张宇高数讲义

∫ x+Δx
则 F (x + Δx) − F (x) =
f (t)dt ．
x
由可积的必要条件可知，存在 M > 0 ，在[a,b] 上有 f (x) ≤ M ，所以有
∫ 0 ≤ F (x + Δx) − F (x) ≤ x+ Δx f (t) dt ≤ M Δx ， x
则 lim F (x + Δx) − F (x) = 0 ，即 lim F (x + Δx) − F (x) = 0 ，或
故
原式
=
lim
x→0
tan
x− x3
sin
x
=
lim
x→0
tan x
x
⋅
1
−
cos x2
x
=
1
.
2
【例
5】求
⎡
lim
x→∞
⎢⎣
x
−
x2
ln⎜⎛1 ⎝
+
1 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
解
令
x
=
1 t
x2
+
1,
⎨
⎪⎩cos x +
π 4
,
x≤0 ,
x>0
F ( x) = x f (t ) dt ，则： −1
( A) F ( x)为f ( x)的一个原函数 (C ) F ( x)在(-∞，+∞)上不连续
( B) F ( x)在(-∞，+∞)上可微，但不是f ( x)的原函数 ( D) F ( x)在(-∞，+∞)上连续，但不是f ( x)的原函数
（无穷大量）×（常数 0）”其极限就是零
【小结】无界函数与无穷大量两个概念的区别：
◇2011 张宇考研数学内部讲义◇
◇张宇 编讲◇
无界函数的逻辑含义在于“存在性”而已．若对于任意的正数 M ，总存在某个点 x0 ∈[a, b] ， 使| f (x0 ) |> M ，则称函数 f (x) 是区间[a,b] 上的无界函数． 无穷大量是指在自变量的某个趋限的全过程中（例 x → x0 ），其逻辑含义在于“任意性”．若 对于任意正数 M ，总存在δ > 0 ，对一切满足 0 < x − x0 < δ 的 x ，总有| f (x) |> M ，则 称函数 f (x) 是 x → x0 时的无穷大量．
[]
11. 单调性无明确结论
12. 若 f ( x) 是以 T 为周期的可导函数，则其导函数 f ′(x) 也是以 T 为周期的函数
13. 若 f ( x) 是 以 T 为 周 期 的 连 续 函 数 ， 则 其 一 切 原 函 数 也 是 以 T 为 周 期 的 函 数
⇔
∫T 0
f
( x)dx
=
0
2）判断类型，七种如下： 0 ， ∞ ， 0 ⋅ ∞ ， ∞ − ∞ ， ∞0 ， 00 ，1∞ 0∞
3）选择相应的方法进行计算。 下面通过典型例题来训练。
3
【例 1】求极限（1） lim
x3
+1
x→∞ x
（2）
lim
x→+∞
ex ex
− e−x + e−x
【分析】（1） ∞ 型，求导到第二次后得 ∞
=
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x
f (t)dt
0 x
f (t)dt
a
x
∫ 【例】设 f (x) 是奇函数，除 x = 0 外处处连续， x = 0 是其第一类间断点，则 f (t)dt 是 0
◇2011 张宇考研数学内部讲义◇
◇张宇 编讲◇
（A）连续的奇函数.
（C）在 x = 0 间断的奇函数
（B）连续的偶函数
（D）在 x = 0 间断的偶函数.
14．设函数 f ( x) 在 (0, +∞) 内可导，则下列说法正确的是（ ）
（A）若存在δ > 0 ，使得 f ′(x) 在（δ，+ ∞）内有界，则 f ( x) 在（δ，+ ∞）内有界
（B）若存在δ > 0 ，使得 f ( x) 在（δ，+ ∞）内有界，则 f ′(x) 在（δ，+ ∞）内有界
无穷大量必是无界量，无界量未必是无穷大量．
第一讲 极限与连续
一、极限计算的基础题——以七种未定式的定值法为核心
1、七种未定式的定值法是考研极限计算的基础，是整个高等数学计算的基础，故要高度重 视，充分训练，达到登峰造极的地步；
2、掌握解题思路：对于 lim F (x) x→i
1）化简是第一步，切记。化简的方法为： （1）提出极限不为 0 的因式；（2）等价无穷小替换；（3）恒等变形（基本的恒等变形法如 提公因式、拆项、合并、分子分母同除变量的最高次幂等，高级的恒等变形法如变量替换， 也叫换元法。）强调：很多问题如果不化简就计算，一，可能算得很麻烦；二，甚至可能计 算不出结果。
x→+∞
x→+∞
证： 设 lim f ′( x) = a (≠ 0) ，不妨设 a > 0 ， x→+∞
由极限的保号性知，存在 X > 0 ，当 x > X 时，可使 f ′( x) > a > 0 ，于是，
2
f ( x) = f ( X ) + f ′(ξ )( x − X ), X < ξ < x
【例】函数
f
(x)
=
⎧ −1,
⎨ ⎩
1,
x < 0, x ≥ 0.
F (x) =| x | ，不是 (−∞,+∞) 上的可导函数．变上限定
∫x
积分函数 F (x) = f (x)dx 不是 f (x) 的一个原函数． 0
【例】函数
f
(x)
=
⎪⎨⎧2x sin
1 x
−
cos
1 x
,
百度文库
x ≠ 0, 在 (−∞,+∞) 上不连续，它有一个振荡间断
F+ ( x) =
lim
x→0+
⎛ ⎜⎝
sin
x
+
π 4
x−
4 3
⎞ ⎟⎠
−
⎛ ⎜⎝
1 3
x3
x
+x−
4⎞ 3 ⎟⎠ 不存在，即不可导 ⇒
F′(x) ≠
f
(x)
请注意，我们还有更好的方法解决这个问题吗？
【例
2】
f
(
x
)
=
⎧⎪2 ⎨
x
cos
1 x2
+ 2 sin x
1 x2
,
x≠0 ,
⎪⎩0,
x=0
F
1 x2
+
2 x
sin
1 x2
,
x ≠ 0 = f (x)
⎪⎩0,
x=0
而F ( x)连续，故( A)正确。
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【例 3】设函数 y = f ( x) 在区间[−1,3] 上的图形为：
◇张宇 编讲◇
则函数
F
(x)
=
x
∫0
f
(t ) dt
的图形为
( A)
(B)
(C)
(D)
Δx→0
Δx→0
lim F (x + Δx) = F (x) ，得证．
Δx→0
∫ 6．函数 f (x) 在[a,b] 上连续，则函数 F (x) = x f (t)dt 在[a,b] 上可导，且 F′(x) = f (x) a
◇2011 张宇考研数学内部讲义◇
◇张宇 编讲◇
∫ 【例
1】
f
(
x
)
=
⎧ ⎪
−1
（3）
lim
x→0
e x2 x100
3
lim
x3
+1
=
lim
x2
=
3
lim
x3
+1 ，
x→∞ x
x→∞ 3 (x 3 + 1) 2 x→∞ x
洛必达法则失效，处理的方法是恒等变形
3
lim
x→∞
x3 + 1 = lim 3
x
x→∞
x3 +1 x3
=
lim 3
x→∞
1+
1 x3
=1．
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次洛必达法则后可以得到
ex lim e x→+∞ x
− e−x + e−x
=
lim
x→+∞
ex ex
+ −
e−x e−x
= lim e x e x→+∞ x
− e−x + e−x
，
◇2011 张宇考研数学内部讲义◇
◇张宇 编讲◇
洛必达法则失效，处理的方法是恒等变形——分子分母同乘 e−x ，得到
lim e x e x→+∞ x
100x
= lim − 100 = −50
x →−∞
x→−∞ x 2 + 100 − x x→−∞ 1 + 100 + 1
x2
【注】因为 x < 0 ，如果用 x 除分子、分母，并把 x 直接移进根号内，将产生错误。
【例 3】求 lim 1 + 4x − 3 1 − 3x
x→0
x
解 lim 1 + 4x − 3 1 − 3x = lim[ 1 − 4x − 1 − 3 1 − 3x − 1]
【答案】
7. 函数 f (x) 是奇函数，则其导函数 f ′(x) 是偶函数
8. 函数 f (x) 是偶函数，则其导函数 f ′(x) 是奇函数
∫∫ 9.
⎧
函数
f
(x)
是奇函数，则
F ( x)
=
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x
f (t)dt
0 x
f (t)dt
a
偶 偶
∫∫ 10.
⎧
函数
f
(x)
是偶函数，则
F ( x)
x→0+
x→0+
x +1
4） lim f ′( x)= 0 ⇒ lim f ′( x) = 0 ，反例： f ( x) = x
x→0+
x→0+
x +1
16. 以下说法哪些是错误的？
（无穷大量）×（有界变量）＝（无穷大量）
（无穷大量）×（无界变量）＝（无穷大量）
（无穷大量）×（无穷小量）＝不确定（待定型）．
解：选 ( D) 。请看通常的解法：
⎧
∫ ( ) F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
∫ ( ) ∫ ⎪⎩
x −1 0 −1
x2 +1 x2 +1
dx = 1 x3 + x − 4 ,
3
3
dx +
x 0
⎛ ⎜⎝
cos
x
+
π 4
⎞⎟⎠dx
=
sin
x
+
π 4
x
−
4 3
,
x≤0 x>0
显然， F ( x) 是连续的。但是：
⇒ f ( x) > f ( X ) + a ( x − X ) ⎯⎯X →⎯+∞→ +∞ 与 f ( x) 有界矛盾
2
2） lim f ( x)= 0 ⇒ lim f ′( x) = 0 ，反例： f ( x) = 1 sin x3
x→+∞
x→+∞
x
3） lim f ( x)= 0 ⇒ lim f ′( x) = 0 ，反例： f ( x) = x
解：可以验证 x = 0 为 f ( x) 的第二类间断点，因为：
lim
x→0
f
(x)
=
0+
lim
x→0
2 x
sin
1 x2
，故
x
=
0
为
f
( x) 的第二类振荡间断点，可能存在原函数。
又：
F′(0)
=
lim
x2
cos
1 x2
−0
=
0,
故F ( x)可微。即：
x→0 x − 0
F′(x)
=
⎧⎪2x cos ⎨
− e−x + e−x
=
lim 1 + x→+∞ 1 −
e −2x e−2x
=1．
（3） 0 型，用洛必达法则一试便知，分子分母分别求导后越来越复杂，这也说明了洛必达 0
法则对本题无效．正确有效的方法是
【例 2】计算 lim x( x 2 + 100 + x) x→−∞
解 lim x( x 2 + 100 + x) = lim
(
x)
=
⎧⎪ x 2 ⎨
cos
1 x2
,
⎪⎩0,
x≠0。 x=0
则在 (−∞, + ∞) 内下列正确的是：
( A) f ( x)不连续且不可微，F ( x)可微，且为f ( x)的原函数 ( B) f ( x)不连续，不存在原函数 ，因而F ( x)不是f ( x)的原函数 (C ) f ( x)和 F ( x)均为可微函数，且 F ( x)为f ( x)的一个原函数 ( D) f ( x)连续，且F′( x) = f ( x)
x→0
x
x→0
x
x
又 lim
1+
4x
−
1
=
lim
1 2
⋅
4x
=
2
，
lim
3
1
−
3x
−1
=
lim
1 3
⋅
(−3x)
=
−1
x→0
x
x→0 x
x →0
x
x→0 x
故 lim 1 + 4x − 3 1 − 3x = 3
x →0
x
【例 4】求 lim x→0
etan x − esin x x sin2 x
.
解 当 x → 0 时， etan x − esin x = e (e sin x tan x-sin x −1) ∼ tan x − sin x ， x sin2 x ∼ x3 ，
⎪⎩
0,
x = 0,
点 x = 0 ，但是它在 (−∞,+∞) 上存在原函数
∫ F(x) =
x
f
(t)dt
=
⎧⎪ ⎨
x2
sin
1 x
,
x
≠
0,
0
⎪⎩ 0, x = 0.
∫x
5. 函数 f (x) 在[a,b] 上可积，则函数 F (x) = f (t)dt 在[a,b] 上连续． a
【证】∀x, x + Δx ∈[a,b]（当 x = a 时，0 < Δx < b − a ；当 x = b 时， a − b < Δx < 0 ），
◇2011 张宇考研数学内部讲义◇
◇张宇 编讲◇
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
高等数学强化集训精华讲义
张 宇 编讲
第 0 讲 高等数学中基本且重要的结论总结
1. 连续函数必有原函数;（2008 年已经考过证明） 2. 含有第一类间断点的函数在包含该点的区间内没有原函数;（要会证明） 3. 含有第二类间断点的函数在包含该点的区间内是否有原函数是不确定的；（举例说明） 4. 故，函数的导函数不一定是连续函数，但是如果有间断点，一定是第二类间断点。
（C）若存在δ > 0 ，使得 f ′(x) 在 (0,δ ) 内有界，则 f ( x) 在 (0,δ ) 内有界
（D）若存在δ > 0 ，使得在 f ( x) (0,δ ) 内有界，则 f ′(x) 在 (0,δ ) 内有界
15．函数 f ( x) 在 (0, +∞) 内有界，则下列命题成立：
1） lim f ′( x) 存在 ⇒ lim f ′( x) = 0