第1章复数与复变函数汇总
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2 2
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
4.复球面 扩充复平面的 一个几何模型就是 复球面。 关于新“数 ”∞还需作如下几 点规定： (1)复平面上每一条直线都通过点 ∞，同时，没有一个半平面包括点∞。
§6 复变函数的极限和连续性
1.复数的乘积与商
定义1.6.1 设复变函数ω=f (z)在z0的去心 邻域 0 z z0 内有定义。如果存在常数A， 对于任意给定的ε＜0，相应地必有一正数δ(ε)(0 ＜δ≤ρ),使得当 0 时有 z z0
f ( z) A
3.单连通区域与多连通区域
定义1.4.11 设G为复平面上的区域，若在 G内的任意简单闭曲线，其内部仍全含于G，则 称G为单连通区域(如图1.4.4(a))。非单连通的 区域称为多连通区域(如图1.4.4(b))。
§5 复变函数
定义1.5.1 设在复平面上有点集D。 若对于D内每一点z，按照某一法则，有确 定的复数ω与之对应，则称这种对应关系 是z的复变函数，记作ω=f (z)；称ω是z在 函数f 下的像。 若z的一个值对应着ω的一个值，则称 f (z)为单值函数；若z的一个值对应着ω的 几个或无穷多个值，则称f (z)为多值函数。
定义1.4.4 点集G称为一个区域，如果 它满足： (1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1 和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起 来(图1.4.1)
通常称具有性质(2)的集为连通的，所 以一个区域就是一个连通的开集。 定义1.4.5 区域G加上它的边界C称为 闭区域或闭域，记为 G
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
0
定理1.6.3 函数ω=f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在点 z0= x0+ iy0处连续的充要条件是：实部u(x,y)都在 点(x0, y0)处连续。
定理1.6.4 连续函数的和、差、积、 商(分母不为零)仍为连续函数，连续函数 的复合函数仍为连续函数。 思考题 怎样定义三元数(x,y,z)的加、 减、乘、除、乘方、开方运算？使其是二 元数(x,y)相应运算的推广。如果对于其中 的某种运算(比方说“乘法”)无法给出满 足要求的定义，试说明理由。
0
x x0 y y0
lim u ( x, y ) u0 ,
xx0 y y0
lim v ( x, y ) v0
z z0
设复变函数f (z)与g(z),若 lim f ( z ) A, lim g ( z ) B，则 (1) lim f ( z ) g ( z ) A B;
又在α≤t≤β上，x’(t)及y’(t)存在连续且不全为零*， 则C称为光滑(闭)**曲线。 注 光滑(闭)曲线C具有连续转动的切线。
定义1.4.10 由有限光滑曲线衔接而成的连续 曲线称为逐段光滑曲线。特别，简单折线是逐段光 滑曲线。 沿着一条简单曲线C有 两个相反的方向，其中一个 方向是：当观察者顺此方向 沿C前进一周时，C的内部一 直在C的左方，即“逆时针”方向，称为正方向； 另一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时， C的外部一直在C的左方，即“顺时针”方向，称为 负方向(如图1.4.3)。
共轭复数 称实部相同而虚部为相反数的两个 数x+iy和x-iy为共轭复数，简称共轭数。 与z=x+iy共轭的复数记为 z ，即
x iy x代数运算
(1)复数的加(减)法
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)复数的乘法
wn 1 r (cos
n
i sin
n
)
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
§4 区
定义1.4.1
域
1.平面点集的几个基本概念
由不等式
z z0 (δ 为任意的正数)所确定的平面点集(以后平面 点集均简称点集)，就是以z0的δ 一邻域或邻域。 而称由不等式 D z z0
定义1.4.6 如果区域G可以包含在一 个以原点为中心的圆内，则称区域G是有 界的，否则称区域G是无界的。 定义1.4.7 以原点为圆心，以正数R 为半径的圆域外部的点的全体，称为无穷 远点的邻域，它可以表示为 z R 。不包 括无穷远点自身在内，仅满足 z R 的所 有点的集合，称为无穷远点的去心邻域， 它可以表示为R＜M＜+∞。
z z0
定理1.6.2
z z0
(2) zlim f ( z ) g ( z ) AB ; z
0
(3)
f ( z) A lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
2.函数的连续性
定义1.6.2 设函数ω=f (z)在点z0及其某邻 域内有定义。若 lim f ( z ) f ( z0 ) ，则称函数ω=f(z) zz 在点z0处是连续的；若ω=f (z)在区域D内处处连 续，则称ω=f (z)在区域D内是连续的。
2 2 2
2
2
2
§2 复数几何表示
1.复数的点表示法 2.复数的向量表示
3.复数的极坐标表示 x cos , y sin i z cos i sin e 复数的这种表示 称为复数的极坐标形 式，亦称为三角形式 和指数形式 关于复数的模、幅角，应当作如下 的说明：
z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1
(交换律)
z1 ( z 2 z3 ) ( z1 z 2 ) z3 (结合律) z1 ( z 2 z3 ) ( z1 z 2 ) z3
z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 z1 z3 )
那么称A为函数f (z)当z趋于z0时的极限，记 作 lim f ( z ) A 或记作当z→z0时，f (z)→A(如图 zz 1.6.1)
0
定理1.6.1 设ω=f (z)=ω(x,y)+iv(x,y), f ( z ) A 的充要条件是 A=u0+iv0，z0=x0+iy0,则 zlim z
z1 z2 ( x1 iy1 )(x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 y1 x2 )
(3)复数的除法
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
复数的运算法则
(1)复数的模
Re z z ,
复数z的模满足
z Re z Im z
Im z z ,
(2)复数 的幅角 任何 一个不为0的 复数z，有无 穷多个幅角。 (3)幅角主值的求法
y arct an , x y arct an , x arg z arct an y , , x arct an y , x
所确定的点集为z0的去心δ 一邻域或去心
邻域。
定义1.4.2 设G为点集，z0为G中的一点。如 果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G， 则称z0为G的内点；若点z0的某一个邻域内的点都不 属于G，则称点z0为G的外点。若在点z0的任意一个 邻域内，既有属于G的点，也有不属于G的点，则称 点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边 界(如图1.4.1) 注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤 立的点所组成的(如图1.4.2) 定义1.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为 开集
(分配律)
注意 一般说来，任意两个复数不 能比较大小
3.复数的共轭运算 根据共轭复数的定义，不难证明共 轭复数具有如下性质
(1) z1 z2 z1 z2 ;
(2) z1z2 z1 z2 ;
z1 z1 (3) z z 2 2
(5)
2
(z2 0); (4) z z;
对满足α＜t1＜β, α≤t2≤β, t1≠ t2的t1及t2,当 z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡 无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan (约当)曲线；z(α)=z(β)的简单曲线称为简单闭曲 线。 定义1.4.9 设简单(或简单闭)曲线C的参数 方程为: z x(t ) iy(t ) ( t )
2.简单曲线
定义1.4.8 设x(t)及y(t)是实变数t的两个 实函数，在闭区间[αβ]上连续，则由方程组
x x(t ) y y (t ) ( t )
或由复数方程
z x(t ) iy(t )
( t )
所决定的点集C，称为z平面上的一条连续曲线。 上式称为C的参数方程，z(α)及z(β)分别称为C的 起点和终点。
1.复数的乘积与商 定理1.3.1 两个复数乘积的模等 于它们的模的乘积；两个复数乘积的幅 角等于它们的幅角的和。 定理1.3.2 两个复数的商的模等 于它们模的商；两个复数的商的幅角等 于被除数与除数的幅角的差。
2.复数的乘方与开方
设z rei r (cos i sin ), 则
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
4.复球面 扩充复平面的 一个几何模型就是 复球面。 关于新“数 ”∞还需作如下几 点规定： (1)复平面上每一条直线都通过点 ∞，同时，没有一个半平面包括点∞。
§6 复变函数的极限和连续性
1.复数的乘积与商
定义1.6.1 设复变函数ω=f (z)在z0的去心 邻域 0 z z0 内有定义。如果存在常数A， 对于任意给定的ε＜0，相应地必有一正数δ(ε)(0 ＜δ≤ρ),使得当 0 时有 z z0
f ( z) A
3.单连通区域与多连通区域
定义1.4.11 设G为复平面上的区域，若在 G内的任意简单闭曲线，其内部仍全含于G，则 称G为单连通区域(如图1.4.4(a))。非单连通的 区域称为多连通区域(如图1.4.4(b))。
§5 复变函数
定义1.5.1 设在复平面上有点集D。 若对于D内每一点z，按照某一法则，有确 定的复数ω与之对应，则称这种对应关系 是z的复变函数，记作ω=f (z)；称ω是z在 函数f 下的像。 若z的一个值对应着ω的一个值，则称 f (z)为单值函数；若z的一个值对应着ω的 几个或无穷多个值，则称f (z)为多值函数。
定义1.4.4 点集G称为一个区域，如果 它满足： (1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1 和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起 来(图1.4.1)
通常称具有性质(2)的集为连通的，所 以一个区域就是一个连通的开集。 定义1.4.5 区域G加上它的边界C称为 闭区域或闭域，记为 G
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
0
定理1.6.3 函数ω=f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在点 z0= x0+ iy0处连续的充要条件是：实部u(x,y)都在 点(x0, y0)处连续。
定理1.6.4 连续函数的和、差、积、 商(分母不为零)仍为连续函数，连续函数 的复合函数仍为连续函数。 思考题 怎样定义三元数(x,y,z)的加、 减、乘、除、乘方、开方运算？使其是二 元数(x,y)相应运算的推广。如果对于其中 的某种运算(比方说“乘法”)无法给出满 足要求的定义，试说明理由。
0
x x0 y y0
lim u ( x, y ) u0 ,
xx0 y y0
lim v ( x, y ) v0
z z0
设复变函数f (z)与g(z),若 lim f ( z ) A, lim g ( z ) B，则 (1) lim f ( z ) g ( z ) A B;
又在α≤t≤β上，x’(t)及y’(t)存在连续且不全为零*， 则C称为光滑(闭)**曲线。 注 光滑(闭)曲线C具有连续转动的切线。
定义1.4.10 由有限光滑曲线衔接而成的连续 曲线称为逐段光滑曲线。特别，简单折线是逐段光 滑曲线。 沿着一条简单曲线C有 两个相反的方向，其中一个 方向是：当观察者顺此方向 沿C前进一周时，C的内部一 直在C的左方，即“逆时针”方向，称为正方向； 另一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时， C的外部一直在C的左方，即“顺时针”方向，称为 负方向(如图1.4.3)。
共轭复数 称实部相同而虚部为相反数的两个 数x+iy和x-iy为共轭复数，简称共轭数。 与z=x+iy共轭的复数记为 z ，即
x iy x代数运算
(1)复数的加(减)法
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)复数的乘法
wn 1 r (cos
n
i sin
n
)
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
§4 区
定义1.4.1
域
1.平面点集的几个基本概念
由不等式
z z0 (δ 为任意的正数)所确定的平面点集(以后平面 点集均简称点集)，就是以z0的δ 一邻域或邻域。 而称由不等式 D z z0
定义1.4.6 如果区域G可以包含在一 个以原点为中心的圆内，则称区域G是有 界的，否则称区域G是无界的。 定义1.4.7 以原点为圆心，以正数R 为半径的圆域外部的点的全体，称为无穷 远点的邻域，它可以表示为 z R 。不包 括无穷远点自身在内，仅满足 z R 的所 有点的集合，称为无穷远点的去心邻域， 它可以表示为R＜M＜+∞。
z z0
定理1.6.2
z z0
(2) zlim f ( z ) g ( z ) AB ; z
0
(3)
f ( z) A lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
2.函数的连续性
定义1.6.2 设函数ω=f (z)在点z0及其某邻 域内有定义。若 lim f ( z ) f ( z0 ) ，则称函数ω=f(z) zz 在点z0处是连续的；若ω=f (z)在区域D内处处连 续，则称ω=f (z)在区域D内是连续的。
2 2 2
2
2
2
§2 复数几何表示
1.复数的点表示法 2.复数的向量表示
3.复数的极坐标表示 x cos , y sin i z cos i sin e 复数的这种表示 称为复数的极坐标形 式，亦称为三角形式 和指数形式 关于复数的模、幅角，应当作如下 的说明：
z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1
(交换律)
z1 ( z 2 z3 ) ( z1 z 2 ) z3 (结合律) z1 ( z 2 z3 ) ( z1 z 2 ) z3
z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 z1 z3 )
那么称A为函数f (z)当z趋于z0时的极限，记 作 lim f ( z ) A 或记作当z→z0时，f (z)→A(如图 zz 1.6.1)
0
定理1.6.1 设ω=f (z)=ω(x,y)+iv(x,y), f ( z ) A 的充要条件是 A=u0+iv0，z0=x0+iy0,则 zlim z
z1 z2 ( x1 iy1 )(x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 y1 x2 )
(3)复数的除法
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
复数的运算法则
(1)复数的模
Re z z ,
复数z的模满足
z Re z Im z
Im z z ,
(2)复数 的幅角 任何 一个不为0的 复数z，有无 穷多个幅角。 (3)幅角主值的求法
y arct an , x y arct an , x arg z arct an y , , x arct an y , x
所确定的点集为z0的去心δ 一邻域或去心
邻域。
定义1.4.2 设G为点集，z0为G中的一点。如 果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G， 则称z0为G的内点；若点z0的某一个邻域内的点都不 属于G，则称点z0为G的外点。若在点z0的任意一个 邻域内，既有属于G的点，也有不属于G的点，则称 点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边 界(如图1.4.1) 注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤 立的点所组成的(如图1.4.2) 定义1.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为 开集
(分配律)
注意 一般说来，任意两个复数不 能比较大小
3.复数的共轭运算 根据共轭复数的定义，不难证明共 轭复数具有如下性质
(1) z1 z2 z1 z2 ;
(2) z1z2 z1 z2 ;
z1 z1 (3) z z 2 2
(5)
2
(z2 0); (4) z z;
对满足α＜t1＜β, α≤t2≤β, t1≠ t2的t1及t2,当 z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡 无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan (约当)曲线；z(α)=z(β)的简单曲线称为简单闭曲 线。 定义1.4.9 设简单(或简单闭)曲线C的参数 方程为: z x(t ) iy(t ) ( t )
2.简单曲线
定义1.4.8 设x(t)及y(t)是实变数t的两个 实函数，在闭区间[αβ]上连续，则由方程组
x x(t ) y y (t ) ( t )
或由复数方程
z x(t ) iy(t )
( t )
所决定的点集C，称为z平面上的一条连续曲线。 上式称为C的参数方程，z(α)及z(β)分别称为C的 起点和终点。
1.复数的乘积与商 定理1.3.1 两个复数乘积的模等 于它们的模的乘积；两个复数乘积的幅 角等于它们的幅角的和。 定理1.3.2 两个复数的商的模等 于它们模的商；两个复数的商的幅角等 于被除数与除数的幅角的差。
2.复数的乘方与开方
设z rei r (cos i sin ), 则