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平面向量的数量积及向量的应用教案
平面向量的数量积及向量的应用教案章节一：向量的概念及其表示教学目标：1. 了解向量的定义及其表示方法。
2. 掌握向量的几何表示和坐标表示。
3. 能够正确书写向量的表达式。
教学内容：1. 向量的定义及特点。
2. 向量的几何表示和坐标表示。
3. 向量的运算规则。
教学步骤：1. 引入向量的概念，解释向量的定义及其特点。
2. 通过图形和实例展示向量的几何表示和坐标表示。
3. 讲解向量的运算规则，如加法、减法和数乘。
练习题目：a) (3, 4)b) (3, 4)c) 3d) (3章节二：向量的数量积教学目标：1. 理解向量的数量积的概念及其计算方法。
2. 掌握数量积的性质和运算法则。
3. 能够计算两个向量的数量积。
教学内容：1. 向量的数量积的定义及其计算方法。
2. 数量积的性质和运算法则。
3. 数量积的应用。
教学步骤：1. 引入向量的数量积的概念，解释其定义及其计算方法。
2. 通过图形和实例展示数量积的性质和运算法则。
3. 讲解数量积的应用，如判断两个向量是否垂直。
练习题目：a) (2, 3) ·(1, 2)b) (3, 4) ·(2, 3)c) (1, 0) ·(0, 1)章节三：向量的线性组合教学目标：1. 理解向量的线性组合的概念及其计算方法。
2. 掌握线性组合的性质和运算法则。
3. 能够计算两个向量的线性组合。
教学内容：1. 向量的线性组合的定义及其计算方法。
2. 线性组合的性质和运算法则。
3. 线性组合的应用。
教学步骤：1. 引入向量的线性组合的概念，解释其定义及其计算方法。
2. 通过图形和实例展示线性组合的性质和运算法则。
3. 讲解线性组合的应用，如解线性方程组。
练习题目：a) (2, 3) + (1, 2)b) (3, 4) (1, 2)c) 2(1, 0) 3(0, 1)章节四：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。
2. 掌握投影的性质和运算法则。
新人教B版高中数学第三册精品教学案：8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念
8.1.1向量数量积的概念1.两个向量的夹角给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称[0，π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉． (2)当〈a ，b 〉＝π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b .2.向量数量积的定义一般地，当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 与b 的数量积(也称为内积)，即a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉．(1)当〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0， π2时，a ·b >0;当〈a ，b 〉＝π2时，a ·b ＝0；当〈a ，b 〉∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π时，a · b <0.(2)两个非零向量a ，b 的数量积的性质：(1)给定平面上的一个非零向量b ，设b 所在的直线为l ，则向量a 在直线l 上的投影称为a 在向量b 上的投影．(2)一般地，如果a ，b 都是非零向量，则|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．(3)两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．1.已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为( )A ．332B ．322C ．12D ．32D [向量a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝3×cos π3＝32.故选D ．]2.在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且b ·a ＝0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．无法确定C [在△ABC 中，因为b ·a ＝0，所以b ⊥a ，故△ABC 为直角三角形．] 3.如图，在△ABC 中，AC →，AB →的夹角与CA →，AB →的夹角的关系为________．互补 [根据向量夹角定义可知向量AB →，AC →夹角为∠BAC ，而向量CA →，AB →夹角为π－∠BAC ，故二者互补．]4．如图所示，一个大小为5 N ，与水平方向夹角37°的拉力F 作用在小车上，小车沿水平方向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为3 N ，方向水平向左．小车向右运动的距离为2 m 的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力F 对小车做的功(取cos37°≈0.8)为_____．小车克服阻力做的功为______．8 J 6 J [拉力F 对小车做的功W F ＝FS cos θ＝5×2×0.8 J＝8 J ， 小车克服阻力做的功为W 克f ＝－W f ＝3×2 J＝6 J ．]b 〉＝( )A ．π6B ．2π3C ．3π4D ．5π6(2)已知△ABC 中， AB ＝4，BC ＝2，AB →·BC →＝－4，则向量BC →与CA →的夹角为________， 向量AB →与CA →的夹角为________．[思路探究](1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角．(2)先由向量的数量积公式计算B ，再由平面几何性质计算∠ACB ，∠BAC ，最后求向量的夹角．(1)D (2)90° 150° [ (1)因为向量|a |＝2，|b |＝3，且a ·b ＝－3，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－32， 又〈a ，b 〉∈[0, π]，所以〈a ，b 〉＝5π6.(2)在△ABC 中，因为AB ＝4，BC ＝2，AB →·BC →＝－4， 所以|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝－4，得4×2cos(π－B )＝－4，所以cos B ＝12，得B ＝60°.如图，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，则△ABD 为等边三角形，所以AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，所以向量BC →与CA →的夹角为90°，AB →与CA →的夹角为150°.]求平面向量的夹角的方法技巧(1)已知平面向量的长度和数量积，利用夹角余弦公式计算cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，若是特殊角，再求向量的夹角.(2)在△ABC 中，注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系，常常利用几何图形确定是“相等”还是“互补”的关系.1.若两个单位向量的数量积等于－1，则这两个单位向量的夹角为( ) A ．0 B ．π2 C ．2π3D ．πD [设两个单位向量分别为e 1，e 2，则e 1·e 2＝cos 〈e 1，e 2〉＝－1，由于〈e 1，e 2〉∈[0, π]，所以〈e 1，e 2〉＝π.]2.已知a 是单位向量，且3a ·b ＝|b |，则sin 〈a ，b 〉＝________.223[因为a 是单位向量，且3a ·b ＝|b |，则3|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|b |，得cos 〈a ，b 〉＝13，又sin 2〈a ，b 〉＋cos 2〈a ，b 〉＝1，得sin 2〈a ，b 〉＝89.又0≤〈a ，b 〉≤π，得sin〈a ，b 〉＝223.]与向量数量积有关的概念①如果a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②如果向量a 与b 满足a·b<0，则a 与b 所成的角为钝角； ③△ABC 中，如果AB →·BC →＝0，那么△ABC 为直角三角形； ④如果向量a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.(2)已知等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →＝________. [思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1)③④(2)8 [(1)由数量积的定义知a·b ＝|a||b|·cos θ(θ为向量a ，b 的夹角)． ①若a·b ＝0，则θ＝90°或a ＝0或b ＝0，故①错； ②若a·b <0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；③由AB →·BC →＝0知B ＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由a 2＝|a|2＝1，b 2＝|b|2＝1，故④正确． (2)如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ． 因为AB ＝AC ， 所以BD ＝12BC ＝2，于是|BA →|cos∠ABC ＝|BD →| ＝12|BC →|＝12×4＝2， 所以BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos∠ABC ＝4×2＝8.]1.在书写数量积时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2.求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .3.给出下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a ，b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a ＝|a |3；⑥a 2＋b 2≥2a ·b ；⑦向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影长．其中正确的是________．(填序号)①②⑥ [由于a 2≥0，b 2≥0，所以，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确； 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ·c ＝－b ·c ，所以|a ·c |＝|b ·c |，故②正确；a ，b 共线⇔a ·b ＝±|a ||b |，所以③不正确；对于④应有|a ||b |≥a ·b ，所以④不正确； 对于⑤，应该是a ·a ·a ＝|a |2a ，所以⑤不正确； ⑥a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ·b ，故⑥正确；当a 与b 的夹角为0°时，也有a ·b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的正投影的数量，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．]为32，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°(2)已知平面向量|a |＝2，|b |＝6且a ·b ＝－4，则a 在b 上投影的数量为________，b 在a 上投影的数量为________．[思路探究](1)向量b 在a 方向上的投影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉，再求向量的夹角． (2)先由平面向量数量积的公式计算cos 〈a ，b 〉，再计算投影的数量．(1)A (2)－23 －2 [(1)因为向量b 的模为1.且b 在a 方向上的投影的数量为32，则|b |cos 〈a ，b 〉＝32， 得cos 〈a ，b 〉＝32，因为〈a ，b 〉∈[0, π]，所以〈a ，b 〉＝π6＝30°. (2)因为平面向量|a |＝2，|b |＝6且a ·b ＝－4， 所以|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－4，得cos 〈a ，b 〉＝－13.所以a 在b 上投影的数量为|a |cos 〈a ，b 〉＝－23，b 在a 上投影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉＝－2.]关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项(1)向量a 在b 所在直线上的投影是一个向量，向量a 在b 所在直线上的投影的数量是一个实数.(2)向量a 在向量b 上的投影的数量是|a |cos 〈a ，b 〉，向量b 在向量a 上的投影的数量是|b |cos 〈a ，b 〉，二者不能混为一谈.4．(2019·青岛高一检测)如图，圆心为C 的圆的半径为r ，弦AB 的长度为2，则 AB →·AC →的值为( )A ．rB ．2rC ．1D ．2D [如图，作AB 的中点H ，连接CH ，则向量AC →在AB →方向上的投影的数量为AH ＝|AC →|cos ∠CAB ，所以AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠CAB ＝|AB →||AH →|＝2.]5．已知向量a 在向量b 上的投影的数量是2，|b |＝3，则a ·b ＝________.6 [因为向量a 在向量b 上的投影的数量是2，|b |＝3，则a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝(|a |cos 〈a ，b 〉)|b |＝2×3＝6.]1.对正投影的三点诠释(1)a ·b 等于|a |与b 在a 方向上的正投影的乘积，也等于|b |与a 在b 方向上的正投影的乘积．其中a 在b 方向上的正投影与b 在a 方向上的正投影是不同的．(2)b 在a 方向上的正投影为|b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)，也可以写成a ·b|a |. (3)正投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 2.知识导图物理背景——向量数量积——概念公式∣几何意义与变形公式1.已知平面向量|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝π3，则a ·b ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．0B [因为|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝π3，则a ·b ＝|a ||b |cos π3＝2×3×12＝3.]2.已知平面向量|a |＝1，|b |＝2，则a 2＋b 2＝( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．－5C [因为|a |＝1，|b |＝2， 所以a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2＝5.]3.已知向量|a |＝6，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为120°，则向量a 在b 上的投影的数量为( )A ．1B ．3C ．－1D ．－3D [根据向量数量积的几何意义，向量a 在b 上的投影的数量为|a |cos 120°＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3.]4．已知等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，则CD 和AC 的夹角为________，CD →和AC →的夹角为________．45° 135° [等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，则CD ⊥AB, CD 和AC 的夹角为45°，CD →和AC →的夹角为135°.]。
空间向量的数量积运算教案
空间向量的数量积运算教案一、教学目标1. 知识目标：了解空间向量的概念和数量积运算的定义；掌握空间向量数量积的计算方法；理解空间向量数量积的几何意义。
2. 能力目标：能运用数量积的性质解决实际问题；能够运用向量的数量积计算向量的长度和夹角；能够通过数量积判断向量的垂直和平行关系。
3. 情感态度目标：培养学生对数学的兴趣和热爱；培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；培养学生学会合作、分享以及互相帮助的品质。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念和性质；（2）空间向量数量积的定义和计算；（3）向量数量积的几何意义。
2. 教学难点：（1）利用数量积计算向量的长度和夹角；（2）判断空间向量的垂直和平行关系。
三、教学过程1.导入新课通过一个实际问题引入，例如：有一个空间中的物体用向量表示力，物体受力的情况如何影响其运动？引导学生思考并激发学生学习的兴趣。
2.概念讲解介绍空间向量的概念和性质，讲解向量的数量积的定义和性质，并通过具体的例子加深学生对概念的理解。
3. 数量积的计算方法（1）介绍向量数量积的计算公式；（2）讲解向量数量积的几何意义，如何通过数量积计算向量的长度和夹角。
4.练习与实践为了帮助学生更好地掌握数量积的计算方法，老师可以设计一些简单的计算练习题，并让学生进行练习，在练习中体会数量积的计算方法和几何意义。
5. 垂直和平行关系的判断介绍如何利用数量积判断向量的垂直和平行关系，通过具体的实例让学生掌握判断方法。
6. 课堂讨论让学生结合实际问题进行讨论和分享，提高学生自主探究和解决问题的能力。
7. 拓展与应用将向量数量积与实际问题相结合，引导学生解决实际问题，拓展学生的应用能力。
8. 归纳总结总结本节课的重点内容，强调向量数量积在几何问题中的应用，并巩固学生对相关概念的理解。
9. 作业布置布置相关的作业，让学生巩固所学内容，并在课后检查学生的作业情况。
四、教学反思通过本节课的教学，学生能够掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法，能够运用数量积解决实际问题，提高了学生的数学运算能力和应用能力。
高中数学 两个向量的数量积教案 新人教B版选修2
《两个向量的数量积》说课教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学B版（选修2-1）我将通过教材分析、学情分析、目标设计、方法手段、过程设计和教学评价六个部分，阐述本课的教学设计．一、教材分析1．教学内容《两个向量的数量积》是新课标人教版选修2-1第三章第一大节里第三小节的内容，根据教学大纲，本节共1课时，主要内容是空间两个向量的夹角的概念和空间两个向量的数量积的概念、性质、运算率及简单应用．2．地位与作用空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容.从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础，起到承上启下的作用.同时，用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性，而且在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高.二、学情分析1．知识准备高二年级学生在掌握了平面向量夹角、数量积以及平面向量数量积的性质、运算率的基础上，又学习了空间向量的线性运算及空间向量的基本定理等有关知识，具有了一定的知识储备.但用向量解决立体几何问题时，要将几何问题等价转化为向量问题，这是本小节的一个难点.2．能力储备学生经过初中以及高一的数学学习，已具有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，逐步形成了辩证思维体系．但学生自主探究问题的能力，由特殊到一般的归纳能力普遍还不够理想．3．学生情况考虑到任课实验班级学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，加深了对概念的理解，并对例题的选择进行了适当的调整和延展，为向量在立体几何中的综合应用打好基础．根据新课程标准的理念以及对教材、学情的分析，我进行了如下目标设计．三、目标设计１．教学目标【知识与技能】（1）掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；（2）初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.【过程与方法】经历概念的形成过程、经历用向量方法解决某些简单的几何问题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用，体会向量是一种解决几何问题的有利工具，并鼓励学生灵活选择运用向量法解决立体几何问题，使学生亲身体验数学发现和创造的历程.【情感态度价值观】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生领略数学严谨、基础、系统、实用的魅力.2．教学重点、难点为更好地完成教学目标，本课教学重、难点设置为：【重点】空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用．【难点】空间两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.为达到教学目标，突出重点、突破教学难点．阐述方法手段：四、方法手段1.教学方法根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展思维活动，并让学生展示相应的数学思维过程，深入探究，并合作交流，创造性地解决问题，最终获得方法，培养能力.2.教学手段教学中使用多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．五、过程设计根据课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学过程作了如下的设计：首先，通过步步设问引导学生掌握教材所要求的基本面：空间向量夹角的概念和空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法”的优势，安排了可以分别运用“几何法”和“向量法”来处理空间几何问题的例题.同时，为日后解决空间的度量、位置关系问题寻求一种新的方法，进一步拓展了学生的思维渠道.我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；类比探究，获得新知；回味建构，应用拓展；归纳小结，提高认识.时间安排如下：(一)创设情境，引入课题概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从分析具体例子出发，而不是从抽象语言入手来引入空间向量的相关概念.引例：（设计意图：以学生熟悉的正方体做为教学背景，预计学生应联想到平面向量的夹角和数量积，由此类比猜想引入新课，温故知新从而有效调动学生的学习积极性．）(二)类比探究，获得新知在本阶段的教学中，为使学生加深对空间向量的夹角和空间向量的数量积概念的本质的认识，我设计了三个环节，引导学生分别完成对空间向量夹角、数量积概念的三次认识，形成并掌握空间向量的夹角和空间向量的数量积概念，以及掌握空间两个向量数量积的性质、计算方法及运算率.1．回顾旧知，类比猜想在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：问题1：平面向量的夹角和平面向量的数量积的概念？（设计意图：是从学生的已有认知出发，即从学生已具备的平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫，以备完成对空间向量夹角和数量积概念的第一次认识.）问题2：能否根据自己的理解说说什么是空间向量的夹角、数量积？教学中，我引导学生用自己的语言描述空间向量的相关概念.至此，学生对空间向量的夹角和数量积的概念就有了第一次直观、描述性的认识．（设计意图：对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念，则能更好的理解和掌握概念.）2．探究原因，理性认识在此环节中，我设计了两个问题，通过对两个问题的研究、交流、讨论，使学生对空间两个向量夹角概念的认识由感性认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识．问题1：引例中如何确定的夹角？为什么？问题2：还有其它平移向量的方法吗？（设计意图：对于问题1中确定两个空间向量的夹角，学生易根据空间向量相等的定义通过平移向量来解决，困难是如何选择平移向量所到的确切位置．再通过问题2的讨论，使学生感受到空间向量平移的任意性，从而将对空间向量夹角的描述性认识过渡到理性的高度.）3．抽象思维，形成概念本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出空间两个向量夹角的概念：使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程，完成对概念的第三次认识.在本环节我设计了如下问题：问题1：异面直线的概念和异面直线所成的角：我们把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角.问题2：如何解决引例中？（设计意图：学生们在掌握了空间向量夹角概念的基础上容易把空间向量的数量积用平面向量数量积来定义，从而形成空间两个向量数量积的概念.）已知空间两个向量，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量数量积叫做两个空间向量的数量积（或内积），记作，即．问题3：空间向量数量积的性质？空间向量数量积满足的运算率？（设计意图：学生们在掌握了空间向量的数量积概念的基础上，会自主探究得到空间向量数量积的性质及其满足的运算率与平面向量数量积的性质及其满足的运算率相同的结论.）性质：（1）；（2）；（3）；（4）.运算率：（1）；（2）；（3）．（三）回味建构，应用拓展本阶段的教学，主要是通过对教材例题的讲解并延展，引导学生思考交流、分析探究、归纳反思，体会向量在立体几何中的作用.例1.已知正方体ABCD-A1B1C1E1的棱长为1，设求：(1)；(2)；(3)；(4).（设计意图：使学生们通过空间向量数量积的性质及其运算率掌握向量数量积的计算方法，同时为例题2的解决打好基础.）例2.已知平面平面，=l，点A，B在内，并且它们在l上的正射影分别为A，B；点C，D在内，并且它们在l 上的正射影分别为C，D，求证：.证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳方法.1．难点突破对于该题的证明，问题主要集中在两个方面：一方面部分学生不知道该如何处理，不敢动笔；另一方面部分学生处理方法不科学，陷入困境.困难出现在如果直接使用空间向量数量积的概念证明等式成立，向量的夹角不易求，同时向量模的关系不易找.针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论：（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示？（2）引导学生回顾例1，并考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2．详细板书3．归纳方法在解决三个问题以及板书的基础上，我引导学生体会、归纳解决问题的方法.“传统解法”需作辅助线，有时不易作出；而使用“向量解法”，程序化强，便于操作.（设计意图：目的在于说明用向量解决立体几何中一些典型问题的基本思考方法，同时为后续借助向量坐标运算法则及公式解决立体几何问题做了一定的铺垫.）（四）归纳小结，提高认识由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．1．课堂小结在知识层面上，总结空间向量夹角和数量积的概念；利用空间向量性质、运算率计算和证明几何问题的方法与步骤.在方法层面上，引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，强调用“向量法”解决立体几何问题的优势，同时引导学生对学习过程作必要的反思，为后续的学习做好铺垫.（设计意图：通过学生自主归纳、总结，对本节所学的知识系统化、条理化，可进一步巩固知识，明确方法．）2．布置作业板书设计(设计意图：本课内容一览无遗，且具有启发性，突出重点.)六、教学评价通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价；。
8.1.3向量数量积的坐标运算教案 2021-2022学年高中数学人教B版必修第三册
8.1.3向量数量积的坐标运算【教学目标】1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．3.分清向量平行与垂直的坐标表示．4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．【教学重点】数量积坐标表示的推理过程.【教学难点】公式的建立与应用.【教学过程】一、课前预习预习课本，思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？二、课前小测1．若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a ·b ＝3，则x 等于( )A ．3B ．－3 C.53 D ．－53答案：A解析：a ·b ＝－x ＋6＝3，x ＝3，故选A.2．已知a ＝(2，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝________，|a ＋b |＝________.答案：1 2 5解析：a ·b ＝2×2＋(－1)×3＝1，a ＋b ＝(4,2)，|a ＋b |＝42＋22＝2 5.3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，m )，若a ⊥b ，则m ＝______.答案：23解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝1×(－2)＋3m ＝0，解得m ＝23.4．已知a ＝(3，4)，b ＝(5，12)，则a 与b 夹角的余弦值为________．答案：6365解析：因为a ·b ＝3×5＋4×12＝63，|a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13，所以a 与b 夹角的余弦值为a·b |a ||b |＝635×13＝6365.三、新知探究1．平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.2.向量模的公式设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.3．两点间的距离公式若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 思考：已知向量a ＝(x ，y )，你知道与a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与a 垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示] 设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±⎝⎛⎭⎫x |a |，y |a |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋y 2，y x 2＋y 2，其中正号、负号分别表示与a 同向和反向．易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直，所以与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y2，x x 2＋y 2，其中正、负号表示不同的方向．四、题型突破题型一 平面向量数量积的坐标运算【例1】 (1)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2)已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.①求a 的坐标；②若c ＝(2，－1)，求a ·(b ·c )及(a·b )·c .(1)答案：2解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0,2)，C (2，2)，E (2，1)．可设F (x,2)，因为AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x ＝2，所以x ＝1，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.(2)解：①设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．②∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10，∴a ·(b·c )＝0·a ＝0，(a·b )·c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．【反思感悟】数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．【跟踪训练】1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：C解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案：A解析：由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5.题型二 向量模的坐标表示【例2】 (1)设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b|等于( )A ．4B ．5C ．3 5D ．4 5(2)若向量a 的始点为A (－2，4)，终点为B (2，1)，求：①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标；③与a 垂直的单位向量的坐标．(1)答案：D解析：由a ∥b 得y ＋4＝0，∴y ＝－4，b ＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4，8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D.(2)解：①∵a ＝AB →＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a |＝42＋(－3)2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)， 即坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，35. ③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34. 又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1.解得⎩⎨⎧ m ＝35，n ＝45或⎩⎨⎧ m ＝－35，n ＝－45， ∴e ＝⎝⎛⎭⎫35，45或e ＝⎝⎛⎭⎫－35，－45.【反思感悟】求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.【跟踪训练】3．已知平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)．(1)求a －2b 及其模的大小；(2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.解：(1)a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，|a －2b |＝72＋32＝58.(2)a ·b ＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，∴|c |＝1＋62＝37.题型三 向量的夹角与垂直问题[探究问题]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于多少？[提示] 由已知得a －b ＝(1－x,4)．∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0.∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2) D ．(－2,2)(1)答案：B解析：当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B. (2)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵点D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ， ∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y －3＝0.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)，∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，综上，|AD →|＝5，D (1,1)．【多维探究】1．将本例(1)中的条件“a ＝(2,1)”改为“a ＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k 的取值范围．解：当a 与b 共线时，－2k －1＝0，k ＝－12， 此时a 与b 方向相反，夹角为180°，所以要使a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b ＜0，且a 与b 不反向．由a·b ＝－2＋k ＜0得k ＜2.由a 与b 不反向得k ≠－12， 所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π4”，求k 的值． 解：cos π4＝a·b |a ||b |＝2＋k 5·1＋k 2， 即22＝2＋k 5·1＋k 2，整理得3k 2－8k －3＝0， 解得k ＝－13或3. 【反思感悟】1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．五、达标检测1．判断正误若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( )(2)a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角．( )(3)若a ·b ≠0，则a 与b 不垂直．( )(4)|AB →|表示A ，B 两点之间的距离．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：B解析：a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝32＋(－1)2＝10，|b|＝12＋(－2)2＝5，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝510×5＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4.3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋m b)，则实数m＝________.答案：－3解析：a＋m b＝(2＋m,4＋m)，∵b⊥(a＋m b)，∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3.4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.综上，|a－b|＝2或2 5.六、本课小结1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.七、课后作业完成本讲配套练习《高一必修三8.1.3向量数量积的坐标运算课时精练（配套2）》.。
向量的数量积及其应用教案
向量的数量积及其应用教案第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是从原点出发，指向某个方向的线段，具有大小和方向两个要素。
向量可以用箭头表示，也可以用粗体字母表示。
1.2 向量的表示方法向量的箭头表示法：箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的坐标表示法：在二维坐标系中，向量可以用(x, y)表示，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的起点相同、方向相同（或相反）的两个向量的有向线段长度的乘积。
数量积是一个标量，具有大小和符号，可以用度量单位表示。
2.2 数量积的计算公式两个二维向量a(x1, y1)和b(x2, y2)的数量积为a·b = x1x2 + y1y2。
两个三维向量a(x1, y1, z1)和b(x2, y2, z2)的数量积为a·b = x1x2 + y1y2 + z1z2。
2.3 数量积的性质交换律：a·b = b·a。
分配律：a·(b+c) = a·b + a·c。
标量倍数：λa·b = λ(a·b)，其中λ是一个标量。
向量倍数：(λa)·b = λ(a·b)，其中λ是一个标量。
第三章：数量积的应用3.1 投影的计算向量a在向量b上的投影长度为|a|cos(θ)，其中θ是向量a和向量b之间的夹角。
向量a在向量b上的投影向量为(a·b)/|b|^2 b。
3.2 夹角的计算两个非零向量a和b的夹角θ可以通过cos(θ) = (a·b)/(|a||b|)计算得到。
当a和b的数量积为0时，它们是垂直的，即θ= 90°。
3.3 向量的长度的计算向量a的长度|a|可以通过|a| = √(a·a)计算得到。
向量a的长度|a|也可以通过|a| = √(x^2 + y^2)计算得到，其中a = (x, y)。
《向量的数量积》平面向量及其应用PPT课件
（3）当 ab ，求 a b
（2）向量 a 与向量 b 的夹角的夹角60度，求向量 a
在向量 b 方向上的投影
新知探究
例1：若 | a | 2，| b | 4，
（1）当 a//b ，求 a b 解：（1）当a//b，若 a, b 同向，则a与b的夹角为0度
|3a－4b|2＝(3a－4b)2 ＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a－4b|＝4 19.
(a＋b)·(a－2b) ＝a2－a·b－2b2 ＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
课后小结
1.向量的夹角定义 2.向量垂直、平行成立的充要条件 3.向量数量积的定义及向量的几何意义 4.向量数量积的性质都有什么？ 5.向量数量积的运算律有哪些？
A
3 C
2 O
B 7
随堂练习2
3. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|；
(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4， a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
|a＋b|2＝(a＋b)2 ＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－4)＋4＝12， ∴|a＋b|＝2 3.
A
B
C
新知探究
例2：已知向量 a,b 满足 | a || b | 1 ，| 3a 2b | 7 ，求 a与b 的夹角 解：设 a, b 的夹角为θ，由题意得：（3a 2b）2 （ 7）2 7
9 | a |2 12a b+4 | b |2 7 又| a |2
平面向量的数量积教案(新人教必修
平面向量的数量积教案（新人教必修）第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义介绍向量的概念，包括大小和方向。
通过图形和实例说明向量的表示方法，如箭头和坐标表示。
1.2 向量的长度和方向向量的长度（模长）的定义和计算方法。
向量的方向及其表示方法。
1.3 向量的加法和减法向量的加法和减法运算规则。
通过图形和实例说明向量的加法和减法。
第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义向量的数量积（点积）的定义和性质。
数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ。
2.2 数量积的性质和运算规则数量积的交换律、结合律和分配律。
数量积与向量长度的关系。
2.3 数量积的应用利用数量积判断两个向量的夹角。
利用数量积解决向量垂直和平方等问题。
第三章：向量的数量积的坐标表示3.1 坐标系中的向量二维和三维坐标系中的向量表示。
向量的坐标运算规则。
3.2 数量积的坐标表示向量的数量积的坐标表示公式：a·b = x1y1 + x2y2。
利用坐标表示进行数量积的计算。
3.3 数量积的坐标运算利用坐标表示进行向量的加法、减法和数量积的运算。
坐标系中向量的夹角和垂直问题。
第四章：向量的数量积的性质和应用4.1 数量积的性质数量积的奇偶性、对称性和守恒性。
数量积与向量垂直的性质。
4.2 数量积的应用利用数量积解决向量平行和共线问题。
利用数量积解决向量投影和夹角问题。
第五章：向量的数量积的综合应用5.1 数量积与线性方程组利用数量积解决线性方程组的解的存在性。
利用数量积判断线性方程组的解的情况。
5.2 数量积与几何图形利用数量积解决几何图形中的问题，如三角形、四边形等。
利用数量积判断几何图形的特点和性质。
5.3 数量积与物理应用利用数量积解决力学中的问题，如力的合成和分解。
利用数量积解决电磁学中的问题，如电场和磁场的合成。
第六章：向量的数量积的进一步应用6.1 投影向量介绍投影向量的概念和计算方法。
利用数量积计算向量的投影向量。
平面向量的数量积与应用教案
平面向量的数量积与应用教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理等领域具有广泛的应用。
其中，数量积作为平面向量的一种运算方式，被广泛运用于解决多种实际问题。
本教案旨在通过介绍平面向量的数量积及其应用，帮助学生掌握相关的概念和运算方法。
二、数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间进行的一种运算。
对于两个平面向量a 和 b，它们的数量积可以表示为a·b，即：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模，θ表示向量 a 和 b 之间的夹角。
三、数量积的运算性质1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为零的条件：若 a·b = 0，则 a 和 b 两向量垂直。
四、数量积的几何意义数量积有着重要的几何意义。
当两个向量的数量积为正时，表示它们的方向较为接近；当数量积为负时，表示它们的方向较为背离；当数量积为零时，表示它们垂直。
五、数量积的应用数量积在几何、物理等领域有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 判断两个向量的关系：通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角大小，从而了解两个向量之间的关系，比如是否垂直或平行。
2. 求向量在某一方向上的投影：通过数量积的计算，可以求得一个向量在另一个向量上的投影长度，从而进一步计算出向量在某一方向上的投影。
3. 计算力的功：在物理学中，力的功可以通过计算力和位移之间的数量积得到。
功等于力乘以移动的距离和夹角的余弦值。
4. 计算三角形的面积：数量积还可以用来计算三角形的面积。
当给定两条边和它们之间的夹角时，可以通过数量积公式计算出三角形的面积。
六、教学活动为了帮助学生更好地理解和应用数量积，以下是一些教学活动的建议：1. 理论讲解：教师可以通过简洁明了的语言，结合实际例子，向学生讲解数量积的定义、运算性质和几何意义。
高三数学一轮复习平面向量的数量积及应用教案
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测2017年高考：
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
法二： · ＝ ·( ＋ )
＝ ·( ＋ ＋ )
＝2 · ＋ ·
＝2| |·| |·cos ，
＝2×| |·| |·
＝2×| |2＝2×32＝18.
(1)C (2) 18
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cosθ求解；
(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
以题试法
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是( )
A．x＝0或2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则( )
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直
B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°
2．向量的应用
（1）向量在几何中的应用；
（2）向量在物理中的应用。
二．典例分析
(1)若向量a＝(1, 1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6B．5
C．4D．3
(2) (2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 · ＝________.
专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用教学案-2018
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识． 6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．高频考点一 平面向量数量积的运算例1、(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A ．20 B.15 C ．9 D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．答案 (1)C (2)1 1故选C.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2. 高频考点二 用数量积求向量的模、夹角例2、(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8 B.－6 C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.答案 (1)D (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【变式探究】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析 (1)|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA sup 6(→)·BC →|BA →|·|BC →|＝32.由〈BA →，BC →〉∈[0°，180°]，得∠ABC ＝30°. (2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ， 所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)A (2)－2【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【举一反三】(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)223 (2)C(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.高频考点三 平面向量与三角函数例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【变式探究】已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43 B ．－45 C.45 D.34答案 A高频考点四 向量在平面几何中的应用例4、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．【变式探究】(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形答案 (1)12 (2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，(2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形． 高频考点五、 向量在解析几何中的应用例5、(1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx ＝______.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3. 【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．【变式探究】已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12答案 BHE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos ∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.高频考点六 向量的综合应用例6、(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A ．1B.13C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3(2)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3.【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．【变式探究】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域面积是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．4 3答案 D解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2， 知〈OA →，OB →〉＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点E ，显然OD→＝λOA →＋CD →.由于CD OB ＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2，∴CD →＝(1－λ)OB →， ∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →， ∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上，∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积为S ＝4S △OAB ＝4×12×2×2sin π3＝4 3.1.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为，60ABC ∠= ,则BD CD ⋅=（ ）（A ）232a - （B ）234a - （C ） 234a 错误！未找到引用源。
【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.2.4向量的数量积一、内容和内容解析内容：向量的数量积．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．目标解析：（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．数量积的概念既是本节课的重点，也是难点.为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数量积的概念和运算律，让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？[问题2]我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？[问题3]当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．物理模型→概念→性质→运算律→应用.教师3：提出问题3．学生3：cosW FSθ=使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向.探寻规律，明[问题4]向量的夹角该如何定义？它的范围是什么？教师4：提出问题4．学生4：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB=b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围是：[0,]π教师5：我们可以用图来表示：通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本确概念[问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？[问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=23π，求a⋅b．例2.设|a|=12，|b|=9，a⋅b=542-，求a与b的夹角θ．当=0，a与b同向；当=，a与b反向；当=2，a与b垂直教师6：提出问题5．学生5：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师7：明确概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a b⋅，即：a b⋅ =︱a︱︱b︱cosα.规定：零向量与任一向量的数量积均为0.教师8：提出问题6．学生6：数量积的结果是数，线性运算的结果是向量.学生7：影响因素有：模长和夹角.教师9：完成表格：角α的范围00090α≤<090α=0090180α<≤a b⋅的符号学生8：学生思考，完成表格.教师10：追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？学生9：学生思考，完成例题.教师11：引入投影向量：如图，设a,b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到11AB，质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫.通过例题巩固数量积的概念．这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体[问题7]如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1OM等于什么？[问题8]数量积的几何意义是什么？【练习】已知非零向量a与b 的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .[问题9]根据数量积的概念，数量积有哪些性质？[问题10]类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪我们称上述变换为向量a向向量b投影，11AB叫做向量a在向量b上的投影向量.教师12：提出问题7.学生10：1OM=|a|cos e.教师13：提出问题8.学生11：a b⋅=b⋅a在b上的投影向量.教师14：完成练习学生12：c=|a|cos45°e=222e=2e.教师15：提出问题9：师生共同总结数量积的性质：(1) a⋅e=e⋅a=| a|cos.(2)a⊥b⇔a⋅b＝0.(3)当a与b同向时，a⋅b＝|a||b|；当a与b反向时，a⋅b＝－|a|b|.(4) a·a＝a2=|a|2或|a|＝a·a＝a2.(5)| a⋅b|≤|a||b|.(6)cosθ＝a·b|a||b|.学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性.结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积些运算律？能否证明一下？给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.教师16：提出问题10：学生13：教师17：表格中的结论有没有问题？学生14：数量积的结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．教师18：向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c 的性质，培养学生独立思考的能力．有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．典例探究落实巩固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a在向量e上的投影向量是______；向量e在向量a上的投影向量是________．2.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例4.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()教师19：完成例3学生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4cos2π3e=－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为aa=14a，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθaa=cos2π314a=－18a.教师20：完成例4学生16：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π63利用数量积求向量的模例5.已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．[课堂练习1] 设向量a ，b 满足|a +b|=10|a -b|=6，则 a·b =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．5 [课堂练习2]设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a·b =14-,则|a +2b|=_____.＝－2a 2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以θ＝2π3，故选C ．教师21：完成例5学生17：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝25＋25＋25＝53，|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋25－25＝5.教师18：布置课堂练习1、2． 学生16：完成课堂练习，并订正答案．课堂练习1：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况课堂练习2： 考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力． 课堂小结[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2教师19：提出问题11． 学生17：思考.教师20：布置课后练习师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．升华认知 C．－12 2 D．－122.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6 D．123.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－34.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：C，C，B，1225b课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
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平面向量的数量积及其应用讲师：王光明一、复习目标深刻理解平面向量数量积的定义及其几何意义。
能应用向量数量积解决有关向量垂直问题，向量的长度、夹角的问题，能将其它章节某些问题转化为可用向量数量积解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力。
二、基础知识知识点回顾1、两个向量的夹角是如何规定的？两个向量的夹角的取值范围是什么？如下图，已知两个非零向量a 和b 作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量与的夹角，记作〈，〉.A2、平面向量数量积的定义是什么？其几何意义是什么？如果两个非零向量a r ，b r ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r叫做a r 与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a r •b r ，即a r •b r ＝a b cos r rq 。
规定：零向量与任一向量的数量积是0. 注意数量积是一个实数，不再是一个向量a r •b r 的几何意义：数量积a r •b r 等于a r 的模||a r与b r 在a r 上的投影的积。
b r 在a r 上的投影为||cos b θr =b aar rg r ，它是一个实数，但不一定大于03、平面向量数量积有哪些性质？设e r 是单位向量，〈a r ，e r 〉=θ.（1）e r ·a r =a r ·e r =|a r|cos θ.（2）当a r 与b r 同向时，a r ·b r =|a r ||b r |；当a r 与b r 反向时，a r ·b r =－|a r ||b r|，特别地，a r ·a r =|a r |2，或|a r（3）a r ⊥b r ⇔a r ·b r =0.(a r 、b r都是非零向量)注意：零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行，但却不可以与任何向量垂直（4）cos θ=r r r r ×a b|a ||b |.（5）|a r ·b r |≤|a r ||b r|.4. 平面向量数量积运算律：（1）a r ·b r =b r ·a r ；（2）（λa r ）·b r =λ（a r ·b r ）=a r ·（λb r）； （3）（a r +b r ）·c r =a r ·c r +b r ·c r思考讨论()()a b c a b c uu r u u v u u r u u r u u v u u v g g 与是否相等?5.向量数量积的坐标运算：设a r =（x 1，y 1），b r =（x 2，y 2），则 （1）a r ·b r=x 1x 2+y 1y 2；（2）|a r|= （3）cos 〈a r ，b r〉=（4）a r ⊥b r Þa r ·b r=0Þx 1x 2+y 1y 2=0.三、双基训练1.已知a r 、b r 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a r +3b r|等于A.7B.10C.13D.4解析：|a r +3b r=960cos 1161+︒⨯⨯⨯+=13.答案：C2.已知a r =（λ，2），b r =（3，—6），且a r 与b r的夹角为钝角，则λ的取值范围是解析：a r 与b r 的夹角为钝角，cos<a r ，b r > < 0且cos<a r ，b r>≠-1，又cos<a r b r()(),11,4λ∈-∞-⋃-3．已知,,为非零的平面向量. 甲：,:,a b a c b c ⋅=⋅=r r r rr r乙则 （ ）()A 甲是乙的充分条件但不是必要条件；()B 甲是乙的必要条件但不是充分条件()C 甲是乙的充要条件； ()D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件若a b r r g =a c r r g ，则|a r ||b r |cos a =|a r ||c r|cos b （其中α、b 分别为a r 与b r ，a r 与c r 的夹角）若|a r |≠0，则 |a r |cos a =|c r |cos β.∵cos a 与cos b 不一定相等，∴|b r |与|c r |不一定相等.∴b r 与c r也不一定相等.∴甲Þ乙若b r =c r 则|b r |=|c r |且b r 与a r ，c r 与a r 夹角相等，∴a b a c ⋅=⋅r r r r乙⇒甲四、平面向量的数量积的应用例1、已知a v=（cosα，sin α）,b v=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a b a b +-v vv v 与互相垂直；（2）若ka b a kb +-v vv v 与的相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α（1）证法一：∵a v=（cosα，sin α）,b v =（cosβ,sinβ） ∴a b +vv ＝（cosα+cosβ，sin α+ sinβ）,a b -vv ＝（cosα-cosβ，sin α- sinβ）∴()a b +v v ·()a b -vv =（cosα+cosβ，sin α+ sinβ）·（cosα-cosβ，sin α- sinβ）=cos 2α-cos 2β+sin 2α- sin 2β=0∴()a b +vv ⊥()a b -vv 证法二：∵a v=（cosα，sin α）b v =（cosβ,sinβ）∴a v＝1，b v ＝1∴()a b +v v ·()a b -v v =22a b -v v =22||||a b -v v =0∴()a b +v v ⊥()a b -v v证法三：∵a v=（cosα，sin α）, b v =（cosβ,sinβ）∴a v＝1，b v ＝1,记OA ＝a ，OB ＝b ，则|OA |＝|OB |=1, 又α≠β，∴O 、A 、B 三点不共线。
由向量加、减法的几何意义，可知以OA 、OB 为邻边的平行四边形OACB 是菱形，其中OC ＝a b +v v ，BA ＝a b -vv ，由菱形对角线互相垂直，知()a b +v v ⊥()a b -vv（2）解：由已知得|||ka b a kb +=-vvv v|又∵2||ka b +v v ＝(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k 2+1+2kcos (β－α),2|a kb -v v |＝(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=k 2+1-2kcos (β－α),∴2kcos (β－α)= -2kcos (β－α) 又∵k ≠0 ∴cos (β－α)＝0∵0<α<β<π ∴0<β－α<π, ∴β－α=2π 评述：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证例2. 如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.解法一： ,AB AC ⊥u u u r u u u rQ0.AB AC ∴⋅=u u u r u u u r,,,AP AQ BP AP AB CQ AQ AC =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q()()BP CQ AP AB AQ AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r\?-?AP AQ AP AC AB AQ AB AC =⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2a AP AC AB AP =--⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r2()a AP AC AB =--⋅-u u u r u u u r u u u r212a PQ BC =-+⋅u u u r u u u r212a PQ BC =-+⋅u u u r u u u r22cos .a a θ=-+故当cos 1θ=，即0θ=（PQ uuu r 与BC uuu r 方向相同）时，BC CQ ⋅u u u r u u u r最大，其最大值为0。
解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设||||AB c AC b ==，则(0,0),(,0),(0,),A B c C b 且||2,||.PQ a BC a ==(,),(,),BP x c y CQ x y b ∴=-=---u u u r u u u r设点P 的坐标为(,)x y ，则(,)Q x y --，(,),(2,2).BC c b PQ x y =-=--u u u r u u u r()()()BP CQ x c x y y b ∴⋅=--+--u u u r u u u r22().x y cx by =-++- 2cos .||||PQ BC cx by a PQ BC θ⋅-==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r Q 2cos .cx by a θ∴-=22cos .BP CQ a a θ∴⋅=-+u u u r u u u r故当cos 1θ=，即0θ=（PQ uuu r 与BC uuu r 方向相同）时，BC CQ ⋅u u u r u u u r最大，其最大值为0.例3 如图，已知三角形PAQ 顶点P （－3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，.2,0AQ QM AQ PA ==⋅（1）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线)1(:+=x k y l 与轨迹E 交于B 、C 两点，点D （1，0），若∠BDC 为钝角，求k 的取值范围．讲解 （1）)0)(0,(),0)(,0(),,(>=<==b b OQ a a OA y x OM 设b a AQ PA a b AQ a PA 3,0),,(),,3(2=∴=⋅-==又则 ①⎩⎨⎧-==∴=-=-=ay b x AQQM a b AQ y b x QM 232),,(),,(Θ又②由①②)0(42≠=⇒x x y解 （1）)0)(0,(),0)(,0(),,(>=<==b b OQ a a OA y x OM 设b a AQ PA a b AQ a PA 3,0),,(),,3(2=∴=⋅-==又则 ①⎩⎨⎧-==∴=-=-=ay b x a b y b x 232),,(),,(Θ又 ②由①②)0(42≠=⇒x x y（2）1122(,),(,),OB x y OC x y ==u u u ru u u r设1122(1,),(1,)DB x y DC x y =-=-u u u r u u u r则,BDC ∠Q 为钝角cos 0,||||DB DC BDC DB DC ⋅∴∠=<⋅⋅u u u r u u u r u u ur u u u r cos 1||||DB DC BDC DB DC ⋅∠=≠-⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r 且 依题意B 、D 、C 三点不共线，∴0DB DC ⋅<u u u r u u u r121212()10x x x x y y ∴-+++< ③222224(24)0(0)(1)y x y k x k x k k y k x ⎧⎪⎨⎪⎩=+-+=≠=+由消去得，则 21212242,1k x x x x k -+==． ④y 1y 2=k(x 1+1)·k(x 2+1)=k 2[x 1x 2+(x 1+x 2)+1] ⑤将④⑤代入③得221429k k <≠且 ．∴022k -<<∆>此时22220,()(,0)(0,)(3333k k ≠-⋃-⋃⋃因为所以的范围是．五、课堂练习1.若a r =（2，3），b r =（－4，7），则a r 在b r方向上的投影为A.3B.513C.565 D.65解析：a r 在b r 方向上的投影为||⋅r rr a b b =22747342+-⨯+-⨯）（）（=6513=565.答案：C2.已知| a r |=10，| b r |=12，且（3 ，a r ）·（51， b r ）=－36，则a r 与b r 的夹角是A.60°B.120°C.135°D.150°解析：由（3， a r ）·（51， b r ）=－36得a r ·b r =－60. ∴cos 〈a r ，b r 〉=⋅r rr r a b|a ||b |121060⨯-=－21.又0°≤〈a r ，b r 〉≤180°，∴〈a r ，b r〉=120°.答案：B3.若向量c r 垂直于向量a r 和b r ，d u r =λa r +μb r（λ、μ∈R ，且λμ≠0），则A. c r ∥d u rB. c r ⊥d u rC. c r 不平行于d u r ，也不垂直于d u rD.以上三种情况均有可能 解析：∵c r ⊥a r ，c r ⊥b r ，∴c r ·a r =0，c r ·b r=0.∴c r ·d u r =c r ·（λa r +μb r ）=c r ·（λa r ）+c r ·（μb r ）=λc r ·a r +μc r ·b r =0.答案：B4.已知平面上三点A 、B 、C 满足||=3，|BC |=4，|CA |=5，则·BC +BC ·CA +CA ·的值等于_______.解析：∵|AB |2+||2=||2， ∴△ABC 为直角三角形，其中∠B =90°.∴·+·+·=0+||||cos （π－∠C ）+||||cos （π－∠A ）=－25.答案：－25 六、小结：1.本节课复习的主要内容是平面向量的数量积及其几何意义，以及用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、夹角问题。