作业7【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

题组层级快练(七)

1．(2020·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝lnx 2 C ．y ＝

D ．y ＝－x 2

cosx

x 答案　D

解析　由函数的奇偶性排除A 、C ，由函数的单调性排除B ，由y ＝－x 2的图象可知当x>0时，此函数为减函数，又该函数为偶函数．故选D.

2．(2020·唐山市高三测试)设函数f(x)＝x(e x ＋e －x )，则f(x)( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 答案　A

解析　方法一：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e －x ＋e x )＝－x(e x ＋e －x )＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f ′(x)＝e x ＋e －x ＋x(e x －e －x )，当x>0时，e x >e －x ，所以x(e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A.

方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B 、D.易知f(1)

解析　把f(x)＝x 3＋sinx ＋1变形为f(x)－1＝x 3＋sinx.令g(x)＝f(x)－1＝x 3＋sinx ，则g(x)为奇函数，有g(－m)＝－g(m)，所以f(－m)－1＝－[f(m)－1]，得到f(－m)＝－(2－1)＋1＝0. 4．(2020·南昌市联考)函数f(x)＝的图象( )

9x ＋1

3x A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于坐标原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 答案　B

解析　因为f(x)＝＝3x ＋3－x ，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y 轴对称．

9x ＋1

3x 5．(2020·皖南八校联考)设f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x 2－x ，则f ＝( )

(－5

2

)

A ．－

B ．－

1412C. D. 1412

答案　C

解析　因为f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ＝－f ＝－f .又当0≤x ≤1

(－52)(52)(1

2

)

时，f(x)＝x 2－x ，所以f

＝－＝－，则f ＝. (12)(12)

2 1214(－52)

1

4

6．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A ．－x(1－x) B ．x(1－x) C ．－x(1＋x) D ．x(1＋x)

答案　B

解析　当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)． 7．函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1，0]上是减函数，则f(x)在[2，3]上是( ) A ．增函数 B ．减函数

C ．先增后减的函数

D ．先减后增的函数 答案　A

8．(2019·山东临沭一中月考)已知定义在R 上的函数f(x)的满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 019)＝( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．3 答案　B

解析　由题意得f(x)为奇函数，f(0)＝0，用－x 换x ，可将f(x ＋3)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x ＋6)＝f(x ＋3)＝f(x)，∴T ＝6，∴f(2 019)＝f(336×6＋3)＝f(3)． ∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.

9．若定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2 019)，f(2 020)，f(2 021)的大小关系是( ) A ．f(2 019)f(2 020)>f(2 021) C ．f(2 020)>f(2 019)>f(2 021) D ．f(2 020)

解析　因为定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，所以f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝－8，f(2 020)＝f(4×505)＝f(0)＝0，f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)

＝8，即f(2 019)

10．(2020·安徽蚌埠质检)函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，满足f(3＋x)＝f(3－x)，当x ∈(0，3)时，f(x)＝2x ，当x ∈(－6，－3)时，f(x)等于( ) A ．2x ＋6 B ．－2x －6 C ．2x －6 D ．－2x ＋6

答案　D

解析　由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，当x ∈(－6，－3)时，x ＋6∈(0，3)，由f(3＋x)＝f(3－x)，得f(x)＝－f(－x)＝－f[3－(3＋x)]＝－f[3＋(3＋x)]＝－f(6＋x)＝－26＋x . 11．(2020·长春市质量监测)已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案　B

解析　因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x 3－x ＝x(x －1)(x ＋1)， 所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.

由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f(x)＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7.

12．(2020·福州市模拟)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是( ) A ．0

解析　由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，得f(0)＝0.

由f(x ＋2)＝－f(x)，得f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(3)＝f(－1)．

又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)， 即f(1)<0

{

2x －3，x >0，

f （x ），x <0

)

答案　2x ＋3

解析　令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x －3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x ＋3，所以f(x)＝2x ＋3.

14．已知y ＝f(x)＋x 2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．