高考文科数学平面向量专题

一、选择题

平面向量专题

例 1.

ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB a ， CA b ，

a b 0 ， | a | 1， | b | 2 ，则 AD

（ A ） 1

a 1 b

（ B ） 2 a 2

b

（ C ） 3 a 3

b

（ D ） 4 a 4

b

3 3

3 3

5 5

5 5

例 2.设 x

R ，向量 a ( x,1),b (1, 2), 且 a b ，则 | a b |

（ A ） 5

（ B ） 10

（ C ） 2 5

（ D ） 10

例 3.设 a ， b 是两个非零向量。 A. 若|a+b|=|a|-|b| ，则 a ⊥ b B.

若 a ⊥ b ，则 |a+b|=|a|-|b|

C. 若|a+b|=|a|-|b|

，则存在实数 λ ，使得 b=λ a

D.

若存在实数 λ ，使得 b=λ a ，则|a+b|=|a|-|b|

例 4.设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使

a

b | a | | b |

成立的充分条件是（ ）

A 、 | a | | b | 且 a // b

B 、 a b

C 、 a // b

D 、 a 2b

例 5.设向量 a =（ 1. cos ） 与 b =（-1， 2 cos ）垂直，则 cos2 等于 （

）

2 1 A

B

C .0 D.-1

2

2

1

1 例 6. 已知向量 a = (1, —1) ， b = (2,x). 若 a ·b = 1, 则 x =

(A) —1 (B) —

2

(C)

2

(D)1

例 7.若向量 AB

(1,2) ， BC (3,4) ，则 AC

A. (4,6)

B. ( 4, 6)

C. ( 2, 2)

D. (2, 2)

例 8. 对任意两个非零的平面向量

和 ，定义

. 若两个非零的平面向量

a ，

b 满足 a 与 b 的夹角

, ，且 a b 和 b a 都在集合

4 2

5 3 A.

B.

2 2

n

n Z 中，则 a b 2

1 C. 1 D.

2

例 9.已知向量 a=（ x-1,2 ）， b=（ 2,1），则 a ⊥ b 的充要条件 1 A.x=-

2

B.x-1

C.x=5

D.x=0

例 10.在△ ABC 中， A=90 °， AB=1 ，设点 P ，Q 满 足 AP = AB ， AQ

=(1- ) AC ，

R 。若 BQ

CP =-2 ，则

=

1 （ A ）

3

2 （ B ） 3

4 C ）

（D ） 2

3

例 1 已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b 10 ； 则 b

例 2.设向量a(1,2m) ，b ( m 1,1) ，c (2, m) ，若(a c) b ，则| a | .

例3.如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P，AP 3 且AP AC = .

例4.已知向量a=（1,0），b=（1,1），则

（Ⅰ）与2a+b 同向的单位向量的坐标表示为；

（Ⅱ）向量b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为。

例5.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB 的值为，DE DC 的最大值为。练习：

1.AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB (2,4), AC (1,3), 则AD （）

A．(2, 4) B ．(3,7) C ．(1,1) D．( 1, 1)

2.平面向量 a ，b 共线的充要条件是

A. a ，b 方向相同

B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C. R，使得b a

D. 存在不全为零的实数 1 ， 2 ， 1 a 2 b 0

3.如图，在等腰直角ABO 中，设OA a, OB b, OA OB 1,C 为AB 上靠近点A的四等分点，过 C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任一点，OP p, 则p (b a)

1

A. B.

2 1

C.

3

D .

3 2 2 2

4.已知平面向量 a (1,2), b ( 2, k), 若a与b 共线，则3a b =

A． 5 B．2 5 C．5 2 D．5

5.已知| a | 6 ，| b | 3 ，a b 12 ，则向量 a 在向量b 方向上的投影是( )

A．－4 B．4 C．－2 D．2

6.已知平面向量 a 和b ，| a | 1 ，| b | 2 ，且a 与b 的夹角为120°，则| 2a b | 等于

A．6 B．2 5 C．4 D．2

( 2, ) ( ,

)

r r r r

7. 已知向量 a (2,1) ， b (1,k) ，且 a 与 b 的夹角为锐角，则 k 的取值范围是（

）

（ A ）

2,

（ B ） 1 1

2 2

（C ） ( , 2) （ D ） ( 2,2)

8.

ABC 中，设 2

2

AC

AB

2 AM BC ，那么动点 M 的轨迹必通过

ABC 的（

）

A. 垂心

B. 内心

C. 外心

D.

重心

9. 过点 M (2,0) 作圆 x

2

y

2

1的两条切线 MA ， MB (A ， B 为切点 ) ，则 MA MB （

）

（ A ） 5 3

（ B ） 5

（ C ） 3 3

（D ） 3

2 2 2 2

10.

已知向量 a (1,x) ， b ( 1, x) ，若 2a b 与 b 垂直，则 | a | (

)

A ． 2

B

． 3

C

． 2

D

． 4

11.

向量 a (1,1),b (2,t ) , 若 a b , 则实数 t 的值为 A.

2

B.

1

C.

1

D.

2

12.

若向量 a (3, m) ，

b (2, 1) ， a b ，则实数 m 的值为

（

）

A .

3 2

B ．

3

C

． 2

D

． 6

2

13. 如图，在 ABC 中, BD

2DC .若AB a , AC = b ,则AD =

C

D

A

B

2 a 1 b A.

3 3

2 a 1 b

B.

3 3

1 a

2 b

C.

3 3

1 a

2 b

D.

3 3

14.

已知向量

a ,

b 满足 | a | 1, |b |

2 , a b 1 , 则 a 与 b 的夹角为 ( )

A 、

B 、 3

3

4

C 、

D 、

4

6

15.

等腰三角形

ABC 中， AB AC 5, B 30 , P 为BC 边中线上任意一点，则 CP BC 的值为（

）