数值分析第五章学习小结【计算方法】
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。
科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|<E为止，此时取x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。
2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。
3.比例法一般地，设[a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、(b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则：1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。
计算方法 第5章 数值积分与数值微分
第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。
1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。
其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。
对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。
本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。
5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。
数值分析第五章学习小结
第5章 插值与逼近--------学习小结姓名 王富民 班级 研1302 学号 s2******* 一、 本章学习体会本章为插值与逼近，是非常重要的一章。
插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。
一元函数插值中，差商表的应用，通过把,()x f x ，一阶差商，二阶差商，三阶差商等列入一个表格中，依次计算出各值，就可得出Netwon 插值多项式的系数，过程清晰明了。
最大的收获是几种常用的正交多项式的应用问题，每个多项式都有表达式，递推关系式和一些性质，可以很简单的写出最佳平方逼近多项式，还有就是曲线拟合，通过散点图，找出最佳多项式，使误差最小，并可以做出拟合曲线图，这个只是点可以应用到专业方面上的分析求解问题。
二、 本章知识梳理1.重点是Lagrange 插值、Newton 插值。
①Lagrange 插值基函数0(),0,1,2,,nj k j jk j kx x l x k n x x =≠-==-∏②Lagrange 插值多项式000()()[]n nnjn k k k k k j jk j kx x p x y l x y x x ===≠-==-∑∑∏③节点选取原则：居中原则④Lagrange 插值多项式的特点：直观对称，易建立插值多项式； 但无继承性。
Newton 插值主要是差商的理解与应用。
差商(divided difference)也称为均差，是导数的离散形式。
2.正交多项式的概念与性质 ①权函数②内积③正交④正交函数系 克莱姆-施密特正交化方法：01101()1()()(0,1,)(,)(0,1,,)(,)k k j k kj j k j kjj j x x x a x k x a j k φφφφφφ++=+⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩≡=-===∑ 其中3.几种常用的正交多项式 ①Legendre 多项式02()11()[(1)],1,2,2!n nn n n L x d L x x n n dx ⎧⎪⎨⎪⎩≡=⋅-=②Chebyshev 多项式()cos(arccos ),11n T x n x x =-≤≤③Laguerre 多项式()(),0,1,n n x xn nd xe U x e n dx -==④Hermite 多项式22()()(1),0,1,n x nx n nd e H x e n dx-=-=4.函数的最佳平方逼近1. 最佳平方逼近概念(,)min(,)nHf f f f φφφφφ**∈--=-- 2. 最佳平方逼近的条件*(,)0j f p φ-= 3. 最佳平方逼近元素是唯一的4. 最佳平方逼近元素的求法**()()nk k k p x c x φ==∑，求系数*kc 5. 最佳平方逼近误差(,)f p f p δ**=-- 5.曲线拟合1.曲线拟合的最小二乘法*2200[()][()]min mmi i i i D i i x y x y φφφ∈==-=-∑∑2.拟合曲线的求法01{(),(),,()},n D span x x x n m φφφ=<**0()()nj j j x c x D φφ==∈∑01[,,,]n A =ΦΦΦ ，01[,,,]T n c c c c =法方程为T T A Ac A y = 三、 本章思考题计算方法中插值与拟合的区别与联系是什么？插值和拟合都是函数逼近重要组成部分 他们的共同点都是通过已知一些离散点集M 上的约束，求一个定义在连续集合S(M 包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的。
数值分析第五章学习小结
数值分析第五章学习⼩结第五章学习⼩结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******⼀、本章学习体会本章的内容与实际关联很⼤，可以解决很多⼯程实际问题。
1、主要有两⽅⾯内容：插值与逼近。
插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。
逼近即是⽤简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最⼩最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。
2、插值中样条插值⽐较难，需要花⼀定的时间。
逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最⼩。
3、我个⼈觉得本章的难点是样条插值与最佳平⽅逼近。
⼆、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。
1、插值：2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下⽅式：⼀、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上⾮负的函数满⾜（1）对⼀切整数存在；（2）对区间上⾮负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。
常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。
内积的性质：（1）对称性：()(),,f g g f =；（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==；（3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+；（4）⾮负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。
(,)a b ()x ρ0,()bna n x x dx ρ≥?(,)ab ()f x ()0bn ax x dx ρ=?(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)ab 2()1,()11()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞(,)a b (,)()()()ba f g x f x g x dx ρ=?(,)0f f >3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系若内积则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.满⾜则称是上带权的正交函数系。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析第五版第5章学习资料
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
数值分析第5章1-3节
a12
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
,
am1 am2 amn xn bm
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（2.1）
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简记为Ax b. 例1 用消去法解方程组
x1 x2 x3 6, 4x2 x3 5,
2x1 2x2 x3 1.
(2.2) (2.3) (2.4)
(10) 初等置换阵
由单位矩阵 交I换第 行i与第 行(或j 交换第 列与第i 列)，
得到j 的矩阵记为 ,且
I ij
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10
Iij A A~（为交换 A第 i 行与第 j 行得到的矩阵）；
AIij B（为交换 A第 i列与第 j列得到的矩阵）；
(11) 置换阵
由初等置换阵的乘积得到的矩阵.
定理1 设 A R，nn 则下述命题等价：
(1) 对任何 b 方R程n ,组 有A惟x 一 b解.
(2) 齐次方程组 A只x 有 0惟一解 . x 0
(3) det( A) 0.
(4) A存1在.
(5) 的A秩 rank ( A) n.
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定理2 设 A R为n对n 称正定阵，则
解 第1步. 将方程(2.2)乘上 加2到方程(2.4)上去，
消去(2.4)中的未知数 x得1, 到
4x2 x3 11.
(2.5)
第2步. 将方程(2.3)加到方程(2.5)上去，消去方程
(218
得到与原方程组等价的三角形方程组
x1
x2 4 x2
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21
xi , 得到与(2.1)等价的方程组
a (1) 11
数值分析第5章4-5节
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9
采用与列主元消去法类似的方法，将直接三角分解法修 改为(部分)选主元的三角分解法.
设第 r步分1 解已完成，这时有
u11
l21
A lr 1,1
lr1
ln1
u12 u22
lr 1,2 lr 2
k i1
由计算公式1知
所以
j
a jj
l
2 jk
k 1
(i 1,2,, n),
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22
于是
l
2 jk
a jj
max{a
1 jn
jj
},
max{l j,k
2 jk
}
max{a
1 jn
jj }.
这个结果说明，分解过程中元素 l jk l jj 恒为正数.
于是不选主元素的平方根法是一个数值稳定的方法.
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arr urr sr
air lir si /urr air / arr (i r 1,,n, 且r n)
r1
ari uri ari lrkuki
(i r 1,,n, 且r n)
k 1
求解 Ly b, Ux y. 2. 对于 i 1,2,, n 1
(1) t Ip(i) (2) 如果 则i转(3t )
3
A 2 1 0 0 1 4 LU.
3 5 1 0 0 24
按(4.4)求解 Ly (14,18,20)T , 得 y (14,10,72)T ,
求解
U x (14,10,72)T ,
y1 b1;
i1
数值分析第五章常微分方程数值解法讲解
? ? ?
? ?
yn+1
?
1 2
yp ? yc
§1 欧拉方法 /* Euler's Method */
y( xn?1) ? y(xn ) ? hy?( xn ) ? y(xn ) ? yn
y( xn?1) ? yn?1 ? yn ? h f ( xn , yn )
§1 Euler's Method
Taylor 展开法
yn?1 ? yn ? h f (xn , yn ) n ? 0, 1,...
?
y??xn?1 ??
y??xn ??
hy???xn ??
h2 2
y????xn ??
?
yn?1
?
? hf
?
y
xn ? 1 ,?
??? yn ? 1
?
y ?xn?1 ??? ?
y ?xn ?
?
hy??xn ??
h2 y???xn ??
h3 2
y????xn ??
而
y ?xn?1 ??
y ?xn ??
就是用差商近似导数
在xn点用一阶向前差 商近似一阶导数
y ?( xn ) ?
y(xn?1) ? h
y(xn )
y(xn?1) ? y(xn ) ? hy?(xn )
Euler's method
? y(xn ) ? yn y(xn?1) ? yn?1 ? yn ? h f (xn , yn )
? 欧拉公式的改进 ：
式。隐式公式不能直接求解，一般需要用 Euler 显式公式
得到初值，然后用Euler 隐式公式迭代求解。因此隐式公
式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。
数值分析总结
第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。
设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。
如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。
如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。
②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。
当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。
数值分析学习公式总结
第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 。
如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想第一篇：数值分析学习总结感想数值分析学习感想一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。
这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。
他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。
数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。
像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。
数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。
像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的都是不同的算法。
而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，从而知道如何去解决。
在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x ||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m −n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m −n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x、y 的近似值，且|x ∗−x |≤η(x )、|y ∗−y |≤η(y )1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y）和的误差（限）等于误差（限）的和 2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y） 3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x ) 4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x )|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析第五章4-5
(3) y i
(4) xi
(bi lik yk )
k 1
n
i 1
lii
ki
, i 1, 2, , n.
, i n, n 1, ,1.
(3.8)
(bi
k i 1
l
xk ) lii
由计算公式（3.7）知
a jj l 2 , j 1, 2,, n. jk
其中 i , i , i 为待定系数。比较分解式（3.13）两边即 得 b ,c ,
ai i , bi i i 1 i , i 2,3, , n, ci i i , i 2,3, , n 1.
j
l 2 a jj max a jj jk
max l 2 max a jj 于是 jk j ,k 1 j n 上面分析说明，分解过程中元素 l jk 的数量级不会增长 且对角元素 l jj 恒为正数。于是不选主元素的平方根 法式一个数值稳定的方法。 当求出 L 的第 j 列元素时，L 的第 j 列元素亦算出。
这就是说，由 A的假设条件，我们完全确定了 , , 实现了 A的 LU 分解。 求解 Ax f 等价于解两个三角形方程组：
i i i
1.Ly f , 求y; 2.Ux y, 求x.
从而得到解三对角线方程组的追赶法公式： （1）计算 的递推公式
i
1 c1 b1 , i ci (bi ai i 1 ),
(3.10)
计算出 T LD 的第 i 行元素 tij ( j 1, 2,, i 1) 后，存放 在 A 的第 i 行相应位置，然后再计算 L 的第 i 行元 素，存放在 A 的第 i 行。D 的对角元素存放在 A 的相应位置。例如
数值分析第5章
主讲 张学莹
zhangxy@
1
第五章 线性方程组的直接解法
n 阶线性方程组： a 11 x1 a 12 x 2 a 1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n b n
(1 (1 ( a11) x1 a12) x2 a11) xn n (1) (1) (1) a21 x1 a22 x2 a2 n xn a (1) x a (1) x a (1) x 11 1 n 2 2 nn n
b1 b2 bn
lnn
计算量（乘除法的主要部分）为 n2/2.
14
5.2 高斯消去法
一、 Gauss顺序消
元法—按自然 顺序进行的消 元法。
记 Ax=b 为 A(1)x=b (1) ，即
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn a x a x a x n1 1 n 2 2 nn n
0.0003x1 3.0000x2 2.0001 9999.0 x2 6666.0
29
因而再回代，得 6666.0 x2 .06667 9999.0 2.0001 3.0000 .06667 x1 0 0.0003 1 2 而精确值为 x1 3 , x2 3 显然该解与精确值相差太 远，为了控制误差，采用另一种消元过程。
a (1) a (1) n1 n 2
l 2 r ri i2 i 3,, n
(1 (1 ( ( a11) a12) a11) b11) n ( 2) ( 2) ( 2) a22 a2 n b2 li1r1 ri i 2, , n ( 2) ( 2) ( 2) (1 ( an 2 ann bn ann) bn1) (1 (1 ( ( a11) a12) a11) b11) n ( 2) ( 2) ( 2) a22 a2 n b2 ln( n1)rn1 rn ( n) ( n) ann bn
计算方法数值分析第五章考点总结CH.5
第六章数值逼近问题(I)—插值及其数值计算§ 1插值的基本概念插值方法是数值分析中一个很古老的分支，它有着悠久的历史。
插值理论和方法也是现代数值分析中最基本的内容之一，它在数值积分，曲线曲面拟合，求微分方程数值解等方面有着广泛的应用。
在工程技术与科学研究中，有时对一个函数只知道它在某些点上的数值，为了进一步研究其性质，需要用其他函数去近似代替它，这时就可以用插值方法。
有时候，虽然函数有解析表达式，但形式过于复杂，为了便于处理，先在某些点上取值作表格函数，再通过插值建立易于处理的新函数，这也是插值理论的一个应用。
先介绍一般的插值概念。
设f(x) , a,b lo已知它在n，1个互异的点x0，…，x n处的函数值y0,y i，…，y n，即：f (xj r , i =o, 1,…，n求解插值问题就是从函数类 G中求(x)使「(X)* , i =0 , 1,…,(1.1 ) 这里的f(x)称为被插函数，a,b 1称为插值区间，x i, i=0, 1,…，n,称为插值节点，(1.1 )式称为插值条件，而(x)和「分别为插值函数和插值函数类。
通常选定的插值函数类是有限维线性空间，它可看成是某一组基：[(x)二张成的线性空间：二Span「1(x)角对_ [ ：•：」，有＜a i笃使得n：(x)八3i ：i(x)i=0于是确定函数:(x)归结为确定数列E 寫。
从理论上看，插值问题包含以下内容：(1)确定门的基'；：i(x)^=o，一般地说基不唯一，选择合适的基可以简化问题的解法；(2)讨论满足(1.1 )的(x)的存在性，求法及唯一性；(3)寻找插值问题的截断误差，即余项：R(x)二f(x)-「(x)的表达式与估计。
§ 2多项式插值本节选取常用的多项式函数类作插值函数类。
多项式函数属于解析函数类，形式简单，计算方便，其导数与不定积分易于求出。
下面把不超过n次的多项式函数类记为P n2.1 Lagrange 插值设已知f(x) , a,b 1在相异节点X o ,治，…，X n上的函数值f(X i) = y i , i=0 , 1,…，n,取：•：」=P n,下面求f (x)的插值函数。
数值分析 第五章学习小结
第五章 插值与逼近--------学习小节一． 本章学习体会本章学习了插值与逼近，经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。
插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。
可以说我们现在学习推导出来的方法公式等都是前人的辛苦钻研的结果，本章除了学到了许多的插值与逼近方法，更重要的是了解了许多科学前辈的故事以及他们许多做研究的态度与方法。
我感觉了解一下数学家的人生故事对我们学习数值分析或别的数学知识有很大的帮助。
上课时王老师给我们讲了数学奇才Hermite 的传奇故事，一个不会考试，基本上每次考数学都不及格的‘笨学生’，后来成为了伟大的数学家。
不是每个数学家都特别聪明，他们所具有的是作为一名科学家的品质，想别人没有想过的问题，在研究中创新，我们应该学习他们那种做研究的态度与精神。
学习这章时有一个小小的困惑，在曲线拟合的求法时，求多元函数的极小值*2200[()()]min [()()]im nm njj i i j j i i c i j i j cx f x c x f x φφ====-=-∑∑∑∑2010(,,,)[()()]mnn j j i i i j F c c c c x f x φ===-∑∑ 老师讲时说用0kFc ∂=∂求得，那万一求出的是极大值呢？ 二．本章知识梳理数值分析中的插值是一种有力的工具，它最终得出的曲线图像都是过节点的，我们的目的使用它得出的图像来近似估计插值点的函数值。
我们首先学了代数插值中的一元函数插值，一元函数插值中学了拉格朗日插值但其插值公式没有延续性，后来学了牛顿插值，其优点是插值公式具有延续性，但前两者都有缺点，就是插值节点一般不超过三个，否则会有很大误差。
但实际工程中我们会测的许多的数据，也就有许多的节点，这样前两种差值方法就不能用了，后来我们又引进了分段线性插值，就是将这许多的节点进行分段，在每段中应用拉格朗日插值或牛顿差值。
数值分析(颜庆津)第5章 学习小结
第5章 插值与逼近--------学习小结一、 本章学习体会插值法是一种很常见的方法，在一些工具书中，经常使用插值法来读取一些表的数据，但是经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。
插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。
而如何寻找这样的一个插值函数，以及怎样尽可能的寻找截段误差小的函数就是本章解决的问题。
本章内容繁多，但插值函数其实就是由N 个线性无关的多项式组组成。
在理解时，可以按向量来理解。
在梳理本章内容时，也可以按照这样的思路来理解：从插值方法，到插值条件，到插值多项式，到截断误差，再到如何控制截断误差，再思考有没有更好的方法？以样条函数为例，样条函数已经在AutoCAD 、UG 、origin 等软件中广泛应用，也有一些学者，编写程序改进现有的样条函数，以减小误差。
本章的内容很多，插值与逼近的方法更是不胜枚举。
最重要的是，我们要理解每种方法的思路，以期将其用的得心应手。
二、 本章知识梳理本章主要介绍插值与逼近，是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替某个复杂或者解析表达式未知的函数，以便简化对后者的各种计算或者揭示后者某些性质。
函数插值是对函数的离散数据建立简单的数学模型。
5.1代数插值代数插值就是插值函数为多项式的插值问题。
本章介绍代数插值有二个方法：Lagrange （拉格朗日）插值多项式、Newton （牛顿）插值多项式。
1、插值的相关定义（1）、在次数不高于n 的多项式集合},...,{D 10n n Span ϕϕϕ=中寻找多项式k nk k n c x p ϕ∑==0)(使其满足条件),...,1,0)(()(n i x f x p i i n ==，此问题为一元函数的代数插值问题。
n x x x ,...,,10成为插值节点；)(x f 为被插值函数；),...,1,0)((n k x k =ϕ称为插值基函数；),...,1,0)(()(n i x f x p i i n ==为插值条件；k nk k n c x p ϕ∑==0)(为n 次插值多项式。
计算方法期末总结
计算方法期末总结一、绪论计算方法是一门研究数学理论和计算实践相结合的学科，是现代科学和工程技术不可或缺的一部分。
通过学习计算方法，我们能够熟练地运用数值计算的方法和技巧，解决科学、工程和社会问题中的数学模型和计算难题。
本学期，我在计算方法课程中系统地学习了数值计算的基本原理、方法和技术，收获颇丰。
在这篇总结中，我将对本学期所学的内容进行归纳总结，并对我在学习过程中的思考和体会进行分享。
二、数值误差与计算不稳定性1.数值误差在实际计算中，由于各种原因，我们得到的结果往往与真实值有偏差，这个偏差就是数值误差。
数值误差分为截断误差和舍入误差两种。
截断误差是由于数值计算过程中的近似处理导致的误差，而舍入误差是由于计算机数字表示的精度有限导致的误差。
2.计算不稳定性计算不稳定性是指计算过程中微小误差的扩大会导致结果出现巨大误差的现象。
在数值计算中，通常使用条件数来描述计算问题的稳定性。
条件数越大，计算问题的稳定性越差。
我们需要正确评估计算问题的稳定性，并选择合适的算法和技术来解决。
三、线性方程组的数值解法线性方程组是科学和工程计算中最常见的问题之一，因此对于线性方程组的数值解法的学习和掌握对我们来说非常重要。
本学期，我主要学习了直接法和迭代法两类求解线性方程组的数值方法。
1.直接法直接法是通过有限次操作将线性方程组转化为一个等价的简化形式，最终求得方程组的解。
典型的直接法包括高斯消元法、LU分解法和Cholesky分解法。
这些方法都能够得到线性方程组的精确解，但计算复杂度比较高，适用于问题规模较小的情况。
2.迭代法迭代法是通过不断迭代更新一个初始解，使其趋近于线性方程组的精确解。
常用的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等。
迭代法的计算复杂度比较低，适用于问题规模较大的情况。
但迭代法的收敛性和收敛速度都与初始解的选择有关，因此我们需要合理选择初始解，并控制迭代的次数。
四、非线性方程的数值解法非线性方程是科学和工程计算中常见的问题之一，求解非线性方程有时难以找到解析解，因此需要利用数值方法来求解。
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第五章最小二乘法与曲线拟合小结
一、本章知识梳理
1、
从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差
(i=0,1,…,m)
(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量
的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差
平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合
中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函
数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即
从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小
的曲线（图6-1）。
函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合
函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
2、多项式拟合
假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得
(1)
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘
拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然
为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件，得
(2)
即
(3)
（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为
(4)
式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式
(5)
可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。
我
们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作
由式(2)可得
(6)
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；
(2) 列表计算和；
(3) 写出正规方程组，求出；
(4) 写出拟合多项式。
在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛
顿插值多项式。
3、曲线拟合：
曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。
常用双曲线型和指数型函数。
定义：若曲线
*
*0()()n
j j j y x c x ϕ==∑
使得：
2
2
*0000()min ()m
n m n j j i i j j i i i j i j c x y c x y ϕϕ====⎡⎤⎡⎤
-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ 成立，则称曲线*()y x 为在曲线族中按最小二乘法原则确定的对于数据的拟合曲线。
注意：不能要求曲线y （x ）通过数据的所有点。
二、本章思考题
函数逼近与曲线拟合有什么异同？
答：相同点：函数逼近与曲线拟合的基本思想是相同的，都是用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者表达式未给出的函数，以便简化对后者的各种计算或揭示后者的某种性质。
不同点：曲线拟合是已知一组离散数据，选择一个较简单的函数，是在一定准则（如最小二乘准则）下，最接近这组数据。
而函数逼近是已知一个较为复杂的连续函数，要选一个较简单的函数，在一定准则下接近原函数。
三、本章测验题
在区间[-1，1]上给定函数122)(23-++=x x x x f ，求其在{}
2
,,1x x Span =Φ中关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。
解：设 2001122()()()()P x C L x C L x C L x =++
取Legerdre 多项式 201231
()1,(),()22
L x L x x L x x ===-作为基函数
113200111112
(,)()(221)2223
C f L f x dx x x x dx --===++-=-⎰⎰
11113316(,)()225
C f L xf x dx -===⎰
1132222211555312
(,)()()(221)()222223
C f L f x L x dx x x x x dx --===++--=-⎰⎰
所以 22
221623116()()1353225P x x x x x =-++-=-++
四、本章学习体会
本章主要介绍了最小二乘法，最小二乘多项式，非线性曲线拟合知识；本章侧重介绍了用多项式作最小二乘曲线拟合的方法，针对一组实验数据采用最小二乘原则，以计算的最小二乘偏差为最小目标，给出最终的近似拟合多项式，最后本章介绍了非线性曲线拟合的思想方法；函数的拟合可以在某个范围内近似计算出所求的函数值，能简化我们在工程上或者数学上的一些问题。
通过本章的知识学习与掌握，对以后的工作学习有着巨大的帮助。