(无向)树没有回路的连通图
5_3树的概念和算法
定理.1(证明(3)(4))
Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路
若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。
综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
第 7页
定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。
第 6页
定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：
v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
离散数学Data_G_11-2
《离散数学》
page: 29
11.5 树 11.5.4 哈夫曼编码与哈夫曼树 最优二叉树(哈夫曼树)的构造方法（N-S图）：
各个结点独立成树(森林) 当森林中树的数目大于1 找两棵权值最小的树 合并这两棵权值最小的树（权为二者之和）
2013年11月16日星期六
《离散数学》
2013年11月16日星期六
《离散数学》
page: 25
11.5 树 11.5.4 哈夫曼编码与哈夫曼树 前缀—字符串中前边的一部分。 如，字符串s1s2s3…sn是长度为n的字符串，则其长度 为1,2,3..n-1的前缀分别是：？ s1 s 1s 2 s 1s 2s 3 s1s2s3…sn-1
前缀码—彼此不互为前缀的一组编码。 如：{0,10,110,1111},{1,01,001,000} 和 {1,,11,101,001,0011},{xi,xia,xiang} 前缀码 非前缀码
证明模式： 1）⇒ 2）⇒ 3）⇒ 4） ⇒ 5）⇒ 6）⇒ 1）
2013年11月16日星期六
《离散数学》
page: 1
11.5 树 11.5.1 无向树 叶结点（叶子）--无向树中度为1的结点（顶点）。 (n,m)树—具有个n结点，m条边的树。 结论1：非平凡无向树中至少有两个叶结点。 证明：设非平凡无向树为(n,m)树，其中m=n-1
《离散数学》
page: 10
11.5 树 11.5.3 二叉树 二叉树的主要性质： 性质1：二叉树的第i层上最多可有2i-1个结点。
层：层结点数 1: 21-1=1 2: 22-1=2 B C D F A E H
3: 23-1=4
4: 24-1=8 …… i: 2i-1
离散数学 树
离散数学树
离散数学中的树(Tree)是一种常见的图论结构，它是一种无向、连通且没有简单回路的无向图，或者是一个有向连通图，其中每个节点都只有唯一一个父节点（除了根节点）。
树形结构中的每一个节点都可以视为一个子树的根节点，因为它下面连接了若干个子节点，这样就形成了一棵向下生长的树状结构。
树形结构还有一个重要的特点就是它具有很好的递归性质，因为每个节点下面都可以再建立一棵子树，这样就可以逐层递归地构建出整棵树。
在离散数学中，树被广泛应用于算法设计、数据结构以及对计算机网络和信息系统进行建模等领域。
树的深度和广度优先遍历、树的一些基本性质(如高度、度、叶子节点等)以及树的遍历应用在图的搜索算法、排序、哈夫曼编码、抽象语法树等算法中都有广泛的应用。
离散数学——树ppt课件
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
第七章图 习题答案
第七章图习题答案基础知识：7.1 在图7.23所示的各无向图中：(1)找出所有的简单环。
(2)哪些图是连通图?对非连通图给出其连通分量。
(3)哪些图是自由树(或森林)?答:(1)所有的简单环：(同一个环可以任一顶点作为起点)(a)1231(b)无(c)1231、2342、12341(d)无(2)连通图：(a)、(c)、(d)是连通图，(b)不是连通图，因为从1到2没有路径。
具体连通分量为：(3)自由树(森林)：自由树是指没有确定根的树，无回路的连通图称为自由树：(a)不是自由树，因为有回路。
(b)是自由森林，其两个连通分量为两棵自由树。
(c)不是自由树。
(d)是自由树。
7.2 在图7.24(下图)所示的有向图中：(1) 该图是强连通的吗? 若不是，则给出其强连通分量。
(2) 请给出所有的简单路径及有向环。
(3) 请给出每个顶点的度，入度和出度。
(4) 请给出其邻接表、邻接矩阵及逆邻接表。
答：(1)该图是强连通的，所谓强连通是指有向图中任意顶点都存在到其他各顶点的路径。
(2)简单路径是指在一条路径上只有起点和终点可以相同的路径：有v1v2、v2v3、v3v1、v1v4、v4v3、v1v2v3、v2v3v1、v3v1v2、v1v4v3、v4v3v1、v3v1v4、另包括所有有向环,有向环如下：v1v2v3v1、v1v4v3v1(这两个有向环可以任一顶点作为起点和终点)(3)每个顶点的度、入度和出度：D(v1)=3ID(v1)=1OD(v1)=2D(v2)=2 ID(v2)=1OD(v2)=1D(v3)=3 ID(v3)=2OD(v3)=1D(v4)=2 ID(v4)=1OD(v4)=1(4)邻接表：(注意边表中邻接点域的值是顶点的序号，这里顶点的序号是顶点的下标值-1) vertex firstedge next┌─┬─┐┌─┬─┐┌─┬─┐0│v1│─→│ 1│─→│ 3│∧│├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘1│v2│─→│ 2│∧│├─┼─┤├─┼─┤2│v3│─→│ 0│∧│├─┼─┤├─┼─┤3│v4│─→│ 2│∧│└─┴─┘└─┴─┘逆邻接表：┌─┬─┐┌─┬─┐0│v1│─→│ 2│∧│├─┼─┤├─┼─┤1│v2│─→│ 0│∧│├─┼─┤├─┼─┤┌─┬─┐2│v3│─→│ 1│─→│ 3│∧│├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘3│v4│─→│ 0│∧│└─┴─┘└─┴─┘邻接矩阵：0 1 0 10 0 1 01 0 0 00 0 1 07.3 假设图的顶点是A,B...，请根据下述的邻接矩阵画出相应的无向图或有向图。
(无向)树没有回路的连通图.
现在假定在图T的任何两个点顶点之间存在唯一简单 通路。则T是连通的，因为在它的任何两个顶点之间存在 通路。另外，T没有简单回路。为了看出这句话是真的， 假定T有包含顶点x和y的简单回路。则在x和y之间就有两 条简单通路，因为这条简单回路包含一条从x到y的简单通 路和一条从y到x的简单通路。因此，在任何两个顶点之间 存在唯一简单通路的图是树。
加一条边{vi, vj}，因为G中原来存在vi到vj的通路，故此时 形成一条经过vi和vj的回路。
习题 证明：简单图是树，当且仅当它是连通的，但是删除它的 任何一条边就产生不连通的图。
6.2根树 定义 有向树：有向图，底图是有向树
根树：有一个顶点（称为根）的入度为0，其余顶点 的入度均为1
例
定理 根树中，从根到其余每个顶点有且仅有一条通路
证明：因为T是根树，则作为无向图而言，根结点到任何 结点均有通路，若无有向通路，则一定存在某个结点，其 入度为0，这与根树的定义矛盾。又若根节点到某结点有 两条有向通路，则作为无向图看待时，必存在回路，故T 不成树，矛盾。
解：设该树有n1片树叶，有m条边，n个顶点 根据树的性质 m n 1 (n1 2 3) 1 n1 4 由握手定理得
n1 2 4 3 3 2(n1 4)
离散数学及其应用课件：树
树
图7-13 二叉树
树
例7.11 计算机中存储的文件目录,目录可以包含子目录
和文件。图7-14用多叉树表示一个文件系统。C表示根目录,
可以表示成根树,内点表示子目录,树叶表示文件或空目录。
树
图7-14 多叉树表示的文件系统
树
2.二叉树的遍历
定义7.10 对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次
树
图7-16 给定单词二叉搜索树
树
7.2.3 最优二叉树及其应用
1.哈夫曼树
树
例7.14 计算图7-17所示带权二叉树的权值。
图7-17-带权二叉树
树
7.2.1 根树的概念
定义7.6 一个有向图D,如果略去有向边的方向所得的无
向图为一棵无向树,则称D为有向树。换句话说,若有向图的
基图是无向树,那么这个有向图为有向树。入度为0的顶点称
为树根(Root),入度为1且出度为0的顶点称为树叶;入度为1且
出度大于0的顶点称为内点。内点和树根统称为分支点。
有一种特殊结构的有向树叫根树。
图7-2 无向图
树
树
例7.2 设T 是一棵树,它有三个2度结点,两个3度结点,一
个4度结点,求T 的树叶数。
树
7.1.2 生成树的概念与性质
1.生成树的概念
定义7.2 设G=<V,E>是无向连通图,T 是G 的生成子图,并
且T 是树,则称T 是G的生成树(SpanningTree),记为TG 。
树
定理7.1 设G=<V,E>是n 阶无向图,G 中有m 条边,则下面
关于G 是树的命题是等价的:
(1)G 连通而不含回路;
(2)G 的每对顶点之间具有唯一的一条路径;
离散数学-树
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
山东科技大学 离散数学7-6对偶图与着色7-7 树+复习
7-8 根树及其应用
一、根树
1、有向树 定义7-8.1 如果一个有向图在不考虑边的方向时
是一棵树，那么，该有向图称为 有向树。
2、根树
定义7-8.2 一棵有向树,如果恰有一个 结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1, 则称为根树(rooted tree)。 入度为0的结点称为T的树根。 出度为0的结点称为树叶。 出度不为0的结点称为分支点或内点。
7. 设a和b是格<A, ≤>中的两个元素，证明 (1)a∧b=b 当且仅当a∨b=a (2) a∧b < b和a∧b <a 当且仅当a与b是不可比较的 证明： (1)在格中吸收律满足, 则 由a∧b=b, a∨b=a∨(a∧b)=a 反之, 若a∨b=a, 则a∧b= (a∨b)∧b=b (2)若a∧b < b和a∧b <a, 即表明a∧b ≠b和a∧b ≠a, 用反证法： 假设a与b是可比较的, 则 a≤b，a∧b=a，矛盾; b≤a，a∧b=b，矛盾 因此a与b是不可比较的。 反之, a与b是不可比较的, 则a≤b和b≤a均不成立, 即a∧b ≠b和a∧b ≠a 根据∧的定义：a∧b≤a 和 a∧b≤b, 故 a∧b < b和a∧b <a
点中的某一个称为根,其他所有结点被分成有限个
在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。 但实际应用中，有时要给出同一级中结点的相对 次序，这便导出有序树的概念。 4、有序数：在根树中规定了每一层上结点的次 序，称为有序树。
为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。
定义 在以v0为根的树中， （1）v1，v2,…，vk称为v0的 儿子，v0称为它们的 父亲。vi，vj 同为一顶点v的儿子时，称它们为兄弟。 （2）顶点间的父子关系的传递闭包称为顶点间
离散数学-第10章 树
避圈法
1
1
2
6
5
2
6
5
3
4
3
4
➢ 由于生成树的形式不惟一，故上述两棵生成树 都是所求的。
➢ 破圈法和避圈法的计算量较大，主要是需要找 出回路或验证不存在回路。
2023/11/30
算法10.2.3
求连通图G = <V, E>的生成树的广度优先搜索算法： （1）任选s∈V，将s标记为0，令L = {s}，V = V-
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2023/11/30
定义10.3.2
一棵非平凡的有向树，如果恰有一个结点的入度为 0，其余所有结点的入度均为1，则称之为根树 (Root Tree)或外向树(Outward Tree)。入度为0的 结点称为根(Root)；出度为0的结点称为叶(Leaf)； 入度为1，出度大于 0的结点称为内点(Interior Point) ； 又 将 内 点 和 根 统 称 为 分 支 点 (Branch Point)。在根树中，从根到任一结点v的通路长度， 称为该结点的层数(Layer Number)；称层数相同的 结点在同一层上；所有结点的层数中最大的称为根 树的高(Height)。
2023/11/30
例10.2.5
利用广度优先搜索算法求下图的生成树。
1(a) 3(e) bd
4(gd1)(a) 3(e) bd
4(gh)
0(a-)
2e(b0)(a-)
h 3(e)
4(jh2e)(b)
h
4(h) j
3(e)
cf 1(a) 2(c)
3(ie1)(ca)
f 2(c)
无向树及生成树
一、无向树及其性质
1、 无向树 定义 5-17:不包括回路的无向连通图称为无向树， 简称树,记为 T . （1）两棵以上的图称为森林。 （2）设 T 是树，则 T 的边称为树枝。 （3）树中度数为 1 的结点，称为树叶。 （4）树中度数大于等于 2 的结点称为分支点。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 1 设 v1 , v 2 是 T 的两个不同结点， 则连接 v1 , v 2 有 且仅有一条通路，而且这条通路是初级通路。 性质 2 设 v1 , v 2 是 T 的两个结点， 如果 v1 , v 2 不邻接， 则在 T 中添加边 v1 , v 2 后所得的图有且仅有一条回 路，而且这条回路是初级回路。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 3 树中任意删除一条边后所得的图是不连通 的。 性质 4 设 T 是 (n, m) 树，则 m n 1。 性质 5 设树 T 的结点数为 n(n 2) ，则至少两片树 叶。
一、无向树及其性质
2、 树的性质
例 5-7：设树 T 中有 7 片树叶，3 个 3 度结点，其余 都是 4 度结点，问: T 中有几个 4 度结点？ 例 5-8．设树 T 中有 1 个 3 度结点，2 个 2 度结点， 其余结点都是树叶，问 T 中有几片树叶？ 例 5-9 画出所有 6 个顶点非同构的无向树。
e1 , e2 ,, em ，它们带的权分别为 a1 , a2 ,, am ，不妨
设 a1 a2 am （1） 一开始取权最小的边 e1 ， 且 w(e1 ) a1 ， 取
e1 在 T 中。
三、求最小生成权的克鲁斯科尔算法
（ 2）若 e2 不与 e1 构成回路，将 e2 添加在 T 中，否 则放弃 e2 ，再查 e 3 ，继续这一过程，直到得到的子 图就是所求的一棵最小生成树 T 为止。
【离散数学讲义】8.树与生成树53
2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,
称为该生成树的补.
v1
定理2 :连通图G中至少有一棵生成树.
v2
v3
证明:如果G中无回路, 则G本身就是树. v4
v5
如果G中有回路,可以通过反复删去回路
中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树.
思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少
为该结点的层次. 同一层次的结点称为兄弟结点.
7.树高:从树根到各个叶结点的路径中, 最长路径的长度,
称为该树的高度(树高).
三.举例: a)语法树
主语
句子
谓语短语
冠词 形容词 名词 动词
宾语
The little
b)算术表达式树 ((a+b)÷c)×(d－e)
19
42,58 24,34,42 19,23,24,34
17,17,19,23,24
11,13,17,17,19,23
7,10,11,13,17,19,23 5,5,7,11,13,17,19,23
2,3,5,7,11,13,17,19,23
23 24
34
11 13 17 17
7 10
55
23
5. 最优树的应用举例
34 6 6 v6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em
S=S∪{ai} j=j+1
|S|=n-1 Y 输出S 停 N
N
取ej使得
ai=ej i=i+1
七图习题参考答案
第七章图习题答案基础知识：7.1 在图7.23所示的各无向图中：(1)找出所有的简单环。
(2)哪些图是连通图?对非连通图给出其连通分量。
(3)哪些图是自由树(或森林)?答:(1)所有的简单环：(同一个环可以任一顶点作为起点)(a)1231(b)无(c)1231、2342、12341(d)无(2)连通图：(a)、(c)、(d)是连通图，(b)不是连通图，因为从1到2没有路径。
具体连通分量为：(3)自由树(森林)：自由树是指没有确定根的树，无回路的连通图称为自由树：(a)不是自由树，因为有回路。
(b)是自由森林，其两个连通分量为两棵自由树。
(c)不是自由树。
(d)是自由树。
7.2 在图7.24(下图)所示的有向图中：(1) 该图是强连通的吗? 若不是，则给出其强连通分量。
(2) 请给出所有的简单路径及有向环。
(3) 请给出每个顶点的度，入度和出度。
(4) 请给出其邻接表、邻接矩阵及逆邻接表。
答：(1)该图是强连通的，所谓强连通是指有向图中任意顶点都存在到其他各顶点的路径。
(2)简单路径是指在一条路径上只有起点和终点可以相同的路径：有v1v2、v2v3、v3v1、v1v4、v4v3、v1v2v3、v2v3v1、v3v1v2、v1v4v3、v4v3v1、v3v1v4、另包括所有有向环,有向环如下：v1v2v3v1、v1v4v3v1(这两个有向环可以任一顶点作为起点和终点)(3)每个顶点的度、入度和出度：D(v1)=3ID(v1)=1OD(v1)=2D(v2)=2 ID(v2)=1OD(v2)=1D(v3)=3 ID(v3)=2OD(v3)=1D(v4)=2 ID(v4)=1OD(v4)=1(4)邻接表：(注意边表中邻接点域的值是顶点的序号，这里顶点的序号是顶点的下标值-1) vertex firstedge next┌─┬─┐┌─┬─┐┌─┬─┐0│v1│─→│ 1│─→│ 3│∧│├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘1│v2│─→│ 2│∧│├─┼─┤├─┼─┤2│v3│─→│ 0│∧│├─┼─┤├─┼─┤3│v4│─→│ 2│∧│└─┴─┘└─┴─┘逆邻接表：┌─┬─┐┌─┬─┐0│v1│─→│ 2│∧│├─┼─┤├─┼─┤1│v2│─→│ 0│∧│├─┼─┤├─┼─┤┌─┬─┐2│v3│─→│ 1│─→│ 3│∧│├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘3│v4│─→│ 0│∧│└─┴─┘└─┴─┘邻接矩阵：0 1 0 10 0 1 01 0 0 00 0 1 07.3 假设图的顶点是A,B...，请根据下述的邻接矩阵画出相应的无向图或有向图。
离散数学——树
例16.2
例16.2 7阶无向图有3片树叶和1个3度顶点，其余3个顶点的度 数均无1和3。试画出满足要求的所有非同构的无向树。
解答 设Ti为满足要求的无向树，则边数mi＝6，于是 ∑d(vj)＝12＝e+3+d(v4)+d(v5)+d(v6)。
由于d(vj)≠1∧d(vj)≠3，而且d(vj)≥1且d(vj)≤6，j＝4,5,6， 可知d(vj)＝2，j＝4,5,6。于是Ti 的度数列为
s
s
s
m mi (ni 1) ni s n s
i 1
i 1
i 1
由于s≥2，与m＝n-1矛盾。
(4)(5)
如果G是连通的且m＝n1，则G是连通的且G中任何边均为桥。
只需证明G中每条边均为桥。 e∈E，均有|E(G-e)|＝n-1-1＝n-2， 由习题十四题49（若G是n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1）可
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。
存在性。 由vj(Gvi的v连j)通存性在及通定路理，1则4.vi5到的v推j 一论定（存在在n阶长图度G小中于，等若于从n顶-1点的v初i到 级通路(路径)）可知，
u,v∈V，u与v之间存在路径。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
离散数学(第二版)第9章树
e10， 则分别产生初级回路e1e3e4， e1e4e5e2， e6e8e9，
•
•
•
e7e6e9e10。
•
第九章 树
这些初级回路有一个共同特点： 它们中均只含一条弦，
其余的边均是树枝， 我们称这样的回路为基本回路。 对于
G的每棵生成树T， m-n+1条弦对应着m-n+1个基本回路，
这些基本回路构成的集合称为对应T的基本回路系统。 显
例如图9.1.3中， T1和T2是图G的两棵生成树， 1 和2 是 分别对应于它们的余树。
第九章 树
图9.1.3 图的生成树和余树
第九章 树
由图9.1.3可见， G与T1、 T2的区别是G中有回路， 而 它的生成树中无回路， 因此要在一个连通图G中找到一棵 生成树， 只要不断地从G的回路上删去一条边， 最后所得 无回路的子图就是G的一棵生成树。 于是有如下定理。
这个问题的数学模型为： 在已知的带权图上求权最小 的生成树。
定义9.1.4 设无向连通带权图G=〈V, E, ω〉， G中带 权最小的生成树称为G的最小生成树(最优树)。
定理9.1.4 设连通图G的各边的权均不相同， 则回路 中权最大的边必不在G的最小生成树中。
证明略。
第九章 树
定理的结论是显然的， 由此寻找带权图G的最小生成 树， 可以采用破圈法， 即在图G中不断去掉回路中权最大 的边。
(5) 1， 1， 1， 1， 1， 2， 5
(6) 1， 1， 1， 1， 1， 3， 4
(7) 1， 1， 1， 1， 1， 1， 6
第九章 树
注意到， 不同构的度数列对应不同的树， 但对应同一 度数列的非同构的树不一定唯一， 所以对应(1)有T1， 对应 (2)有T2、 T3和T4， 对应(3)有T5和T6， 对应(4)有T7和T8， 对应(5)有T9， 对应(6)有T10， 对应(7)有T11(见图9.1.2)。
图论-树自测题
图 论 部 分 自 测 题一、内容提要基本概念：图，无向图，有向图，关联，邻接，零图，平凡图，环（自回路），结点度数（度数、入度、出度），简单图，多重图，正则图，完全图，子图（子图、真子图、生成子图），图的同构.路，回路，通路（初级通路，简单通路），通路的长度，闭通路（圈也即初级回路，简单回路），结点之间的连通性与可达性，无向图的连通性，有向图的连通性（弱连通、单向连通、强连通）。
邻接矩阵，可达矩阵，关联矩阵.树，森林，生成树，生成树的权，最小生成树，破圈法，避圈法.有向树，根树，有序树，根树高度，带权树，最优二叉树，求最优二叉树的方法，前辍码，求前辍码的方法.主要定理：Th 1 每个图G=<υ，E>中，结点总度数等于边数的两倍，∑∈ννdeg(υ)=2|E|.Th 2 在任何图中，度数为奇数的结点个数为偶数.定理1，2常称为握手定理及推论.Th 3 在有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和， Th 4 n 个结点的无向完全图K n 的边数为).1(21-n n Th 5 在有n 个结点的简单图中，如果从结点υi 到结点υj 存在一条路，则从结点υi 到结点υj 必存在一条长度小于等于n-1的路.推论 在有n 个结点的图中，若从结点υi 到结点υj 存在一条中路，则必存在一条从υi 到υj 而长度小于n 的基本通路.Th 7 在有n 个结点的简单图中，若υi 到自身存在回路，则从υi 到自身存在长度小于等于n 的回路.推论 在有n 个结点的图中，若υi 到自身存在回路，则从υi 到自身存在长度小于等于n 的闭通路(基本回路).Th 10 设A(G)是图G 的邻接矩阵，则(A(G))L中的第i 行j 列元素)(L ij a 等于G 中联结υi 与υj 的长度为L 的路的数目.Th 20 (n,m)无向图G 是树，当且仅当G 连通且m=n-1. Th 21 (n,m)无向图G 是树，当且仅当G 中无回路且m=n-1.Th 22 连通无向图G 是树，当且仅当G 中任何一对结点间恰有一条基本通路.Th 23 无向图G 为树，当且仅当G 中无回路且对G 中任两点υi ,υj 间加一条边(υi , υj )则形成唯一的初级回路.Th 24 设T 为结点数为n(n ≥2)的无向树，则T 中至少有两片叶子.Th 30 任一棵二叉树的树叶可对应一个前辍码；任一个前辍码都对应一棵二叉树.二 自测题Ⅰ1、 单项选择题（35题）1、 仅由孤立点组成的图称为( ) (1)零图； (2)平凡图； (3)完全图； (4)多重图.2、 仅由一个孤立点组成的图称为( ) (1)零图； (2)平凡图； (3)多重图； (4)子图.3、 在任何图G=<υ,E>中，结点总度数与边数的关系为( )(1)V v v ∈)deg(=2|E|; (2)Vv v ∈)deg(=|E|; (3)∑∈=Vv E v |;|2)deg( (4)∑∈=Vv E v .||)deg(4、 在任何图G 中必有偶数个( ) (1)度数为偶数度的结点；(2)度数为奇数度的结点； (3)入度为奇数的结点； (4)出度为奇数的结点.5、 设G 为有n 个结点的无向完全图，则G 的边数为( ) (1)n(n-1); (2)n(n+1); (3)n(n-1)/2; (4)(n-1)/26、 设G=<υ，E>为无向图，|υ|=7，|E|=23，则G 一定是( ) (1)完全图； (2)零图； (3)简单图； (4)多重图.7、 下面哪一个图是简单图( )(1)G 1=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛<υ1,υ2>,<υ2,υ1>,<υ3,υ4>,<υ2,υ3>｝>; (2)G 2=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛<υ1,υ2>,<υ2,υ2>,<υ3,υ2>,<υ3,υ1>｝>; (3)G 3=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛(υ1,υ2),(υ3,υ1),(υ3,υ4),(υ2,υ1)｝>; (4)G 4=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛(υ1,υ2),(υ1,υ3),(υ3,υ3)｝>.8、 图G 和G ’的结点和边分别存在一一对应关系是G ≅G’(同构)的( ) (1)充分条件； (2)必要条件； (3)充分必要条件；(4)既不充分也不必要条件.9、 含5个结点，3条边的简单图有( ) （1）2个； (2)3个； (3)4个； (4)5个.10、 设G=<υ,E>为简单图，|υ|=n,∆(G)为G 的最大度，则有( ) (1) ∆(G)<n; (2)∆(G)≤n; (3)∆(G)>n; (4)∆(G)≥n.11、 设图G=<υ,E>为任意图，则有( ) (1)E ⊆υ×υ; (2)E ⊄υ×υ; (3)υ×υ⊂E; (4)υ×υ=E.12、 给定下列序列，哪一个可构成无向简单图的结点度数序列( ) (1)(1,1,2,2,3); (2)(1,1,2,2,2); (3)(0,1,3,3,3); (4)(1,3,4,4,5).13、 设图C 为(n,m)图，且G 的每个结点的度数不是k 就是k+1，若G 中有N k 个k 度结点，则N k 为( )(1)n/2; (2)n(n+1);(3)n·k; (4)n(k+1)-2m.14、完全图K4的所有非同构的生成子图中，有几个是3条边的( )(1)1; (2)3;(3)4; (4)2.15、设G=<υ,E>为无向图，u,υ∈υ，若u,υ连通，则( )(1)d(u,υ)>0; (2)d(u,υ)=0;(3)d(u,υ)<0; (4)d(u,υ)≥0.16、任何无向图G中结点的连通关系是( )(1)偏序关系；(2)等价关系；(3)既是偏序关系又是等价关系；(4)既不是偏序关系又不是等价关系.17、有向图G=<υ,E>，其中υ=｛a,b,c,d,e,f｝,E=｛<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>｝是( )(1)强连通图； (2)单侧连通图；(3)弱连通图； (4)不连通图.18、设υ=｛a,b,c,d｝，则υ与下面哪个边集能构成强连通图( )(1)E1=｛<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,d>,<d,c>｝;(2)E2=｛<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>｝;(3)E3=｛<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>｝;(4)E4=｛<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>｝.19、设|υ|=n(n-1),G=<υ,E>是强连通图，当且仅当( )(1)G中至少有一条路；(2)G中至少有一条回路；(3)G中有通过每个结点至少一次的路；(4)G中有通过每个结点至少一次的回路.20、在有n个结点的连通图G中，其边数( )(1)最多有n-1条；(2)至少有n-1条；(3)最多有n条；(4)至少有n条.21、设A(G)是有向图E=<υ,E>的邻接矩阵，其中第i行中值为1的元素数目为( )(1)给点υi的入度； (2)给点υi的出度；(3)给点υi的度数； (4)给点υj的度数.22、 M(G)=(m ij)nxm是无向图G=<υ,E>的关联矩阵，υi∈υ是G中的孤立点，则( )(1)υi对应的一行元素全为0； (2)υi对应的一行元素全为1；(3)υi对应的一列元素全为0； (4)υi对应的一列元素全为1.23、 M(G)=(m ij)nxm是有向图G=<υ,E>的关联矩阵，若m ij=1，则在图G中( )(1)υi是e j的起点； (2)υi是e i的起点；(3)υi是e i的终点； (4)υi是e i的终点.24、若G是有n个结点的连通图，则其完全关联矩阵的秩为( )(1)n; (2)n-1;(3)n+1; (4)n2.25、 G=<υ,E>是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列哪种关系( )(1)点与点； (2)点与边；(3)边与点； (4)边与边.26、邻接矩阵具有对称性的图一定是( )(1)有向图; (2)无向图;(3)混合图; (4)简单图.27、下面哪一种图不一定是树( )(1)无回路的连通图；(2)有n个结点n-1条边的连通图；(3)每对结点间都有通路的图；(4)连通但删去一条边则不连通的图.28、设G=<υ,E>为<n,m>连通图，则要确定G的一棵生成树必删去G中的边数为( )(1)n-m-1; (2)n-m+1;(3)m-n+1; (4)m-n-1.29、具有4个结点的非同构的无向树的数目为( )(1)2; (2)3;(3)4; (4)5.30、具有6个结点的非构的无向树的数目为( )(1)4; (2)5;(3)7; (4)8.31、一棵树有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，则其1度结点数为( )(1)5; (2)7;(3)8; (4)9.32、一个树有2个4度结点，3个3度结点，其余的结点都是叶子，则叶子数为( )(1)9; (2)8;(3)7; (4)10.33、设有33盏灯，拟用一个电源，则至少需要有五插头的接线板数为( )(1)7; (2)8;(3)9; (4)14.34、下面给出的符号串集合中，哪一个是前辍码( )(1)｛1,01,001,000｝;(2)｛1,11,101,001,0011｝;(3)｛b,c,aa,bc,aba｝;(4)｛b,c,a,aa,ac,abb｝.35、下面给出的符号串集合中，哪一个不是前辍码( )(1)｛0,10,110,1111｝;(2)｛01,001,000,1｝;(3)｛b,c,aa,ac,aba,abc｝;(4)｛0011,001,101,11,1｝.2、填空题（34题）1、设G为(n,m)图,当时，称G为零图,当时，称G为平凡图.答案：2、在一个图中，若两个结点，则称这两点为邻接点，若一个结点，则该点称为孤立点.答案：3、图G为简单无向图，若，则G为完全图.无向完全图Kn有条边.答案：4、如图G=<υ,E>和G’=<υ’,E’>，若，则G’为G的真子图，若，则G’为G的生成子图.答案：5、在任何图G=<υ,E>中，结点υ的度数为，图G的最大度∆(G)= ，图G的最小度δ(G)= .答案：6、在任何图G=<υ,E>中，结点度数的总和∑∈Vvv)deg(= ；奇度结点必有个.答案：7、设图G有6个结点，若各结点的度数分别为：1,4,4,3,5,5，则G有条边，根据 .答案：8、设无向图G=<υ,E>中，|E|=12，若G中有6个3度结点，其余结点度数均小于3，则G中至少有个结点，根据 .答案：9、设G是(n,m)简单图，υ是G中度数为k的结点，e是G中一条边，由G-υ中有个结点，条边，G-e中有条边.答案：10、在有10个结点的图中(存在不存在) 结点总度数为45的图，因为 .答案：11、给定图G，则G的补图为 .答案：12、设图G=<υ,E>与G’=<υ’,E’>,G≅G’当且仅当且 .答案：[υ和υ’，E和E’存在一一对应关系；保持关联关系.]13、三个结点可构成，个不同构的简单无向图，个简单有向图.答案：14、在无向图G中，结点间点的连通关系满足性，性和性，是关系.答案：15、 设G=<υ,E>为无向连通图，若|υ|=100，|E|=100，则从G 中能找到 条回路.答案：16、 在有向图G 中，结点间的可达关系满足性质 .答案： 17、 在G 为简单有向图，若 ，则G 为强连通图，若 ；则G 为弱连通图. 答案： 18、 G 是有向图，当且仅当G 中有一条要至少通过每个结点一次的回路，G为 图；当且仅当G 中有一条通过每个结点的路时，G 为 图.答案：19、 有向图G 的邻接矩阵A(G)中，第i 行中值为1的元素数目为结点υi的 ，第j 行中值为1的元素数目为结点υj 的 .答案：20、 A(G)为图G=<υ,E>的邻接矩阵，结点υi ∈υ的出度为 ，入度为 ，(A(G))k 中的第i 行第j 列的元素a ij (k)为 . 答案： 21、 G 为无向图，M(G)为其关联矩阵，则M(G)中每一列有 个1，每一 行中元素的和数是 ，全0元素行对应的结点为 .答案： 22、 G 为有向图，M(G)为其关联矩阵，则M(G)中每一列中的非零元素为 ，孤立点对应行的元素 .答案：23、设图G=<υ,E>,υ=｛υ1,υ2,υ3,υ4｝的邻接矩阵A(G)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001111011010 ,则υ 1的入度 ，υ4的出度 ,从υ2到υ4长度为2的路有 条. 答案：24、 一个 图称为树，树叶为 ，树的分枝点为 . 答案： 25、 若对T 是 ，则称T 为图G 的生成树，树T 中的边称为 ， 称为弦. 答案：26、 无向图G 具有生成树，当且仅当 ，若G 为(n,m)连通图，要确定 G 的一棵生成树必删去G 的 条边. 答案：27、 设G 为n 个结点的连通图，G 的生成树T 的权为 ，若T ，则称T 为最小生成树.答案：28、 一棵树有2个2度分枝点，1个3度分枝点，3个4度分枝点，则有 片叶子.答案：29、 设G=<υ,E>是无向连通图，e ∈E ，若e 在G 的任何生成树中，则e 为 G 的 ，若e 不在G 的任何生成树中，则e 为G 的 .答案：30、一个有向树T称为根树，若，其中称为树根，称为树叶.答案：31、 5个结点可以构成棵非同构的无向树，又可构成棵非同构的根树.答案：32、设T为根树，若，则称T为m叉树；若，则称T为m叉完全树；若，则称T为m叉正则树.答案：33、设T为二叉树，树叶带权分别为w1,…,w t，其通路长为L(w i)，则T的树权w(t)= ，若，则称T为最优树.答案：34、设A为一个序列集合，若，则称A为前辍码.答案：3、判断题（正确填T,错误填N）（共24题）1、仅由一个孤立点构成的图称为平凡图.（）2、仅由一个孤立点构成的图称为零图. （）3、仅由n(n≥2)个孤立点构成的图称为平凡图. （）4、任一图G=<υ,E>的最大度∆(G)必小于G的结点数. （）5、简单图G的最大度∆(G)必小于其结点数. （）6、设图G和图G’，G≅G’当且仅当G和G’的结点和边分别存在一一对应关系. （）7、在n(n≥2)个结点的简单图G中，若n个奇数，则G与其补图_G的奇度结点数一定相同. （）8、在n(n≥2)个结点的简单图G中，若n个奇数，则G与其补图_G的奇度结点数不一定相同. （）9、任何具有相同结点数和边数的图都同构. （）10、在无向图中，结点间的连通关系是等价关系. （）11、若图G是连通的，则G的补图_G必是连通图. （）12、若图G不是连通的，则G的补图_G也是不连通的. （）13、在有向图中，结点间的可达关系满足自反性和传递性. （）14、在有向图中，结点间的可达关系是等价关系. （）15、图G的邻接矩阵A(G)中第i行里值为1的元素个数是结点υ1的入度.（）16、设图G为有向图，A(G)是其邻接矩阵，则A(G)是对称的. （）17、图G的关联矩阵M(G)中每一列至少有两个非零元素. （）18、图G的可达矩阵P(G)是刻划G中结点到结点的可达关系. （）19、G的可达矩阵P(G)是刻划G中的结点到边的可达关系. （）20、设图G是有n个结点，n-1条边的无向图，则G为一棵树. （）21、任何树T都至少有两片叶子. （）22、设图G是无向连通图，G的生成子图T称为G的生成树. （）23、｛0000,0010,010,011,111,01,10｝是一个前辍码. （）24、｛000,001,01,10,11｝是一个前辍码. （）4、简答题（共15题）1｛6,6,5,4,3,2,1｝是否可以是一图的结点度数的序列？为什么？解：2设G为有6个结点的图，若各结点的度数分别为：1,2,2,3,5,5，那么图G有n条边？根据什么？解：3试画出所有5个结点，3条边的简单无何图及其对应的补图(不同构).解：4设无向图G中有12条边，已知G中有3度结点个，其余结点的度数均小于问G中至少有多少个结点？为什么？解：.5设有七人a,b,c,d,e,f,g.已知a会讲英语，b会计是汉语和英语，c会讲英语、意大利语和俄语，d会讲日语和汉语，e会讲德语和意大利语，f会讲法语、日语和俄语，g会讲法语和意大利语.试问这七人是否可任意交谈(必要时相相互翻译).解：6已知图G的邻接矩阵A如下，试画出图G.A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001010000000010100000010解：7 给出G 的邻接矩阵；(1) 求各结点的出、入度；(2) 求从结点G 出发长度为3的所有回路.解：(1)G 的邻接矩阵A(G)=(2)结点的入度和出度：a b c d d 入度 出度(3)从C 出发长度为3的回路有 条：和8 给定G 的邻接矩阵；(1) G 中长度为4的路有多少条？其中有几条为回路？ 解：(1)G 邻接矩阵 A=(2) 由A 通过矩阵运算得：A 4=9 求图G=<V,E>的关联矩阵，其中V=｛υ1，υ2，υ3，υ4，υ5｝，E=｛<υ2,υ1>,<υ2,υ3>,<υ2,υ4>,<υ2,υ5>,<υ3,υ2>,<υ3,υ1>,<υ5,υ1>,<4,υ5>｝. 解： M=10 已知图G 和G ’的关联矩阵分别为M 和M’，试给出其图形表示.M=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001101011010110101，M ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------100010001101011010110101解：11 若图G 有n 个结点，n-1条边，G 一定是一棵树吗？为什么？解：12 画出结点数n ≤5的所有树(不同构).解：13 某城市拟在六个区之间架设有线电话网，其网点间的距离如下面有权图 矩阵给出.试给出架设线路的最优方案.请画出图并计算出线路长.A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00610500070896703021003040580401092010 解：依题意设六个区a,b,c,d,e,f 用结点表示，由矩阵A 可得带权图G 如图所示.G 的最小生成树即为所求的最优方案设计图. 最优线路的长度即最小生成树之权.14 一个有向图G ，有且仅有一个结点的入度为0，其余结点的入度为1， 则G 一定是根树吗？解：15 由给定权按Huffman 算法构成如下的最优树.1 2 4 6 9 12 15 18 24 46[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
组合图论图论及其算法课件
4. 实例：求下列赋权完全图的最优Hamilton回路.
A
解：ACEBDA: 权和 25 BACEDB: 权和 25 CABEDC： 权和 22 DACEBD： 权和 25 EACDBE: 权和 27
21 B
9 10
34 5E 7 6
C8D 所选初始点不同，得到的近似解也不同.
5. 修改方法：最邻近插入法
(2)不允许高速路在所研究的城市以外的某点 处连接.
最短网络问题: 如何用最短的线路将三部电话连起来？
A
B
C
此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三 顶点的路线（称为网络）。这种网络有许多个， 其中最短路线者显然是二边之和(如AB∪AC).
❖ 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网 络的最短路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N 比原来只连三点的最短路径O要短。
3). 重复2)过程直到汇y被标号，或不再有顶点可以标号为止. 若y得到标号，说明存在一条x y增广路P，进入步骤2调整过程； 若y未得到标号，标号过程无法进行，说明f 即为最大流.
(2) 调整过程
1).
令
min{ min (vi ,v j )P
(Cij
f
ij
),
(
min
vi ,v j )P
f ji}，调整增广路P中
三. 中国邮递员问题(1962，管梅谷)
1. 问题：邮递员每天从邮局选好邮件，送到他所管辖 的邮区的客户手中，再返回邮局，他每天必须走过每 条街道至少一次，问如何选择邮递路线，使得他走过 的投递总行程最短？
2. 模型：非负赋权图G： 顶点----交叉口或终端，边----街道，权-----街道长 度，此即求图的通过每条边至少一次的闭途径,称为G 的环游.
第二十七讲--无向树
图 8.6―3
4
二、生成树
下面研究图G关于给定生成树T的基本回路系统与基本割集系统 之间的关系。
二、生成树
定理7：设 D={e1,e2,e3,…,ek}是一个基本割集,其 中 e1 是树枝 ,e2,e3,…,ek是生成树的弦。则 e1包 含在对应于ei(i=2,3,…,k)的基本回路中,而不包 含在任何其它的基本回路中。 举一例,以加深对定理的理解。如图8.6―4 所示,生成树是{a,b,e,h,i},其中一枝为e,包含e的 割集为{e,d,f},则由弦d决定的基本回路{a,b,e,d} 和由弦f决定的基本回路{e,h,i,f}都含有e,而其余 两个基本回路都不含e。
5. 设G=<V,E>是无向图, 若存在边子集 E`⊂E ，使得图G删除E`后所得子图 二、生成树 G-E`的连通分支数W(G- E`)>W(G)； 而删除E`的任一真子集E“后所得子图G-E”的连通分支数W(GE“)=W(G), 则称E`为G的一个边割集。 若G的一个边割集中只含有一条边，则称该边为割边。
第二十七讲
讲授内容：
树
第二十七讲
树
1.无向树
无向树，森林 树的等价定义 基本结论
2.生成树
生成树 基本回路 基本割集 基本回路与基本割集的关系
讲授重点：树基本概念，等价定义，最小生成树 讲授难点：基本回路与基本割集的关系
3.最小生成树及其求解算法
取小法 去大法
一、无向树
1.无向树：连通而无简单回路的无向图称为无向树,简称树(tree)
图 8.6―1 例如图8.6―1(a)、(b)所示的都是树,(c)所示的是森林。
一、无向树
证明：轮转法
一、无向树 证明： 1) 树的定义 连通而无简单回路
所有不同构的5阶无向树
所有不同构的5阶无向树
1.基本概念：无向树是一种没有回路的连通图，它有一个根节点，每个节点最多只有一个父节点。
2. 构建5阶无向树的方法：我们可以从一个简单的节点开始，逐渐添加子节点，直到该树有5个节点为止。
在构建过程中，不能出现回路。
3. 所有不同构的5阶无向树：共有3种不同构的5阶无向树，它们分别是：
(1) 一条主干线上有5个节点的树；
(2) 一个节点有3个子节点，其他节点都只有一个子节点的树；
(3) 一个节点有2个子节点，另外两个节点都有一个子节点，且这两个节点是兄弟节点的树。
4. 判断两棵无向树是否同构：两棵无向树是同构的，当且仅当它们的节点个数相同，且它们的树结构相同。
5. 总结：构建不同构的无向树是一项有趣的数学问题，它需要我们考虑到树的基本特征和结构，同时还需要灵活运用组合数学和图论的知识。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
该树有9片树叶。
定理 树中任意加一条边就形成回路 证明： 证明：若在连通图G中两个不相邻的结点vi和vj之间添 加一条边{vi, vj}，因为G中原来存在vi到vj的通路，故此时 形成一条经过vi和vj的回路。
第六章 树
（无向）树：没有回路的连通图 无向） 根树是计算机科学最常用的概念之一 根树 根树以（无向）树为基础 6.1树 树 定义1 无向） 定义 （无向）树：无简单回路的连通图 树叶：树中度为1的顶点 树叶 森林：无简单回路的图（多棵树） 森林 树必定不是多重图、伪图 森林的每个连通分支都是树
例
定理1 定理 无向图是树⇔每对顶点之间存在唯一的基本通路 证明： 证明：首先假定T是树。则T是没有简单回路的连通图。 设x和y是T的两个顶点。因为T是连通的，根据连通性定理 1，在x和y之间存在一条简单通路。另外，这两条通路必 然是唯一的，因为假如存在第二条这样的通路，则组合从 x到y的第一条这样的通路以及经过倒转从x到y的第二条通 路的顺序所得到的从y到x的通路，就形成了回路。利用 5.4节习题5，这蕴含着在T中存在简单回路。因此，在树 的任何两个顶点之间存在唯一简单通路。 现在假定在图T的任何两个点顶点之间存在唯一简单 通路。则T是连通的，因为在它的任何两个顶点之间存在 通路。另外，T没有简单回路。为了看出这句话是真的， 假定T有包含顶点x和y的简单回路。则在x和y之间就有两 条简单通路，因为这条简单回路包含一条从x到y的简单通 路和一条从y到x的简单通路。因此，在任何两个顶点之间 存在唯一简单通路的图是树。
习题
证明：简单图是树，当且仅当它是连通的，但是删除它的 任何一条边就产生不连通的图。
6.2根树 根树 有向树： 定义 有向树：有向图，底图是有向树 根树：有一个顶点（称为根）的入度为0，其余顶点 根树 根 的入度均为1
例
定理 根树中，从根到其余每个顶点有且仅有一条通路
证明： 证明：因为T是根树，则作为无向图而言，根结点到任何 结点均有通路，若无有向通路，则一定存在某个结点，其 入度为0，这与根树的定义矛盾。又若根节点到某结点有 两条有向通路，则作为无向图看待时，必存在回路，故T 不成树，矛盾。
定理2 定理 n阶无向图是树⇔无向图连通，且n-1有条边 证明： ⇒用数学归纳法。在归纳步骤中，删除1边， 成为两棵树。 ⇐用反证法。若非树，则有回路，去掉回路中 的1条边仍然保持连通性。如此重复，直到成为树，有n1>X=n-1条边，与条件矛盾 例 1 一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶， 问该树有几片树叶？ 解：设该树有n1片树叶，有m条边，n个顶点 根据树的性质 m = n − 1 = (n1 + 2 + 3) − 1 = n1 + 4 由握手定理得