离散数学命题逻辑的推理理论共27页文档
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离散数学PPT课件19命题逻辑推理(ppt文档)
I11. P∧(PQ)Q I12. Q∧(PQ)P
I13. (PQ)∧(QR)PR
I14. (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R
I15. AB (A∨C)(B∨C)
I16. AB (A∧C)(B∧C)
重要的等价公式:
对合律 E1 PP
交换律 E2 P∧QQ∧P
• 例题１求证 P→Q，Q→R，P R
• 证明
序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式
(1) P
P
(2) PQ P
(3) Q (4) Q→R
T (1)(2) I11 P
(5) R
T (3)(4) I11
• （注公式I11为： P,P→Q Q ）
• 例题２求证
(P∧Q)∧(Q∨R)∧R P
E1
(3) (P∧S)
P
(4) P∨S (5) P (6) P→Q
T (3)
E8
T (2)(4) I10
P
(7) Q (8) (Q∨R)∧R
T (5)(6) I11 P
(9) Q∨R (10) R (11) R (12) R∧R
T (8)
I1
T (8)
I2
9
(1) Q∨R
P
(2) R
P
(3) Q (4) (P∧Q)
T (1)(2) I10 P
(5) P∨Q (6) P
T (4)
E8
T (3)(5) I10
• 注公式I10为： P, P∨Q Q • 公式E8为： (P∧Q)P∨Q
• 例题３用命题逻辑推理方法证明下面推 理的有效性：
• 如果我学习，那么我数学不会不及格。 如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习。 但是我数学不及格。因此，我热衷于玩 扑克。
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
离散数学 命题逻辑推理
1
3.1 推理的形式结构
推理：从前提出发推导出结论思维过程， 前提 是已知的命题公式集合， 结论 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 什么样的推理是正确的有效的？ 定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假， 或当A1A2…Ak为真时B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正 确的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
10
推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B (6) 化简规则 AB ∴A (8) 假言三段论规则 AB BC ∴AC (5) 附加规则 A ∴AB (7) 拒取式规则 AB B ∴ A (9) 析取三段论规则 AB B ∴A
11
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
7
推理定律——重言蕴涵式
用定义构造推理过程，需要一些有用的推理定律 1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
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不是重言式, 推理不正确
3.1 推理的形式结构
推理：从前提出发推导出结论思维过程， 前提 是已知的命题公式集合， 结论 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 什么样的推理是正确的有效的？ 定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假， 或当A1A2…Ak为真时B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正 确的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
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推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B (6) 化简规则 AB ∴A (8) 假言三段论规则 AB BC ∴AC (5) 附加规则 A ∴AB (7) 拒取式规则 AB B ∴ A (9) 析取三段论规则 AB B ∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
7
推理定律——重言蕴涵式
用定义构造推理过程，需要一些有用的推理定律 1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
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不是重言式, 推理不正确
离散数学课件-3-命题逻辑的推理理论
第三章 命题逻辑的推理理论§1 推理的形式结构推理：从前提出发推出结论的思维过程。
前提：已知命题公式集合。
结论：从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
定义设A1, A2, …, A k, B都是命题公式，若命题公式A1∧A2∧…∧A k→B是重言式，则称由前提A1, A2, …, A k推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
推理的形式结构记为{A1,A2,…,A k}A B推理正确，记为{ A1,A2,…,A k }⊨B推理无效，记为{ A1,A2,…,A k }⊭B注①推理正确，结论未必为真。
②推理只注重结构。
例判断下述推理的正确性。
(1) {p, p→q}⊢ q(2) {p, q→p}⊢ q解 (1) p∧(p→q)→q⇔p∧(¬p∨q)→q⇔(p∧¬p)∨(p∧q)→q⇔p∧q→q⇔¬ (p∧q)∨q⇔¬p∨(¬q∨q)⇔¬p∨1⇔1故{p, p→q }⊨ q(2) p∧(q→p)→q让q =0，可得q→p =1，再取p =1可得p∧(q→p)=1 由此得p∧(q→p)→q有成假赋值1 0，故{ p, q→p }⊭ q判断推理正确性：1．真值表法。
2．等值演算法。
3．主析取范式法。
4．构造证明。
例判断下述推理是否正确？（1）若a能被4整除，则a能被2整除。
a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。
若她去游泳，则她就不去看电影了。
所以，若王小燕没去看电影，则下午气温必超过了30℃。
解(1) p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p→q，p结论：q推理的形式结构：{p→q，p} A q前面已证此推理正确。
(2) p：下午气温超过30℃q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：p→q, q→¬r结论：¬ r→p推理的形式结构：{p→q，q→¬r} A(¬r→p)因为，(p→q)∧(q→¬ r)→(¬r→p)⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7主析取范式显然不是重言式，故推理不正确。
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
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第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
3
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
19
练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
16
例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
离散数学第3章 命题逻辑的推理理论
对于本例这样简单的推理，不用写真值表也可以判断推理是否正确。在(1)中， 当 q 为假时，无论 p 是真是假，p∧(p→q)均为假，因而不会出现前提合取式为真， 结论为假的情况，因而推理正确。而在(2)中，当 q 为假，p 为真时，出现了前提 合取式为真，结论为假的情况，因而推理不正确。
精品资料
定理 3.1 命题公式 A1,A2,…,Ak 推 B 的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。
前提：(pq)r, rs, s 结论：pq
精品资料
（3） 证明 ① rs ② s ③ r ④ (pq)r ⑤ (pq) ⑥ pq
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤置换
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二、自然推理系统 P 定义 3.3 P 的定义如下
1． 字母表 （1） 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … （2） 联结词符号：, , , , （3） 括号与逗号：(, ), ，
2． 合式公式（同定义 1.6） 3． 推理规则 （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。 （2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为 后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以
(4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
解 解上述类型的推理问题，首先应该将简单命题符号化。然后分别
写出前提、结论、推理的形式结构，接着进行判断。
精品资料
(1)设 p：a 能被 4 整除。 q: a 能被 2 整除。
推理定律1推理定律重言蕴含式2重要的推理定律a?ab附加律ab?a化简律aba?b假言推理ab?b??a拒取式ab?b?a析取三段论abbc?ac假言三段论a?bb?c?a?c等价三段论abcdac?bd构造性二难ab?ab?b构造性二难特殊形式abcd?b?d??a?c破坏性二难每个等值式可产生两个推理定律如由a???a可产生a???a和??a?a关于推理定律的几点说明
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定理 3.1 命题公式 A1,A2,…,Ak 推 B 的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。
前提：(pq)r, rs, s 结论：pq
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（3） 证明 ① rs ② s ③ r ④ (pq)r ⑤ (pq) ⑥ pq
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤置换
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二、自然推理系统 P 定义 3.3 P 的定义如下
1． 字母表 （1） 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … （2） 联结词符号：, , , , （3） 括号与逗号：(, ), ，
2． 合式公式（同定义 1.6） 3． 推理规则 （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。 （2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为 后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以
(4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
解 解上述类型的推理问题，首先应该将简单命题符号化。然后分别
写出前提、结论、推理的形式结构，接着进行判断。
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(1)设 p：a 能被 4 整除。 q: a 能被 2 整除。
推理定律1推理定律重言蕴含式2重要的推理定律a?ab附加律ab?a化简律aba?b假言推理ab?b??a拒取式ab?b?a析取三段论abbc?ac假言三段论a?bb?c?a?c等价三段论abcdac?bd构造性二难ab?ab?b构造性二难特殊形式abcd?b?d??a?c破坏性二难每个等值式可产生两个推理定律如由a???a可产生a???a和??a?a关于推理定律的几点说明
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
L命题逻辑 离散数学
Lu Chaojun, SJTU
a
b
aa
(aa)b
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1
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0
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例:利用等值定理证明等值
证明(ab) (ab). 根据等值定理,可转化为证明
(ab)(ab) 是永真式.
• 比如列出此公式的真值表. • 这样本质上还是真值表技术.
• 还可利用重言式推理系统.
Lu Chaojun, SJTU
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基本等值式
1.结合律
(A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)
2. 交换律
ABBA
ABBA
ABBA
注意:没有的结合律和交换律.
Lu Chaojun, SJTU
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基本等值式(续)
3. 分配律
A1 1 A0 0 A1 1 0A 1
Lu Chaojun, SJTU
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基本等值式(续)
8.关于的等值式
AB (A) B (A B)
AB B A
[假言易位]
A(BC) (A B)C
[合取前提]
A(BC) B(AC)
[交换前提]
(AC)(BC) (A B)C [析取前提]
• 将限制性公式A中的,,1,0分别以,,0,1替换, 所得公式称为A的对偶式 A*.
• 将限制性公式A中所有肯定形式出现的变元x换成x, 所有否定形式出现的 变元x换成x, 所得公式称为A的内否式A－.
离散数学课件命题逻辑-精共28页
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
离散数学课件命Leabharlann 逻辑-精26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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第一节 推理的形式结构式
一、何为推理？何为证明？
1．例子
（1） 正项级数
a
i1 n
收敛当且仅当部分和
Sn
a n
i1 n
上有界
（2） 若 AB 且 CD，则 ACBD
（3） 若今天是星期一，则明天是星期二
（4） 若 ACBD，则 AB 且 CD
1
2．例子推理——从前提出发推出结论的思 维过程
上例中，（1），（2），（3）是正确的推理， 而（4）是错误的推理.
18
3. 归谬法（或称反证法）
（1）欲证 A1A2…AkB 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
（2）将B 当前提，推出矛盾，得证（1）正确
（3）理由
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
19
例 前提：(pq)r, rs, s, p
结论：B
（3）理由：
(A1 A2… Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
16
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数.
由定义不难看出：
定理 3.1 命题公式 A1, A2, …, Ak 推 B 的推理正确 当且仅当 A1A2…AkB 为重言式
3
2. 推理的形式结构（多种形式）
（1） 设={ A1, A2, …, Ak} ┣B
（2） A1A2…AkB （3） 前提： A1, A2, … , Ak
结论： B （4） 说明： 当推理正确时，（1）中记为╞ B，
（2） 形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq
（3） 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r
前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
15
2. 附加前提证明法 （1） 欲证：
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB （2）等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C
13
三、 在自然推理系统 P 中构造证明
1．直接证明法 例 用构造证明法构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天 必备课. 我今天下午没备课. 所以，说明天是星期一 或星期三是不对的.
14
构造证明
（1） 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我有课，s：我备课
（2）中记为 A1A2…AkB
4
3. 判断推理是否正确的方法（多种） （1） 真值表法 （2） 等值演算法 （3） 主析取范式法 （4） 构造证明法（见下节）
说明： 当命题变项少时，（1）——（3）方便 简化真值表法 （1），（2）, （3）用形式结构（2） 构造证明法用形式结构（3） 本教材不用形式结构（1）
3．证明——描述推理正确或错误的过程。 严格定义见下页.
2
二、 推理的形式结构及证明方法 1． 推理的正确与错误
定义 3.1 设 A1, A2, …, Ak, B 为命题公式 （1）若对于每组赋值，A1A2… Ak 均为假， 或当 A1A2…Ak 为真时，B 也为真，则称推理正确
（2）否则称推理不正确（错误）
4. 推理定律
（1） 推理定律——重言蕴涵式
（2） 重要的推理定律
A (AB)
附加律
(AB) A
化简律
(AB)A B
假言推理
(AB)B A
拒取式
(AB)B A
析取三段论
(AB)(BC) (AC)
假言三段论
(AB)(BC) (AC)
等价三段论
(AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B
构造性二难（特殊形式）
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
8
关于推理定律的几点说明：
A, B, C 为元语言符号
若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的
A B 产生两条推理定律
9
第二节 自然推理系统P
一、 形式系统 1．形式系统的定义
定义 3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： （1） 非空的字母表，记作 A(I). （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作 E(I). （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). （4） 推理规则集，记作 R(I).
用附加前提证明法构造证明
（1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 是无理数，s：4 是素数
17
（2）形式结构
前提：pq, 结论：sq
pr,
rs
（3）证明
①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
AB A B
（5） 附加规则：
A AB
（6）化简规则：
AB A
（7）拒取式规则：
AB B A
（8）假言三段论规则：
AB BC AC
12
（8） 析取三段论规则：
பைடு நூலகம்AB B A
（9） 构造性二难推理规则：
AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则：
AB CD BD AC
（12）合取引入规则：
A B AB
2．形式系统的分类 （1）自然推理系统 （2）公理系统
10
二、自然推理系统P
定义 3.3 P 的定义如下
1．字母表
（1） 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, …
（2） 联结词符号：, , , , 括号与逗号：(),,
2．合式公式（同定义 1.6）
3．推理规则
11
（1） 前提引入规则 （2） 结论引入规则 （3） 置换规则 （4） 假言推理规则
5
例 判断下面推理是否正确 （1）若今天是 1 号，则明天是 5 号. 今天是 1 号. 所以明天是 5 号. （2）若今天是 1 号，则明天是 5 号. 明天是 5 号. 所以今天是 1 号.
解 设 p：今天是 1 号，q：明天是 5 号.
证明的形式结构采用（2）.
（1）(pq)pq （2）(pq)qp
证（1）（用等值演算法）
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1
由定理 3.1 可知推理正确
6
证（2）（用主析取范式法）
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含 m1, 故 01 时成假赋值，所以推理不正确
7
一、何为推理？何为证明？
1．例子
（1） 正项级数
a
i1 n
收敛当且仅当部分和
Sn
a n
i1 n
上有界
（2） 若 AB 且 CD，则 ACBD
（3） 若今天是星期一，则明天是星期二
（4） 若 ACBD，则 AB 且 CD
1
2．例子推理——从前提出发推出结论的思 维过程
上例中，（1），（2），（3）是正确的推理， 而（4）是错误的推理.
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3. 归谬法（或称反证法）
（1）欲证 A1A2…AkB 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
（2）将B 当前提，推出矛盾，得证（1）正确
（3）理由
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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例 前提：(pq)r, rs, s, p
结论：B
（3）理由：
(A1 A2… Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
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例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数.
由定义不难看出：
定理 3.1 命题公式 A1, A2, …, Ak 推 B 的推理正确 当且仅当 A1A2…AkB 为重言式
3
2. 推理的形式结构（多种形式）
（1） 设={ A1, A2, …, Ak} ┣B
（2） A1A2…AkB （3） 前提： A1, A2, … , Ak
结论： B （4） 说明： 当推理正确时，（1）中记为╞ B，
（2） 形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq
（3） 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r
前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
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2. 附加前提证明法 （1） 欲证：
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB （2）等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C
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三、 在自然推理系统 P 中构造证明
1．直接证明法 例 用构造证明法构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天 必备课. 我今天下午没备课. 所以，说明天是星期一 或星期三是不对的.
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构造证明
（1） 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我有课，s：我备课
（2）中记为 A1A2…AkB
4
3. 判断推理是否正确的方法（多种） （1） 真值表法 （2） 等值演算法 （3） 主析取范式法 （4） 构造证明法（见下节）
说明： 当命题变项少时，（1）——（3）方便 简化真值表法 （1），（2）, （3）用形式结构（2） 构造证明法用形式结构（3） 本教材不用形式结构（1）
3．证明——描述推理正确或错误的过程。 严格定义见下页.
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二、 推理的形式结构及证明方法 1． 推理的正确与错误
定义 3.1 设 A1, A2, …, Ak, B 为命题公式 （1）若对于每组赋值，A1A2… Ak 均为假， 或当 A1A2…Ak 为真时，B 也为真，则称推理正确
（2）否则称推理不正确（错误）
4. 推理定律
（1） 推理定律——重言蕴涵式
（2） 重要的推理定律
A (AB)
附加律
(AB) A
化简律
(AB)A B
假言推理
(AB)B A
拒取式
(AB)B A
析取三段论
(AB)(BC) (AC)
假言三段论
(AB)(BC) (AC)
等价三段论
(AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B
构造性二难（特殊形式）
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
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关于推理定律的几点说明：
A, B, C 为元语言符号
若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的
A B 产生两条推理定律
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第二节 自然推理系统P
一、 形式系统 1．形式系统的定义
定义 3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： （1） 非空的字母表，记作 A(I). （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作 E(I). （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). （4） 推理规则集，记作 R(I).
用附加前提证明法构造证明
（1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 是无理数，s：4 是素数
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（2）形式结构
前提：pq, 结论：sq
pr,
rs
（3）证明
①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
AB A B
（5） 附加规则：
A AB
（6）化简规则：
AB A
（7）拒取式规则：
AB B A
（8）假言三段论规则：
AB BC AC
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（8） 析取三段论规则：
பைடு நூலகம்AB B A
（9） 构造性二难推理规则：
AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则：
AB CD BD AC
（12）合取引入规则：
A B AB
2．形式系统的分类 （1）自然推理系统 （2）公理系统
10
二、自然推理系统P
定义 3.3 P 的定义如下
1．字母表
（1） 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, …
（2） 联结词符号：, , , , 括号与逗号：(),,
2．合式公式（同定义 1.6）
3．推理规则
11
（1） 前提引入规则 （2） 结论引入规则 （3） 置换规则 （4） 假言推理规则
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例 判断下面推理是否正确 （1）若今天是 1 号，则明天是 5 号. 今天是 1 号. 所以明天是 5 号. （2）若今天是 1 号，则明天是 5 号. 明天是 5 号. 所以今天是 1 号.
解 设 p：今天是 1 号，q：明天是 5 号.
证明的形式结构采用（2）.
（1）(pq)pq （2）(pq)qp
证（1）（用等值演算法）
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1
由定理 3.1 可知推理正确
6
证（2）（用主析取范式法）
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含 m1, 故 01 时成假赋值，所以推理不正确
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