质点角动量及其守恒定律

单位时间扫过的面积（面积速度）。 p
dr dr sin
O•
dS r
dS 1 r dr sin dS 1 r dr sin
2
dt 2 dt
L rm dr sin 2m dS
dt
dt
3. 圆周运动中的角动量 如果质点作圆周运动，则它对圆心的角动量大小为：
L mRv mR2
2.4.3 质点角动量定理
2.4.5 质点系角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系角动量定理
质点系对定点的角动量被定义为：
L
Li
ri pi
i
i
dL dt i
ri
dpi dt
i
ri
( Fi
f ji )
j i
容易证明，任何一对内力对同 一个定点的力矩矢量和为零：
ri f ji rj fij 0
定义力对定点的力矩：
M
M
r
F
o•
r
F
h
M M rF sin Fh
（1） （2）
M M
的方向垂直于 的大小等于由
F和 F和
rr决所定决的定平的行平四面边；形面积。
2.4.2 质点角动量
1. 对运动状态描述的补充 在质点运动学中我们已经知道，描述质点运动状态，只要
位置 r和动量 p（或速度）就足够了。但要描述质点系的运
中，r代表的是从定点指
•
R
r
•
向质点的矢量，而非质点
的位矢 R。不过位移与坐
标系选取无关，所以有：
dR
dr
v
dt dt
2.4.4 质点角动量守恒定律
1. 质点角动量守恒定律
由质点角动量定理的微分形式可知，若 M 0 ，则：
L
r
p
常矢量
这叫质点角动量守恒定律。
2. 有心力作用下质点的运动 若质点始终受到一个指向固定点（称作力心）的作用力，
动状态，只有位置和动量就不够了。请看下面的例子：
两个圆盘系统的总动量都为零，但它们明显地具有不同的 运动状态。我们必须有新的物理量来区分这两种状态才行。
用来区分上述两种不同状态的物理量叫角动量，也叫动量 矩。虽然从原则上说，描述质点运动状态完全可以不需要角 动量，但我们还是从定义质点角动量出发，然后再将其推广 到质点系（特别是后面要重点介绍的刚体系统）。
ri
O•rj
fij
f ji
所以必有：
ri
f ji
0
i ji
于是质点系角动量定理的微分形式就成为：
dL
dt i
ri Fi
i
Mi M外
质点系角动量定理的积分形式如下：
t2
M外dt L2 L1
t1
2. 质点系角动量守恒定律
由质点系角动量定理的微分形式可知，若 M外 0 ，则：
L
ri
pi
常矢量
i
这叫质点系角动量守恒定律。
必须指出：质点系所受合外力为零时，其角动量未必是守 恒的；反之，若质点系角动量守恒，也不意味着它所受合外 力为零。由此得到一个重要推论：质点系角动量守恒时，其 动量未必守恒；质点系动量守恒时，其角动量也未必守恒。
则称质点受有心力作用。例如，行星绕太阳的运动过程中， 太阳的万有引力就是有心力。
由于有心力始终通过力心，其力矩必然恒等于零，于是受 有心力作用的质点，对力心的角动量必守恒。
例2 — 17
L
r
v
m
L rm dr sin 2m dS 常量
dt
dt
dS 常量 dt
这便是开普勒行星第二运动定律。
2. 质点对定点的角动量
用质点的位置和动量，经过一个矢积运算，就可以构造出
质点对定点的角动量：
L
r
p
r
mv
L rmvsin ph
L
o• h
r
•
p
关于角动量的上述定义，同力矩的定义极为相似。
质点对定点的角动量，反映了质点绕着那个固定点的转动
情况。更几何化一点说，反映的是从定点到质点的那条连线
2.4 角动量及其守恒定律
2.4.1 力对定点的力矩
1. 影响物体转动状态的三个因素
•
•
•
分析表明，影响物体转动状态的因素有三个： （1）力的大小； （2）力的方向； （3）力的作用线到转轴的垂直距离（力臂）。
影响物体转动状态的三个因素其实可以用一个物理量来反 映，这就是我们将要介绍的力矩。
2. 力对定点的力矩
1. 质点角动量定理的微分形式
dL
d
(rHale Waihona Puke Baidu
mv )
r d (mv)
dr
mv
dt dt
dt dt
rF M
M
dL
dt
2. 质点角动量定理的积分形式
t2
Mdt L2 L1
t1
上式左边的积分叫冲量矩。
质点所受合力的冲量矩，等于质点角动量的增量，这叫 质点角动量定理。
有一点需要说明：在推导质点角动量定理微分形式的过程