运筹学 第2章 线性规划的图解法

管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
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2-1
第二章 线性规划的图解法
教学目标：
• 掌握线性规划的数学模型，能够结合问 题列出模型
• 理解图解法求解 • 了解图解法的灵敏度分析
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第二章 线性规划的图解法
• §1 问题的提出 • §2 图解法 • §3 图解法的灵敏度分析
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§2 图 解 法
对于只有两个决 例1.目标函数：
策变量的线性规划问
Max z = 50 x1 + 100 x2
题，可以在平面直角 约束条件：
坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细讲 解其方法：
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
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第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用: • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 • 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最
大 • 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 • 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
• 一般形式:
目标函数：
约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t. aa…x2m11a…1，1xx111xx++21a，+a2…m2a…2…1x2x2，x2+2+x…+n……+≥+a+0a2nam1xnnnxxnn≤≤（≤（（==, =,≥,≥）≥））bb2bm1
2 x1 + x2 +s3= 600
x1 , x2 , s1, s2, s3 ≥ 0
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§3 图解法的灵敏度分析
线性规划的标准化
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
• 标准形式
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
…aa…1211
xx11
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§3 图解法的灵敏度分析
1.极小化目标函数的问题： 设目标函数为
Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (可以)令 z ＝ -f ，
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
即 Max z = - c1x1 - c2x2 - … - cnxn
但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们 最优解的目标函数值却相差一个符号，即
把所有的约束条件都写成等式，称为线性规划模型的 标准化。
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2-20
进一步讨论
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350 吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125 吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间 也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需 要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的 价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种 原料，使得购进成本最低？
• 对于“ ”约束条件，可以增加一些最低
限约束的超过量，称之为剩余变量。从而把
“ ” 约束条件变为等式约束条件。
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2-23
• 加了松弛变量和剩余变量后的例2的数学模型 为：
目标函数： Min f = 2x1+3x2+0s1+0s2+0s3
约束条件：
s.t.
x1+ x2 - s1= 350
x1 -s2 = 125
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§2 图 解 法
• 在最优生产方案下资源消耗的情况：把x1=50, x2=250代入约束条件得
• 设备台时：1*50+1*250=300 • 原料A：2*50+1*250=350 • 原料B：0*50+1*250=250
• 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消 耗完所有可能的设备台时数及原料B，但对原料A则 还剩余50千克。
线性规划的组成：
•目标函数 Max F 或 Min F
•约束条件 s.t. (subject to) 满足于
•决策变量 用符号来表示可控制的因素
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2-4
§1 问题的提出
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
x2
z=10000=50x1+100x2
AB C
z=0=50x1+100x2
E
z=27500=50x1+100x2
z=20000=50x1+100x2
D
x1
图2-2
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§2 图 解 法
• 重要结论：
– 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶 点对应一个最优解；
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z优=解50；x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最
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2-21
进一步讨论
解：目标函数： Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0
采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
xx22++
… …
+ +
aa12nn
xxnn
= =
bb12
axm11，x1x+2 ，am…2 x，2 +xn…≥+0a，mnbxin≥0= bm
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2-25
§3 图解法的灵敏度分析
可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特 点：
– 目标最大化； – 约束为等式； – 决策变量均非负； – 右端项非负。 对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式:
• 可行域的几何形状由于问题不同可以千变万 化，但可行域的几何结构是凸集
• 要求集合中的任何两点的连线段落在这个集 合中
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2-13
§2 图 解 法
到（一4条）直目线标，函直数线z上=5的0每x1+一1点00都x具2，有当相z取同某的一目固标定函值数时值得， 称之为“等值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z 在可行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶 点，对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
Min f ＝ - Max z
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2-27
§3 图解法的灵敏度分析
2、约束条件不是等式的问题： 设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左
边之差
s=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，s 也具有非负约束，即s≥0，
++…aa…1222
xx22++
… …
+ +
aa12nn
xxnn
≤ ≤
（ （
=, =,
≥ ≥
））bb12
x1a，m1xx21，+ a…m2，x2xn+
…+ ≥0
amn
xn
≤
（
=,
≥
）bm
目标函数： 约束条件：
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
……aa1211
xx11 ++…aa…1222
x1，x2≥0．
(4 ）
max z=3x1+9x2；
约束条件：
x1+3x2≤22，
-x1+x2≤4，
x2≤6，
2x1-5x2≤0，
x1，x2≥0
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2-17
答案
• （1）有唯一解x1 = 0.2, x2= 0.6函数值为 3.6 • （2）无可行解 • （4） 无可行解 • （5）无穷多解
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– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数 值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有 错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束 条足件约束4x条1+件3x的2≥解1，20当0，然则也可就行不域存为在空最域优，解不了存。在满
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2-15
练习题
• 2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪 个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或 无可行解．
பைடு நூலகம்
X1=0
x1
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x1
2-10
§2 图 解 法
（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中 作直线，然后确定不等式所决定的半平面。
300
200
x1+x2=300