八年级下册数学公式
2023年部编版八年级下册数学必背公式(完整版)
2023年部编版八年级下册数学必背公式(完整版)结论公式1. 相同数的乘积：- 相同数相乘，底数不变，指数相加：a^m * a^n = a^(m+n)- 多个相同数相乘，底数不变，指数相加：a^m * a^n * a^p = a^(m+n+p)2. 幂的乘法：- 幂的乘法，底数不变，指数相乘：(a^m)^n = a^(m * n)3. 幂的除法：- 幂的除法，底数不变，指数相除：(a^m) / (a^n) = a^(m - n)4. 幂的负指数：- 幂的负指数，底数不变，指数变为负数取倒数：a^(-n) = 1 / a^n5. 幂的零次方：- 幂的零次方等于1：a^0 = 16. 乘方的分配律：- 两个数相乘后再取乘方，等于各自取乘方再相乘：(a * b)^n = a^n * b^n几何公式1. 长方形的面积公式：- 长方形的面积等于长乘以宽：面积 = 长 * 宽2. 三角形的面积公式：- 三角形的面积等于底乘以高再除以2：面积 = (底 * 高) / 23. 圆的面积公式：- 圆的面积等于半径的平方乘以π：面积 = π * 半径^24. 梯形的面积公式：- 梯形的面积等于上底加下底的和乘以高再除以2：面积 = (上底 + 下底) * 高 / 2线性方程1. 一元一次方程：- 一元一次方程的一般形式：ax + b = 0- 求解一元一次方程：x = -b / a2. 一次函数：- 一次函数的一般形式：y = kx + b- 斜率：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)- 平行直线的斜率相等：k1 = k2- 垂直直线的斜率乘积为-1：k1 * k2 = -1这些是2023年部编版八年级下册数学必背的重要公式，掌握这些公式能够帮助你更好地理解和解决数学问题。
八年级数学下册北师大版期中概念、公式、定理归纳
八年级数学下册北师大版期中概念、公式、定理归纳第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形）2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。
二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形的两锐角互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线、角平分线1、线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
4.3 公式法 (解析版)-八年级数学下
4.3公式法考点：因式分解公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a 2＋2ab＋b 2＝（a＋b）2a 2－2ab＋b 2＝（a－b）2题型一：判断是否能用公式法因式分解1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．229x y -+B ．229x y +C ．2221x y -+D ．229x y --【答案】A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．【详解】解：A.229x y -+是x 与3y 的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B.229x y +两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C.2221x y -+是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D.229x y --两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（）个．①2233+x y ②22x y -+③22x y --④22x xy y ++⑤222x xy y +-⑥2244x xy y -+-A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式()()22a b a b a b +-=-进行判断即可．【详解】解：①2233+x y 不能用公式法分解因式，不符合题意；②()()22x y y x y x -+=+-，可以用平方差公式分解因式，符合题意；③()2222x y x y --=-+不能用公式法分解因式，不符合题意；④22x xy y ++不能用公式法分解因式，不符合题意；⑤222x xy y +-不能用公式法分解因式，不符合题意；⑥()()2222244442x xy y x xy y x y-+-=--+=--，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）下列多项式：①2216x y -+，②()222812()a ab b a b -+-+，③222139m mn n -+，④22x y --能用公式法因式分解的有个（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据公式法因式分解的方法，逐一进行判断即可．【详解】解：()()221644x y x y x y -+=-++①，符合题意；()222812()a ab b a b -+-+②2281()()a b a b =--+()()()()99a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()45445a b a b =--，符合题意；22221393n m mn n m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭③，符合题意；22x y --④，不能用公式法进行因式分解，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查公式法因式分解．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．题型二：运用平方差公式因式分解4．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（）A ．()()2211x x -+B ．()()2211x x +-C ．()()()2111x x x +-+D ．()()311x x -+【答案】C【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：()()()()()4222111111x x x x x x =-+--+=+，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（）A ．22x y -+B ．224()a a b -+C ．228a b -D ．221x y -【答案】C【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可，能用平方差因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．【详解】在有理数范围内不能用平方差公式分解的是228a b -，A 、2222()()()x y x y x y x y -+=--=-+-，B 、[][]224()2()2()(3)()a a b a a b a a b a b a b -+=++-+=+-，D 、22221()1(1)(1)x y xy xy xy -=-=+-，故选：C ．【点睛】本题考查了公式法分解因式，不仅要掌握平方差公式的特点，还要对有理数的范围把握好．6．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A ．22x y -B ．22x y -+C ．22x y --D ．2281x y -【答案】C【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，根据平方差公式分解因式的特点进行分析即可．【详解】A.22x y -能用平方差公式因式分解，故不符合题意；B.22x y -+能用平方差公式因式分解，故不符合题意；C.22x y --不能用平方差公式因式分解，故符合题意；D.2281x y -能用平方差公式因式分解，故不符合题意；故选择：C【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式分解因式的特点．题型三：运用完全平方公式因式分解7．（2023春·全国·八年级期中）下列各式：①269x x -+；②225101a a +-；③244x x --；④2144x x -+，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】能利用完全平方公式因式分解的整式需满足：整式是“两数平方和与这两个数积的2倍”．利用完全平方公式的结构特点逐个分析得结论．【详解】解：()22693x x x -+=-，故①能用完全平方公式因式分解；整式225101a a +-与244x x --不满足两数平方和，故②③不能用完全平方公式因式分解；整式2144x x -+的中间项x 不是2x 与12积的2倍，故④不能用完全平方公式因式分解．故选：C ．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式的结构特点是解决本题的关键．8．（2023春·浙江·八年级阶段练习）已知23,23x y =-=+，则代数式2224x xy y x y +++--的值为（）A ．32B ．34C ．31-D ．512-【答案】C【分析】根据已知，得到232322,232323x y x y +=-++=-=---=-，整体思想带入求值即可．【详解】解：∵23,23x y =-=+，∴232322,232323x y x y +=-++=-=---=-，∴()()222244x xy y x y x y x y +++--=++--()222234=--8234=--423=-()23231=-+()231=-31=-．故选C ．【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．9．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（）A ．214x x -+B ．22441a b ab -+C ．21025y y +-D ．22111934a ab b++【答案】C【分析】对每个选项进行因式分解即可做出判断．【详解】解：A ．221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故选项不符合题意；B ．()22244121a b ab ab -+=-，故选项不符合题意；C ．21025y y +-不能用完全平方公式分解，故选项符合题意；D ．2221911321134a b a ab b ⎛⎫=+ ⎝+⎪⎭+，故选项不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．题型四：综合运行公式法因式分解10．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（）A ．26(2)(3)x x x -=-+B ．2221(1)--=-x x xC ．222()x y x y -=-D ．2244(2)x x x ++=+【答案】D【分析】根据公式法分别判断即可．【详解】A ．26(6)(6)x x x -=-+，故原选项错误；B ．22)221(1)(12)(12x x x x x -=--=--+--，故原选项错误；C ．22()()x y x y x y -=+-，故原选项错误；D ．2244(2)x x x ++=+，故原选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．11．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）因式分解(1)()222224x y x y +-(2)22369xy x y y --【答案】(1)()()22x y x y +-(2)()23y x y --【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()222224x y x y +-()()222222x y xy xy xy=+++-()()22x y x y =+-（2）解：22369xy x y y --()2296y x xy y =--+()23y x y =--【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．12．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）分解因式：(1)()69x x -+；(2)()()2xx y y x -+-；(3)()22214x x +-．【答案】(1)()23x -(2)()()()11x y x x -+-(3)()()2211x x -+【分析】（1）先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式x y -，再利用平方差公式分解因式即可；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：()69x x -+269x x =-+()23x =-；（2）()()2xx y y x -+-()()2x x y x y =---()()21x y x =--()()()11x y x x =-+-；（3）()22214x x +-()()221212x x x x =+++-()()2211x x =+-．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握“利用提取公因式与利用公式法分解因式”是解本题的关键．题型五：因式分解在有理数简算的应用13．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）．A ．512B ．12C ．712D ．1130【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯，712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．14．（2022秋·八年级单元测试）利用因式分解简便计算(1)22124252576⨯-⨯(2)2382438144+⨯+【答案】(1)240000(2)2500【分析】（1）先提取公因数25，然后利用平方差公式进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行求解即可．【详解】（1）解：22124252576⨯-⨯()222512476=⨯-()()251247612476=⨯+⨯-2520048=⨯⨯500048=⨯240000=；（2）解：2382438144+⨯+22382123812=+⨯⨯+()23812=+250=2500=．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．15．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）（1）先化简，再求值：()()()22a b a b a b +-++，其中1a =，2b =-；（2）已知()249x y -=，6xy =-，求32232x y x y xy ++的值．【答案】254a ab +，3-；150-【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行同类项的合并，最后代入1a =，2b =-计算即可；（2）先提取公因式，再根据完全平方公式将原式进行因式分解，将原式转换为()24xy x y xy ⎡⎤-+⎣⎦，再将()249x y -=，6xy =-代入计算即可．【详解】解：（1）()()()22a b a b a b +-++=222244a b a ab b -+++=254a ab +，当12a b ==-，时，原式=()542+⨯-=58-=3-；（2）32232x y x y xy ++=()222xy x xy y ++ =()2224xy x xy y xy -++ =()24xy x y xy ⎡⎤-+⎣⎦=()(6)4924-⨯-=150-．一、单选题16．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（）A ．22a b -+B ．221625m n -C ．2292016p pq q -+D ．()214a b a b ++++【答案】C【分析】根据平方差公式和完全平方公式因式分解，逐项分析即可．【详解】因为2222()()a b b a b a b a -+=-=+-，能因式分解，所以A 不符合题意；因为221625(45)(45)m n m n m n -=+-，能因式分解，所以B 不符合题意；因为2292016p pq q -+不能因式分解，所以C 不符合题意；因为222111()()()()442a b a b a b a b a b ++++=++++=++，能因式分解，所以D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解题的关键．17．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）下列因式分解：①()322412412m m m m -+=--；②()()()421111x x x x -=++-；③()()224a b ab a b -+=+；④()23222a a b ab a a b -+=-，其中结果正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据因式分解逐项分析判断即可求解．【详解】解：①()32241243m m m m -+=--，故①不正确；②()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-，故②正确；③()()222242a b ab a ab b a b -+=++=+，故③正确；④()()23222222a a b ab a a ab b a a b -+=-+=-，故④正确,∴正确的有3个，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．18．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）下列因式分解正确的是（）A ．2222444(4)4(2)(2)x y x y x y x -+=--=-+-B ．323123(4)a a a a -=-C ．4222241274(3)7x y x y x y x y -+=-+D ．2425(25)(25)a a a -=+-【答案】D【分析】利用提公因式法，公式法进行分解，逐一判断即可解答．【详解】解：A 、2222444()4()()x y x y x y x y -+=--=-+-，故本选项不符合题意；B 、323123(4)3(2)(2)a a a a a a -=-=+-，故本选项不符合题意；C 、4222241274(3)7x y x y x y x y -+=-+，不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、2425(25)(25)a a a -=+-，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法与公因式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．19．（2023秋·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）已知a b c 、、是ABC 的三边，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形的形状一定是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形或等腰三角形D ．以上都不对【答案】B【分析】将原式整理为完全平方式，然后根据平方式的非负性即可得出答案．【详解】解：∵()222220a b c b a c ++-+=，∴2222220a b b ab bc c -+++-=，即22()()0a b b c -+-=，∴0a b -=，0b c -=，∴a b c ==，∴此三角形的形状一定是等边三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．20．（2023春·全国·八年级专题练习）分解因式(1)211025t t ++；(2)21449m m -+；(3)214y y ++；(4)()()2244m n m m n m +-++；(5)2258064a a -+；(6)()()222a a b c b c ++++．【答案】(1)()215t +(2)()27m -(3)212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(4)()2n m -(5)()258a -(6)()2a b c ++【分析】利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：()221102515t t t ++=+；（2）解：()2214497m m m -+=-；（3）解：221142y y y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭；（4）解：()()()()2222442m n m m n m m n m n m +-++=+-=-；（5）解：()2225806458a a a -+=-；（6）解：()()()2222a a b c b c a b c ++++=++．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．21．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期末）发现与探索．(1)根据小明的解答将21220a a -+因式分解；(2)根据小丽的思考，求代数式21220a a -+的最小值．【答案】(1)()()102a a --(2)16-【分析】（1）将21220a a -+改写为212363620a a -+-+，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）根据题意，将21220a a -+化为()2616a --，即可进行解答．【详解】（1）解：21220a a -+212363620a a =-+-+()2264a =--()()102a a =--；（2）解：21220a a -+212363620a a =-+-+()2616a =--，无论a 取何值()26a -都大于等于0，再加上16-，则代数式()2616a --大于等于16-，则21220a a -+的最小值为16-．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握()2222a b a ab b ±=±+，()()22a b a b a b -=+-．一、单选题22．（2023春·山东济南·八年级统考期末）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．244x x -+B ．21x x ++C ．2441x x +-D ．221x x +-【答案】A【分析】利用完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±，进而判断得出答案．【详解】解：A 、()22442x x x -+=-，能用完全平方公式进行因式分解；B 、21x x ++，不能用完全平方公式进行因式分解；C 、2441x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解；D 、221x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解；故选：A ．【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式．23．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）已知a 、b 、c 是ABC 三条边的长，且满足条件()222220a b c b a c ++-+=，则ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到a b c ==，从而得到答案．【详解】解：∵()222220a b c b a c ++-+=，∴2222220a b c ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b b bc c -++-+=，∴()()220a b b c -+-=，∵()()2200a b b c -≥-≥，，∴()()2200a b b c -=-=，，∴00a b b c -=-=，，∴a b c ==，∴ABC 是等边三角形，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．24．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：1x -，a b -，3，21x +，a ，1x +分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将()()223131a x b x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱数学B ．爱河南C ．河南数学D ．我爱河南【答案】D【分析】先把代数式分解因式，再对照密码手册求解．【详解】解：()()()()()223131311a x b x x x a b ---=+--，所以，结果呈现的密码信息可能是：我爱河南故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，分解因式是解题的关键．25．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（）A ．()231x x x x -=-B ．()()22x y x y x y +=+-C ．()()22x y x y x y -=--+－D ．2244121)x x x -+=-（【答案】D【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．【详解】解：A 、应为()()()32111x x x x x x x -=-=+-，故选项错误，不符合题意；B 、22xy +不能分解，故选项错误，不符合题意；C 、22x y --不能分解，故选项错误，不符合题意；D 、()2244121x x x -+=-，故选项正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．26．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（）A ．2022-B ．2022C ．3-D ．3【答案】D【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．【详解】解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦()11142=++3=；故选D ．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．27．（2023秋·河北廊坊·八年级统考期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a b -，3x -，3x +，a b +，29x -，22a b -分别对应下列六个字：河，爱，我，香，游，美，现将()()222299x a x b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱美B ．香河游C ．我爱香河D ．美我香河【答案】C【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．【详解】解：∵()()222299x a x b---()()2229x a b =--()()()()33x x a b a b =+-+-又∵a b -，3x -，3x +，a b +，分别对应下列四个个字：河，爱，我，香，∴结果呈现的密码信息是：我爱香河．故选：C ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．28．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）若+=3,+=1a b x y ，则代数式22+2++2 015a ab b x y －－的值是（）A ．2019B ．2017C ．2024D ．2023【答案】D【分析】把所给代数式变形后把+=3,+=1a b x y 代入计算即可．【详解】解：∵+=3,+=1a b x y ，∴22+2++2 015a ab b x y －－()()2+2 015a b x y =+-+231+2 015=-2023=．故选D ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．29．（2022秋·八年级单元测试）已知1x y +=，则2212x y 1xy+2+的值是（）A ．12B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】首先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，然后将1x y +=代入计算即可．【详解】解：∵1x y +=，∴2212x y 1xy+2+()2212x xy y =+2+()212x y =+2112=⨯12=，故选A ．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，代数式的求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．二、填空题30．（2023春·全国·八年级期中）在实数范围内分解因式：28a b b -=______【答案】()()2222b a a +-【分析】首先提取公因式b ，再利用平方差公式分解即可求得答案．【详解】解：原式()28b a =-()()2222b a a =+-．故答案为：()()2222b a a +-．【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握因式分解的步骤是关键．31．（2023春·全国·八年级期中）Rt ABC △的面积为5，斜边长为6，两直角边长分别为a ，b ，则代数式33a b ab +的值为___________．【答案】360【分析】根据两直角边乘积的一半表示出Rt ABC △的面积，把已知面积代入求出ab 的值，利用勾股定理得到2226a b +=，将代数式33a b ab +变形，把22a b +与ab 的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵Rt ABC △的面积为5，∴152ab =，解得10ab =，根据勾股定理得：222636a b +==，则代数式332210363()60a b ab ab a b +=+=⨯=．故答案为：360．【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．32．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）已知()222x =+，642y =-．（1）x 的值为______；22x y -的值为______；（2）若22160x nxy y ++=，则n 的值为______．【答案】642+##426+9626【分析】（1）利用完全平方公式求x 的值；利用平方差公式法因式分解求解即可；（2）利用完全平方公式和提公因式法因式分解，将等式分组因式分解成含有x y +、xy 的等式，将x y +、xy 的值代入等式即可求出n 的值．【详解】（1）解：()222x =+()222222+2=+⨯⨯=2+42+4=6+42；()()22=-+-x y x y x y ()()642642642642=++-+-+1282962=⨯=；故答案为：642+；962；（2）22160x nxy y ++= ，2222160x xy y xy nxy ∴++-+=，()()22160x y n xy ++-=，64264212x y +=++-= ，()()642642xy ∴=+-()22642=-3632=-4=；()()22160x y n xy ∴++-=，()21224160n +-⋅=，()2416014416n -⋅=-=，21644n ∴-=÷=，解得6n =，故答案为：6．【点睛】本题考查二次根式的运算、完全平方公式与平方差公式，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可以考虑整体代入是解题的关键．33．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）若3x y +=，5xy =，则22x y xy +的值为______．【答案】15【分析】先提取公因式分解因式，在把3x y +=，5xy =，代入原式计算即可．【详解】解：22x y xy + ()xy x y =+，把3x y +=，5xy =，代入，原式5315=⨯=，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握取公因式分解因式的方法是解题关键．34．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知7,2ab a b =+=，则多项式222008a b ab ++的值为_______．【答案】2022【分析】将多项式中含有字母的式子因式分解，然后整体代入可得结果．【详解】解：()2220082008a ab a b b ab =++++，∵7,2ab a b =+=，∴原式7220081420082022=⨯+=+=．故答案为：2022．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是利用整体代入思想解决问题．35．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）若2463,5,7555m x n x k x =+=+=-，则代数式222222m n k mn mk nk +++--的值为___________．【答案】225【分析】根据完全平方公式因式分解进而即可求解．【详解】解：∵2463,5,7555m x n x k x =+=+=-∴24635715555m n k x x x +-=+++-+=∴222222m n k mn mk nk +++--()2m n k =+-215225==，故答案为：225．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++是解题的关键．三、解答题36．（2023春·广东深圳·八年级期中）分解因式：(1)321025a a a ++；(2)()()224a b a b --+．【答案】(1)()25a a +(2)()()33a b a b --【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可；（2）利用平方差法进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式()21025a a a =++()25a a =+；（2）解：原式()()()()22a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()2222a b a b a b a b =-++---()()33a b a b =--．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和公式法分解因式是解题的关键．37．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）因式分解：(1)()()2222221x x x x -+-+(2)()()22x m n y n m -+-；【答案】(1)4(1)x -(2)()()()m n x y x y -+-【分析】（1）把22x x -看作整体，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式即可；（2）先提取公因式()m n -，再利用平方差公式分解即可．【详解】（1）()()2222221x x x x -+-+()2221x x =-+22(1)x ⎡⎤=-⎣⎦()41x =-（2）()()22x m n y n m -+-()()22m n x y =--()()()m n x y x y =-+-【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．38．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方法．阅读下列有配方法分解因式的过程：222210925559a a a a ++=+⨯+-+()2254a =+-()()5454a a =+++-()()91a a =++仿照上面方法，将下式因式分解2627x x --；（2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()2111x x x x x +++++()()111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()()211x x =++()31x =+①上述分解因式的方法是，共应用了次．②若分解()()()220041111x x x x x x x ++++++⋯++，则需应用上述方法次，结果是．③分解因式：()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++(n 为正整数)．【答案】（1）()()39x x +-；（2）①提取公因式，3；②2005，()20051x +；③()11n x ++【分析】（1）仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解；（2）观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式，()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++经过()1n +次提取公因式，可得()11n x ++．【详解】解：（1）2222627233327x x x x --=-⨯+--()2236x =--()()3636x x =-+--()()39x x =+-；（2）①上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了3次；故答案为：提取公因式，3；②若分解()()()220041111x x x x x x x ++++++⋯++，则需应用上述方法2005次，结果是()20051x +，故答案为：2005，()20051x +；③由题意知：()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++()()()11111n x x x x x x -⎡⎤=+++++⋯++⎣⎦()()()221111n x x x x x x -⎡⎤=+++++⋯++⎣⎦()()11n x x =++()11n x +=+．【点睛】本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解．39．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）已知对于任意实数x 代数式2x 的最小值是0，代数式2(3)x -，当3x =时的最小值是0．(1)求代数式21236x x ++的值是最小值时x 的值．(2)判断代数式2123x x -+-的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式2123x x -+-的最大值或者最小值【答案】(1)6x =-(2)有最大值，最大值为7136-【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，得出()26x +，即可求解；（2）根据完全平方公式因式分解，进而得出2171636x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，根据2106x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】（1）解：∵21236x x ++()26x =+∴6x =-时，最小值为0；（2）解：∵2123x x -+-2112636x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭2171636x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∵2106x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭∴2123x x -+-7136≤-，有最大值，最大值为7136-【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意凑出平方项是解题的关键．40．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法，求代数式223x x +-的最小值．22222232113(1)4x x x x x +-=++--=+-，∵2(1)0x +≥，∴当=1x -时，223x x +-有最小值4-．请根据上述方法，解答下列问题：(1)22222610233310()x x x x x a b ++=+⨯+-+=++，则=a ________，b =___________；(2)求证：无论x 取何值，代数式2235x x ++的值都是正数；(3)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值．【答案】(1)3，1(2)见解析(3)2k =或2-．【分析】（1）将2610x x ++配方，然后与22610()x x x a b ++=++比较，可得a 与b 的值，则问题得解；（2）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；（3）二次项系数为1的二次三项式配方时，常数项为一次项系数一半的平方，故先将代数式配方，然后根据代数式227x kx -+的最小值为3，可得关于k 的方程，求解即可．【详解】（1）2610x x ++222233310x x =+⨯+-+=2(3)1x ++∴22(3)1=()x a bx ++++∴3,1a b ==故答案为：3，1（2）证明：2235x x ++22223(3)(3)5x x =+⨯+-+2(3)2x =++，∵2(3)0x +≥∴22350x x ++>∴无论x 取何值，代数式2235x x ++的值都是正数；（3）2222222727()7x kx x kx k k x k k -+=-+-+=--+，∵2()0x k -≥，∴227x kx -+的最小值为27k -+，又∵代数式227x kx -+的最小值为3，∴273k -+=，解得2k =或2-．。
八年级下册数学公式
八年级下册数学公式一、勾股定理。
1. 在直角三角形里呀，有个超酷的勾股定理。
就是说两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别是a和b，斜边是c，那公式就是a^2+b^2=c^2。
比如说一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那斜边c呢，就根据这个公式算，3^2+4^2=9 + 16=25，所以斜边c = 5，就像魔法一样，知道两条边就能算出第三条边啦。
二、平行四边形相关公式。
1. 平行四边形的面积公式那可是很实用的哦。
如果平行四边形的底是b，高是h，那它的面积S = bh。
你就想象平行四边形是一个被压扁了的长方形，底就相当于长方形的长，高就相当于宽，这样就好理解多啦。
2. 要是一个平行四边形的相邻两边分别是a和b，它的周长C = 2(a + b)。
因为平行四边形对边相等嘛，所以把相邻两边加起来再乘2就得到周长啦。
三、菱形相关公式。
1. 菱形可是特殊的平行四边形哦。
它的面积有两种算法。
一种呢，和平行四边形一样，如果底是b，高是h，面积S = bh；另一种算法更酷，如果菱形的两条对角线分别是m和n，那面积S=(1)/(2)mn。
你看，菱形的对角线就像两把交叉的宝剑，用它们的长度就能算出面积呢。
2. 菱形的周长如果边长是a，那周长C = 4a，因为菱形四条边都相等呀。
四、矩形相关公式。
1. 矩形的面积公式很简单，如果长是a，宽是b，那面积S=ab，就像长方形的面积计算一样，很直观吧。
2. 矩形的周长C = 2(a + b)，长和宽加起来乘2就搞定周长啦。
五、正方形相关公式。
1. 正方形是最特殊的四边形啦，它既是矩形又是菱形。
如果正方形的边长是a，那面积S=a^2，就边长乘边长。
2. 它的周长C = 4a，因为四条边都一样长嘛。
六、分式相关公式。
1. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
就好比给分式换了一身同样比例的衣服，它的“价值”不变。
八年级下册数学公式
八年级下册数学公式1、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
2、定理：四边形的内角和等于360°。
3、四边形的外角和等于360°。
4、多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）×180°。
5、多边形外角和定理：任意多边的外角和等于360°。
6、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。
7、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。
8、推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
9、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。
10、平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
11、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
12、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
13、平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形。
14、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。
15、矩形性质定理2：矩形的对角线相等。
16、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
17、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
18、菱形性质定理1：菱形的四条边都相等。
19、菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
20、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（对角线的乘积）÷2。
21、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。
22、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
23、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
24、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
25、定理1：关于中心对称的两个图形是全等的。
26、定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
27、逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
28、等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等。
八年级下册数学常考公式。
八年级下册数学常考公式。
八年级下册数学中常考的一些公式有：
1.一次函数的公式：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
2.二次函数的顶点公式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶
点的坐标。
3.平方差公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2，其中a和b为任
意实数。
4.三角形的面积公式：S = 1/2 ×底×高，其中底为底边的长度，高为垂直于底边的高度。
5.直角三角形的勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a和b为直角
边的长度，c为斜边的长度。
6.等腰三角形的高公式：h = √(a^2 - (1/2 × b)^2)，其中a
为等腰三角形两等边的长度，b为底边的长度。
7.相似三角形的边长和面积之间的关系公式：对应边的比例相等，面积的比例等于边长的比例的平方。
8.平行四边形的面积公式：S =底×高，其中底为底边的长度，高
为底边所在的直线的长度。
除了以上列举的公式，还有很多其他与代数、几何等相关的公式。
学生在备考过程中，还需要掌握如三角函数的定义和性质、立方和乘
方的运算规则等。
此外，拓展性的话，学生还可以深入了解数列的求和公式、二次
方程的求根公式、立体图形的体积和表面积公式等。
拓展了解这些公
式可以帮助学生更好地应用数学知识解决实际问题。
八年级下册数学公式定理
⼋年级下册数学公式定理⼋年级下册数学公式定理1 过两点有且只有⼀条直线3 同⾓或等⾓的补⾓相等5 过⼀点有且只有⼀条直线和已知直线垂直6 直线外⼀点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平⾏公理经过直线外⼀点，有且只有⼀条直线与这条直线平。
8 如果两条直线都和第三条直线平⾏，这两条直线也互相平。
9 同位⾓相等，两直线平。
10 内错⾓相等，两直线平。
11 同旁内⾓互补，两直线平。
12两直线平⾏，同位⾓相等13 两直线平⾏，内错⾓相等14 两直线平⾏，同旁内⾓互补15 定理三⾓形两边的和⼤于第三边16 推论三⾓形两边的差⼩于第三边17 三⾓形内⾓和定理三⾓形三个内⾓的和等于180°18 推论1 直⾓三⾓形的两个锐⾓互余19 推论2 三⾓形的⼀个外⾓等于和它不相邻的两个内⾓的。
20 推论3 三⾓形的⼀个外⾓⼤于任何⼀个和它不相邻的内⾓21 全等三⾓形的对应边、对应⾓相等22边⾓边公理(SAS) 有两边和它们的夹⾓对应相等的两个三⾓形全等23 ⾓边⾓公理( ASA)有两⾓和它们的夹边对应相等的两个三⾓形全等24 推论(AAS) 有两⾓和其中⼀⾓的对边对应相等的两个三⾓形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三⾓形全等26 斜边、直⾓边公理(HL) 有斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等27 定理1 在⾓的平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等28 定理2 到⼀个⾓的两边的距离相同的点，在这个⾓的平分线上29 ⾓的平分线是到⾓的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三⾓形的性质定理等腰三⾓形的两个底⾓相等(即等边对等⾓31 推论1 等腰三⾓形顶⾓的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合33 推论3 等边三⾓形的各⾓都相等，并且每⼀个⾓都等于60°34 等腰三⾓形的判定定理如果⼀个三⾓形有两个⾓相等，那么这两个⾓所对的边也相等35 推论1 三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形36 推论2 有⼀个⾓等于60°的等腰三⾓形是等边三⾓形37 在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半38 直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边上的⼀半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和⼀条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同⼀条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和、等于斜边c的平⽅，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形48定理四边形的内⾓和等于360°49四边形的外⾓和等于360°50多边形内⾓和定理n边形的内⾓的和等于×180°51推论任意多边的外⾓和等于360°52平⾏四边形性质定理1 平⾏四边形的对⾓相等53平⾏四边形性质定理2 平⾏四边形的对边相等54推论夹在两条平⾏线间的平⾏线段相等55平⾏四边形性质定理3 平⾏四边形的对⾓线互相平分56平⾏四边形判定定理1 两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形57平⾏四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形58平⾏四边形判定定理3 对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形59平⾏四边形判定定理4 ⼀组对边平⾏相等的四边形是平⾏四边形60矩形性质定理1 矩形的四个⾓都是直⾓61矩形性质定理2 矩形的对⾓线相等62矩形判定定理1 有三个⾓是直⾓的四边形是矩形63矩形判定定理2 对⾓线相等的平⾏四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对⾓线互相垂直，并且每⼀条对⾓线平分⼀组对⾓66菱形⾯积=对⾓线乘积的⼀半，即S=÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形69正⽅形性质定理1 正⽅形的四个⾓都是直⾓，四条边都相等70正⽅形性质定理2正⽅形的两条对⾓线相等，并且互相垂直平分，每条对⾓线平分⼀组对⾓71定理1 关于中⼼对称的两个图形是全等的72定理2 关于中⼼对称的两个图形，对称点连线都经过对称中⼼，并且被对称中⼼平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某⼀点，并且被这。
八年级数学下册知识点归纳非常全面
八年级下册知识点归纳第十六章 二次根式1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
②非负性考点：几个非负数相加为0，那么这几个数都为0.如：-+++=2310a b c 则：30,10,0a b c -=+==2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是小数就化成分数，带分数化成假分数，是多项式就先分解因式。
4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式就是同类二次根式。
5、二次根式有关公式 （1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式(0,0)a aa b b b=≥> （5）完全平方公式222()2a b a ab b ±=++ 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （6）01(0)a a =≠ 1-=nn aa6、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
①已知a ，b ，求c ，则c=22a b + ②已知a ，c ，求b,则b=22c a -③已知b ，c 求a ，则a=22c b - 没有指明直角边和斜边时要分类讨论2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
八 年 级 数 学 公 式 及 概 念
八年级数学公式及概念八年级数学公式及概念第一章勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类：正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如7、32等；有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如(222π+8)/3等；有特定结构的数，如0.xxxxxxxx01…等；某些三角函数值，如sin60等。
二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）。
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。
如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
|a|≥0.零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数。
若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0.3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数。
4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
初二下册数学公式大全
初二下册数学公式大全初二下册数学课本中有很多公式是需要我们认真记忆的，你知道初二下册数学都有哪些公式吗?下面是店铺为你整理的初二下册数学的公式，一起来看看吧。
初二下册数学公式(一)1、过两点有且只有一条直线2 、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4 、同角或等角的余角相等5 、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行[1]9 、同位角相等，两直线平行10 、内错角相等，两直线平行11 、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13 、两直线平行，内错角相等14 、两直线平行，同旁内角互补15 、定理三角形两边的和大于第三边初二下册数学公式(二)16 、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 、推论1 直角三角形的两个锐角互余19 、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角23 、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等[2]26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)初二下册数学公式(三)31 、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的42 、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节，主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下：
1.探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式：（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式，解决实际问题。
其次，对于完全平方公式的应用，我发现学生们在解决具体问题时，有时会忽略符号的判断。在讲解过程中，我特别强调了“同号得正，异号得负”的规律，并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中，仍有个别学生会出现错误。为此，我考虑在今后的教学中，增加一些关于符号判断的专项训练，以提高学生们的准确率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现学生们能够积极参与，主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，部分学生可能会偏离主题，讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率，我计划在今后的教学中，明确讨论主题，并在讨论过程中适时引导，确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，如符号判断，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
八年级下册数学常考公式。
八年级下册数学常考公式。
一、引言八年级下册数学是初中数学的重要组成部分，其中涉及到的各种公式是同学们必须掌握的基础知识。
这些公式不仅在考试中占有重要地位，而且在日常生活中也经常用到。
本文将介绍八年级下册数学中常见的公式，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。
二、常考公式总结1. 完全平方公式：(1)a²±2ab+b²=(a±b)²(2)(a+b)²±(a-b)²=(a±b)²2. 二项式定理：a²bc+ab²c+a³b=03. 一次函数：y=kx+b(k≠0，k为一次项系数，b为常数)4. 反比例函数：y=kx(k为常数，k≠0)5. 二次函数：y=ax²+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)6. 三角形面积公式：S△ABC=1/2absinC、S△ABC=1/2bcsinA、S△ABC=1/2acsinB7. 四边形面积公式：S四边形=S△ABF+S△BCE+S△ACE+S△ACD8. 平行四边形性质：平行四边形的对角线互相平分9. 平行四边形对边性质：平行四边形的对边相等且平行10. 菱形性质：菱形的对角线互相垂直平分11. 梯形性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
三、公式的应用举例1. 在解一元二次方程时，常常需要用到二次项系数和一次项系数以及常数项的关系，这时就可以使用二次函数的知识。
2. 在求三角形面积时，常常需要用到三角形的边长和角度之间的关系，这时就可以使用三角形面积公式。
3. 在求四边形面积时，常常需要用到四边形的边长和角度之间的关系，这时就可以使用平行四边形和菱形的性质以及梯形的中位线性质。
4. 在解决实际问题时，常常需要用到三角形、四边形、平行四边形和菱形的面积公式，如计算草坪、花坛、停车场等面积。
四、注意事项1. 对于每个公式，同学们要理解其含义并能够灵活运用。
部编版初中数学八年级下册必背几何公式汇总
部编版初中数学八年级下册必背几何公式汇总1. 三角形相关公式1.1 周长和面积公式- 三角形的周长公式为：周长 = 边长1 + 边长2 + 边长3。
- 三角形的面积公式为：面积 = （底边长 ×高）/ 2。
1.2 直角三角形相关公式- 直角三角形的斜边长度公式为：斜边长度 = 根号下（直角边1的平方 + 直角边2的平方）。
- 直角三角形的勾股定理公式为：直角边1的平方 + 直角边2的平方 = 斜边长度的平方。
2. 四边形相关公式2.1 矩形相关公式- 矩形的周长公式为：周长 = （长 + 宽）× 2。
- 矩形的面积公式为：面积 = 长 ×宽。
2.2 正方形相关公式- 正方形的周长公式为：周长 = 边长 × 4。
- 正方形的面积公式为：面积 = 边长 ×边长。
2.3 平行四边形相关公式- 平行四边形的周长公式为：周长 = （边长1 + 边长2）× 2。
- 平行四边形的面积公式为：面积 = 底边长 ×高。
3. 圆相关公式3.1 圆的周长和面积公式- 圆的周长公式为：周长= 2 × π × 半径。
- 圆的面积公式为：面积= π × 半径的平方。
3.2 扇形和弧长公式- 扇形的面积公式为：面积 = 1/2 ×扇形的圆心角度数× π × 半径的平方。
- 弧长的公式为：弧长 = 扇形的圆心角度数/360 × 2 × π × 半径。
以上是部编版初中数学八年级下册必背的几何公式汇总，希望对你有所帮助！。
八年级下册数学公式知识点
八年级下册数学公式知识点数学是一门需要大量运用公式的学科，而公式作为数学核心的表达方式，掌握它的知识点是我们在学习数学过程中必不可少的。
现在，我们就来一起学习八年级下册数学公式知识点。
一、三角函数三角函数中最基础的公式就是“正弦定义公式”、“余弦定义公式”、“正切定义公式”，它们分别表达了三角函数中正弦、余弦、正切的定义。
正弦定义公式：$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$余弦定义公式：$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$正切定义公式：$$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$除此之外，三角函数还有一些其它的公式，例如：和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
二、圆和圆的方程在圆的学习中，数学公式也是非常常见的。
圆的标准方程就是一种常用的表达方式，在解决圆问题时，常用标准方程和圆心距圆方程进行计算。
圆的标准方程：$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$圆心距圆方程：$$(x-p)^2+(y-q)^2=d^2$$圆还有许多重要的公式，例如：切线公式、外接圆公式、内切圆公式、判别式等。
三、函数的基础知识函数是一个非常重要的数学概念，它有着特殊的运算规则。
其中，函数的基本公式就是表达这种规律的一种方式。
函数的基本公式：$$y=f(x)$$函数还有很多其它重要的公式，例如：反函数公式、复合函数公式、一次函数公式、二次函数公式等。
四、集合运算在集合论中，我们需要掌握一些集合间的运算规则和表达方式，这些规则和表达方式就是我们需要掌握的公式。
集合的成员关系公式：$$x\in A$$集合的求和公式：$$S=A_1+A_2+...+A_n$$集合的交、并、差运算公式：交：$$A\cap B$$并：$$A\cup B$$差：$$A-B$$五、立体图形的面积和体积立体图形是数学中非常常见的一种物体，而在学习立体图形时，面积和体积的公式也是必不可少的。
八年级下册数学人教版公式
八年级下册数学人教版公式
1.平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²。
2.完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²或（a-b）²=a²-2ab+b²。
3.添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的
各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
4.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不
变，指数相减。
5.单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于
只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
6.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，
再把所得的商相加。
7.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个
多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。
请注意，这些公式仅适用于人教版八年级下册的数学教材。
具体应用方法请参考教材或咨询数学教师。
八年级下册数学知识点公式
八年级下册数学知识点公式在数学学习的过程中，我们不仅需要掌握概念和方法，还需要积累大量的数学知识点和公式。
本文将为您总结八年级下册数学知识点公式，从代数、几何、三角函数等多个方面全面覆盖，帮助您更好地复习和巩固所学内容。
一、代数1. 平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$2. 二次方程求根公式对于二次方程 $ax^2+bx+c=0$当 $b^2-4ac\ge0$ 时，$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 3. 四则运算基本公式加法交换律：$a+b=b+a$加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$乘法交换律：$ab=ba$乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$4. 常用平面图形面积公式正方形：$A=a^2$长方形：$A=ab$三角形：$A=\dfrac{1}{2}bh$梯形：$A=\dfrac{1}{2}(a+b)h$圆形：$A=\pi r^2$二、几何1. 同角三角函数公式正弦：$\sin\alpha=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}$余弦：$\cos\alpha=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$正切：$\tan\alpha=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$余切：$\cot\alpha=\dfrac{\text{邻边}}{\text{对边}}$ 2. 平行线性质公式两直线平行，对顶角相等：$m\parallel n$, $\angle 1\cong\angle 2$内错角相等：$m\parallel n$, $\angle 1+\angle 4=180^\circ$, $\angle 2+\angle 3=180^\circ$, $\angle 3=\angle 4$3. 直角三角形关系公式勾股定理：$a^2+b^2=c^2$正弦定理：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$三、三角函数1. 三角函数基本公式正弦：$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$余弦：$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$正切：$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$余切：$\cot(-\alpha)=-\cot\alpha$2. 三角函数中值定理对于函数 $f(x)=sin(x)$ 或 $cos(x)$ 或 $tan(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(a) \neq f(b)$，则必存在 $c \in (a,b)$，使得 $f(c) = \dfrac{f(a)+f(b)}{2}$3. 三倍角、二倍角公式$\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$$\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$本文通过代数、几何、三角函数等方面的内容全面总结了八年级下册数学知识点公式。
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1 过两点有且只有一条直线3 同角或等角的补角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平。
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平。
9 同位角相等，两直线平。
10 内错角相等，两直线平。
11 同旁内角互补，两直线平。
12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的。
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这。
点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果ab=cd,那么ad=bc如果ad=bc,那么ab=cd84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d==m／n(b+d++n≠0),那么(a+c++m)／(b+d++n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相。
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相。
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相。
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相。
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相。
95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相。
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦。
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切。
101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条虎两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆所对的圆周角是直角；90°的圆周角。
对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3)⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于×180°／n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为(k-2)=4144弧长计算公式L=n兀R／180145扇形面积公式S扇形=n兀R^2／360=LR／2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)实用工具常用数学公式公式分类公式表达式乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式a+b≤a+b a-b≤a+b a≤b=-b≤a≤ba-b≥a-b -a≤a≤a一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)2a -b-√(b2-4ac)2a根与系数的关系X1+X2=-ba X12+24+46+6h 斜棱柱侧面积S=ch 正棱台侧面积S=12(c+c)h圆台侧面积S=12(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pih=2picrr a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式s=12r锥体体积公式V=13H 圆锥体体积公式V=13r2h斜棱柱体积V=SL 注其中,S是直截面面积，L是侧棱长。