(无向)树没有回路的连通图
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n1 + 2 × 4 + 3 × 3 = 2(n1 + 4) n1 + 17 = 2n1 + 8 ∴ n1 = 9
该树有9片树叶。
定理 树中任意加一条边就形成回路 证明： 证明：若在连通图G中两个不相邻的结点vi和vj之间添 加一条边{vi, vj}，因为G中原来存在vi到vj的通路，故此时 形成一条经过vi和vj的回路。
第六章 树
（无向）树：没有回路的连通图 无向） 根树是计算机科学最常用的概念之一 根树 根树以（无向）树为基础 6.1树 树 定义1 无向） 定义 （无向）树：无简单回路的连通图 树叶：树中度为1的顶点 树叶 森林：无简单回路的图（多棵树） 森林 树必定不是多重图、伪图 森林的每个连通分支都是树
例
定理1 定理 无向图是树⇔每对顶点之间存在唯一的基本通路 证明： 证明：首先假定T是树。则T是没有简单回路的连通图。 设x和y是T的两个顶点。因为T是连通的，根据连通性定理 1，在x和y之间存在一条简单通路。另外，这两条通路必 然是唯一的，因为假如存在第二条这样的通路，则组合从 x到y的第一条这样的通路以及经过倒转从x到y的第二条通 路的顺序所得到的从y到x的通路，就形成了回路。利用 5.4节习题5，这蕴含着在T中存在简单回路。因此，在树 的任何两个顶点之间存在唯一简单通路。 现在假定在图T的任何两个点顶点之间存在唯一简单 通路。则T是连通的，因为在它的任何两个顶点之间存在 通路。另外，T没有简单回路。为了看出这句话是真的， 假定T有包含顶点x和y的简单回路。则在x和y之间就有两 条简单通路，因为这条简单回路包含一条从x到y的简单通 路和一条从y到x的简单通路。因此，在任何两个顶点之间 存在唯一简单通路的图是树。
习题
证明：简单图是树，当且仅当它是连通的，但是删除它的 任何一条边就产生不连通的图。
6.2根树 根树 有向树： 定义 有向树：有向图，底图是有向树 根树：有一个顶点（称为根）的入度为0，其余顶点 根树 根 的入度均为1
例
定理 根树中，从根到其余每个顶点有且仅有一条通路
证明： 证明：因为T是根树，则作为无向图而言，根结点到任何 结点均有通路，若无有向通路，则一定存在某个结点，其 入度为0，这与根树的定义矛盾。又若根节点到某结点有 两条有向通路，则作为无向图看待时，必存在回路，故T 不成树，矛盾。
定理2 定理 n阶无向图是树⇔无向图连通，且n-1有条边 证明： ⇒用数学归纳法。在归纳步骤中，删除1边， 成为两棵树。 ⇐用反证法。若非树，则有回路，去掉回路中 的1条边仍然保持连通性。如此重复，直到成为树，有n1>X=n-1条边，与条件矛盾 例 1 一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶， 问该树有几片树叶？ 解：设该树有n1片树叶，有m条边，n个顶点 根据树的性质 m = n − 1 = (n1 + 2 + 3) − 1 = n1 + 4 由握手定理得
该树有9片树叶。
定理 树中任意加一条边就形成回路 证明： 证明：若在连通图G中两个不相邻的结点vi和vj之间添 加一条边{vi, vj}，因为G中原来存在vi到vj的通路，故此时 形成一条经过vi和vj的回路。
第六章 树
（无向）树：没有回路的连通图 无向） 根树是计算机科学最常用的概念之一 根树 根树以（无向）树为基础 6.1树 树 定义1 无向） 定义 （无向）树：无简单回路的连通图 树叶：树中度为1的顶点 树叶 森林：无简单回路的图（多棵树） 森林 树必定不是多重图、伪图 森林的每个连通分支都是树
例
定理1 定理 无向图是树⇔每对顶点之间存在唯一的基本通路 证明： 证明：首先假定T是树。则T是没有简单回路的连通图。 设x和y是T的两个顶点。因为T是连通的，根据连通性定理 1，在x和y之间存在一条简单通路。另外，这两条通路必 然是唯一的，因为假如存在第二条这样的通路，则组合从 x到y的第一条这样的通路以及经过倒转从x到y的第二条通 路的顺序所得到的从y到x的通路，就形成了回路。利用 5.4节习题5，这蕴含着在T中存在简单回路。因此，在树 的任何两个顶点之间存在唯一简单通路。 现在假定在图T的任何两个点顶点之间存在唯一简单 通路。则T是连通的，因为在它的任何两个顶点之间存在 通路。另外，T没有简单回路。为了看出这句话是真的， 假定T有包含顶点x和y的简单回路。则在x和y之间就有两 条简单通路，因为这条简单回路包含一条从x到y的简单通 路和一条从y到x的简单通路。因此，在任何两个顶点之间 存在唯一简单通路的图是树。
习题
证明：简单图是树，当且仅当它是连通的，但是删除它的 任何一条边就产生不连通的图。
6.2根树 根树 有向树： 定义 有向树：有向图，底图是有向树 根树：有一个顶点（称为根）的入度为0，其余顶点 根树 根 的入度均为1
例
定理 根树中，从根到其余每个顶点有且仅有一条通路
证明： 证明：因为T是根树，则作为无向图而言，根结点到任何 结点均有通路，若无有向通路，则一定存在某个结点，其 入度为0，这与根树的定义矛盾。又若根节点到某结点有 两条有向通路，则作为无向图看待时，必存在回路，故T 不成树，矛盾。
定理2 定理 n阶无向图是树⇔无向图连通，且n-1有条边 证明： ⇒用数学归纳法。在归纳步骤中，删除1边， 成为两棵树。 ⇐用反证法。若非树，则有回路，去掉回路中 的1条边仍然保持连通性。如此重复，直到成为树，有n1>X=n-1条边，与条件矛盾 例 1 一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶， 问该树有几片树叶？ 解：设该树有n1片树叶，有m条边，n个顶点 根据树的性质 m = n − 1 = (n1 + 2 + 3) − 1 = n1 + 4 由握手定理得