23 正弦量的相量表示法J[2]
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A=a+jb
5
1. 复数的图形表示 1） 复数用点表示
A1=1+j A2=-3 A3=-3-j2 A4=3-j
＋j
3
2
1
A1
A2
－ 3 － 2－ 1 0 1 2 3 ＋ 1
－1
－2
A4Baidu Nhomakorabea
A3
－3
6
2） 复数用矢量表示 任意复数在复平面内还可用其对应的矢量
来表示。
矢量的长度称为模， 用r表示； 矢量与实正半 轴的夹角称为幅角， 用θ表示。 +j 模与幅角的大小决定了该复数的唯一性。
正弦量的产生
16
2、正弦量的相量表示法 （课本P37） 正弦电流 i= Im sin(ωt + θi )与复数Im ∠θi
是相互对应的关系，可用复数Im∠θi来表示正弦电 流i，记为：
ImIm eji Im i
并称其为相量。
17
+j ω
Imθi
O
+1
i Im
θi O
ωt
(a) 以角速度ω旋转的复数
其极坐标式为1=1∠0°；
＋j
2）复数-1的实部为-1， 虚部为0，
1 90
其极坐标式为-1=1∠180°；
1 180 0
1 0 ＋1
（A = a + j b）
1 － 90
10
【补充例题1】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。
（参见课本P36 下至P37 上）
2.3 正弦量的相量表示法
学习内容： 1. 2. 复数的运算 3. 正弦量的相量表示
1
23 正弦量的相量表示法J
实质：用复数表示正弦量 所以先学习复数知识
2
2.3 正弦量的相量表示法
2.3.1 复数简介 复数定义： 复数可表示成 A=a+bi。 其中a为复数的实部， b 复数的为虚部， i 1称为虚部单位。
2）.实际应用中幅度更多采用有效值，则为有效值相量：
有效值相量U、I 包含幅度与相位信息。 U、I 19
2、正弦量相量的书写方式
设正弦量: uU m si(ω ntψ )
用相量表示:
U Ujψ eUψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量 20
3、
由于正弦交流电路中的电压、电 流都是同频率的正弦量，故角频率这 一共同拥有的要素在分析计算过程中 可以略去，只在结果中补上即可。这 样在分析计算过程中，只需考虑最大 值和初相两个要素。 （课本P37）
解：
3）复数j的实部为0， 虚部为1，
其极坐标式为 j=1∠90°；
＋j
1 90
4） 复数-j的实部为0， 虚部为-1，
1 180
其极坐标式为 –j =1∠-90°。
0
1 0 ＋1
（A = a + j b）
1 － 90
11
3. 复数的四则运算 （P35） 1） 加减运算 设有两个复数分别为 A=a1+jb1=r1∠θ1, B=a2+jb2=r2∠θ2 则 A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)
A=r1∠θ1,
B=r2∠θ2
则
A·B=r1r2∠(θ1+θ2)
A B
r1 r2
(1
2)
一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成
较为简便的极坐标式。
14
2.3.2 正弦量的相量表示法
1. 旋转因子：
把模为1，幅角为θ的复数称为旋转因子， 即ejθ=1∠ θ 。
取任意复数A=r1 e j1 =r1∠θ1， 则A·1∠θ=r1∠(θ1+θ),
(3）指数式：由尤拉公式ejθ=cosθ+j sinθ，得
A=r ejθ (4） 极坐标式： 在电路中，复数的模和幅角通 常用更简明的方式表示
A=r∠θ
9
【补充例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。 （参见课本P36 下至 P37 上）
解：
1）复数1的实部为1， 虚部为0，
2）画在同一个复平面上表示相量的图 称为相量图。 （课本P37）
24
【例】写出下列相量对应的正弦量。 (见课本
21
4、
正弦量的相量表示法中，在表示相量 的大写字母上打点“·”是为了与一般 的复数相区别。 （课本P37）
22
5、 用一个复数表示一个正弦量的意义
在于： 把正弦量之间的三角函数运算变成
了复数的运算，使正弦交流电路的计算 问题简化
（课本P37）
23
6、 需要强调的是： 1）只有同频率的正弦量，其相量才能 相互运算，才能画在同一个复平面上。
正弦量
iImsi nt (i)
2Isint(i)
uU msi nt (u)
2Usin t(u)
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
相量
IIm I Im i i
U mUmu
U Uu 18
正弦量的相量表示法—小
结
1、正弦量相量的两种形式
最大值
U m
有效值 U
1）. 表示正弦量的复数称为相量 。若其
幅度用最大值表示 ，则为幅值相量： Um、Im
b r
代数式：A=a+j b
极坐标式：A=r∠θ
0
a
+1
(矢量图)
7
由图可知， 复数用点表示法与用矢量表示法之 间的换算关系为
+j
r
a2 b2
arctan
b a
b
r
a r cos
b
r sin
0
a
+1
8
2. 复数的四种表达式 (1） 代数式: A=a+jb (2） 三角函数式： A=r cosθ+jr sinθ
但由于在电路中I 通常表征电流强度， 因此常用
j表示虚部单位， j= 1
这样复数可表示成A=a+jb。jb称为虚数。
3
23 正弦量的相量表示法J
复数可以在复平面内用图形表示， 也可以用不同形式的表达式表示。
4
23 正弦量的相量表示法J
下图为复平面图，横轴为实轴+1，纵轴为虚轴 j = 1
A = a + j b为复数， a是A的实部，b是A的虚部， A与实轴的夹角ψ称为辐角， r 为A的模。
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成 代数式。
12
复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
平行四边形法则
＋j
A＋B
0
B
A ＋1
三角形法则(加法)
＋j
B A
0 A－B －B ＋1 三角形法则(减法)
13
2） 乘除运算 （P36） 设有两个复数
即任意复数乘以旋转因子后， 其模不变， 幅角在原来的 基础上增加了θ， 这就相当于把该复数逆时针旋转了θ角。 见图。
＋j A e j
r1
r1
1
O
A
15
＋1
如图所示,设θ=ωt是一个随时间匀速变化的角， 其 角速度为ω， 复数为A=Um∠ψu， A匀速旋转后 可惟一对应一正弦量：
Um ∠ψu→ Um sin (ωt+ψu)
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1. 复数的图形表示 1） 复数用点表示
A1=1+j A2=-3 A3=-3-j2 A4=3-j
＋j
3
2
1
A1
A2
－ 3 － 2－ 1 0 1 2 3 ＋ 1
－1
－2
A4Baidu Nhomakorabea
A3
－3
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2） 复数用矢量表示 任意复数在复平面内还可用其对应的矢量
来表示。
矢量的长度称为模， 用r表示； 矢量与实正半 轴的夹角称为幅角， 用θ表示。 +j 模与幅角的大小决定了该复数的唯一性。
正弦量的产生
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2、正弦量的相量表示法 （课本P37） 正弦电流 i= Im sin(ωt + θi )与复数Im ∠θi
是相互对应的关系，可用复数Im∠θi来表示正弦电 流i，记为：
ImIm eji Im i
并称其为相量。
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+j ω
Imθi
O
+1
i Im
θi O
ωt
(a) 以角速度ω旋转的复数
其极坐标式为1=1∠0°；
＋j
2）复数-1的实部为-1， 虚部为0，
1 90
其极坐标式为-1=1∠180°；
1 180 0
1 0 ＋1
（A = a + j b）
1 － 90
10
【补充例题1】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。
（参见课本P36 下至P37 上）
2.3 正弦量的相量表示法
学习内容： 1. 2. 复数的运算 3. 正弦量的相量表示
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23 正弦量的相量表示法J
实质：用复数表示正弦量 所以先学习复数知识
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2.3 正弦量的相量表示法
2.3.1 复数简介 复数定义： 复数可表示成 A=a+bi。 其中a为复数的实部， b 复数的为虚部， i 1称为虚部单位。
2）.实际应用中幅度更多采用有效值，则为有效值相量：
有效值相量U、I 包含幅度与相位信息。 U、I 19
2、正弦量相量的书写方式
设正弦量: uU m si(ω ntψ )
用相量表示:
U Ujψ eUψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量 20
3、
由于正弦交流电路中的电压、电 流都是同频率的正弦量，故角频率这 一共同拥有的要素在分析计算过程中 可以略去，只在结果中补上即可。这 样在分析计算过程中，只需考虑最大 值和初相两个要素。 （课本P37）
解：
3）复数j的实部为0， 虚部为1，
其极坐标式为 j=1∠90°；
＋j
1 90
4） 复数-j的实部为0， 虚部为-1，
1 180
其极坐标式为 –j =1∠-90°。
0
1 0 ＋1
（A = a + j b）
1 － 90
11
3. 复数的四则运算 （P35） 1） 加减运算 设有两个复数分别为 A=a1+jb1=r1∠θ1, B=a2+jb2=r2∠θ2 则 A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)
A=r1∠θ1,
B=r2∠θ2
则
A·B=r1r2∠(θ1+θ2)
A B
r1 r2
(1
2)
一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成
较为简便的极坐标式。
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2.3.2 正弦量的相量表示法
1. 旋转因子：
把模为1，幅角为θ的复数称为旋转因子， 即ejθ=1∠ θ 。
取任意复数A=r1 e j1 =r1∠θ1， 则A·1∠θ=r1∠(θ1+θ),
(3）指数式：由尤拉公式ejθ=cosθ+j sinθ，得
A=r ejθ (4） 极坐标式： 在电路中，复数的模和幅角通 常用更简明的方式表示
A=r∠θ
9
【补充例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。 （参见课本P36 下至 P37 上）
解：
1）复数1的实部为1， 虚部为0，
2）画在同一个复平面上表示相量的图 称为相量图。 （课本P37）
24
【例】写出下列相量对应的正弦量。 (见课本
21
4、
正弦量的相量表示法中，在表示相量 的大写字母上打点“·”是为了与一般 的复数相区别。 （课本P37）
22
5、 用一个复数表示一个正弦量的意义
在于： 把正弦量之间的三角函数运算变成
了复数的运算，使正弦交流电路的计算 问题简化
（课本P37）
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6、 需要强调的是： 1）只有同频率的正弦量，其相量才能 相互运算，才能画在同一个复平面上。
正弦量
iImsi nt (i)
2Isint(i)
uU msi nt (u)
2Usin t(u)
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
相量
IIm I Im i i
U mUmu
U Uu 18
正弦量的相量表示法—小
结
1、正弦量相量的两种形式
最大值
U m
有效值 U
1）. 表示正弦量的复数称为相量 。若其
幅度用最大值表示 ，则为幅值相量： Um、Im
b r
代数式：A=a+j b
极坐标式：A=r∠θ
0
a
+1
(矢量图)
7
由图可知， 复数用点表示法与用矢量表示法之 间的换算关系为
+j
r
a2 b2
arctan
b a
b
r
a r cos
b
r sin
0
a
+1
8
2. 复数的四种表达式 (1） 代数式: A=a+jb (2） 三角函数式： A=r cosθ+jr sinθ
但由于在电路中I 通常表征电流强度， 因此常用
j表示虚部单位， j= 1
这样复数可表示成A=a+jb。jb称为虚数。
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23 正弦量的相量表示法J
复数可以在复平面内用图形表示， 也可以用不同形式的表达式表示。
4
23 正弦量的相量表示法J
下图为复平面图，横轴为实轴+1，纵轴为虚轴 j = 1
A = a + j b为复数， a是A的实部，b是A的虚部， A与实轴的夹角ψ称为辐角， r 为A的模。
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成 代数式。
12
复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
平行四边形法则
＋j
A＋B
0
B
A ＋1
三角形法则(加法)
＋j
B A
0 A－B －B ＋1 三角形法则(减法)
13
2） 乘除运算 （P36） 设有两个复数
即任意复数乘以旋转因子后， 其模不变， 幅角在原来的 基础上增加了θ， 这就相当于把该复数逆时针旋转了θ角。 见图。
＋j A e j
r1
r1
1
O
A
15
＋1
如图所示,设θ=ωt是一个随时间匀速变化的角， 其 角速度为ω， 复数为A=Um∠ψu， A匀速旋转后 可惟一对应一正弦量：
Um ∠ψu→ Um sin (ωt+ψu)