非线性回归模型的理论和应用

2 f X i , n 1 1 An Bn 2 Yi f X i , n 2 i 1
应用
• Cobb-Douglas生产函数
Q AL K e
• Q产出量、A技术水平、L劳动投入、K资本投入
• 总产量y与总成本x之间的关系
f Zi ( ) ( Xi, )
n [Z ( n)Z ( n)]1 Z ( n)(Y f ( X , n)) 1 m 2 1 S n [ Zi ( n) ] ( n) 2 i 1
Newton-Raphson算法
• 对误差平方和作Taylor展开 • 利用极小值条件 • 得到迭代公式
m 2
m
f ( Xi, 1)( 1)
2 i 1
S ( ) i 1 (Yi f ( X i , )) Yi 1 Zi 1
Yi (1 ) Z (1 ) • 构造出拟线性模型 1 [ Z ( n ) Z ( n )] Z ( n)Y ( n) • 产生迭代序列 n 1
两种算法的比较
2 1 1 1 An [ Z ( n)Z ( n)] Bn [ S ( )] n 2 2
• Gauss-Newton算法 • Newton-Raphson算法
m
S n1 n An ( n)
S n1 n Bn ( n)
y 0 1 x 2 x2 n x n
理论
• 不可线性化的模型 • Gauss-Newton算法 • Newton-Raphson算法
y 0 1 xa 2 xb
Gauss-Newton算法
• 利用Taylor展式近似线性化
f ( Xi, ) f ( Xi, 1)
a bx
应用
• 不可线性化模型举例——居民收入与消费的关系 研究——1978-2011年我国的年度人均收入和消费 y x • 根据经济理论建立模型 0 1 • Gauss-Newton算法、 Newton-Raphson算法
2
• 两种算法结果一致，迭代步数（6）前者远小于后者（25）
S 1 2S S ( ) S (n ) ( n )( n ) 2 ( n )( n ) 2 2 S 2S ( n ) 2 ( n )( n 1 n ) 0
S 2S n1 n ( n ) [ 2 ( n )]1
非线性回归模型的理论和应用
091110011 陈垣桥
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主要内容
• 理论：
• 可线性化模型、不可线性化模型 • Gauss-Newton算法、Newton-Raphson算法
• 应用：
• 可线性化模型——人口模型 • 不可线性化模型——收入、消费模型 • （SAS软件）
理论
• 可线性化模型
• • • • • • 多项式型 1 双曲型 y 0 1 x 幂次型 y (0 1 x )k 对数型 y 0 1ln x ln y 0 1 x ln y 0 1ln x 指数型 y axbe、y aebx 复合型 y b(1 ae x )k
y 0 1 x 2 x2 3 x3
应用
• • • • 可线性化模型举例——我国人口研究（1981-2011） 依据散点图建立模型 y ln x 方差分析、参数估计 残差分析、对残差进行线性回归分析
y ln x • 改进模型 • （SAS软件）