张宇高数讲义

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张宇高数强化例题第一讲例题二

张宇高数强化例题第一讲例题二（原创实用版）目录1.张宇高数强化例题第一讲例题二概述2.例题二的解题思路和步骤3.例题二的答案和解析4.例题二对高数学习的意义和价值5.总结正文【张宇高数强化例题第一讲例题二概述】张宇高数强化例题第一讲例题二是张宇老师为帮助学生提高高数解题能力而精心设计的例题。

通过这个例题，学生可以更好地理解高数的基本概念和解题方法，从而提高自己的高数水平。

【例题二的解题思路和步骤】例题二如下：设函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求函数在区间 [0, 6] 上的最大值和最小值。

解题思路如下：1.求导数：先求函数的导数 f"(x) = 3x^2 - 12x + 9。

2.求导数为零的点：令 f"(x) = 0，解得 x = 1 和 x = 3。

3.判断极值：通过二阶导数法，判断 x = 1 和 x = 3 处的极值。

f""(x) = 6x - 12，代入 x = 1 和 x = 3，得到 f""(1) = -6 < 0，f""(3) = 0。

因此，x = 1 处取得极大值，x = 3 处取得极小值。

4.比较端点值：比较区间端点值 f(0) = 0，f(6) = 216 和极值 f(1) = 4，f(3) = 9。

得到函数在区间 [0, 6] 上的最大值为 216，最小值为 0。

【例题二的答案和解析】例题二的答案为：函数在区间 [0, 6] 上的最大值为 216，最小值为0。

解析：通过以上解题思路和步骤，我们求得了函数在给定区间上的最大值和最小值，这个过程中涉及到了求导数、判断极值、比较端点值等高数基本概念和方法，有助于提高学生的高数解题能力。

【例题二对高数学习的意义和价值】例题二对高数学习的意义和价值体现在以下几个方面：1.巩固基本概念：通过求导数、判断极值等步骤，学生可以更好地理解和掌握高数的基本概念和方法。

(最新)张宇高数18讲数学二知识点总结笔记

张宇高数18讲数学二知识点总结笔记●1.函数极限与连续1)函数极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性●等式脱帽法2)函数极限的计算●化简先行●等价无穷小替换●恒等变形●及时提出极限存在且不为0的因式●洛必达法则●泰勒公式●熟记常用公式●展开原则●无穷小比阶●函数极限的存在性●具体性●若洛必达失效，用夹逼准则●抽象性●单调有界准则●连续与间断●研究位置●无定义点、分段函数的分段点●连续●内点处、端点处●间断●2.数列极限1)数列极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、有界性、保号性●收敛的充要条件2)数列极限的存在性与计算●海涅定理的使用●直接计算法●定义法（先斩后奏法）●单调有界准则●用已知不等式●题设给出条件来推证●夹逼准则●用基本放缩法●题设给出条件来推证●综合题总结●用导数、积分、中值定理综合●用方程列、区间列综合●用极限综合●3.一元微分的概念1)导数定义（导数在一点的问题）●分段函数（或含绝对值函数）在分段点●抽象函数在一点●特指点x_0●泛指点x●四则运算中的特殊点●太复杂的函数●f=f_1+f_2●f=f_1* f_2* f_3* ...*●求导公式无定义的点2)微分定义●4.一元微分的计算1)复合函数求导2)隐函数求导3)反函数求导4)分段函数求导（含绝对值）●在分段点用导数定义●在非分段点用导数公式●对数求导法●幂指函数求导法●参数方程确定的函数求导●高阶导数●归纳法（记公式）●莱布尼茨公式●展开式（记公式）5)难点●计算量大●含参数的讨论●高阶导数●5.一元微分的几何应用1)研究对象●“祖孙三代”●f(x)●具体●抽象●f_n(x) 函数族●f_1·f_2·...·f_n● f'(x) ； \frac{\mathrm{d}[f(x)]}{\mathrm{d}{(x^2)}} ; {f}^{(n)}(x)●\int_{a}^{x}f(x)dx●分段函数（含绝对值）●参数方程●x=x(t), y=y(t)●x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta●隐函数F(x,y)=02)研究内容●切线、法线、截距●极值、单调性●单调性的判别●一阶可导点是极值点的必要条件●判别极值的第1,2,3充分条件●拐点、凹凸性●凹凸性的定义●拐点定义●凹凸性与拐点的判别●判别凹凸性的充分必要条件●二阶可导点是拐点的必要条件●判别拐点的第1,2,3充分条件●6.中值定理、微分等式与微分不等式1)中值定理●确定区间●确定辅助函数●确定使用的定理●零点定理●介值定理●费马定理●罗尔定理●拉格朗日中值定理●泰勒公式●柯西中值定理2)微分等式问题●理论依据●考法3)微分不等式问题●用单调性●用最值●用凹凸性●用拉格朗日中值定理●用柯西中值定理●用带有拉格朗日余项的泰勒公式●7.一元微分物理应用1)物理应用●以“A对B的变化率”为核心写\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}●8.一元积分的概念与性质1)祖孙三代●\int_{a}^{x}f(x)dx ，f(x)，{ f^{'}(x) } 的奇偶性，周期性2)积分比大小●用几何意义●看面积大小●用保号性●做差●看正负3)定积分定义●基本形（能凑成\frac{i}{n}）●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●放缩形（凑不成\frac{i}{n}）●夹逼准则●放缩后再凑\frac{i}{n}●变量形●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} =\int_{0}^{x}f(x)dx4)反常积分的判敛●概念●判别●9.一元积分的计算1)基本积分公式2)不定积分的计算●凑微分法●思想●方法●常用的凑微分公式●程序●换元法●思想●方法●三角函数代换●恒等变形后作三角代换●跟式代换●倒代换●复杂函数的直接带换●思想●方法●u,v的选取原则●推广公式（表格法）●有理函数的积分●定义●思想●方法3)定积分的计算●区间再现公式●华里士公式●其他常用含三角函数的积分等式●区间简化公式●对称性下的积分问题●定积分分部积分法中的“升阶”降阶“”公式●分段函数的定积分●10.一元积分几何应用1)研究对象●f(x)●f_n(x)●参数方程●x=x(t)●y=y(t)●\frac{\partial f}{\partial x}●\int_{a}^{x}f(x)dx●微分方程的解函数f(x)2)研究内容●面积、旋转体体积、平均值●平面曲线的弧长、旋转曲面的面积（侧面积）●“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式●平行截面面积为已知的立体体积●11.积分等式与积分不等式1)积分等式●通过证明某特殊积分等式求某特殊积分●积分形式的中值定理2)积分不等式●用函数的单调性●处理被积函数●已知f(x) \leq g(x)，用积分保号性证得\int_{a}^{b}f(x)dx \leq\int_{a}^{b}g(x)dx，a<b●用拉格朗日中值定理●用泰勒公式●用放缩法●用分部积分法●用换元法●用夹逼准则求解一类积分的极限问题●曲边梯形面积的连续化与离散化问题●12.一元积分的物理应用1)位移大小与总路程●位移大小●\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt●总路程●\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt2)变力沿直线做功●W=\int_{a}^{b}F(x)dx3)提取物体做功●W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x)dx4)静水压力●P=\rho g\int_{a}^{b}x[f(x)-h(x)]dx5)细杆质心●\bar x=\frac{\int_{a}^{b}x\rho (x)dx}{\int_{a}^{b}\rho (x)dx}6)其他重要应用（微元法总结）●13.多元函数微分学1)概念●极限、连续、偏导数、可微2)复合函数求导法●链式求导规则●全导数●全微分形式不变3)隐函数求导●隐函数存在定理●一个方程的情形●方程组的情形4)多元函数的极值、最值●无条件极值●取极值的必要条件●取极值的充分条件●条件极值与拉氏乘数法5)偏微分方程●已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)●给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)●给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题●14.二重积分1)概念●和式极限●普通对称性●轮换对称性●二重积分比大小●用对称性●用保号性●二重积分中值定理●周期性2)计算●直角坐标系与换序●极坐标系与换序●直极互化3)应用●面积●\iint_{D}dxdy●15.微分方程1)一阶微分方程的求解●能写成 y'=f(x)·g(x)●能写成 y'=f(ax+by+c)●能写成 y'=f(\frac{y}{x})●能写成 \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})●能写成 y'+p(x)y=q(x)2)二阶可降阶微分方程的求解●能写成 y''=f(x,y')●能写成 y''=f(y,y')3)高阶常系数线性微分方程的求解●能写成 y''+py'+qy=f(x)●能写成 y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)4)用换元法求解微分方程●用求导公式逆用来换元●用自变量来换元●用因变量来换元●用x,y地位互换来换元5)应用题●用极限、导数定义或积分等式建方程●用几何应用建方程●用曲线切线斜率●用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率●用截距●用面积●用体积●用平均值●用弧长●用侧面积●用曲率●用形心。

张宇高数18讲pdf

张宇高数18讲pdf
内容不同：基础班内容比较基础和简单，不涉及综合性大题，主要是讲解概念的理解
和培养计算能力。

18讲是综合性的复习全书，包括考研大纲涵盖的所有知识，包括基础内容，也有综合性大题；受众不同：基础比较好的同学可以直接跳过基础班视频直接看强化
班和18讲视频，基础不好的同学就从基础班开始学习。

考研数学复习注意事项：
在考研的所有科目中，数学必须就是可以打响分数的科目了。

每年成绩出，数学吻合
满分的同学很多，未及格线的同学也就是一揪一大把。

很多同学花掉了功夫却仍真的没把握，其实就是没对数学学科构成整体的框架，引致科学知识纷乱。

考研数学考试综合性强、知识覆盖面广、难度大，及早复习为佳。

与英语相比，考研
数学只要方法得当，提高分数相对要快一些。

为了大家能科学的合理的展开考研数学复习，取得理想分数。

规划建议:数学首轮备考的指导原则就是：著重大纲和基础，强化练和应用领域。

张宇高数隐函数求偏导

张宇高数隐函数求偏导高等数学中的隐函数是指，用两个自变量的方程表示一个变量的函数，其中一变量通常是自变量，另一变量是相应的因变量，但其表达式不显含因变量，换言之，就是将一个复杂的函数表示成与变量相等的形式。

例如，如下方程：$x^2+y^2=1$这个方程并不以 $y$ 作为函数的形式陈述，但是，如果我们将这个方程看作 $y$ 的函数，那么就成了：$$y=\pm\sqrt{1-x^2}$$这个函数在 $x=0$ 处不可导。

为了理解这个问题，我们需要考虑如何求得隐函数的导数和偏导数。

对于一个二元隐函数 $y=f(x,z)$，如果 $y$ 可以从给定方程 $F(x,y,z)=0$ 中解出，即：$$y=\varphi(x,z)$$那么，我们就可以考虑隐函数的偏导数了。

具体地，偏导数表示在 $(x_0,z_0)$ 点关于 $x$ 的一阶偏导数，定义如下：$$\frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x=x_0,z=z_0}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}\bigg|_{x=x_0,y=\varphi(x_0,z_0),z=z_0}}{\frac{\partialF}{\partial y}\bigg|_{x=x_0,y=\varphi(x_0,z_0),z=z_0}},\quad \frac{\partialy}{\partial z}\bigg|_{x=x_0,z=z_0}=-\frac{\frac{\partial F}{\partialz}\bigg|_{x=x_0,y=\varphi(x_0,z_0),z=z_0}}{\frac{\partial F}{\partialy}\bigg|_{x=x_0,y=\varphi(x_0,z_0),z=z_0}}$$这个定义里面，分母是不等于 $0$ 的，因为根据连续性，$y$ 在 $(x_0,z_0)$ 点是一个函数。

张宇高数讲义

ex lim e x→+∞ x
− e−x + e−x
=
lim
x→+∞
ex ex
+ −
e−x e−x
= lim e x e x→+∞ x
− e−x + e−x
，
◇2011 张宇考研数学内部讲义◇
◇张宇编讲◇
洛必达法则失效，处理的方法是恒等变形——分子分母同乘 e−x ，得到
lim e x e x→+∞ x
F+ ( x) =
lim
x→0+
⎛ ⎜⎝
sin
x
+
π 4
x−
4 3
⎞ ⎟⎠
−
⎛ ⎜⎝
1 3
x3
x
+x−
4⎞ 3 ⎟⎠ 不存在，即不可导 ⇒
F′(x) ≠
f
(x)
请注意，我们还有更好的方法解决这个问题吗？
【例
2】
f
(
x
)
=
⎧⎪2 ⎨
x
cos
1 x2
+ 2 sin x
1 x2
,
x≠0 ,
⎪⎩0,
x=0
F
x2
+
1,
⎨
⎪⎩cos x +
π 4
,
x≤0 ,
x>0
F ( x) = x f (t ) dt ，则： −1
( A) F ( x)为f ( x)的一个原函数 (C ) F ( x)在(-∞，+∞)上不连续
( B) F ( x)在(-∞，+∞)上可微，但不是f ( x)的原函数 ( D) F ( x)在(-∞，+∞)上连续，但不是f ( x)的原函数

张宇高数笔记

张宇高数笔记(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章节极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。

②它的极限存在且唯一。

③它是有界的。

（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡） ④它有保号性。

数列极限存在的解题手段： ①夹逼法。

②定积分定义法。

③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。

（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x x −x |<k |x x −1−x |，其中0<k <1④对于未给出递推式的数列求极限：根据题设条件得出x x +1和x x 的递推关系，然后用③的方法。

⑤充分运用题目中给出的函数关系式：（1）x x +1=x (x x )，x (ξ)=x ；则x x +1−x x =x (x x )−x (x x −1)，|x x +1−x |=|x (x x )−x (x )|（2）任何|x ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|x (x 1)−x (x 2)|≤x |x 1−x 2|（3）若知x (x )的单调性，可把x x +1和x x 的大小判断转化为对x (x x +1)和x (x x )的判断。

（4）若给出x x +1=x (x x )，x ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:|x x +1−x 0|=|x (x x )−x (x 0)|=|x′(x )(x x −x 0)|≤A |(x x −x 0)|压缩映象⑥对于累加型数列x x =∑x (x ,x )x x =1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。

函数极限存在（设为A ），则：①左右极限都为A 。

（证明题证极限存在的思路） ②唯一性、有界性、保号性。

③∀ε>0,∃δ>0,当0<|x −x 0|<δ时，有|f (x )−A |<ε此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。

(张宇)线性代数冲刺讲义(张宇)

式;(2) a11 0 .计算行列式 A . 解由 aij Aij A A AA AA A E A A A 0 或 A 1 .又
T * T *
2 2 2 A a11 A11 a12 A12 a13 A13 a11 a12 a13 0 A 1.

)
你会继续证明下去吗？
【例 1】设 A 是 m n 矩阵, B 是 n m 矩阵,则线性方程组 ( AB) x 0 ( (A)当 n m 时仅有零解. (C)当 m n 时仅有零解. 解 (B)当 n m 时必有非零解. (D)当 m n 时必有非零解.
r ( AB) min{r ( A), r ( B)} n ,又 AB 为 m 阶方阵.选(D).
因此有
*
AG | A || B | En * * ,所以应有 G | B | A , H | A | B BH | A || B | E n | B | A* 0 ，选择（D）. | A | B* 0 A1 C 1 O
* 1
于是 C
（A）
| A | A*
0
G 0 A 0 * | C | , G 、 H 是 n 阶方阵 | A || B | ，设 C 0 H 0 B 0 A 0 G 0 AG CC * 0 B 0 H 0 BH 0 | A || B | En | A || B | E2 n 0 | A | B | En
ab b a a 2 b 2 ab b 2 a2 a ， c2 c1 a b ba 2 2 a b
n n
ab a 2 b 2 ab b a b ba 2 2 a b

张宇讲的微分算子法

张宇讲的微分算子法一、引言微分算子法（Operator method）是高等数学中的一种常用求解微分方程的方法。

它由中国著名数学家张宇在其讲授的高等数学课程中提出并详细讲解。

本文将对张宇讲的微分算子法进行全面详细、完整且深入的介绍和解析。

二、微分算子法概述微分算子法是一种将微分方程转化为代数方程求解的方法。

通过引入一个特殊的算子，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。

三、微分算子在微分算子法中，我们首先需要引入一个特殊的算子——微分算子（Differential Operator）。

对于一个函数f(x)，其对应的微分算子为D，表示为D[f(x)]。

常见的微分算子包括一阶导数算子D、二阶导数算子D²等。

对于一阶导数算子D，其定义为：D[f(x)] = f'(x)其中f’(x)表示f(x)对x的一阶导数。

四、微分方程与代数方程转换通过引入微分算子，我们可以将一个n阶线性常系数齐次微分方程转化为一个n次代数方程。

具体的转换方法如下：1.将微分方程中的函数用微分算子表示，例如对于f(x)，用D表示。

2.将微分方程中的导数用微分算子表示，例如对于f’(x)，用D[f(x)]表示。

3.将微分方程中的常数项移至等号右侧。

4.应用微分算子的性质和运算规则，将微分方程转化为代数方程。

5.求解代数方程，得到原微分方程的解。

五、示例下面通过一个具体的例子来演示如何使用微分算子法求解微分方程。

例题：求解二阶线性常系数齐次微分方程：y'' - 3y' + 2y = 0解答：1.首先引入微分算子D，将函数y(x)表示为D[y]。

2.将导数用微分算子表示，将常数项移至等号右侧，得到：(D² - 3D + 2)y = 03.将方程中的D²、D和常数项2应用到函数y上，得到：(D² - 3D + 2)[y] = 04.根据代数方程的性质和运算规则，我们可以将上述代数方程拆分为两个代数方程：(D - 1)(D - 2)[y] = 05.求解上述代数方程，得到两个根：D = 1和D = 2。

张宇高数18讲形心计算公式

张宇高数18讲形心计算公式1、一次函数的根： y=ax+b, x= -b/a2、二次函数的根：y=ax²+bx+c, x= [-b±√(b²-4ac)]/(2a)3、平面上两点之间的距离：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)4、椭圆的标准方程：x²/a²+y²/b²=15、双曲线的离心率：e=√(1-(b²/a²))6、标准方程法求一元二次不等式的解：若ax²+bx+c>0 则x<-b-√(b²-4ac)/(2a)或x>-b+√(b²-4ac)/(2a)；若ax²+bx+c<0则-b-√(b²-4ac)/(2a)<x<-b+√(b²-4ac)/(2a)7、抛物线的焦点：F=(-b/2a, c-b²/4a)8、双曲线的标准方程：x²/a²-y²/b²=19、椭圆的离心率：e=√(1-b²/a²)10、一元二次不等式的解：若ax²+bx+c>0 则x<-b-√(b²-4ac)/(2a)或x>-b+√(b²-4ac)/(2a)；若ax²+bx+c<0 则-b-√(b²-4ac)/(2a)<x<-b+√(b²-4ac)/(2a)11、双曲线的标准焦点： F=(a*e, 0),F'=(-a*e, 0)12、椭圆的标准焦点：F=(c, 0), F'=(-c, 0)13、一元二次不等式的解：x>-b/2a, x<c/a14、抛物线的根：x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a), x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)15、双曲线的联立方程：ax²+by²+cxy+dx+ey+f=016、双曲线的一般方程：ax²+by²+2hxy+2gx+2fy+c=017、椭圆的一般方程：ax²+by²+2hxy+2gx+2fy+c=018、双曲线的焦距：2a*e。

2012海天考研张宇强化班高等数学下(18讲的部分)

2012年张宇考研数学高等数学（下）强化班内部讲义先修课程（高等数学复习导学班）视频地址：新浪微博——宇哥考研：/zhangyumaths 【本讲义参考文献】《考研数学高等数学18讲》，张宇编著. 中国书籍出版社《考研数学题源探析经典1000题》，张宇编著. 北京理工大学出版社第9讲多元函数微分学从本讲开始进入多元函数的体系，本讲内容是考研绝对的重点，一般会在每年的考试中出至少一个小题（4分）和一个大题（10分左右），有时结合其他知识出综合题.本讲我们只讲多元函数微分学的公共考点，有三个，分别为：1）五个基本概念；2）多元函数微分法；3）多元函数的极值与最值问题。

第一节多元微分学的五个基本概念1、极限存在性定义设二元函数f (x , y )定义在区域D 上,点P 0(x 0, y 0)在D 内或者在D 的边界上，如果存在常数A , 对于任给的正数ε，总存在正数δ, 只要点(,)P x y D ∈满足00<PP δ=<，恒有| f (x ,y )−A |<ε 成立, 则称A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为0lim (,)x x y y f x y A →→=.这极限也称为二重极限.这里有两点说明.第一，二元函数的极限怎么计算？在考研中这个要求不高.举个例子.【例1】设222222,0(,)0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠00lim (,)x y ⎪+=⎨⎪+=⎩，求f x y →→．【解】因为220|(,)|0xyf x y x y ≤+，由夹逼准则，． 0lim (,)0x y f x y →→=第二，所谓二元函数的极限（二重极限）存在，是指以任何方式趋于时，相应的极限值都为同一个常数),(y x P ),(00y x P A （你是否还记得，在一元函数的极限计算中我们就反复强调：“极限若存在，必唯一”）．故，如果以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，则可以判定该函数在点的极限值不存在．在考研中这个要求也不高.再举个例子. ),(y x P ),(00y x P ),0y (0x 【例2】设22),(y x xyy x f +=，试证极限不存在． ),(lim 0y x f y x →→【证】这个证明过程比较经典,请记住.当沿着直线),(y x P kx y =趋于点时，有)0,0(=+→=→2200lim y x xy kx y x 2222201lim k kx k x kx x +=+→，结果随的变化而变化，故二重极限不存在． k )y x ,(lim 00y x f →→2. 连续性如果000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称f (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.注意，验证二元函数f (x , y )在某一点(x 0, y 0)是否连续是考研的重点，但是如果不连续，对于多元函数是不讨论间断点的分类的.3. 偏导数存在性（重要！重要！）定义设函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内有定义, 若极限xy x f y x x f x Δ−Δ+→Δ),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00x x x y y z ==′, 或00(,)x f x y ′. 于是，00000000000(,)(,)(,)(,'(,)limlim x x x x 0)f x x y f x y f x y f x y f x y x x Δ→→+Δ−−==Δ−x 00000000000(,)(,)(,)(,)'(,)limlim y y y y f x y y f x y f x y f x y f x y y y Δ→→+Δ−−==Δ−y 高阶偏导数如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数(,)x f x y ′、(,)y f x y ′仍具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有如下四个二阶偏导数：22((,)xx z zf x y x x x ∂∂∂′′==∂∂∂, 2((,xy z z )f x y y x x y ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 2()(,)yx z z f x y x y y x ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 22()(,)yyz zf x y y y y∂∂∂′′==∂∂∂. 其中(,)xyf x y ′′、(,)yx f x y ′′称为二阶混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.4. 可微定义如果函数z = f (x , y )在点(x , y )的全增量Δz = f (x +Δx , y +Δy )−f (x , y ) 可表示为() (z A x B y o ρρΔ=Δ+Δ+=,其中A 、B 不依赖于Δx 、Δy 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微, 而称A Δx +B Δy 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A Δx +B Δy .在第三讲中，我们已经详细阐述了一元函数可微的深刻涵义，二元函数的可微概念也是如此（请注意对比，加深理解）.（1）写出全增量；000(,)(,z f x x y y f x y =++− 0)（2）写出线性增量A x B y + ，其中0000'(,),'(,)x y A f x y B f x y ==；（3）作极限limx y Δ→Δ→若该极限等于0，则(,)z f x y =在00(,)x y 点可微，否则，就不可微.用形式简单的“线性增量A x B y + ”去代替形式复杂的“全增量z ”，且其误差“()z A x B y −+ ”是o，这就是说，用简单的代替了复杂的，且产生的误差可以忽略不计，这就是可微的真正涵义。

高三张宇数学突破讲义

=1 ( a>0，b>0)
的右焦点为
F，过
F
且斜
率为 3 的直线交 C 于 A，B 两点，若AF =4 FB , 则 C 的离心率为 .
例2
（2010
辽宁卷
20）设椭圆
C:
x2 a2
+
y2 b2
=1 ( a>0，b>0)
的左焦点为
F，过点
F
的直线与
椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°, AF =2 FB
C. 136π
D. 2 3 π
例 15 某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何体的外接球的表面积为 .
第一节公式口算外接球 05
第二节
平面向量必杀技
例题精讲例 1 (2012 浙江 ) 在△ ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3,BC=10，则AB ·AC .
例5
（2019 全国Ⅰ理 10 文 12）已知椭圆 C 的焦点为 F1(-1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直线与 C
交于 A,B 两点．若 |AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则 C 的方程为
（）
A.
x2 2
+ y2=1
B.
x2 3
+
y2 2
=1
C.
x2 4
+
y2 3
=1
D.
x2 5
七
步
学
随堂测主讲老师授课中布置随堂测，巩固新知识，破解新题型，掌握新方法
课程总结主讲老师进行知识点梳理，拆解知识结构，构建全新体系思维
课后测主讲老师进行课后检测，复习和巩固同学们的当堂课内容

张宇高数30讲笔记

张宇高数30讲笔记摘要：一、引言1.笔记来源及重要性2.适用对象二、张宇高数30讲内容概述1.高等数学基本概念与方法2.微积分及其应用3.线性代数与概率论初步4.数学分析与数学建模三、张宇高数30讲亮点1.实例丰富，贴近实际2.逻辑清晰，易于理解3.难点解析，深入浅出4.同步练习，巩固提高四、如何高效学习张宇高数30讲1.课前预习，明确重点2.课后复习，巩固知识3.动手练习，提高解题能力4.交流讨论，拓展思维五、学习建议与资源推荐1.学习计划与目标设定2.辅助教材与网络资源3.学习小组与导师指导六、结语1.张宇高数30讲的价值2.学习高等数学的必要性3.鼓励与期望正文：一、引言众所周知，张宇高数30讲是一套非常受欢迎的高等数学课程教材。

它以丰富的实例、清晰的逻辑和深入浅出的解析，为广大学子提供了便捷的学习途径。

本文将从以下几个方面对张宇高数30讲进行简要介绍，以期帮助大家更好地学习和掌握高等数学知识。

二、张宇高数30讲内容概述张宇高数30讲涵盖了高等数学的基本概念、方法，以及微积分、线性代数、概率论等领域的初步知识。

通过学习这套课程，学生可以全面了解高等数学的体系，为后续的深入学习打下坚实基础。

三、张宇高数30讲亮点1.实例丰富，贴近实际：张宇高数30讲运用了大量生动的实例，使抽象的数学知识变得具体形象，更容易被学生理解和接受。

2.逻辑清晰，易于理解：教材在编排上注重逻辑性，由浅入深地展开各个知识点，便于学生跟进学习进度。

3.难点解析，深入浅出：对于较难理解的知识点，张宇高数30讲提供了详细的解析，帮助学生攻克学习难题。

4.同步练习，巩固提高：教材附有同步练习题，有利于学生巩固所学知识，并提高解题能力。

四、如何高效学习张宇高数30讲1.课前预习，明确重点：在学习每一讲之前，先进行预习，了解本讲的主要内容，以便上课时能更好地关注重点。

2.课后复习，巩固知识：每讲课后，认真复习所学内容，加深对知识点的理解，并整理笔记。

2013张宇讲座讲义

2013年张宇考研数学内部讲义————科学备战决胜考研【编者按】全国著名考研辅导专家张宇老师简介【1】张宇博士是全国著名考研数学辅导专家，高数辅导第一人，考研数学“题源教学法”创始人，在北京、上海、长沙、南京、广州、济南、青岛、烟台、杭州等全国最大规模的考研辅导班授课。

他是教育部高等教育出版社、北京理工大学出版社、西安交通大学出版社等考研数学系列用书主编。

他编著的《考研数学高等数学18讲》等书在全国畅销，在上海创造3个小时销售800册以上的佳绩。

【2】张宇老师根据多年考研辅导的经验，总结出一套全国绝无仅有的独特数学教学方法，让学生能够轻松地认识数学、爱上数学、攻克数学。

其教学过程科学严谨、大气磅礴、高屋建瓴，却又贴近考生、风趣幽默、深入浅出。

让学生学到真正的数学概念、思想与方法，从而全面决胜考研数学。

“听张宇老师讲课，是一种真正的享受，回味无穷。

”—这是众多考生的心声。

【3】张宇老师全程答疑地址—新浪微博：/zhangyumaths【4】张宇老师郑重声明：在长沙市为启航考研独家授课。

◇张宇2013年考研数学辅导系列丛书◇《考研数学高等数学18讲》，张宇编著. 北京理工大学出版社《考研数学线性代数10讲》，张宇，姜晓千编著. 北京理工大学出版社《考研数学概率统计8讲》，张宇，张伟编著. 北京理工大学出版社《考研数学新复习全书》，张宇总主编.清华大学出版社《考研数学大纲解析》，教育部考试中心，张宇（高数部分）高等教育出版社《考研数学命题规律探析与解题思路点拨》，张宇编著. 高等教育出版社《考研数学考试大纲配套试题解析》，张宇编著.高等教育出版社《考研数学题源探析经典1000题》，张宇主编. 北京理工大学出版社《考研数学历年真题分析与演练》，张宇主编. 北京理工大学出版社《考研数学最后冲刺28招》，张宇编著. 北京理工大学出版社《高等数学（同济六版）习题解析与考研指导》张宇总主编北京邮电大学出版社第一讲告诉你一个真正的考研数学当2011年1月16日8点30分开考铃声响起的时候，二零一零年考研数学的试卷终于露出她的庐山真面. 下面，请你认真跟着我看看试卷的第一题，我坚信，你能够从这个问题的详细分析中了解一个真正的考研数学. 我们开始.（一）从一个最新考题说起【2011年考研真题】已知当时，0x →()3sin sin 3f x x x =−与是等价无穷小，则（）k cx （A ）（B ）（C ）1,4k c ==1,4k c ==−3,4k c == （D ）3,4k c ==− 不管你是否已经忘记了函数极限计算的方法，请先浏览一下此题的解答，该题如果用洛必达法则求解如下：由题意，有细数一下，我们用了三次洛必达法则才得出了答案，这就是最新的一个考研数学题. 做完这个题，是不是就可以说我们了解了考研数学呢？远远不够. 且再看一题：【2009年考研真题】已知当时，0x →()sin f x x ax =−与是等价无穷小，则（）2()ln(1)g x x bx =−（A ）11,6a b ==− （B ）11,6a b == （C ）11,6a b =−=− （D ）11,6a b =−= 请你对比看，这两个题目何其相似！我们能不能从这两个几乎一样的题目中去寻找考研数学背后那“不以人的意志为转移的规律”呢？请注意下面的分析思路.以上的分析至少给了我们两个重要启发：（1）考研数学题是有规律可循的，且这种规律“不以人的意志为转移”，抓住这种规律，你就抓住了复习的方向；（2）考研数学题有“基础性”的解法（比如上面的洛必达法则）；也有“技术性”的解法（比如上面的泰勒公式），在把握“基础性”解法的条件下，掌握“技术性”解法，才能够技压群雄，稳操胜券.（二）考研数学复习的三种境界接着上一节的分析，我们以“用洛必达法则求函数的极限”为例，把大家在考研复习过程中对一个知识掌握的程度分成三种境界.第一种境界，叫“朦胧地感知”，感知（feeling ）往往是指当你复习到一个概念、公式或者结论时，只是形式上知道或者了解它而已. 比如，你了解到的洛必达法则是——在某种，也就是可以通过分子分母同时求导去解决，仅此而已. 举个例子， 00cos sin lim lim 11x x x x e x e x x →→−+=洛这就解决问题了.第二种境界，叫“清晰地再现”，再现（reappearance ）的前提是忠实于事实本身,不可以有任何的偏差和走样. 我们至少要达到这种境界，才有可能顺利通过考试. 继续研究洛必达法则，看个例子，如何计算201sinlim x x x x →⋅？如果我们只知道通过分子分母同时求导去解决，则20011sin2sin cos lim lim 1x x x x 1x x x x→→⋅⋅−= 右边这个极限是不存在的，所以得出结论201sin lim x x x x →⋅不存在. 这显然是错误的，因为事实上，根据“无穷小与有界量的积是无穷小”，则01sin lim 1sinlim 020=⋅=⋅→→xx x x x x x 是存在的.我们看到，如果使用洛必达法则，算出来是不存在；而事实上人家是存在的，怎么会出现矛盾呢？果)()(lim x F x f a x ′′→不存在也不为，是不能推出∞)()(lim x F x f a x →不存在也不为∞的，简单一点说就是：对于))((lim )()(x F x f x F x f a x a x ′′=→→lim，“右存在，则左存在；但左存在，并不意味着右一定存在”. 这是一个很细致，很隐蔽的问题，稍不注意就可能出错.看懂了这一段话，我们引入一个更为重要的问题，请回看本讲最开始2011年考研真题的解法：由03sin sin 3lim 1k x x x cx →−=，则原式13003cos 3cos324lim lim 1(1)(2)k k x x x x ckx ck k k x −−→→−=−−洛洛洛这里“=1”是没有依据的，你看出来了吗？于是，我们可以明确指出，虽然答案是对的，但是这个解法是错误的，如果是解答题，是会被严重扣分的.第三种境界，叫“灵活地融通”，融通（communicating and grasping thoroughly ），就是能够将各个方面的知识融会贯通，做好知识的串联和总结，形成一种强大的解题能力.这才是考研复习的最高境界.根据上面的分析，我们看出，洛必达法则并不一定是求解函数极限最好的办法，尤其对于含有未知参数或者抽象函数这样的研究对象（因为你不知道求导之后极限是否会存在）. 事实上，我们在复习完函数极限计算后，应该形成一个好的思路：对于 “A B ±”型的函数极限计算，首选的方法是——泰勒公式！根据前面的分析，当时，0x →()331sin 6x x x o x =−+，()()331336sin 3x x o x x =−+，于是，()()()()()333313sin sin 333461336x o x x x o x x x x x o x ⎡⎤⎡⎤+−−+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−=−33 则 0303sin sin 3lim lim 14kx x x x cx c x x →→−=k =，立即可得3,4k c ==. 对比洛必达法则看来，这是一个多么清爽的过程，多么给力的方法！请大家一定要比照自己，“对号入座”，在今后的复习中，时刻想到我们在这里归纳的三种境界，从而检验自己对问题的把握程度.（三）考研数学复习的方法根据考研数学的命题规律和同学们自身的特点，我们给出几个基本的复习方法：一、根据考试大纲要求，全面复习基础知识，达到“清晰地再现”；本书从第二讲开始的每一讲都在开篇给出了教育部考试中心《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》的考试内容和要求，请同学们准确把握这个大纲，通读本书的知识讲解，仔细耐心地全面复习，一定要做到：忠实于数学事实本身，无偏差，不走样，这是整个复习的基石，来不得半点马虎. 开始起步可能会慢一些，困难多一些，这都没关系，万事开头难，只要保持好心态，持之以恒，就会越走越顺，越来越快.二、通过知识的复习和题目的练习，形成知识结构，达到“灵活地融通”；数学知识的理解，是要通过大量经典题目的练习来实现的. 所以，在读完知识后，要做一些好的精彩的题目，本书的典型例题分析和精制习题训练就起到了这个作用，都是精心编写、挑选的，能够帮助大家好好理解消化知识. 更重要地是通过这些题目的操练，我们要多思考，多总结，形成优秀的知识结构.本书在讲解过程中给出了高等数学中几乎所有的知识结构，但还是希望大家自己做有心人，努力地去理解，把握，修正，甚至改变我们给大家提供的已有的知识结构.三、紧紧抓住真题，多做知识的串联真题是教育部考试中心一届又一届命题组的老师们集体智慧的结晶，题目既精彩，又经典，有规律可循，举例如下：① 1996年考了一个大题：设变换可把方程⎩⎨⎧+=−=,,2ay x v y x u 0622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂vu z ，求常数a ； ② 在时隔14年的2010年，又考了一个大题：设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式222224125u u u x x y y∂∂∂++∂∂∂∂0=，确定的值，使等式在变换,a b ,x ay x by ζη=+=+下简化为20u ζη∂=∂∂. 你看到了吗？这不是同一个问题么？这种例子不一而足.四、紧紧抓住大纲，但绝不拘泥于大纲考试大纲是官方文件，是法定文件，命题必须在考试大纲要求的范围内. 但是，这并不意味着我们的复习过程中“不可越雷池一步”，我们始终认为，要想战胜考研，你的知识集合必须包含考研的知识集合（当然这个复习范围的尺度要我们把握好），如果你和考研的知识集合是相等的，势均力敌，是很难战胜考研的. 举个例子给大家看.在数学上有个著名的不等式，叫做Young 不等式（杨氏不等式），即设110,0,0,0,1x y p q p q >>>>+=，则p qx y xy p q≤+. 在考研题中，就出过这样一个大题：设q p ,是大于1的常数，且111=+q p ，证明0>∀x ，都有.11x qx p p ≥+ 本题就是杨氏不等式的一个特殊情况，即1y =且q p ,均大于1，所以本题可以根据杨氏不等式的证明方法，并令即可证得. 此种例子也有很多.1y =本书在该方面作了很好地处理，紧扣大纲，掌握好范围和难易的尺度，把问题的内涵和外延彻底讲清楚，一切目的都是为了让同学们学懂学透，从而驾驭考试.五、紧紧抓住近几年高等数学考试的特点这几年，高等数学考试出现了一些值得注意的特点：（1）高等数学试题的难度明显高于线性代数和概率论与数理统计试题的难度；（2）高等数学坚持重点内容重点考，侧重于一元微积分的考查；（3）命题组命制的数学一、二、三三套试卷，共用题的比例逐年提高，且经典问题在不同的年份可能出现在不同的试卷上，比如几年前数学一的考题，稍加改造就成为了今年数学三的考题；把握以上特点，大家要高度重视高等数学的复习，给出足够的复习时间，且加强对于一元微积分复习的力度.（四）考研数学的卷种和试卷结构（一）数学一、三考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学 56％（82分）线性代数 22%（34分）概率论与数理统计22％（34分）四、试卷题型结构试卷题型结构为：单选题8小题，每题4分，共32分填空题6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分（二）数学二考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学 78％（116分）线性代数 22% （34分）四、试卷题型结构试卷题型结构为：单选题8小题，每题4分，共32分填空题6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分【注】考非数学专业学校自主命题的考研数学的高数（甲）、（乙），或者高数（A）、（B）等的同学，你们的考试大纲与教育部考试中心的全国统考考研数学高度一致，你可针对自己的具体问题发你所报考学校的数学考试大纲或者历年真题给我，我给你参考一下（邮箱：zhangyukyfd@）。

张宇2013考研数学辅导讲义高等数学第1,2章习题详解(理工类)

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张宇总结高数积分知识

1 1 2 ( 2 1)dt 8 t t 1 1 ( 2 ln t t ) C 8 t 1 x 1 x 1 x 1 ( 2 ln )C 8 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ln C 2 2(1 x ) 4 x 1 1 3 5 x 1 x 故原式= x 2 x ln +C. 2 3 4 x 1 2(1 x )
6
1 对于不定积分 2 dx作一次变换， 2 ( x 1) x 1 2t 2 2 令t , 则x 1 , x 1 , dx dt 2 x 1 1 t 1 t (1 t ) 1 1 dx dx 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 1 t 2 1 t 2 2 ( ) ( ) dt 2 2t 2 (1 t ) 1 1 t 2 ( ) dt 8 t
( x y) ( x y ) ln xy dxdy 1 x y D
2
( x y ) ln( x y ) ( x y ) ln x 2 dxdy 2 dxdy 1 x y 1 x y D D 于是I = dx
0 令x y u 视x为常数 1 1 x 0 1 1 x ( x y ) ln( x y ) x y dy ln xdx 0 0 1 x y 1 x y 1 1 1 1 u ln u u du ln xdx du 0 x 1 u 1 u
2 0

1
0
r dr. 1 r
2
于是分别只需计算

2 0
ln(1 tan ) sin 2 d 和
2
1
0
r dr即可. 1 r

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