理论力学第十章振动
理论力学 第十章振动
k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
理论力学振动基本理论
在物块重力作用下，每个弹簧产生的静变形相 等，由物块的平衡条件可得
mg k1 s t k2 s t 将并联弹簧看成为一个弹簧，其刚度 系数 keq mg s t ，称为等效刚度系 数（Equivalent stiffness）。
keq k1 k2 （17-11）
k1
k2
m
k1 m
k2
（a）
消耗能量，降低精度等。
研究振动的目的：
消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服 务。
振动的分类：
按系统的自由度分
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
按振动产生的原因分：
自由振动
无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动）
强迫振动
无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动
自激振动
17.1 单自由度系统的自由振动 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需
其单位与频率 f 相同，为赫兹（Hz）。
mG g
k G
st
n2
k m
n
g
st
（17-10）
（2）振幅和初位相
x Asinn t
A表示物块偏离振动中心的最大距离，称为振幅 （Amplitude），它反映自由振动的范围和强弱；
nt 称为振动的相位（Phase）（或相位角）
，单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时t
的位置，而 称为初相位，它决定了物块运动的
起始位置。
例17-1 求如图17-3所示单摆的微幅振动周期。
已知摆球质量为m，摆绳长为l。
解： 单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏
离垂线的夹角 j 作为角坐标。摆球受到重力 mg和绳
拉力 F 的作用。取j 的增大方向为正向，依据动量矩
理论力学教学材料-12振动
21
Tmax
12M(xmax)2
1M2
2
(
xmax R
)2
12m(
Rr R
xmax)2
2R12[M( 2R2 )m(Rr)2]xm2ax
11
2. 弹簧并联系
并
串
统和弹簧串联系
联
联
统的等效刚度
st
F1 k1
F2 k2
, mgF1 F2
mg(k1 k2 ) st
,
st
mg k1 k2
keq k1 k2
并联
st st 1 st 2
mg mg mg ( 1 1 )
k1 k2
(3Mm)Rx 2
mI (F) (Mm)gRF2R4kxR
由 dHI
dt
mI (F)
，
有
(3Mm)Rx4kxR 2
振动微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有频率：
n
8k 3M 2m
18
解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为 原点）
1. 振动微分方程的标准形式
2. 静变形法：
qn2q0
n
g st
st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
3. 能量法： 由Tmax=Vmax , 求出 n
15
例1 图示系统。设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹 簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质 量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅 振动微分方程，求出其固有频率。
理论力学经典课件-振动
2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
南华大学理论力学第10章练习答案
j0，且无初速度释放。不计杆的质量，求滑块的位移，用偏 角j表示。
A
解：设物块A向右移动距离SA, 因为∑Fx=0，且Δxc=0，有
j
B
m x 0
m A S A mB ( S A l(sinj 0 sinj )) 0 m A mB
mB
m Al SA (sinj 0 sinj ) m A mB
10-4. 均质杆AG与BG由相同材料制成，在点G铰接，二杆位于 同一铅垂面内，如图所示。AG=250mm，BG=400mm。若 GG1=240mm时，系统由静止释放，求当A、B、G在同一直线 上时，与两端点各自移动的距离。 解：系统运动时，水平方向不受力, 且Δxc=0，有
sB
A
G
G1
B
m x 0
10-1. 图示系统中，已知阻力系数c，弹簧刚度系数k，杆端小球 质量m及图示尺寸，不计杆重，若将坐标原点选在杆静平衡时的 水平位置，试求系统微幅振动的微分方程，并计算其固有频率。 解：
x1 a x, l x2 b x l
c
a
m
k
由质点运动微分方程，有
b a ( )2 kx ( )2 cx 0 m x l l 2 2 a c bk n 2 令 0 2 2 l m l m
2 d 0 n2
b
l
b2k a 4c 2 4 2 2 l m 4l m
4l 2b 2 km a 4c 2 4l 4 m2
10-2. 如图所示，物块A（质量mA）放在光滑的水平面上，与
物块B（质量mB）铰接，在力偶矩M的作用下，物块B从水平
位置转到铅垂位置时，求物块A移动的距离SA。 解：解：设物块A向右移动距 离。因为 Fx 0 ， 且 xC 0 ，有m x 0 。即
《理论力学》第十章 质心运动定理
－－质心运动定理 －－质心运动定理
结论： 结论：
质心“ 1. 质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定 理”。 无论刚体（ ）、质点系做何形式的运 2. 无论刚体（系）、质点系做何形式的运 动，此定理成立。 此定理成立。 3. 质心的运动仅与质系的外力有关，与
内力无关。 内力无关。
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质心是永远存在， 质心是永远存在，而重心只有在重力场中才存在
在重力场内， 在重力场内，质心与重心重合
Wi ∑ ix C x = W Wi ∑ iy y = C W W ∑ izi z C= W
质心坐标
（二）质心运动定理 d2r i m 2 =F 对每个质点 i i d t 2 dr i 求和 F m 2 =∑ i ∑ i d t 2 2 2 d d dr C 左 = 2 (∑ ir) = 2 (mC) =m 2 边 mi r d t d t d t E I 右 =∑F +F =∑ iE +∑ iI 边 F F i i
mi ∑ ir r = C m ∑ i
问题： 问题：
mi ∑ ix x C= m ∑ i mi ∑ iy y = C m ∑ i mi ∑ iz z C= m ∑ i
构成，每个刚体质心位置已知， 系统由几个刚体构成，每个刚体质心位置已知， 系统质心如何确定？ 1. 系统质心如何确定？ 质心的速度如何确定？ 2. 质心的速度如何确定？
理论力学中的振动力学分析
理论力学中的振动力学分析振动力学是理论力学的重要分支，研究物体在受到激励或固有力的作用下发生的振动现象。
它在物理学、工程学和其他领域中有着广泛的应用。
本文将探讨理论力学中的振动力学分析，包括自由振动、受迫振动、阻尼振动以及共振等方面。
自由振动是指物体在没有外界激励的情况下的振动。
它的频率和振幅是由物体的固有属性决定的。
根据振动系统的性质不同，可以分为单自由度振动和多自由度振动。
单自由度振动是指只有一个自由度的振动系统，比如简谐振子。
多自由度振动是指有多个自由度的振动系统，比如梁的弯曲振动和齿轮系统的振动。
在振动力学分析中，我们可以通过求解系统的运动微分方程来得到振动的解析解，从而获得物体的振动模态。
受迫振动是指物体在外力作用下的振动。
外力可以是周期性的，也可以是非周期性的。
对于受迫振动的分析，我们可以利用拉格朗日方程和牛顿第二定律进行分析。
通过求解运动微分方程，我们可以得到物体在受迫振动下的运动规律，进而确定其响应和频率特性。
阻尼振动是指物体在有摩擦力或阻尼器存在下的振动。
阻尼力会消耗物体的振动能量，使得振动逐渐减弱并最终趋向于稳定状态。
阻尼振动的分析可以采用阻尼振动微分方程进行。
根据阻尼力与速度之间的关系，可以分为线性阻尼、非线性阻尼和阻抗阻尼。
线性阻尼是指阻尼力与速度成正比，非线性阻尼指阻尼力与速度的平方成正比，而阻抗阻尼则是指阻尼力与速度的高次方的乘积成正比。
共振是指物体在受到与其固有频率相同的外力激励时振幅达到最大的现象。
共振可以引起物体的失稳和破坏，因此在工程设计中，需要避免共振现象的出现。
共振的分析可以通过计算系统的频率响应函数来实现。
频率响应函数可以描述物体对不同频率外力的响应情况，从而确定共振频率和共振幅值。
综上所述，振动力学在理论力学中具有重要的地位和应用价值。
通过对振动力学的深入研究和分析，我们可以理解物体在振动过程中的特性和行为，进而为工程设计和科学研究提供有力的支持。
懂得振动力学的基本原理和方法，对于处理实际问题和解决振动相关的工程难题具有重要的意义。
理论力学课后习题答案-第10章--动能定理及其应用-)
(a)A(a)O第10章 动能定理及其应用10－1 计算图示各系统的动能：1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。
在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ = 45º（图a ）。
2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b ）。
3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。
细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。
解：1．222222163)2(2121)2(212121BB BC C C mv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω 2．222122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=⋅++=3．22222222)2(212121ωωωωmR R m mR mR T =++=10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。
现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。
当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。
解：图（a ）B A T T T +=)2121(21222211ωC C J v g W v g W ++=21221121212211122]cos 22)2[(22ωϕωω⋅⋅+⋅++++=l gW l l v l v l g W v g W]cos 31)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。
齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。
曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。
试求行星齿轮机构的动能。
理论力学综合教程——振动
F
m
st
O
x
取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：
m
d2x dt 2
W
F
W
k(x
st
)
kx
W x
mx kx 0
mx kx 0
2 n
k m
x
2 n
x
0
x C1 cosnt C2 sin nt C1,C2 积分常数
令 : A C12 C22 , tan C1 / C2
x Asin( nt )
振动属于动力学第二类问题－已知主动力求 运动。
振动问题的研究方法－与分析其他动 力学问题相类似：
选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定 积分常数。
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问 题不同的是：一般情形下， 都选择平衡位置作 为广义坐标的原点。
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
y
st
Wl 3 3EI
mgl 3 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0
此即梁－物块的运动微分方程
y Asin( nt )
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
1. 串 联
k1
k1
k2
k2
mg mg
keq st
keq k1 k2
n
keq m
x
求得 0
A v 0.0127m
n
x 0.0127sin19.63t
（2）钢丝绳承受的最大张力。 取重物为研究对象
理论力学中的振动现象理论分析
理论力学中的振动现象理论分析振动是物体在某一参考点附近周期性地往复运动的现象。
在理论力学中，振动现象是一种重要的研究对象，对于理解物体的运动规律和解决实际问题具有重要意义。
本文将从理论力学的角度，对振动现象进行理论分析。
一、振动的基本概念和特征振动是物体在某一平衡位置附近往复运动的现象。
振动的基本特征包括周期性、往复性和谐波性。
周期性意味着振动现象具有一定的周期，即在一定时间内重复发生；往复性指物体在振动过程中来回运动；谐波性表示振动的运动规律可以用正弦或余弦函数来描述。
二、单自由度振动的理论分析单自由度振动是指物体在一个自由度上进行振动，常见的例子包括弹簧振子和简谐振子。
弹簧振子是通过弹簧连接的质点在重力作用下进行振动，而简谐振子是指受到恢复力作用的质点进行的振动。
对于单自由度振动，可以通过运动方程和力学原理进行理论分析。
运动方程可以通过牛顿第二定律得到，即质点的加速度与作用力之间的关系。
对于弹簧振子和简谐振子，运动方程可以表示为mx'' + kx = 0，其中m是质点的质量，x是质点的位移，k是恢复力的劲度系数。
通过求解运动方程，可以得到振动的解析解。
对于弹簧振子和简谐振子，解析解可以表示为x = Acos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是初相位。
解析解可以描述振动的幅度、频率和相位等特征。
三、多自由度振动的理论分析多自由度振动是指物体在多个自由度上进行振动，常见的例子包括双摆和弦上的驻波。
对于多自由度振动，可以通过运动方程和线性代数的方法进行理论分析。
对于双摆，可以通过运动方程得到两个摆角的运动方程，然后通过线性代数的方法求解。
通过求解本征值和本征向量，可以得到双摆的固有频率和振型。
固有频率表示双摆的振动频率，振型表示双摆的形状和运动规律。
对于弦上的驻波，可以通过波动方程和边界条件进行理论分析。
波动方程可以描述弦上的波动现象，边界条件可以表示弦的两端的约束条件。
理论力学、振动力学实验指导书
规程，不许做与本次实验无关的事情。 4． 实验过程中，每人要记录一份原始数据，由实验指导教师签字后方可生效，
附在实验报告中，无原始记录，实验报告无效。 5． 学生必须认真完成实验报告，若发现抄袭者，双方实验成绩均以 0 分计。 6． 每次实验课前要完成上次的实验报告，并交给指导教师。 7． 实验课的成绩占本门课程总成绩的百分之五，实验课成绩不及格者，不准参
振幅值在±Ae-nt两条曲线之间变化，如图 2-2 示。
x
X=Ae-nt
At
At+1
O
t
X=-Ae-nt T
图 2-2
4
其减幅系数和对数减幅系数分别为：
d = At At +1
阻尼系数为：
δ = ln d
ln A t
n = δ = ln d =
A t +1
T
T
T
为了实现线性阻尼条件，本实验采用了带有电磁阻尼器
实验一 简谐振动的基本参数测量及振动传感器的标定
一、实验目的 1.掌握简谐振动基本参数（频率、振幅、速度、加速度等）的测试方法； 2.学习常用测振传感器及其配套仪器的一般操作； 3.了解加速度传感器的标定方法；
二、实验装置 1.实验装置图
示波器
振动测量仪
函数发生器
功率放大器
振动台
图 1-1 实验装置图 2.主要实验设备 信号发生器、功率放大器、激振器、压电式加速度传感器、测振仪、传感器校准 仪。 三、传感器的标定原理
7
实验一附录 主要实验设备工作原理
1.激振器 它是一种电动变换器，即将电能转变为机械能，对试件提供激振力的一种装置。 其基本结构如图 2-4 所示，它是由永久磁铁、弹簧片及与顶杆固连在一起的动圈组成。 当在动圈内通入交变电流时，动圈在磁场内即会受到相应的交变力作用，使其驱动等
《大学物理教程》郭振平主编第十章 机械振动和机械波
第十章 机械振动和机械波一、基本知识点机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动叫做。
胡克定律: 弹簧弹性力F 的大小与位移x 的大小成正比，而且F 的方向与位移方向相反，即F kx =-式中，k 为弹簧的劲度系数。
具有这种性质的力称为线性回复力。
简谐振动的运动学方程:cos()x A t ωϕ=+式中A 为振幅，表示振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值；()t ωϕ+是决定简谐振动状态的物理量，称为在t 时刻振动的相位，单位是弧度()rad ；ϕ为初相位，是0t =时刻的相位；ω=角频率。
简谐振动的动力学方程:2220d x x dtω+=简谐振动的频率：振动物体在单位时间内完整振动的次数，单位是赫兹()Hz 。
简谐振动的周期：振动物体完成一次完整振动所经历的时间，单位是秒()s 。
关系：周期T 是频率ν的倒数；ω=2πν=2π/T简谐振动物体的速度:sin()cos()2dx A t A t dt πυωωϕωωϕ==-+=++ 简谐振动物体的加速度:22222cos()cos()d xa A t x A t dtωωϕωωωϕπ==-+=-=++振幅：A = 初相位：arctanx υϕω-= 式中，0x 为t=0时刻的初始位移，0υ为t=0s 时刻的初始速度。
旋转矢量法: 用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动的方法。
以简谐振动的平衡位置O 作为x 轴的坐标原点，自O 点出发作一矢量A（其长度等于简谐振动振幅A ）。
设0t = 时刻，矢量A 与x 轴所成的角等于初相位ϕ。
若矢量A以角速度ω（其大小等于简谐振动角频率ω）匀速绕O 点逆时针旋转，则在任一时刻矢量A末端在x 轴上的投影点P 相对原点的位移为cos()x A t ωϕ=+，显然，P 在x 轴上做简谐振动。
如图10-1所示。
cos()x A t ωϕ=+图10-1 简谐振动的旋转矢量法弹簧振子的弹性势能：222211cos ()22p E kx mA t ωωϕ==+弹簧振子的动能：222211sin ()22k E m mA t υωωϕ==+ 系统的总机械能：2212p k E E E mA ω=+=表明总机械能总量守恒。
理论力学中的自由振动分析
理论力学中的自由振动分析正文：自由振动是理论力学中重要的研究内容，对于许多物理系统的描述和分析具有重要意义。
本文将从理论力学的角度出发，对自由振动的分析进行探讨。
1.自由振动的概念及特点自由振动指的是在没有外力作用下，物体相对平衡位置发生来回运动的现象。
它具有一定的特点，包括振幅恒定、周期恒定、频率恒定、起始相位任意等。
2.单自由度谐振子的分析单自由度谐振子是理论力学中最简单的模型，它的运动方程可以用简谐振动方程来描述。
在给定势能函数和初始条件的情况下，可以通过求解运动方程得到振动的解析解。
3.动力学平衡法在自由振动分析中的应用动力学平衡法是一种常用的分析自由振动的方法，它基于动力学原理，通过建立动力学方程和适当的边界条件，可以求解系统的自由振动频率和振型。
4.拉格朗日方程在自由振动中的应用拉格朗日方程也是分析自由振动的强大工具，它将系统的动力学问题转化为虚功原理的极值问题。
通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的自由振动方程及其解析解。
5.自由振动的能量及其守恒定律自由振动过程中，系统会在动能和势能之间不断转化。
根据能量守恒定律，系统的总能量在振动过程中保持不变。
通过能量的分析可以更加深入地理解自由振动的特点和规律。
6.自由振动的实际应用自由振动的研究不仅仅局限于理论推导和分析，其在实际应用中也具有广泛的价值。
例如，在工程领域中，通过对结构物自由振动特性的研究，可以预测和评估其振动响应，为设计和改进结构提供依据。
结语：自由振动是理论力学的重要研究内容，通过对自由振动的分析，可以揭示物体运动的规律和特性。
同时，自由振动的研究也具有实际应用价值，为工程设计和结构优化提供了理论支持。
通过对自由振动的深入研究，我们可以更好地理解物体的振动行为，并为相关领域的发展做出贡献。
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在重力P=mg的作用下
l0
弹簧变形为δst，称为静变形，该位置为平
衡位置。重力和弹簧力。
st
Fst kst
P mg
O
平衡时满足：
mgkst
st
mg k
x
取重物的平衡位置点O为坐标原点，取x轴的
正向铅直向下。受力如图 。
x
F st
mg
F P
弹簧力F： Fk(xst)
l0
由质点运动微分方程可列：
满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。
（2）振幅与初位相 谐振振动表达式
xAsin nt()
A表示相对于振动中心点O的最大位移，称为振幅。 （ωnt+θ）称为相位（或相位角），相位决定了质点在某瞬时t的
位置，它具有角度的量纲，而θ称为初相位，它决定了质点运
动的起始位置。
自由振动中的振幅A和初相位θ是两个待定常数，它们由运动
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t，其 运动规律x（t）总可以写为:
x（t）= x（t+T） T为常数，称为周期，单位符号为s。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动。
考虑无阻尼自由振动微分方程
d2x dt2
n2
x
0
解为：
xAsin nt()
角度周期为2π，则有:
[n (t T )] (n t) 2
它是振动系统的固有的特性，所以称ωn为固有圆频率。
固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动系统的动力学特性， 计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。
由
m Pg k P st
n
k m
n
g st
上式表明：上述振动系统，知道重力作用下的静变形，就可求得系统的 固有频率。
如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。
理论力学多媒体教材
第十章 振动
编 著 东北大学力学系 侯祥林 李永强 动 画 东北大学力学系 李永强 侯祥林 主 审 东北大学力学系 郭星辉 颜世英
第十章 振 动
第十章引言
§10-1 单自由度系统的自由振动 §10-2 计算固有频率的能量法
自由振动例题
§10-3 单自由度系统的有阻尼自由振动
§10-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 §10-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动
解：1)取质量弹簧系统
物块于弹簧的自然位置A处碰上 弹簧。若物块平衡时，由于斜面 的影响，弹簧应有变形量:
0
mgsin
k
0
A
x
O
h
F
mg
FN
2）以物块平衡位置O为原
x
点，取x轴如图。
3）物块在任意位置x处受得力mg、 斜面约束力FN和弹性力F作用
4）物块沿x轴的运动微分方程为
md d22 xtmsgink(0x)
则自由振动的周期为：
T 2 n
T 2 n
可得： 其中
n
2 1
T
2f
f1 T
称为振动的频率 表示每秒钟的振动次数，其单位符号为1/s或Hz（赫兹）。 因为ωn=2πf 所以ωn表示2π秒内的振动次数，称为圆频率 单位符号为rad/s（弧度/秒）。 由
2 n
k m
n
k m
自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关，而与 运动的初始条件无关；
受迫振动例题
§10-6 转子的临界转速 §10-7 隔 振
第十章 振 动
振动是日常生活和工程中普遍存在的现象，有机械振动、 电磁振荡、光的波动等不同的形式。
这里研究机械振动，如钟摆的摆动、汽车的颠簸、混凝 土振动捣实以至地震等。
特点：物体围绕其平衡位置而往复运动。 掌握机械振动的基本规律，可以更好地利用有益的振动而 减少振动的危害。 根据具体情况，振动系统可分为：
单自由度系统； 多自由度系统； 连续体系统。
这里只研究单自由度振动。
§10-1 单自由度系统的自由振动
1. 自由振动微分方程 工程中许多振动可简化为一个质量和一个弹簧的弹簧质量系统，系统在
重力作用下沿铅垂方向振动的，具有一个自由度，简化为图示模型。 下面来分析其运动规律，先列出其运动微分方程。
设弹簧原长为l0，刚性系数为k。
m d 2x k x dt2
l0
两端除以质量m，并设
2 n
k m
移项后得:
d2x dt2
n2
x
0
st O
x
无阻尼自由振动微分方程的标准形式
F
是一个二阶齐次线性常系数微分方程。 x
P
设： x ert
代入微分方程，消去ert 得特征方程： r2 n2 0 两个根为： r1 in r2 in
方程解表示为： xC 1con ts C 2sin n t
2 n
tan n x 0 v0
自由振动的振幅和初相位都与初始条件有关。
例1 质量为m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速度滑下，如图所
示。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不
再分离。弹簧刚度k=0.8 kN/m，倾角ß=30°，求此系统振动的固
有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
0
mgsin
k
m
d2x dt2
k
xLeabharlann 0 Axh
表明斜面角β与物块运动微分方程无关。
O
F
固有频率
mg
FN
n
k m
0.810040r0a/ds 0.5
x
此系统的通解为 xAsin nt()
固有频率与斜面倾角β无关。
5）当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点，此时 物块的坐标即为初位移：
x 0 0 0 .5 0 .9 8 . 8 1 s0 3 in 0 0 3 .0 0 1 63 m 0
xC 1con ts C 2sin n t
C1和C2是积分常数，由运动 的起始条件确定。
设： A C12C22
tanC1
C2
则解为： xAsin nt()
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。
其运动图线为：
x
A x0
Ot n
l0
st O
x
x
F P
t T
x
2.无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
st
mdd22txPk(stx)
mgkst
O x
F
m d 2x k x dt2
x
P
表明，物体偏离平衡位置于坐标x处，受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力，称此力为恢复力。
在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。
重力加在振动系统上只改变其平衡位置，只要将坐标原点取 在平衡位置，可得到如上形式的运动微分方程。
的初始条件确定。
设在起始t=0时，物块的坐标x=x0，速度v=v0。为求A和θ，
xAsin nt()
xAsin nt()
两端对时间t求一阶导数，得物块速度
vd dxtAncosnt()
将初始条件代入以上两式，得到
x0 Asin v0 An cos
得到振幅A和初相位θ的表达式为：
A
x2
v
2 0
0