手画的方式找出边长1至25的解,在过程中,我们发现可用放大的方式解决边长为合数的正方形.因此我们将重点放在边长为质数的正方形,我们将正方形分割成两个连续整数边长的正方形,则剩下少一单位的缺角正方形区域.我们探讨缺角正方形区域的解,再讨论分析回原来的正方形.最后解出了边长1至100中全部有解的正方形.对於更大边长的正方形,我们的方法也可行.所以我们以流程图来表示解决问题的过程,并用电脑试算边长1至1000的完美正方形.研究动机在暑假专书研读:名人趣题妙解书中,我们看到了塔尔塔利亚的巧分格纸,觉得很感兴趣,所以我们将完美正方形与巧分格纸两个融合,当作我们科展的题目.研究目的「完美正方形」是指,在一正方形内切割成不同大小,边长为整数的正方形,且这些切割出的正方形,均不能全等,这个主题在文献上有不错的研究成果.而我们的研究,则放宽条件,允许每一种同样大小的正方形不超过三个,希望可以探讨边长1～100中哪些正方形有解,哪些正方形无解如果有解如何切割文献探讨1926年,苏联数学家鲁金对"完美正方形"的存在提出了猜想.到1938年,他们终于找到了一个由63个大小不同的正方形组成的大正方形,人们称它为63阶的完美正方形.次年有人给出了一个39阶的完美正方形.1964年,塔特的学生,滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形.1948年,威尔科克斯提出了一个24阶的完美正方形,在往后的30年中,人们一度以为24就是完美正方形的最小阶.1978年,荷兰特温特技术大学的杜依维斯蒂尤,用大型电子电脑算出了一个21阶的完美正方形.这是完美正方形的最终目标了.因为鲁金曾证明,小於21阶的完美正方形是不存在的.。

初三数学完美正方巧妙构造

完美正方巧妙构造——例析一类形外正方形问题的解法谢文剑以三角形或梯形中的若干条边为边向外作正方形构成的图形中，证明线段、角或面积之间的关系，此类题目常见于竞赛和中考题中，根据已知条件，通过仔细的观察和分析，充分利用正方形边角的性质，通过旋转、平移等变换，找出全等三角形，巧妙构造基本图形，是解决这类问题的有效手段．一、利用旋转平移变换，构造全等三角形利用正方形的边长相等，角为90°进行旋转，找出全等三角形，从而找出解决的桥梁．例1 （2002年某某省竞赛试题）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、AB 为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGBH，过C作CK⊥AB，分别交AB和GH于D、K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为（）（A）S1=S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）不能确定分析：连结FB、GC，AF∥EB，AG∥CK，则有S正方形AFCE=2S△FAB，S矩形AGKD=2S△ACG，而△ACG可由△FAB绕A点顺时针旋转90°而得，它们是全等三角形，S△ACG=S△FAB，所以可得S1=S2，故选（A）。

例2 （2003年市竞赛题）如图2，以△ABC的三边为边，向形外分别作正方形ABDE、CAFG、BCHK，连接EF、GH、KD，求证：以EF、GH、KD为边可构成一个三角形，并且所构成的三角形面积等于△ABC的面积的3倍。

分析：可以利用正方形的对边平行而且相等，作出一个以EF、GH、KD为边的三角形，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，△DBI ≌△AEF，△BIK≌△HCG，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，因此可拼成一个三角形，然后再证明S△DIK=3S△ABC，把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，可得A，C，G ′在一条直线上，且C 为AG ′的中点。

三年级数学上册7长方形和正方形完美正方形与完美长方形拓展资料素材新人教版

精品资料
完美正方形与完美长方形完美正方形是指由若干个边长不相等的小正方形拼成的大正方形。

如果其中任何一部分小正方形都无法构成一个长方形或正方形，则称为简单完美正方形，否则称为复合完美正方形。

1939年斯普拉格造出第一个完美正方形，它由55个小正方形组成，边长4205个单位。

最小的简单完美正方形由21个小正方形组成，边长112个单位，于1978年由荷兰数学加杜依维斯廷用计算机发现，这个完美正方形不仅阶数最低，同时数字也更简单（较小），且构造上有许多优美的特性，如右图（正方形内数字表示正方形的边长）。

最小的复合完美正方形则由24个小正方形组成，有威尔科克斯发现。

完美长方形，是可以分割成几个大小不同的正方形的长方形。

完美长方形是由完美正方形演变来的，因为完美正方形太难寻找了，所以有些人就放宽条件，转而研究完美长方形。

1925年数学家莫伦发现世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形。

长为33个单位，宽为32个单位。

如右图。

探索正方形的四等分分法

展开思维的翅膀---探索正方形的四等分分法作者：南京市石鼓路小学五年级1班冯韵指导教师：何大胜一、实验目的：通过实际操作，探寻将一个正方形分成完全相同的四部分的方法。

二、实验器材：1、A4纸若干张2、自动铅笔一只3、剪刀一把4、直尺一把５、软件平台：excel、word、几何画板三、实验要求：1、用不同的方法，把一个边长6厘米的正方形，分成形状相同，大小相等的四个部分。

2、通过实际测量、分割，尝试总结出将一个正方形分成完全相同的四部分的方法。

3、并能将自己总结的方法，用于一般正方形的分割，及美化我们的日常生活。

四、实验过程：首先用直尺和剪刀把A4纸裁剪成边长为6cm的正方形纸片，然后用一张正方形纸片做以下工作：1、步骤一：先沿一边对折正方形，如下图所示2、步骤二：然后再对折纸片，如下图所示3、步骤三：最后展开纸片，可以看到四个形状、面积相同的部分，就把一个正方形分成形状、面积相同的四部分（如图中虚线沿折痕所画）。

重复步骤1、2、3得到多个不同形状的具体解决办法。

4、步骤四：利用excel 、word 的表格、填色等功能画格子研究。

5、步骤五：利用《几何画板》软件的旋转、反射，缩放等功能研究。

五、实验结论：通过实际动手折纸的多次操作，首先归纳总结出以下两种图形变化规律: 1、“风车法”上图用两条垂直、通过正方形中心的线，可以把正方形分成四个形状、面积相同的图形。

不同的形状可看做相互垂直的两条线绕中心旋转而形成，可形象的称为“风车法”。

这种折法经过正方形中心，从一边对折开始，然后倾斜对折边，把正方形分成两个面积相等的梯形，然后经过正方形中心，再对折、保证两部分图形重合（面积、形状相同，不容易想到，我可想了不少时间）也就可以了。

2、“鸟翼法”这种折法首先沿正方形的一边通过正方形中心对折，然后经过对折后的长方形中心对折长边，保证对折两部分的形状和面积相等即可。

展开后的斜边像展翅飞翔的小鸟翅膀，形象把这种折法叫“鸟翼法”。

综合与实践_分割正方体

边长为1的正方体表面积为：6×1×1=6 5×5×5个边长为0.2的正方体表面积为： 5×5×5×6×0.2×0.2=30 所以,表面积之比为5:1.
问题2
将一个边长为1cm的正方体，切割成 1 n×n×n个边长 n cm的小长方体，求各个小正方体的表面积与原来正方体的表面积之比？
边长为1的正方体表面积为：6×1×1=6 1 n×n×n个边长为 n 的正方体表面积为： 1 1 n×n×n×6× × =6n n n 所以,表面积之比即小正方形边长为1nm)时，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比. 107:1 请估计，随着n的增大，小正方体边长的缩小，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比的变化趋势. 随着n的增大，小正方体各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比增大.
问题4
将问题2中的正方体边长改为a cm，
结果如何？各小正方体的表面积之比与原来正方体的表面积之比仍为n:1.
问题1
在下图中，分别将边长1cm的正方体，切割成2×2×2个边长为0.5cm和5×5×5个边长为0.2的小正方体，在图中划出切割线，分别求各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比.
边长为1的正方体表面积为：6×1×1=6 2×2×2个边长为0.5的正方体表面积为： 2×2×2×6×0.5×0.5=12 所以,表面积之比为2:1.

第16讲完美的正方形

例1如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE ∆是等边三角形，则EAB ∠的度数为例2如图，在正方形ABCD 中，0是对角线AC 、BD 的交点，过O 作⊥OE OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE=4，CF=3，则EF 的长为( )A ．7B ．5C ．4D ．3例3如图，正方形ABCD 中，E 、F 是AB 、BC 边上两点，且+=AE EF FC 。

EF DG ⊥于G ，求证：DG=DA例4已知正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上一点，DM MN ⊥且交CBE ∠的平分线于N(如图甲)(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由例5操作：将一把三角尺放在边长为l 的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ．探究：设A 、P 两点间的距离为x(1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为Y ，求Y 与X 之间的关系式，并写出X 的取值范围(3)当点P 在线段AC 上滑动时，PCQ ∆是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使PCQ ∆成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的X 的值，如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转能与'∆CBP 重合，若PB=3，则='PP2．如图，已知正方形纸片ABCD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则=∠PBQ3．如图，设四边形ABCD 是边长为l 的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH 。

长方形和正方形面积割补法

长方形和正方形面积割补法
长方形和正方形面积割补法是通过将一个长方形分割成若干个图形，然后将这些图形重新组合成一个正方形的方法。

具体的步骤如下：
1. 假设长方形的长为L，宽为W。

2. 计算长方形的面积，即S = L * W。

3. 如果L等于W，则长方形就是一个正方形，无需割补。

4. 如果L大于W，将长方形分割成两个部分：
- 第一部分为一个正方形，边长为W。

- 第二部分为一条长方形，宽度与第一部分相同，长度为L-W。

5. 此时第二部分的面积为S1 = (L-W) * W。

6. 重复步骤4和5，直到长方形剩余的部分为一个正方形。

7. 将所有的正方形的边长相加，得到一个正方形的边长S2。

8. 此时割补后的正方形的面积为S2 * S2。

9. 最后将S与S2 * S2进行比较。

如果S大于S2 * S2，则说明长方形不能被割补成一个正方形；如果S等于S2 * S2，则说明长方形可以被割补成一个正方形。

需要注意的是，长方形和正方形面积割补法只适用于长方形的长大于宽的情况，且适用于任意长方形，无论长宽比例如何。

小学数学认识几何形的拆分

小学数学认识几何形的拆分在小学数学学习中，认识几何形是非常重要的一环。

几何形是指由点、线、面组成的具有特定形状和特征的图形。

对于小学生来说，了解几何形的拆分方法既能够加深对几何形的理解，同时也能培养他们的观察力、思维能力和创造力。

本文将探讨小学数学认识几何形的拆分方法。

一、拆分正方形正方形是小学数学中最简单的几何形之一，它拥有四个等边且直角的边。

在认识正方形的同时，拆分正方形也是很有趣的一项任务。

拆分正方形有多种方法，我们可以将正方形拆分为等分的小正方形，也可以将正方形拆分为矩形、三角形等其他几何形。

下面以拆分正方形为小矩形为例：首先，我们需要绘制一条水平的直线和一条垂直的直线，将正方形分割成四个小正方形。

然后，我们可以在正方形内部再绘制两条对角线，将正方形拆分成四个小矩形。

这样，我们就成功地将正方形拆分为小矩形。

二、拆分长方形长方形是另一种常见的几何形，它拥有两组相等的边，并且拥有四个直角。

在认识长方形的同时，我们也可以通过拆分长方形来提升小学生对几何形的认识。

拆分长方形可以采用与拆分正方形类似的方法，也能够拆分为小正方形、小矩形等。

首先，我们可以将长方形拆分为多个小正方形。

具体操作为，在长方形的一条边上选择一个数值，并在这条边上若干位置描点，然后连接相邻两个点，形成多个小正方形。

其次，我们也可以将长方形拆分为两个小矩形。

方法是在长方形内部绘制一条垂直或水平的直线，将长方形分割成两个小矩形。

三、拆分三角形三角形是由三条边组成的几何形，是小学数学中比较复杂的一个内容。

拆分三角形不仅可以帮助小学生更好地理解三角形的形状，还可以培养他们的观察力和创造力。

拆分三角形可以采用多种方法，下面介绍两种常见的方法：1. 将三角形的底边平分，通过连接平分点与三角形的顶点，可以将三角形拆分为两个等边直角三角形。

2. 在三角形内部绘制一条连接两边中点的线段，通过这条线段将三角形拆分成两个等腰梯形。

四、总结通过以上的讨论，我们可以看到，拆分几何形是小学数学学习中的一项重要任务。

完美的正方形分割

在学习中,我们会遇到这样的问题,将一个大的正方形分割成若干个小的正方形.对于这样的问题,许多同学不知所措,现在我们来讨论如何将一个大正方形分割小正方形.首先,我们容易知道,一个正方形不能分割成2个、3个或5个小正方形.下面,假设一个正方形可以分割成n个小正方形(n≠2,3,5),究竟如何分法.当n=4时,情形比较简单,分割方法如图1,即将正方形的每边2等分即可.进一步推广便知,当正方形n=k2(k≥2)时分法如图1~3,即将正方形每边k等分,一共可得n=k2个小正方形,它们的大小是一样的.现将图1中的1个小正方形分割成4个,即可增加3个,一共可得7个,依此方法继续,又可得10个、13个……(如图4~6)可见,一个大正方形总可以分割成n=3k+1(k≥2)个小正方形;当n=3k+2(k≥2)时,根据上面的思路,最简单的情形是8个小正方形,就是说,只要能分成8个小正方形,那么8+3个,8+3×2个……都可以得到.怎样才能分成8个呢?刚才的思路是由4个小正方形进一步分割成7个、10个、13个或者更多的.现在我们倒回来想,将较多个数的正方形进行适当拼合,减少数量,......完美的正方形分割正方形四四方方，简单匀称，是完美的几何图形之一。

它有许多引人入胜的问题，例如，正方形或某些长方形可以分割成大小相同的小正方形，那么它能否分割成大小不同的若干个小正方形呢？这就是有名的“正方分割问题”。

对这一问题的研究，不少人倾注了大量的心血，取得了令人瞩目的成果。

二十世纪三十年代，一个长方形的完美的正方分割（如图1，图中数字表示所在正方形的边长，下同），已成为熟知的事实。

到了本世纪四十年代，人们又发现了另一个同样有名的长方形的正方分割，如图2。

它们都是由九个规格不同的正方形所组成，为方便起见，我们称它们为九阶的。

图1 图2现已证明：低于九阶的长方形的正方分割不存在，并且，在九阶的长方形的正方分割中，只有这两种形式。

【通用版】小升初模拟卷(四)解析版

二位偶数有 90 2 45 个，数码个数： 2 45 90 个；三位偶数有 900 2 450 个，数码个数： 3 450 1350 个还需要 2015 4 90 1350 571 个数码， 571 4 142 3
第1页
7. 把 9 化成小数后，小数点后第 2016 位上的数字是__________． 14

x
y
1 20

yz
1 30
3x 1.5 5z

根据前两个式子相减，可得 x z 1 1 1 ，第三个式子可化为 x 2.5z 20 30 60
所以 2.5z z 1 ，算出 z 1 1.5 1 ， x 1 2.5 1 ， y 1 1 1
长多少厘米？
【答案】25.6 厘米
【解析】法 1：看成底部一个 24 厘米高的柱体被拿走，水面降低的部分底面积是 602 152 平方厘米，所以水面高
度降低
24 152 602 152
=1.6
厘米，露出水面的浸湿部分长为
24
1.6

25.6
厘米。
法 2：刚开始，浸入水中的湿润部分是 50 厘米，水的体积是 602 152 100 立方厘米，向上提起 24 厘米厚，设水
2
6
所以 8x 3 1 是不超过 5 的整数，所以可以枚举解决： 2
若 8x 3 1 0 ，则 x 7 ，代入得 0+1>0，不符合；
2
16
若 8x 3 1 1，则 x 9 ，代入得 1+1>1，不符合；
2
16
若 8x 3 1 2 ，则 x 11 ，代入得 1+2>2，不符合；