辽宁省沈阳二中高三数学一模试卷 理(含解析)

2016年辽宁省沈阳二中高考数学一模试卷（理科）

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|}，则M∩N等于（）

A．[] B．[﹣1，] C．{﹣2，1} D．{（），（）}

2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（）

A．﹣4 B．﹣1 C．4 D．1

3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千

元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均

消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83% B．72% C．67% D．66%

4．下列叙述中正确的是（）

A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”

B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”

C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”

D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β

5．（﹣）6的展开式中，x3的系数等于（）

A．﹣15 B．15 C．20 D．﹣20

6．偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位

得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）

A．4 B．2 C．6 D．4

8．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）在函数f（x）=（2t+1）dt的图象上，

则数列{a n}的通项公式为（）

A．a n=2n﹣2 B．a n=n2+n﹣2

C．a n=D．a n=

9．已知一次函数f（x）=ax﹣1满足a∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a，使得f（x）≤0在x∈[0，1]上成立的概率为（）

A．B．C．D．

10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，

则点S与△ABC中心的距离为（）

A．B．C．1 D．

11．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）

A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3]

12．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近

线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．抛物线y=8x2的准线方程是．

14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，

sin7.5°=0.1305）

15．已知两个非零平面向量，满足：对任意λ∈R恒有|﹣λ|≥|﹣|，若||=4，

则•= ．

16．已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前三项和S3的取值范围是．

三、解答题（共70分）

17．如图，△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．

18．以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，点E 是AB的中点，CE∥平面A1BD．

（1）求证：点D是CC1的中点；

（2）若A1D⊥BD时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．

20．已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．

（I）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．

（i）若，求直线l的方程；

（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx

（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；（2）对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|﹣|，求正数λ的取值范围．

四.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．

（1）求BD长；

（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．

（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；

（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．

[选修4-5；不等式选讲]

24．（Ⅰ）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．证明：|a+b|＜；

（Ⅱ）若函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．