期末复习3(功与能,刚体,相对论) (1)
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m3 r
19
m1
m2
20
∵有阻力矩，∴要判断正确的正方向 m 1 g － T1 = m 1 a T2 – m 2 g = m 2 a
T1 r T2 r M f J
r
a = r
a
1 m r2 2 3
T1
T2
T2 m2 m2 g
0156 如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定 轴O转动，它们的质量分别为mA＝10 kg和mB＝20 kg， 半径分别为rA和rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的 细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘处的切向 加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？
JA 1 2 m A rA 2
① ② ③
JB
1分 1分 1分
1 2 m B rB 2
fB
B A
rB rA
fA
（基础训练18） （一个滑轮、两个质点）质量 分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆 盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘 面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为 9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端 都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加 速度的大小． 作业题，重点复习
2
（质点与刚体碰撞）
一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的 竖直固定光滑轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度为 1 l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J = 3 ml 2 .初始时棒静 止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并 留在棒中，如图所示．子弹的质量为m= 0.020 kg，速 率为v = 400 m·s-1．试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N·m的恒定阻力矩 作用，棒能转过多大的角度？ m, l
r0 v2 v2 B 2
1 mv 2 2 r0 A O 0
v
11
V
m v0 M
v0
m
M
M m 2 v0 2 Mg
12
1 1 1 1 mv 2 mv 2 MV 2 mgh MV 2 2 0 2 2 2
★二、刚体力学
★四类问题：复习作业中的计算题
2r r m 2m m
24
f A J A rB A m A rA A f B J B rA B m B rB B
得
fA / fB = mA / mB =
1 2
2分
23
m
（圆盘转动） 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角 速度为0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比， 即M＝－k (k为正的常数)，求圆盘的角速度从 1 0变为 0 时所需的时间．
a
m1 gr m2 gr M f 1 m1 r m2 r m3 r 2
T1 m1 m 1g
a
（两个滑轮、无质点）
B A
rB rA
T1＝m1g－m1a＝156 N T2＝m2g－m2 a＝118N
21
fB
fA
22
解： fArA = JAA fBrB = JBB a = rA A = rB B
xb xa
弹性力的功： Aa b
(注意负号) kx d x = ( E pb - E pa )
质点的动能定理： A合 E K 2 E K 1 （保守力的功用势能差表示！） 严非男 2015-6 1
（注意顺序）
2
势能的计算：
Ep
势能零点 P
F保 dr
13 14
势 能 E p mghc
功A
2
质点：J
mr 2
Md
1
角动量L = Jω
转动定律：M 外 J
角动量守恒；机械能守恒
d dt
5643有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中 心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始 时转台以匀角速度0转动，此时有一质量为m的 人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，当人 到达转台边缘时，转台的角速度为
17
注意：列方程时正方向要一致。
T1 R J 1 1
1 M R2 1 2 1 1 T2 r T1 r J 2 2 M 2 r 2 2 2
1
T1
T1
2
T2 T2
M1 R
M2 ,r
mg T2 ma a R 1 r 2
（受力图）
m
mg
a
M1 R
v 2 2ah
v0
m O
0 2 2
m, l O
θ
R
m
v
27 28
(1) 碰撞过程中，系统对轴O的角动量守恒． 1分
1 mv0 R＝( MR 2＋mR 2 ) 2
mv 0 1 M m R 2
2分 1分
(2) 摩擦力矩的大小 M = R2
R
v0
m
R
O
2 2 M f r g 2 πr d r ＝ g R 3 MgR 0 3 3 d M f J dt
18
a
mg 4m / s 2 1 M1 M 2 m 2
v 2ah 2m / s
T2＝m(g－a)＝58 N
T1
1 M a 48 N 2 1
(一个滑轮、两个质点) 如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没 有滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩， 求滑轮两边绳子中的张力．已知m1＝20 kg，m2 ＝10 kg．滑轮质量为m3＝5 kg．滑轮半径为r＝ 0.2 m．滑轮可视为均匀圆盘，阻力矩Mf＝6.6 N·m.
期末复习3
（功与能 刚体 相对论） 公式记住了吗？作业复习了吗？历年的期末、 期中试卷做过了吗？ 只要做到了这三点，考试一定能成功！
一、功,势能,动能定理,功能原理,机械能守恒 功的计算：
Aa b
rb
F
a
b
dr
万有引力的功： Aa b
Gm1m 2 dr = ( E pb - E pa ) r2 ra
0＝Jω＋mvR
(相对运动：角动量守恒)
［
A ］
16
(两个滑轮、一个质点) 质量为M1=24kg的圆轮，可绕水平光滑固定轴 转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为 M2=5kg的圆盘形定滑轮悬有m=10kg的物体， 求当重物由静止开始下降了h=0.5m时，(1)物体 的速度；(2)绳中张力。
M2 ,r m
O m v
M = J
-k = J d / dt
d
k dt J
0 / 2
0
1
源自文库
d
t 0
k dt J
25
t ＝ (J ln2) / k
26
解：碰撞时，系统的角动量守恒
1 m ' vl ( ml 2 m ' l 2 ) 3
棒转动：用转动定律求解
ω
1 M r ( ml 2 m ' l 2 ) 3
m M h 光滑
系统：m+M；以地面为参考系： 水平方向动量守恒： 0 = mv+MV 机械能守恒： mgh=mv2/2+MV2/2
A 1 mv 2 mgh 2
m M h 光滑
滑道对物块所作的功
7
8
0093如图所示，劲度系数为k的弹簧，一端固定 在墙壁上，另一端连一质量为m的物体，物体在 坐标原点O时弹簧长度为原长．物体与桌面间的 摩擦系数为．若物体在不变的外力F作用下向右 移动，则物体到达最远位置时系统的弹性势能EP ＝____________． 功能原理： 1 Fx m gx kx 2 x ... 2 1 2 2( F mg ) 2 E p kx k 2
(注意负号)
质点组动能定理：A外 + A内 = EK2 - EK1 质点组功能定理：A外 + A非内 = E2 - E1 ★只有保守力作功→机械能守恒
万有引力势能(以r=∞为零点)： E p
1 弹性势能(以原长为零点)： E P kx 2 2
Gm1 m2 r
3
4
5019对功的概念有以下几种说法： ⑴保守力作正功时，系统内相应的势能增加． ⑵质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功 为零． ⑶作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以 两者所作功的代数和必为零． 在上述说法中： (A) (1)、(2)是正确的． (B) (2)、(3)是正确的 (C) 只有(2)是正确的． (D) 只有(3)是正确的 ［ C ］
时空间隔变换式： x v t x 2 1 v / c 逆变换：
t
t
v x c2
2
1 v / c
x
x v t 1 v / c
1 动能E K J 2 2
转动惯量： J J i
1 细杠绕端点: J ml 2 3
1 滑轮: J mR 2 2
滑轮加质点：分别画受力图；分别列方程： 质点：F=ma；滑轮：M=Jβ；找联系 •细杠摆动（圆盘转动）：M=Jβ •子弹与刚体碰撞：角动量守恒 •相对运动：角动量守恒 •注意：摩擦阻力矩的积分计算。 •注意：质点与定轴刚体碰撞时，动量必不守 恒，但角动量守恒。
0786一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放 在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)， 圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时， 圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘 半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．
k m O
0214光滑圆盘面上有一质量为m的物体A，拴在 一根穿过圆盘中心O处光滑小孔的细绳上，如图 所示．开始时，该物体距圆盘中心O的距离为r0， 并以角速度0绕盘心O作圆周运动．现向下拉绳， 当质点A的径向距离由r0减少到r0/2时，向下拉的 速度为v，求下拉过程中拉力所作的功．
O r0 A
0
mR 2 v J R
顺时针．(B) 顺时针
根据角动量守恒：J0＝Jω＋mR2ω
(相对运动：角动量守恒)
J 0 J mR 2
15
mR 2 v J mR 2 R
mR 2 v 逆时针 J R mR 2 v 逆时针 (D) J mR 2 R
M f dt
0 t
2分
v0
m
R
O
mR Jd 2
0
0
0
0
1
2
0
mR 2 d
t
3mv0 2 m0 g
29
30
（与刚体作业的附加题类似，角动量守恒）
31
32
三、狭义相对论 1、运动学（两个原理，坐标变换式，速度变 换式! 时间膨胀，长度收缩）： 两个基本假设： ①光速不变原理：在任何惯性系中，光在真空 中的速率都相等。 ②狭义相对性原理：一切物理定律在所有惯 性系中具有相同的形式。
(A)
J 0 J mR 2
(B) (D)
J 0 (C) mR 2
J m R 2
J
0
作业题质量为m的小孩站在半径为R的水平平台 边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固 定轴自由转动，转动惯量为J．平台和小孩开始 时均静止．当小孩突然以相对于地面为v的速率 在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对 地面旋转的角速度和旋转方向分别为 (A) (C)
F
x
0
v
9 10
解：角动量守恒
W
1 1 2 mv 2 mv 0 B 2 2
2
r r m 0 r0 r0 m 0 0 2 2
2 W ( 3mr02 0 / 2)
0756质量m的小球，以水平速度v0与光滑桌面上 质量为M的静止斜劈作完全弹性碰撞后竖直弹 起，则碰后斜劈的运动速度值v =____；小球上 升的高度h =_____． 水平方向动量守恒： mv0=MV 机械能守恒：
5
求弹性力在B→C中所作的功。半径=原长l
1 2 1 2 W ( E p 2 E p1 ) kx2 kx1 2 2
C
A
B
W
(注意x表示：弹簧的伸长量或压缩量)
6
0175如图所示，一光滑的滑道，质量为M高度为h，放 在一光滑水平面上，滑道底部与水平面相切．质量为m 的小物块自滑道顶部由静止下滑，则 ⑴物块滑到地面时，滑道的速度为_______； (2) 物块下滑的整个过程中，滑道对物块所作的功为__. (有相对运动的两体问题，应作 为整体考虑，且以地面为参考 系来列方程)
19
m1
m2
20
∵有阻力矩，∴要判断正确的正方向 m 1 g － T1 = m 1 a T2 – m 2 g = m 2 a
T1 r T2 r M f J
r
a = r
a
1 m r2 2 3
T1
T2
T2 m2 m2 g
0156 如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定 轴O转动，它们的质量分别为mA＝10 kg和mB＝20 kg， 半径分别为rA和rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的 细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘处的切向 加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？
JA 1 2 m A rA 2
① ② ③
JB
1分 1分 1分
1 2 m B rB 2
fB
B A
rB rA
fA
（基础训练18） （一个滑轮、两个质点）质量 分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆 盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘 面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为 9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端 都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加 速度的大小． 作业题，重点复习
2
（质点与刚体碰撞）
一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的 竖直固定光滑轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度为 1 l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J = 3 ml 2 .初始时棒静 止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并 留在棒中，如图所示．子弹的质量为m= 0.020 kg，速 率为v = 400 m·s-1．试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N·m的恒定阻力矩 作用，棒能转过多大的角度？ m, l
r0 v2 v2 B 2
1 mv 2 2 r0 A O 0
v
11
V
m v0 M
v0
m
M
M m 2 v0 2 Mg
12
1 1 1 1 mv 2 mv 2 MV 2 mgh MV 2 2 0 2 2 2
★二、刚体力学
★四类问题：复习作业中的计算题
2r r m 2m m
24
f A J A rB A m A rA A f B J B rA B m B rB B
得
fA / fB = mA / mB =
1 2
2分
23
m
（圆盘转动） 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角 速度为0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比， 即M＝－k (k为正的常数)，求圆盘的角速度从 1 0变为 0 时所需的时间．
a
m1 gr m2 gr M f 1 m1 r m2 r m3 r 2
T1 m1 m 1g
a
（两个滑轮、无质点）
B A
rB rA
T1＝m1g－m1a＝156 N T2＝m2g－m2 a＝118N
21
fB
fA
22
解： fArA = JAA fBrB = JBB a = rA A = rB B
xb xa
弹性力的功： Aa b
(注意负号) kx d x = ( E pb - E pa )
质点的动能定理： A合 E K 2 E K 1 （保守力的功用势能差表示！） 严非男 2015-6 1
（注意顺序）
2
势能的计算：
Ep
势能零点 P
F保 dr
13 14
势 能 E p mghc
功A
2
质点：J
mr 2
Md
1
角动量L = Jω
转动定律：M 外 J
角动量守恒；机械能守恒
d dt
5643有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中 心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始 时转台以匀角速度0转动，此时有一质量为m的 人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，当人 到达转台边缘时，转台的角速度为
17
注意：列方程时正方向要一致。
T1 R J 1 1
1 M R2 1 2 1 1 T2 r T1 r J 2 2 M 2 r 2 2 2
1
T1
T1
2
T2 T2
M1 R
M2 ,r
mg T2 ma a R 1 r 2
（受力图）
m
mg
a
M1 R
v 2 2ah
v0
m O
0 2 2
m, l O
θ
R
m
v
27 28
(1) 碰撞过程中，系统对轴O的角动量守恒． 1分
1 mv0 R＝( MR 2＋mR 2 ) 2
mv 0 1 M m R 2
2分 1分
(2) 摩擦力矩的大小 M = R2
R
v0
m
R
O
2 2 M f r g 2 πr d r ＝ g R 3 MgR 0 3 3 d M f J dt
18
a
mg 4m / s 2 1 M1 M 2 m 2
v 2ah 2m / s
T2＝m(g－a)＝58 N
T1
1 M a 48 N 2 1
(一个滑轮、两个质点) 如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没 有滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩， 求滑轮两边绳子中的张力．已知m1＝20 kg，m2 ＝10 kg．滑轮质量为m3＝5 kg．滑轮半径为r＝ 0.2 m．滑轮可视为均匀圆盘，阻力矩Mf＝6.6 N·m.
期末复习3
（功与能 刚体 相对论） 公式记住了吗？作业复习了吗？历年的期末、 期中试卷做过了吗？ 只要做到了这三点，考试一定能成功！
一、功,势能,动能定理,功能原理,机械能守恒 功的计算：
Aa b
rb
F
a
b
dr
万有引力的功： Aa b
Gm1m 2 dr = ( E pb - E pa ) r2 ra
0＝Jω＋mvR
(相对运动：角动量守恒)
［
A ］
16
(两个滑轮、一个质点) 质量为M1=24kg的圆轮，可绕水平光滑固定轴 转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为 M2=5kg的圆盘形定滑轮悬有m=10kg的物体， 求当重物由静止开始下降了h=0.5m时，(1)物体 的速度；(2)绳中张力。
M2 ,r m
O m v
M = J
-k = J d / dt
d
k dt J
0 / 2
0
1
源自文库
d
t 0
k dt J
25
t ＝ (J ln2) / k
26
解：碰撞时，系统的角动量守恒
1 m ' vl ( ml 2 m ' l 2 ) 3
棒转动：用转动定律求解
ω
1 M r ( ml 2 m ' l 2 ) 3
m M h 光滑
系统：m+M；以地面为参考系： 水平方向动量守恒： 0 = mv+MV 机械能守恒： mgh=mv2/2+MV2/2
A 1 mv 2 mgh 2
m M h 光滑
滑道对物块所作的功
7
8
0093如图所示，劲度系数为k的弹簧，一端固定 在墙壁上，另一端连一质量为m的物体，物体在 坐标原点O时弹簧长度为原长．物体与桌面间的 摩擦系数为．若物体在不变的外力F作用下向右 移动，则物体到达最远位置时系统的弹性势能EP ＝____________． 功能原理： 1 Fx m gx kx 2 x ... 2 1 2 2( F mg ) 2 E p kx k 2
(注意负号)
质点组动能定理：A外 + A内 = EK2 - EK1 质点组功能定理：A外 + A非内 = E2 - E1 ★只有保守力作功→机械能守恒
万有引力势能(以r=∞为零点)： E p
1 弹性势能(以原长为零点)： E P kx 2 2
Gm1 m2 r
3
4
5019对功的概念有以下几种说法： ⑴保守力作正功时，系统内相应的势能增加． ⑵质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功 为零． ⑶作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以 两者所作功的代数和必为零． 在上述说法中： (A) (1)、(2)是正确的． (B) (2)、(3)是正确的 (C) 只有(2)是正确的． (D) 只有(3)是正确的 ［ C ］
时空间隔变换式： x v t x 2 1 v / c 逆变换：
t
t
v x c2
2
1 v / c
x
x v t 1 v / c
1 动能E K J 2 2
转动惯量： J J i
1 细杠绕端点: J ml 2 3
1 滑轮: J mR 2 2
滑轮加质点：分别画受力图；分别列方程： 质点：F=ma；滑轮：M=Jβ；找联系 •细杠摆动（圆盘转动）：M=Jβ •子弹与刚体碰撞：角动量守恒 •相对运动：角动量守恒 •注意：摩擦阻力矩的积分计算。 •注意：质点与定轴刚体碰撞时，动量必不守 恒，但角动量守恒。
0786一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放 在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)， 圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时， 圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘 半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．
k m O
0214光滑圆盘面上有一质量为m的物体A，拴在 一根穿过圆盘中心O处光滑小孔的细绳上，如图 所示．开始时，该物体距圆盘中心O的距离为r0， 并以角速度0绕盘心O作圆周运动．现向下拉绳， 当质点A的径向距离由r0减少到r0/2时，向下拉的 速度为v，求下拉过程中拉力所作的功．
O r0 A
0
mR 2 v J R
顺时针．(B) 顺时针
根据角动量守恒：J0＝Jω＋mR2ω
(相对运动：角动量守恒)
J 0 J mR 2
15
mR 2 v J mR 2 R
mR 2 v 逆时针 J R mR 2 v 逆时针 (D) J mR 2 R
M f dt
0 t
2分
v0
m
R
O
mR Jd 2
0
0
0
0
1
2
0
mR 2 d
t
3mv0 2 m0 g
29
30
（与刚体作业的附加题类似，角动量守恒）
31
32
三、狭义相对论 1、运动学（两个原理，坐标变换式，速度变 换式! 时间膨胀，长度收缩）： 两个基本假设： ①光速不变原理：在任何惯性系中，光在真空 中的速率都相等。 ②狭义相对性原理：一切物理定律在所有惯 性系中具有相同的形式。
(A)
J 0 J mR 2
(B) (D)
J 0 (C) mR 2
J m R 2
J
0
作业题质量为m的小孩站在半径为R的水平平台 边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固 定轴自由转动，转动惯量为J．平台和小孩开始 时均静止．当小孩突然以相对于地面为v的速率 在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对 地面旋转的角速度和旋转方向分别为 (A) (C)
F
x
0
v
9 10
解：角动量守恒
W
1 1 2 mv 2 mv 0 B 2 2
2
r r m 0 r0 r0 m 0 0 2 2
2 W ( 3mr02 0 / 2)
0756质量m的小球，以水平速度v0与光滑桌面上 质量为M的静止斜劈作完全弹性碰撞后竖直弹 起，则碰后斜劈的运动速度值v =____；小球上 升的高度h =_____． 水平方向动量守恒： mv0=MV 机械能守恒：
5
求弹性力在B→C中所作的功。半径=原长l
1 2 1 2 W ( E p 2 E p1 ) kx2 kx1 2 2
C
A
B
W
(注意x表示：弹簧的伸长量或压缩量)
6
0175如图所示，一光滑的滑道，质量为M高度为h，放 在一光滑水平面上，滑道底部与水平面相切．质量为m 的小物块自滑道顶部由静止下滑，则 ⑴物块滑到地面时，滑道的速度为_______； (2) 物块下滑的整个过程中，滑道对物块所作的功为__. (有相对运动的两体问题，应作 为整体考虑，且以地面为参考 系来列方程)