三角形的外接圆和内切圆之欧阳光明创编
三角形的外接圆和内切圆之欧阳科创编
三角形的外接圆和内切圆时间：2021.02.05 创作：欧阳科重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。
难点：知识的综合运用。
知识回顾：1、什么是三角形的外接圆与内切圆？关系定义圆心实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形各顶点的距离内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角角平分线的交点交点到三角形各边的距离2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？画圆的关键：确定圆心；确定半径3、性质有哪些？(1)外接圆性质：锐角三角形外心在三角形内部。
直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
有外心的图形，一定有外接圆。
直角三角形的外心是斜边的中点。
外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。
(2)内切圆性质：三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。
一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]（a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2）直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c 是斜边）r=(a+b-c)/2两直角边相加的和减去斜边后除以2r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长注意：等边三角形的内心、外心重合。
主体部分：(未完成)小结：1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。
2、会画三角形的外接圆和内切圆。
3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。
4、有关证明题。
练习：1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。
2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。
3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。
4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。
5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）。
人教版版九年级上册数学 24-2-2外接圆和内切圆6 教学课件
例：已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。
A
求证：EB=EI=EC 12
I
3
B
4 5
D
C
E
证明： 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI
又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
A
12
I
3
B
4 5
D
C
E
小结与质疑： 1、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。 2、三角形的外心及内心。 3、求特殊三角形的外接圆、内切圆半径。 4、有关证明题。
达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。( × ) 2、直角三角形的外心是斜边的中点。( √ )
三角形的外接圆：
B
A
O C
三角形的内切圆：
A
I
B
C
二、三角形的外心与内心
对照画出的图形，讨论解决下列问题： 1、什么是三角形的外心与内心? 2、试比较三角形的外心与内心的区别，并填写下表：
三角形的外心 三角形的内心
实质
性质
三角形的外心与内心
1、①外心是指三角形外接圆的圆心； ②内心是指三角形内切圆的圆心。
思考题：已知：点I是△ABC的内心，
AI交BC于D，交外接圆于E。 A
求证：EB=EI=EC
12
求证：IE是AE和
DE的比例
I
3
中项。 B
4 5
D
C
初中数学几何定理大全之欧阳光明创编
初中数学公理和定理一、公理（不需证明）1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）6、全等三角形的对应边相等,对应角相等.7、线段公理：两点之间，线段最短。
8、直线公理：过两点有且只有一条直线。
9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：一、直线与角1、两点之间，线段最短。
2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。
4、对顶角相等二、平行与垂直5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
8、夹在两平行线间的平行线段相等9、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行10、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．15、轴对称的性质：（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）对应线段相等、对应角相等。
芦山县四中九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线与圆3三角形的外
求证 : IE是AE和
I
3
DE的比例 B
4 5
D
C
E
中项。
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
第二十一章 一元二次方程
专题课堂(二) 一元二次方程的实际应用
1．某市体育局要组织一次篮球赛 , 赛制为单循环形式 (每两队之间都赛一场) , 计划安排36场比赛 , 应邀请多少支球队参加比赛 ？
达标检测
（一）判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。( × ) 2、直角三角形的外心是斜边的中点。( √ )
（二）填空 : 1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm , 那么它的 外接圆
半径____6_.5__c_m______ , 内切圆半径______2_c__m______。 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比______2_:_1_____。
⒉外心与内心的比较 :
实质
三角形的外心
三角形各边垂直平分线的交点
三角形的内心
三角形各内角角平分线的交点
性质
到三角形各顶点的 距离相等
到三角形各边的距 离相等
巩固练习 :
1、如下图 , △ABC中 , ∠A=55度 , I是内心 那么 , ∠BIC＝____1_1_2_._5_______ 度。
B
2、如下图 , △ABC中 , ∠A=55度 , 其 内切圆切△ABC 于D、E、F , 那么 ∠FDE6＝7._5______________度。
他了解到这扇门的相关数据 : 这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的 , AB
三角形的外接圆与内切圆的性质
三角形的外接圆与内切圆的性质三角形是几何学中最基本的形状之一，它有着独特的性质和特征。
其中，三角形的外接圆和内切圆是三角形独特的性质之一，它们在几何学中有着重要的应用和意义。
1. 外接圆外接圆是指可以恰好通过三角形的三个顶点的圆。
对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个外接圆，记作O。
性质一：外接圆的圆心O位于三角形的外角的平分线上。
当我们连接三角形的顶点A、B、C与外接圆的圆心O时，我们可以发现圆心O位于三角形ABC的外角的平分线上。
这是因为如果O不在外角的平分线上，那么至少有一个外角的角平分线无法通过点O，与O所在的直线会有交点。
这与外接圆的定义相矛盾，因此外接圆的圆心O必然位于三角形的外角的平分线上。
性质二：三角形的三条边是外接圆的切线。
对于三角形ABC，三条边AB、BC、CA分别与外接圆相交于点D、E、F。
根据相切的定义，三角形的每条边与外接圆相交，且相交点即为切点。
因此，三角形的三条边是外接圆的切线。
2. 内切圆内切圆是指可以恰好与三角形的三条边相切的圆。
对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个内切圆，记作I。
性质三：内切圆的圆心I是三角形的角平分线交点。
当我们连接三角形的各个顶点A、B、C与内切圆的圆心I时，我们可以发现圆心I是三角形ABC的角平分线的交点。
这是因为内切圆与三角形的三条边相切，且根据切点与切线的性质，切线与圆的圆心相连，必然经过圆心。
因此，内切圆的圆心I必然位于三角形的角平分线的交点处。
性质四：三角形的内角的平分线交点是内切圆的切点对于三角形ABC，三个内角的平分线分别与内切圆相交于点D、E、F。
根据相切的定义，三角形的每个内角的平分线与内切圆相交，且相交点即为切点。
因此，三角形的内角的平分线交点是内切圆的切点。
三角形的外接圆与内切圆的性质在几何学中具有深远的应用价值。
通过研究和运用这些性质，我们可以推导出各种三角形的特征和关系，解决一些几何问题，并在实际生活中进行测量和建模。
圆的组合图形面积及答案之欧阳光明创编
圆的组合图形面积欧阳光明（2021.03.07）姓名：【知识与方法】要解决与圆有关的题目，需要注意以下几点：1、熟练掌握有关圆的概念和面试公式：圆的面积= 圆的周长=扇形的面积= 扇形的弧长=（n是圆心角的度数）2、掌握解题技巧和解题方法：加减法、分割重组法、旋转平移法、对折法、抵消法、等积变形法、等量代换法、添辅助线法。
例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的中交圆取内切圆半径的供法之阳早格格创做一、供三角形的中交圆的半径1、曲角三角形如果三角形是曲角三角形，那么它的中交圆的曲径便是曲角三角形的斜边.例1已知：正在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 供△ABC 的中交圆的半径.解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C ＝90°，∴AB 为△ABC 的中交圆的曲径， ∴△ABC 的中交圆的半径为6.5. 2、普遍三角形①已知一角战它的对于边例2如图，正在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，供△ABC 中交圆⊙O 的半径. 分解：利用曲径构制含已知边AB . 解：做曲径BD ，连结AD.则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90°∴BD ＝D sin AB ＝︒80sin 10∴△ABC 中交圆⊙O 的半径为︒80sin 5.注：已知二边战其中一边的对于角，以及已知二角战一边，皆不妨利用原题的要领供出三角形的中交圆的半径.例3如图，已知，正在△ABC 中，AB ＝，∠B ＝50°供△ABC 中交圆⊙O 的半径. 分解：可转移为①的情形解题. 解：做曲径AD ，连结BD.则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90°∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 中交圆⊙O 的半径为3310. ②已知二边夹一角例4如图，已知，正在△ABC 中，AC ＝2，C＝60°供△ABC 中交圆⊙O 的半径.分解：思量供出AB ，而后转移为①的情形解题. 解：做曲径AD ，连结BD.做AE ⊥BC ，垂脚为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝21AC ＝1，AE ＝3，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 中交圆⊙O 的半径为2131.③已知三边例5如图，已知，正在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15供△ABC 中交圆⊙O 的半径.分解：做出曲径AD ，构制Rt △ABD.只央供出△ABC 中BC 边上的下AE ，利用相似三角形便不妨供出曲径AD.解：做曲径AD ，连结BD.做AE ⊥BC ，垂脚为E. 则∠DBA ＝∠CEA ＝90°，∠D ＝∠C∴△ADB ∽△ACE ∴ABAEAD AC = 设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2∴132-x2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5∴AE ＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465∴△ABC 中交圆⊙O 的半径为865.二、供三角形的内切圆的半径1、曲角三角形例6已知：正在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AB ＝c供△ABC 中交圆⊙O 的半径.解：可证四边形ODCE 为正圆形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a-r)+(b-r)=c, ∴r=2c ba -+,即△ABC 中交圆⊙O 的半径为2c b a -+.2、普遍三角形Bb①已知三边例7已知：如图，正在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15供△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分解：思量先供出△ABC 的里积，再利用“里积桥”，进而供出内切圆的半径.解：利用例5的要领，或者利用海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2c b a ++)可供出S △ABC ＝84，进而21AB•r+21BC•r+21AC•r=84, ∴r=4②已知二边夹一角例8已知：如图，正在△ABC 中，cotBBC＝6供△ABC 内切圆⊙O的半径r.分解：思量先通过解三角形，供出△ABC 的里积及AC 的少，再利用“里积桥”，进而供出内切圆的半径.解：做△ABC 的下AD.解曲角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13，果为21AB•r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可供得r=61311-③已知二角夹一边例9已知：如图，正在△ABC 中，∠B ＝60°，＝6供△ABC内切圆⊙O的半径r.(透彻到0.1)分解：思路要领共上，读者可完毕.总之，只消通过边、角能决定三角形，便不妨借镜上头的要领供出那个三角形的中交圆战内切圆的半径.。
三角形内切圆及外接圆
三角形外接圆半径的求法及应用方法一： R＝ ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△ ABC的高， AE是△ ABC的外接圆直径．求证AB· AC＝AE·AD．证：连接 AO 并延长交圆于点 E，连接 BE，则∠ ABE＝ 90°.∵∠ E＝∠ C，∠ ABE＝∠ ADC＝90°，∴R t△ ABE∽Rt△ADC，∴ AB AE ，AD AC∴AB· AC＝AE·AD方法二： 2R＝a/SinA ， a 为∠ A 的对边在锐角△ABC中，外接圆半径为R。
求证：2R＝AB/SinC证：连接 AO 并延长交圆于点 E，连接 BE，则∠ ABE＝90°.∴AE＝AB/SinE∵∠ C＝∠ E，SinC ＝ SinE∴AE＝ AB/SinC∴2R＝AB/SinC若 C 为钝角，则 SinC＝Sin（180o－C）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例 1已知：如图，在△ABC 中， AC＝ 13，BC＝ 14， AB＝ 15，求△ ABC 外接圆⊙ O 的半径 r.解析：作出直径AD，构造 Rt△ ABD.只要求出△ ABC中 BC边上的高 AE，用方法一就可以求出直径AD.解：作 AE⊥BC，垂足为 E.C设 CE＝ x,E D222222222∵ AC-CE ＝ AE ＝ AB -BE，∴ 13 -x ＝ 15-(14-x)OBA∴ x=5,即 CE＝5，∴ AE＝12R＝ ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/865∴△ ABC外接圆⊙ O 的半径 r 为8 .例 2 已知：在△ ABC中， AB＝13， BC＝12，AC＝5，求△ ABC的外接圆的半径 R. 解析：经过判断三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特别角），求外接圆的半径。
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三角形的外接圆和内切圆
欧阳光明（2021.03.07）
重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。
难点：知识的综合运用。
知识回顾：
1、什么是三角形的外接圆与内切圆？
关系定义圆心实质半径图示
外接圆经过三角
形各顶点
的圆
外心
三角形各
边垂直平
分线的交
点
交点到三
角形各顶
点的距离
内切圆与三角形
各边都相
切的圆
内心
三角形各
内角角平
分线的交
点
交点到三
角形各边
的距离
2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？
画圆的关键：确定圆心；确定半径
3、性质有哪些？
(1)外接圆性质：
锐角三角形外心在三角形内部。
直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
有外心的图形，一定有外接圆。
直角三角形的外心是斜边的中点。
外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。
(2)内切圆性质：
三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。
一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]（a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2）
直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）
r=(a+b-c)/2两直角边相加的和减去斜边后除以2
r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长
注意：
等边三角形的内心、外心重合。
主体部分：(未完成)
小结：
1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。
2、会画三角形的外接圆和内切圆。
3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。
4、有关证明题。
练习：
1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。
2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。
3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。
4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。
5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）。