双曲线的简单性质

y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
考点突破
双曲线的简单几何性质
求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标 准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于 直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出双 曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶 点的坐标、渐近线方程等几何性质．
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
（2）e的范围？ c>a>0 e >1
（3）e的含义？ e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 x a 或 x a，y R
由双曲线的几何性质求标准方程
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般 用待定系数法．首先，利用性质判断焦点的位置, 设出双曲线的标准方程；再由已知构造关于参数 的方程求得．当双曲线的焦点不明确时，方程可 能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免 讨论，也可设双曲线方程为mx2+ny2＝1(mn<0), 从而直接求得．
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 y a 或 y a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
b
y x 渐进线方程可
awk.baidu.com
由双曲线方程
A1
x y 0 怎样得到？
ab
y
kb a
(a,b)
B2
b
b
a o
A2
x
B1
（2）等轴双曲线的渐近线方程是什么？
y x
（3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做
a
双曲线的离心率。
B
B’
解：如图以冷却塔的轴截面所在的平面建立直角 坐标系，使小圆的直径AA’在x轴上。由已知可知：
|AA’|=2a=24即a=12，设C’(13,y),则B’(25,y-55)
设双曲线的方程为：x2 a2

y2 b2
1(a
0,b
C
0), 则
y C’
252 (y - 55)2
122 b2
b B2
虚轴长 2b，虚半轴长 b A1 -a o aA2 x
实轴与虚轴等长的双
-b B1
曲线叫等轴双曲线
2、范围

x2 a2
1
即x2

a2
x a或x a
(-x,y)
y (x,y)
A1 -a o a A2
x
3、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
以-x代x方程不变，故图像关于 y轴对称； 以-y代y方程不变，故图像关于 x轴对称；
一、探究双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a 的 0简,b 单0)几何性质
1、顶点
方程中令y=0得x=±a, 得顶点是A1(a, 0)、A2 (a, 0)
方程中令x=0得y2=-b2,y无解，所以双曲线与y轴不相交
y A1A2 实轴； B1B2 虚轴；
实轴长 2a，实半轴长 a
双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚
轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半
径为13m,下口半径为25m,高为55m,试选择适当的
坐标系，求出此双曲线的方程。
分析引导：题目 是个典型的求曲
C
y C’
线方程问题，求 双曲线的方程只
A’
Ao
x
需求出a,b即可，
建立坐标系、找 出关系式求解。
y
M
F1 O F2
x
复习
1.双曲线的定义，代数表达式，
标准方程（焦点分别在x、y轴
上），a、b、c 间的关系？
y
2.写出满足下列条件的双曲线
M
的标准方程：
① a=3，b=4焦点在x轴上； ②焦点在y轴上,焦距为8,a=2
F1 O F2
x
3.前面我们学习了椭圆的哪些 几何性质？你能类比探究出双 曲线的几何性质吗？
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点 坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【思路点拨】 将双曲线方程变为标准形式，确 定a，b，c后求解．
求下列双曲线的实半轴长、虚半轴的长、 焦点坐标、离心率及渐近线的方程。
1. x2 y2 1 16 9
2. 25y2 16x2 400
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 y a 或 y a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a

132
122

y2 b2
1
1
解之得：b 25
A’
Ao
x
所求的双曲线方程为：x2 y2 1
144 625 B
B’
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 x a 或 x a，y R
例2
分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 x 轴上，两顶点间的距离为 8，离 心率是5；
4 (2)焦距为 20，渐近线方程为 y＝±12x； 【思路点拨】 分析双曲线的几何性质 → 求a，b，c
→ 确定讨论焦点位置 → 求双曲线的标准方程
求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在x轴上 (2)离心率e 2,经过点M(-5,3)
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于原点对称
4、渐近线
观察这两条直线与双曲
线有何关系？
双曲线
x2 a2

by的22 各1支向外延
伸时，与这两条直线逐渐接
近！故把这两条直线叫做双
曲线的渐近线！
y
B2
b
A1
A2
oa
x
B1
4、渐近线
思考（1）双曲线
x2 a2

y2 b2
1的
k


b a
渐近线方程是？