数值分析第五章学习小结【计算方法】

第五章最小二乘法与曲线拟合小结

一、本章知识梳理

1、

从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差

(i=0,1,…,m)

(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量

的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差

平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合

中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。

数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函

数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即

从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小

的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合

函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

2、多项式拟合

假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得

(1)

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘

拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。

显然

为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得

(2)

即

(3)

（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为

(4)

式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。

从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式

(5)

可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我

们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作

由式(2)可得

(6)

多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；

(2) 列表计算和；

(3) 写出正规方程组，求出；

(4) 写出拟合多项式。

在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛

顿插值多项式。

3、曲线拟合：

曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。

定义：若曲线

*

*0()()n

j j j y x c x ϕ==∑

使得：

2

2

*0000()min ()m

n m n j j i i j j i i i j i j c x y c x y ϕϕ====⎡⎤⎡⎤

-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ 成立，则称曲线*()y x 为在曲线族中按最小二乘法原则确定的对于数据的拟合曲线。

注意：不能要求曲线y （x ）通过数据的所有点。

二、本章思考题

函数逼近与曲线拟合有什么异同？

答：相同点：函数逼近与曲线拟合的基本思想是相同的，都是用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者表达式未给出的函数，以便简化对后者的各种计算或揭示后者的某种性质。

不同点：曲线拟合是已知一组离散数据，选择一个较简单的函数，是在一定准则（如最小二乘准则）下，最接近这组数据。而函数逼近是已知一个较为复杂的连续函数，要选一个较简单的函数，在一定准则下接近原函数。

三、本章测验题

在区间[-1，1]上给定函数122)(23-++=x x x x f ，求其在{}

2

,,1x x Span =Φ中关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。

解：设 2001122()()()()P x C L x C L x C L x =++

取Legerdre 多项式 201231

()1,(),()22

L x L x x L x x ===-作为基函数

113200111112

(,)()(221)2223

C f L f x dx x x x dx --===++-=-⎰⎰

11113316(,)()225

C f L xf x dx -===⎰

1132222211555312

(,)()()(221)()222223

C f L f x L x dx x x x x dx --===++--=-⎰⎰

所以 22

221623116()()1353225P x x x x x =-++-=-++

四、本章学习体会

本章主要介绍了最小二乘法，最小二乘多项式，非线性曲线拟合知识；本章侧重介绍了用多项式作最小二乘曲线拟合的方法，针对一组实验数据采用最小二乘原则，以计算的最小二乘偏差为最小目标，给出最终的近似拟合多项式，最后本章介绍了非线性曲线拟合的思想方法；函数的拟合可以在某个范围内近似计算出所求的函数值，能简化我们在工程上或者数学上的一些问题。通过本章的知识学习与掌握，对以后的工作学习有着巨大的帮助。