运筹学 第2章 线性规划的图解法

管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
管理运筹学
2-1
第二章 线性规划的图解法
教学目标：
• 掌握线性规划的数学模型，能够结合问 题列出模型
• 理解图解法求解 • 了解图解法的灵敏度分析
管理运筹学
2-2
第二章 线性规划的图解法
• §1 问题的提出 • §2 图解法 • §3 图解法的灵敏度分析
管理运筹学
Min f ＝ - Max z
管理运筹学
2-27
§3 图解法的灵敏度分析
2、约束条件不是等式的问题： 设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左
边之差
s=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，s 也具有非负约束，即s≥0，
管理运筹学
2-11
§2 图 解 法
（3）把五个图合并成一个图，取各约束条件的公共部分 (包括五条边界线)，如图2-1所示。
300
x2=250
200
100
x2≤250
100 200 300
x2=0
x2 2x1+x2=400
x2=250
x1+x2=300
x1=0
x1
图2-1
管理运筹学
2-12
• 可行域
xx22++
… …
+ +
aa12nn
xxnn
= =
bb12
axm11，x1x+2 ，am…2 x，2 +xn…≥+0a，mnbxin≥0= bm
管理运筹学
2-25
§3 图解法的灵敏度分析
可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特 点：
– 目标最大化； – 约束为等式； – 决策变量均非负； – 右端项非负。 对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式:
• 可行域的几何形状由于问题不同可以千变万 化，但可行域的几何结构是凸集
• 要求集合中的任何两点的连线段落在这个集 合中
管理运筹学
2-13
§2 图 解 法
到（一4条）直目线标，函直数线z上=5的0每x1+一1点00都x具2，有当相z取同某的一目固标定函值数时值得， 称之为“等值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z 在可行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶 点，对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
管理运筹学
2-9
§2 图 解 法
(1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标系。 在直角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的 一组值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。
x2
X2≥0
x2
X1≥0
X2=0
X1=0
x1
管理运筹学
x1
2-10
§2 图 解 法
（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中 作直线，然后确定不等式所决定的半平面。
300
200
x1+x2=300
100
100 200 300
x1+x2≤300
400
300
200
2x1+x2=400
100
2x1+x2≤400 100 200 300
管理运筹学
2-21
进一步讨论
解：目标函数： Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0
采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
1 2 0 50 元
1 1 1 100 元
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
线性规划模型：
目标函数：Max 约束条件：s.t.
z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 300
x2
z=10000=50x1+100x2
AB C
z=0=50x1+100x2
E
z=27500=50x1+100x2
z=20000=50x1+100x2
D
x1
图2-2
管理运筹学
2-14
§2 图 解 法
• 重要结论：
– 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶 点对应一个最优解；
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z优=解50；x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数 值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有 错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束 条足件约束4x条1+件3x的2≥解1，20当0，然则也可就行不域存为在空最域优，解不了存。在满
管理运筹学
2-15
练习题
• 2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪 个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或 无可行解．
• 对于“ ”约束条件，可以增加一些最低
限约束的超过量，称之为剩余变量。从而把
“ ” 约束条件变为等式约束条件。
管理运筹学
2-23
• 加了松弛变量和剩余变量后的例2的数学模型 为：
目标函数： Min f = 2x1+3x2+0s1+0s2+0s3
约束条件：
s.t.
x1+ x2 - s1= 350
x1 -s2 = 125
2-18
§2 图 解 法
• 在最优生产方案下资源消耗的情况：把x1=50, x2=250代入约束条件得
• 设备台时：1*50+1*250=300 • 原料A：2*50+1*250=350 • 原料B：0*50+1*250=250
• 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消 耗完所有可能的设备台时数及原料B，但对原料A则 还剩余50千克。
(1)
min f=6x1+4x2；
约束条件：
2x1+x2≥1，
3x1+4x2≥3，
x1，x2≥0．
(2)
max z=4x1+8x2；
约束条件：
2x1+2x2≤10， -x1+x2≥8， x1, x2≥0．
管理运筹学
2-16
• (3)
max z=3x1-2x2；
约束条件：
x1+x2≤1，
2x1+2x2≥4，
• 一般形式:
目标函数：
约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t. aa…x2m11a…1，1xx111xx++21a，+a2…m2a…2…1x2x2，x2+2+x…+n……+≥+a+0a2nam1xnnnxxnn≤≤（≤（（==, =,≥,≥）≥））bb2bm1
线性规划的组成：
•目标函数 Max F 或 Min F
•约束条件 s.t. (subject to) 满足于
•决策变量 用符号来表示可控制的因素
管理运筹学
2-4
§1 问题的提出
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
管理运筹学
2-5
• 把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可 行解。
• 把使得目标函数值最大（即利润最大）的可行 解称为该线性规划的最优解，此目标函数值称为 最优目标函数值，简称最优值。
管理运筹学
2-6
§1 问题的提出
• 建模过程 1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方案； 3.用化决目策标变；量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小 4.用的一约组束决条策件变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循
把所有的约束条件都写成等式，称为线性规划模型的 标准化。
管理运筹学
2-20
进一步讨论
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350 吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125 吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间 也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需 要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的 价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种 原料，使得购进成本最低？
管理运筹学
2-26
§3 图解法的灵敏度分析
1.极小化目标函数的问题： 设目标函数为
Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (可以)令 z ＝ -f ，
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
即 Max z = - c1x1 - c2x2 - … - cnxn
但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们 最优解的目标函数值却相差一个符号，即
这时新的约束条件成为
管理运筹学
2-8
§2 图 解 法
对于只有两个决 例1.目标函数：
策变量的线性规划问
Max z = 50 x1 + 100 x2
题，可以在平面直角 约束条件：
坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细讲 解其方法：
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
• 在线性规划中，一个“ ”约束条件中没使用的资
源或能力称之为松弛量。 • 为了把一个线性规划标准化，需要有代表没有使
用的资源或能力的变量，称之为松弛变量，记为si
管理运筹学
2-19
§2 图 解 法
•
线性规划的标准化内容之一：——引入松驰变量（含
义是资源的剩余量）
Hale Waihona Puke Baidu
例1 中引入 s1， s2， s3 模型化为
400
2x1+x2 =600
300
2x1+3x2 =900
200
x1+x2 =350
100
Q
2x1+3x2 =800
100 200 300 400 500 600
管理运筹学
x1
2-22
• 原料A与B的总量及加工时间正好达到， 而原料A的购进量则比其最低限多购进了 250-125=125（t）,这个超过量在线性规 划中称为剩余量。
2-3
第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用: • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 • 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最
大 • 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 • 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
管理运筹学
2-7
• 练习题：
• 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少
350 吨(A，B两种原料有一定替代性)，其中原料A至 少购进125 t．但由于A，B两种原料的规格不同，各 自所需的加工时间也是不同的，加工每吨原料A需要 2小时，加工每吨原料B需要1小时，而公司总共有 600个加工时数．又知道每吨原料A的价格为2万元， 每吨原料B的价格为3万元，试问在满足生产需要的前 提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两 种原料，使得购进成本最低?
2 x1 + x2 +s3= 600
x1 , x2 , s1, s2, s3 ≥ 0
管理运筹学
2-24
§3 图解法的灵敏度分析
线性规划的标准化
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
• 标准形式
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
…aa…1211
xx11
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3
约束条件：s.t.
x1 + x2 + s1 = 300
2 x1 + x2 + s2 = 400
x2 + s3 = 250
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
x1，x2≥0．
(4 ）
max z=3x1+9x2；
约束条件：
x1+3x2≤22，
-x1+x2≤4，
x2≤6，
2x1-5x2≤0，
x1，x2≥0
管理运筹学
2-17
答案
• （1）有唯一解x1 = 0.2, x2= 0.6函数值为 3.6 • （2）无可行解 • （4） 无可行解 • （5）无穷多解
管理运筹学
++…aa…1222
xx22++
… …
+ +
aa12nn
xxnn
≤ ≤
（ （
=, =,
≥ ≥
））bb12
x1a，m1xx21，+ a…m2，x2xn+
…+ ≥0
amn
xn
≤
（
=,
≥
）bm
目标函数： 约束条件：
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
……aa1211
xx11 ++…aa…1222