离散数学命题逻辑的推理理论共27页文档
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由定义不难看出：
定理 3.1 命题公式 A1, A2, …, Ak 推 B 的推理正确 当且仅当 A1A2…AkB 为重言式
3
2. 推理的形式结构（多种形式）
（1） 设={ A1, A2, …, Ak} ┣B
（2） A1A2…AkB （3） 前提： A1, A2, … , Ak
结论： B （4） 说明： 当推理正确时，（1）中记为╞ B，
证（1）（用等值演算法）
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1
由定理 3.1 可知推理正确
6
证（2）（用主析取范式法）
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含 m1, 故 01 时成假赋值，所以推理不正确
7
2．形式系统的分类 （1）自然推理系统 （2）公理系统
10
二、自然推理系统P
定义 3.3 P 的定义如下
1．字母表
（1） 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, …
（2） 联结词符号：, , , , 括号与逗号：(),,
2．合式公式（同定义 1.6）
3．推理规则
11
（1） 前提引入规则 （2） 结论引入规则 （3） 置换规则 （4） 假言推理规则
4. 推理定律
（1） 推理定律——重言蕴涵式
（2） 重要的推理定律
A (AB)
附加律
(AB) A
化简律
(AB)A B
假言推理
(AB)B A
拒取式
(AB)B A
析取三段论
(AB)(BC) (AC)
假言三段论
(AB)(BC) (AC)
等价三段论
(AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
用附加前提证明法构造证明
（1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 是无理数，s：4 是素数
17
（2）形式结构
前提：pq, 结论：sq
pr,
rs
（3）证明
①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
结论：B
（3）理由：
(A1 A2… Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
16
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数.
18
3. 归谬法（或称反证法）
（1）欲证 A1A2…AkB 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
（2）将B 当前提，推出矛盾，得证（1）正确
（3）理由
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
19
例 前提：(pq)r, rs, s, p
13
三、 在自然推理系统 P 中构造证明
1．直接证明法 例 用构造证明法构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天 必备课. 我今天下午没备课. 所以，说明天是星期一 或星期三是不对的.
14
构造证明
（1） 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我有课，s：我备课
（2） 形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq
（3） 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r
前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
15
2. 附加前提证明法 （1） 欲证：
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB （2）等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C
（2）中记为 A1A2…AkB
4
3. 判断推理是否正确的方法（多种） （1） 真值表法 （2） 等值演算法 （3） 主析取范式法 （4） 构造证明法（见下节）
说明： 当命题变项少时，（1）——（3）方便 简化真值表法 （1），（2）, （3）用形式结构（2） 构造证明法用形式结构（3） 本教材不用形式结构（1）
3．证明——描述推理正确或错误的过程。 严格定义见下页.
2
二、 推理的形式结构及证明方法 1． 推理的正确与错误
定义 3.1 设 A1, A2, …, Ak, B 为命题公式 （1）若对于每组赋值，A1A2… Ak 均为假， 或当 A1A2…Ak 为真时，B 也为真，则称推理正确
（2）否则称推理不正确（错误）
第一节 推理的形式结构式
一、何为推理？何为证明？
1．例子
（1） 正项级数
a
i1 n
收敛当且仅当部分和
Sn
a n
i1 n
上有界
（2） 若 AB 且 CD，则 ACBD
（3） 若今天是星期一，则明天是星期二
（4） 若 ACBD，则 AB 且 CD
1
2．例子推理——从前提出发推出结论的思 维过程
上例中，（1），（2），（3）是正确的推理， 而（4）是错误的推理.
(AB)(AB)(AA) B
构造性二难（特殊形式）
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
8Baidu Nhomakorabea
关于推理定律的几点说明：
A, B, C 为元语言符号
若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的
A B 产生两条推理定律
9
第二节 自然推理系统P
一、 形式系统 1．形式系统的定义
定义 3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： （1） 非空的字母表，记作 A(I). （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作 E(I). （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). （4） 推理规则集，记作 R(I).
5
例 判断下面推理是否正确 （1）若今天是 1 号，则明天是 5 号. 今天是 1 号. 所以明天是 5 号. （2）若今天是 1 号，则明天是 5 号. 明天是 5 号. 所以今天是 1 号.
解 设 p：今天是 1 号，q：明天是 5 号.
证明的形式结构采用（2）.
（1）(pq)pq （2）(pq)qp
AB A B
（5） 附加规则：
A AB
（6）化简规则：
AB A
（7）拒取式规则：
AB B A
（8）假言三段论规则：
AB BC AC
12
（8） 析取三段论规则：
AB B A
（9） 构造性二难推理规则：
AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则：
AB CD BD AC
（12）合取引入规则：
A B AB
定理 3.1 命题公式 A1, A2, …, Ak 推 B 的推理正确 当且仅当 A1A2…AkB 为重言式
3
2. 推理的形式结构（多种形式）
（1） 设={ A1, A2, …, Ak} ┣B
（2） A1A2…AkB （3） 前提： A1, A2, … , Ak
结论： B （4） 说明： 当推理正确时，（1）中记为╞ B，
证（1）（用等值演算法）
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1
由定理 3.1 可知推理正确
6
证（2）（用主析取范式法）
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含 m1, 故 01 时成假赋值，所以推理不正确
7
2．形式系统的分类 （1）自然推理系统 （2）公理系统
10
二、自然推理系统P
定义 3.3 P 的定义如下
1．字母表
（1） 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, …
（2） 联结词符号：, , , , 括号与逗号：(),,
2．合式公式（同定义 1.6）
3．推理规则
11
（1） 前提引入规则 （2） 结论引入规则 （3） 置换规则 （4） 假言推理规则
4. 推理定律
（1） 推理定律——重言蕴涵式
（2） 重要的推理定律
A (AB)
附加律
(AB) A
化简律
(AB)A B
假言推理
(AB)B A
拒取式
(AB)B A
析取三段论
(AB)(BC) (AC)
假言三段论
(AB)(BC) (AC)
等价三段论
(AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
用附加前提证明法构造证明
（1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 是无理数，s：4 是素数
17
（2）形式结构
前提：pq, 结论：sq
pr,
rs
（3）证明
①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
结论：B
（3）理由：
(A1 A2… Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
16
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数.
18
3. 归谬法（或称反证法）
（1）欲证 A1A2…AkB 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
（2）将B 当前提，推出矛盾，得证（1）正确
（3）理由
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
19
例 前提：(pq)r, rs, s, p
13
三、 在自然推理系统 P 中构造证明
1．直接证明法 例 用构造证明法构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天 必备课. 我今天下午没备课. 所以，说明天是星期一 或星期三是不对的.
14
构造证明
（1） 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我有课，s：我备课
（2） 形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq
（3） 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r
前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
15
2. 附加前提证明法 （1） 欲证：
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB （2）等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C
（2）中记为 A1A2…AkB
4
3. 判断推理是否正确的方法（多种） （1） 真值表法 （2） 等值演算法 （3） 主析取范式法 （4） 构造证明法（见下节）
说明： 当命题变项少时，（1）——（3）方便 简化真值表法 （1），（2）, （3）用形式结构（2） 构造证明法用形式结构（3） 本教材不用形式结构（1）
3．证明——描述推理正确或错误的过程。 严格定义见下页.
2
二、 推理的形式结构及证明方法 1． 推理的正确与错误
定义 3.1 设 A1, A2, …, Ak, B 为命题公式 （1）若对于每组赋值，A1A2… Ak 均为假， 或当 A1A2…Ak 为真时，B 也为真，则称推理正确
（2）否则称推理不正确（错误）
第一节 推理的形式结构式
一、何为推理？何为证明？
1．例子
（1） 正项级数
a
i1 n
收敛当且仅当部分和
Sn
a n
i1 n
上有界
（2） 若 AB 且 CD，则 ACBD
（3） 若今天是星期一，则明天是星期二
（4） 若 ACBD，则 AB 且 CD
1
2．例子推理——从前提出发推出结论的思 维过程
上例中，（1），（2），（3）是正确的推理， 而（4）是错误的推理.
(AB)(AB)(AA) B
构造性二难（特殊形式）
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
8Baidu Nhomakorabea
关于推理定律的几点说明：
A, B, C 为元语言符号
若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的
A B 产生两条推理定律
9
第二节 自然推理系统P
一、 形式系统 1．形式系统的定义
定义 3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： （1） 非空的字母表，记作 A(I). （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作 E(I). （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). （4） 推理规则集，记作 R(I).
5
例 判断下面推理是否正确 （1）若今天是 1 号，则明天是 5 号. 今天是 1 号. 所以明天是 5 号. （2）若今天是 1 号，则明天是 5 号. 明天是 5 号. 所以今天是 1 号.
解 设 p：今天是 1 号，q：明天是 5 号.
证明的形式结构采用（2）.
（1）(pq)pq （2）(pq)qp
AB A B
（5） 附加规则：
A AB
（6）化简规则：
AB A
（7）拒取式规则：
AB B A
（8）假言三段论规则：
AB BC AC
12
（8） 析取三段论规则：
AB B A
（9） 构造性二难推理规则：
AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则：
AB CD BD AC
（12）合取引入规则：
A B AB