2021届高三数学练习题(参考答案)

合集下载

202103青岛市高三数学试题答案

解：（1）由题意知，购买礼包 C 的人数 B(400, 1) 5
所以，购买礼包 C 的人数的期望为 E 400 1 80 人 5
所以，需要准备鸡蛋的合理重量为 80 10 800 斤
（2）由题意可知， Y 的可能取值为 75 ，100 ，125 ，150
P(Y 75) ( 1)3 1 5 125
解:（1）由题知： f (x) 的定义域为 (0, )
当a
0 时，
f
(x)
1 x
b sin(x
1),
f
(x)
1 x2
b cos(x 1)
所以
f
(1)
1 ；
f
(1)
1b
，K
|
b
1|
3
22
2 2
解得： b 1
数学答案第 5页（共 6页）
（2）由（1）知： f (x) aex ln x cos(x 1)
所以 an 2n
若选择③：
因为 a4 是 a2, a8 的等比中项，所以 a42 a2a8 因为 a1 2 ，所以 (2 3d)2 (2 d)(2 7d) 解得 d 2 （ d 0 舍）
所以 an 2 (n 1) 2 2n
（2）由（1）知： Sn n(n 1)
所以 bn S2n1 S2n 2n1 (2n1 1) 2n (2n 1) 3 4n 2n
125
125
125
125
21．（本小题满分 12 分）
解：（1）设 F2 (c, 0) ，则 c a2 b2
所以直线
F2 A2
的方程为
x c
y b
1，即为 bx
cy
bc
0
所以点 P(a,b) 直线 F2 A2 的距离 d

2021年高三数学(文)综合测试(03) 含答案

2021年高三数学（文）综合测试（03）含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U为实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合为A． B． C． D．2．执行如右图所示的算法框图，输出的M值是A．2 B． C．－1 D．－23．已知a为实数，若复数为纯虚数，则的值为A．1 B．－1 C．i D．－i4．已知矩形ABCD，，在矩形ABCD中随机取一点P，则出现的概率为A．B．C．D．5．若，且为第二象限角，则A．7 B．C．－7 D．6．将函数图象上各点的横坐标伸长到原的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是A．B．C．D．7．在△ABC中，若，则角B的值为A．B．C．或D．或8．某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的表面积是A．B．C．D．9．已知函数，则下列结论正确的是A ．B ．C ．D ．10．若实数x ，y 满足不等式组，目标函数的最大值为2，则实数a 的值是A ．－2B ． 0C ．1D ．2 11．数列中，满足，且是函数的极值点，则的值是A ．2B ．3C ．4D ．512．已知)1)(2(log 2)(),1(log )(>+=+=a t x x g x x f a a ，若时，有最小值4，则a 的最小值为A ．1B ．2C ．1或2D ．2或4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图所示，在直三棱柱中，若用平行于三棱柱的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为_____.14．平面向量与的夹角为60°，则_____. 15．函数是奇函数，则m 的值为：________.16．已知函数的定义域为A ，若对任意都有不等式恒成立，则正实数m 的取值范围是________.三、解答题：解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知为等差数列的前n项和，(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前n项和T n．18．（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长：(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求的概率．19．（本小题满分12分）如图甲，⊙O的直径，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使，，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点，P为AC上的动点，根据图乙解答下列各题：(1)求点D到平面ABC的距离；(2)在弧上是否存在一点G，使得？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）已知关于x的函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若函数没有零点，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数a x a x x g a x x x f +-+-=-=)1()(,)()(22（其中)． (1)如果函数有相同的极值点，求a 的值，并直接写出函数的单调区间； (2)令，讨论函数在区间上零点的个数.22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲已知△ABC 中，，D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A ，C 重合），延长BD 至E ． (1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若，△ABC 中BC 边上的高为，求△ABC 外接圆的面积.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．24 14．1 15． 16．三、解答题：解答应写文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）解析：(1)（6分）⎩⎨⎧==⇔⎩⎨⎧=+=+⇔⎩⎨⎧=+==+=+212092167210045101672111110172d a d a d a d a S d a a a(2)（6分）由(1)知，12102)12(252321-⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n T n n n n n T 2)12(2)32(23212121⋅-+⋅-++⋅+⋅=- n n n n T 2)12(2222222211321--⋅++⋅+⋅+⋅+=-∴-n n n n n 2)23(412)12(21)21(2211-+-=----+=-18.（本小题满分12分）解析：(1)（5分）A 班样本数据的平均值为B 班样本数据的平均值为据此估计B 班学生甲均每周上网时间较长．(2)（7分）依题意，从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b 的取法共有12种，分别为：),21,14(),12,14(),11,14(),21,11(),12,11(),11,11(),21,9(),12,9(),11,9(其中满足条件“”的共有4种，分别为：设“”为事件D ，则答：的概率为19．（本小题满分12分）解：(1)（6分）△ADO 中，，且又E 是AO 的中点，. 又，且，∴DE 即为点D 到面ABC 的距离，又∴点D 到面ABC 的距离为 (2)（6分）BD 弧上存在一点G ，满足，使得理由如下：连结OF ，FG ，OG ，则△ABC 中，F ，O 为BC ，AB 的中点，又ACD FO ACD AC ACD FO 面面面//,,∴⊂⊂/ ，且G 为BD 弧的中点，又，且.//.,,ACD FOG FOG OG FO O OG FO 面面面∴⊂= 又，20.（本小题满分12分）解析：(1)（6分）当时，，所以显然时，，即此时函数单调递减；当时，即此时函数单调递增；的极小值为，无极大值 (2)（6分）根据题意，无实根，即无实根，令若在R 上单调递增，存在，使得不合题意若)ln(,0)(');ln(,0)('),ln(,0)(',0a x x h a x x h a x x h a -<<->>-==<当，即解得符合题意综上所述：21.（本小题满分12分）解析：(1)（5分）则),)(3(43)('22a x a x a ax x x f --=+-= 令，得或，而二次函数在处有极大值，所以或，解得或；当时，的递增区间为，递减区间为. 当时，的递增区间为，递减区间为.(2)（7分）)1)(()(])1([)()()(222+-+-=+-+---=-x a x a x x a x a x a x x x g x f令),3)(1(4)1(,1)1()(22-+=--=∆+-+=a a a x a x x h ①当即时，无实根，故的零点为，满足题意，即函数有唯一零点； ②当即或时，若，则的实数解为，故在区间上有唯一零点；若，则的实数解为，故在区间上有两零点，或3； ③当即或时，若，由于0313)3(,1)0(,01)1(>-==<+=-a h h a h ，此时在区间上有一实数解，故在区间上有唯一零点；若时，由于,313)3(,01)0(,41)1(a h h a h -=>=>+=- 当即时，数形结合可知在区间上有唯一实数解，故在区间上有唯一零点；若即时，由于的对称轴为，故，又且所以在区间上有两个不等零点．综上，当或时，函数有唯一零点；当时，函数有两不相等的零点。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：函数的图像及其应用(二)(含解析)

《函数的图像及其应用》（二）考查内容：主要涉及利用函数图像研究函数的性质、利用函数图像解不等式等一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数3211,0()32,0x x x x f x e x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则2(3)(2)f x f x ->的解集为（） A ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ B ．(3,1)- C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(1,3)-2．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（） A ．][(),22,-∞-⋃+∞ B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞3．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)--⋃D ．(1,1)-4．已知在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()2f x x x =-，则关于x 的不等式()()2f f x ≤的解集为（）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．[]3,3-D ．[]4,4-5．已知函数()f x 是定义在[)(]4,00,4-⋃上的奇函数，当(]0,4x ∈时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式()31xf x ≥-的x 的取值范围是( )A ．[)(]1,00,1-B ．[](]4,20,1--C ．[][]4,22,4-- D ．[)[]1,02,4-6．函数()[](),y f x x ππ=∈-的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅≥的解集为( )A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．][,0,22πππ⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C ．,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．0,22ππ⎧⎫⎡⎤-⋃⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦7．函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A ．[1,-∪(0,1]B ．[－1,0)∪C ．[1,-∪D ．[1,-∪1] 8．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是（） A ．[2,0]-B ．[4,0]-C ．[2,1]-D ．[4,1]-9．设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是( ) A ．7[,)6-+∞B ．5[,)3-+∞C ．5[,)4-+∞D ．4[,)3-+∞10．已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为（）A ．(2⎤-⎦B ．(2⎤-⎦C ．2⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-11．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则不等式()210f x ->的解集为（）A ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),53,-∞-+∞D ．()(),33,-∞-+∞12．设函数2()min{|2|,,|2|}f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．下列说法错误的是 A ．函数()f x 为偶函数B ．若[1,)x ∈+∞时，有(2)()f x f x -≤C ．若x ∈R 时，(())()f f x f x ≤D ．若[]4,4x ∈-时|()2|()f x f x -≥二．填空题13．如图所示，已知奇函数()y f x =在y 轴右边部分的图像，则()0f x >的解集为_________．14．已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若|()|f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是__________15．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.16．设()(),()()0f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，且(2)0f -=，则不等式()0()f xg x >的解集为__ 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题：（1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．18．已知函数()|21|||2f x x x =+--. （1）解不等式()0f x ≤；（2）当[2,2]x ∈-时，|()||1|f x a ≥+有解，求实数a 的取值范围.19．已知函数()()20f x x a x a =-+>．（1）解不等式()2f x a ≥；（2）若函数()f x 的图象与直线2y a =围成的图形的面积为6，求实数a 的值．20．已知函数()()()()22102201log 1x x f x x x x x ⎧+≤⎪=-+<≤⎨⎪>⎩（1）画出()y f x =的简图，并指出函数值域；（2）结合图象，求当()1f x >时，x 的取值范围．21．设函数()121f x x x =+--.（1）画出()y f x =的图象；（2）当(],0x ∈-∞时，()f x ax b ≤+，求-a b 的最大值.22．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且[)0,x ∈+∞时，()[]()222,0,11,1,x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.（1）求(),0x ∈-∞时()f x 的解析式；（2）在如图坐标系中作出函数()f x 的大致图象；（3）若不等式()f x k ≤恰有5个整数解，求k 的取值范围.《函数的图像及其应用》（二）解析1.【解析】当0x <时，()321132f x x x =-，()2f x x x '=- ()0,0x f x ∴'，()f x 单调递增，且0x →时，()0f x →，∴()0f x <当0x ≥时，()xf x e =单调递增，且()()01f x f ≥=因此可得()f x 单调递增，()()232f x f x ∴->可转化为232xx ->解得31x -<<，故选B 项.2.【解析】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 3.【解析】由图像可知在0x ≥时，在()()012+∞，，，()0f x >；在(1,2)，()0f x <；由()f x 为奇函数，图象关于原点对称，在0x <时，在()(),21,0∞-⋃--，()0f x <；在(2,1)--，()0f x >；又()y xf x =，在0x ≥时与()y f x =同号，在0x <时与()y f x =异号故不等式()0xf x <的解集为：(2,1)(1,2)--⋃，故选：C4.【解析】因为()y f x =是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2f x x x =-，则当0x <时，0x ->，()()2f x f x x x =-=+。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷3，含解析）

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷3）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意先解出集合A,进而取得结果。

详解：由集合A得,所以故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。

2.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数的乘法运算展开即可。

详解：故选D.点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。

3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部份叫榫头，凹进部份叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. AB. BC. CD. D【答案】A【解析】分析：观察图形可得。

详解：观擦图形图可知，俯视图为故答案为A.点睛：本题主要考擦空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

4. 若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由公式可得。

详解：故答案为B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题。

5. 的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

6. 直线别离与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标取得再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线别离与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。

2021届高三高考数学模拟测试卷(五)【含答案】

2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】【分析】利用并集的定义求解即可．【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”．故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ．考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+，即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值．【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案．【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ，以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分，故1()3P M =故选：C ．【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出．【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率．【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=，所以1MF MN NM =-=，所以M 为1F N 的中点，因为O 为12F F 的中点，所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =，所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=，所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ，在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-，整理得210e e --=，解得512e =．故选A ．【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)

【详解】
设这7天降雨量分别为X],a∙2 tx3tx4tx5tx6, J7
因为1厘米=10毫米,这7天降雨量分别为IOxI, 10‰, IOX3，IOX4，IoX5，IOX6，IO-V7,
平均值为10无二265,
所以标准差变为-X（IOxll-IOx）'xf=10×6」=61.
Y 7ZI=Iy 7/?=i
故选：C
【点睛】
本题考査统讣知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，屈于基础题・
4.若0<方<1,则““>戻”是“u>b”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】
因为OCbVl,所以b-b3=b（l-b2）>0,即b>b∖故">方可推出a > b'，
A. (0, 1)B.(—3,0)<j(1,2)
C.(—3,1)D.(―2,0)<j(1,3)
【答案】B
【解析】化简集合A, B,根据交集运算即可求值.
【详解】
因为A = {x∖x<x2} =(Y,0)u(1,+oc),
B = {x∖x2+X —6 v0} = (-3,2)
所以ACB = (-3,0)u(l,2)∙
而a >b3推不出u >b,（例如“=丄"=丄）42
故“α>Z√”是∏"的必要不充分条件.
故选:A
【点睹】
本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.
5.函数/(X) = x2SinX-XCOSx⅛[-π,π]±的图象大致为()

2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)

2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题一、单选题 1．若13z i =-，则zz的虚部为（）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】A【解析】由已知先求出zz的值，可得虚部的值. 【详解】解：由,1010z z ==+，故选：A. 【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（） A ．6.1毫米 B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C【解析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ，平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >，故a b >可推出3a b >，而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ）故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100【答案】A【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组；【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（）（参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．已知双曲线22:16y C x -=，则（）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】AC【解析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D. 【详解】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A 正确，B 错误.双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 10．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（）A ．B ．2-C D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故6tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为22，则（） A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为155B ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 的距离的2倍C ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C ABE --的大小 D ．在棱AB 上一定存在一点F ，使得1//C F 平面BDE 【答案】BCD【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可. 【详解】如图，设2BC =，易知二面角C AB E --的平面角为CBE ∠，则2tan 2CE CBE BC ∠==，即2CE =//AD BC ，所以异面直线AE 与BC 所成角为DAE ∠，因为AD DE ⊥，所以10cos 10AD DAE AE ∠===A 错误；设1B C BE M ⋂=，则11B M B B CM CE ===1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍，故B 正确；因为//CE 平面1BDD B ，所以E 到平面11BDD B 的距离等于C 到平面11BDD B 的距离，而C 到平面11BDD B 的距离为CO =所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的正弦值为3CO BE ==，所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小，故C 正确；在AC 上找一点G ，使得1//C G EO ，过G 再作BD 的平行线交AB 于F ，且1C G GF G =，//DO EO O =，所以平面1//C GF 平面BDE ，从而可知1//C F 平面BDE ，故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（） A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD 【解析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x'-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <，即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.三、填空题13．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________.【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入()22224||a b a ba -=-=.【详解】解：()22222443712,372||a b a b a a b b cos a b -=-=-⋅+=-=-=所以|2|35a b -=本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.14．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 【答案】2n n +【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】因为22221(1)2n a n n n =+-+=，所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =，所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+. 故答案为：2n n + 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1）【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16．一个圆锥的表面积为48π，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________. 【答案】2【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得2l r =，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，由相似可得3(4)a R =-，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以2l r ππ=，解得2l r =. 因为圆锥的表面积为48π，所以221482l r πππ+=，解得4r =，8l =，43h =. 如图，设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，则4443a R-=，所以3(4)a R =-，内接圆柱的侧面积2223(2)4S Ra R ππ⎡⎤==--+⎣⎦，当2R =时，S 取最大值. 故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.四、解答题 17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列，所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭.由125066n -+≥得25n ≤，所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ），因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-，则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=，又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为9 10.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，则37(0)103431000P X⎛⎫=⎪⎝⎭==，3214411037(100)110P X C⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭==，3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫=⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()3931010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积．【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+7272132111477142=-⨯+⨯=，因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知213321sin :sin :sin ::2:7:37214A B C ==，由正弦定理得::2:7:3BC AC AB =. 设3AB k =，则7AC =，2BC k =，则ABC 的周长为()5757k +=+，解得1k =，从而2BC =，3AB =，故ABC 的面积133sin 22S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ；（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ，又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ，所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ，从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =，则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ，所以111120ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号，所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解析. 【解析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =，此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=，则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭，从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--，则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；当2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。

2021年全国新高考卷数学试题含答案

2021年全国新高考卷数学试题含答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|0≤x＜3}D. {x|0≤x≤2}3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模等于（）A. 0B. 1C. 2D. z5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = e^xB. y = ln(x)C. y = x^2D. y = 1/x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。

（）2. 若矩阵A可逆，则其行列式值不为0。

（）3. 任何两个实数的和都是实数。

（）4. 二项式展开式中，各项系数的和等于2的n次方。

（）5. 函数y = x^3在区间（∞，+∞）上单调递增。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(1，2)，b=(1，3)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。

2. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b6=______。

3. 若函数f(x)=3x^24x+1，则f'(x)=______。

4. 三角形内角和为______。

5. 圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中圆心坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的极值的定义。

2. 什么是排列组合？请举例说明。

3. 请写出余弦定理的公式。

4. 简述概率的基本性质。

5. 举例说明平面向量的线性运算。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。

2. 设有4个红球，3个蓝球，求从中任取3个球，恰有2个红球的概率。

辽宁省部分重点高中2021届高三第一学期联考数学试题及答案

高三考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各大题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量、数列、复数、不等式、立体几体、解析几何.第I卷一、选择题1.设集合A = {x∖-2<x≤∖}, B = {x∣-x2-3x + 4>θ},则ACB=（）2. "Λ∈Q"是^XeZ f9的(A. (-4J)B. (-2,1] D. (—2,1)A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3・复数的虚部为（（1 +万A.4.A.丄2λ C rιl Sin^-2cos^若tan6> = 3> 则-----------3 sin + cos4B. —一110B. C. 1・-I2D.D.1・-Z2310 5.已知向量α = (2,4), b= (l√ι) > 若Clllb则3a - Hb =()A. B.A. /(x)图象的对称中心为(——+ —^-,0∈ Z)7. 朱载境是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载1育对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是2吉，如果12音阶中第一个音的频率是F ,那么第二个音的频率就是2⅛F ,第三个单的频率就是2⅛y7 ,第四个音的频率是2⅛f .……，第十二个音的频率是2詈尸，第十三个音的频率是2罟尸，就是2F.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为( ).8 •如图，在四而体ABCD 中，AB = CD = 3, AC = BD = 皿 AD = BC = 2® ΛABC 的重心为0, 则 DO=( ).二. 选择题9.已知命题p ：Vx>0, InX>0,贝∣J ( A. rP 是真命题 -n/?:3x>0, lav≤O10.已知函数Z(X) = 2COS 2 6yχ + √3 sin 2ωx(ω > 0),若/⑴ 的最小正周期为G 则下列说法正确的有 B. 函数y = ∕(χ)-2在[O,刃上有且只有两个零点A. 2FC.——2π-lC."是真命题C./(X)的单调递增区间为一£ +炽,? +畑(ZceZ).3 6 」D.将函数y = 2sin2x+1的图象向左平移+个单位长度，可得到/(x)的图彖1厶11.已知正方体ABCD-A^CP X的棱长为2, E, F分别是AA , CCI的中点，过f, F的平而α与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平而Q截该正方体得到的截而为底而，以为顶点的棱锥记为棱锥 C，则( )A.正方体ABCD-A I B I C I D I的外接球的体积为4血4B.正方体ABCD-A I B I C i D l的内切球的表而积为一穴C.棱锥Q的体积为33D.棱锥G的体积为=22 212.已知双曲线C：二一二= l(α>O">O)与直线y = d交于A, B两点，点P为C上一动点，记直线Cr ∖yPA, PB的斜率分別为紡…kp li, C的左、右焦点分別为F^F2.若k pλ∙k pii=^t且C的焦点到渐近线的距离为1,则下列说法正确的是( )A. a = 2B.C的离心率为2C.若P斤丄PF2,则斤巧的而积为2D.若片佗的面积为2巧，则济竹为钝角三角形第II卷三、填空题[2v,x≤0. X13.已知函数/U) = 「,则/(6)= ________ .J (x-3),x >0214.已知直线/与直线x-y + 2 = 0平行，且与曲线y = ∖nx一一 + 1相切，则直线/的方程是_____ ・X15.若nι>Of n >0^ m+n = Smn-I > 贝∣J"7+"的最小值为__________16.已知直线x + 3y-7 = O 与椭圆—+ C = 1（O<∕9<3）相交于4〃两点•椭圆的两个焦点分别是F p F., 9 Ir线段AB 的中点为C(l,2),则△(?斤佗的面积为 _________ 四、解答题I — 1 1 /1 λ0_ 17. (1)化简：√82+ Iog 9 8XIog 2 27 + 0.064 3-164 + - 一扬T .7 >(2)已知T = 3 , 2" =5,求Iogi 2 20(用加皿表示)・18・在φa + c = y ∕3b 且 2sir√ B = 3sin AsinC ，® (SinA -SinC)2=sin 2B-SinASinC, (^)ΛABC 的而积S = W -U这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.4问题：在AABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为gb,c,且 _____________ .（1）求 sinB ：（2）若a = 2c,且厶ABC 的而积为2√3>求厶ABC 的周长・注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 19 •设正项数列｛©｝的前刃项和为a l =l 9且S^=S tt +2y ∣S^ + ∖. （1）证明：数列｛、何］是等差数列并求数列｛©｝的通项公式;⑵已知化=詁「，数列｛$｝的前"项的和为人，若T n <λ LJn 求久的取值范用・20. 如图，在四棱锥P-ABCD 底而ABCD 是正方形，侧而PAD 是边长为2的正三角形，PD 丄CD •点E 为线段PC 的中点，点F 是43上的点.21. 已知函数/（x ） = （x-l ）e r（1）求/（x ）的最值：—+ 一js,）对一切 n ∈ N* 恒成立,（1）当F 为43中点时，证明：平而DEF 丄平而PCD(2)若/(x) +JnInX+ x + "对xw(0,+oo)恒成立，求"的取值范用.22.抛物线C-.x2 =2Py(P >0)的焦点为F ,过F且垂直于，轴的直线交抛物线C于M, N两点，。

2021高考理数真题试卷(全国Ⅲ卷)带答案解析

2021年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

（共12题；共60分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2} 【答案】A【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={−1,0,1,2}，B={x|−1≤x≤1}，则A∩B={−1,0,1}，故答案为：A.【分析】先求出集合B，再利用交集的运算即可得结果.2.若z（1+i）=2i，则z=（）A. -1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵z(1+i)=2i，则z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i(1−i)2=1+i，故答案为：D.【分析】利用复数的乘除运算，即可求出复数z的代数式.3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。

某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】C【考点】集合中元素个数的最值【解析】【解答】解：设集合A表示阅读过《西游记》的学生，集合B表示阅读过《红楼梦》的学生，依题意，可得学生人数分别为card(A∪B)=90，card(B)=80，card(A∩B)=90，∵card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)，∴90= card(A)+80-90，∴card(A)=70，∴该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100=0.7，故答案为：C.【分析】利用集合中元素个数的关系式card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)列式，得到阅读过《西游记》的学生人数，即可求出与该校学生总数比值的估计值.4.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：∵(1+x)4的通项公式为Tr+1=C4r x r，∴展开式中x3的系数为1×C43+2×C41=4+8=12，故答案为：A.【分析】由已知利用(1+x)4的通项公式为Tr+1=C4r x r，结合(1+2x2)即可求出展开式中x3的系数.5.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解：∵a5=3a3+4a1，则a1q4=3a1q2+4a1，∵a1≠0，∴q4−3q2−4=0，解得q2=4或q2=−1（舍），∵各项均为正数，∴q=2，又∵等比数列{a n}的前4项为和为15，∴a1(1−q4)1−q=15，解得a1=1，∴a3=a1q2=4，故答案为：C.【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到q=2，再由前4项为和为15列式，解得a1=1，即可求出a3的值.6.已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-1【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：依题意，点（1，ae）在已知曲线y=a e x+xlnx上，∵y ′=ae x+lnx+1，∴切线的斜率k=y ′|x=1=ae+1，∵切线方程为y=2x+b，∴{ae+1=2ae=2×1+b，解得{ae=1b=−1，即a=e−1,b=−1，故答案为：D.【分析】由已知可得点（1，ae）在曲线y=a e x+xlnx上，求导并代入x=1得到切线斜率的表达式，利用切线的斜率和点（1，ae）在切线上列式，解得{ae=1b=−1即可得结果.7.函数y=2x32x+2−x，在[-6,6]的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象【解析】【解答】解：∵f(−x)=2(−x)32−x+2x =−2x32x+2−x=−f(x)，∴此函数是奇函数，排除选项C；又∵当x=4时，f(4)=2×4324+2−4≈8，排除选项A，D，故答案为：B.【分析】先利用函数的奇偶性排除选项C，再把x=4代入求值，利用特值法排除选项A，D，即可判断得到函数的大致图象.8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A. BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【考点】平面的基本性质及推论【解析】【解答】解：连接BD，BE，MN，如图：∵M，N分别是线段ED，BD的中点，∴MN∥BE，∴直线MN，BE确定一个平面，∴直线BM，EN 是相交直线，设正方形ABCD的的边长为a，则DE=a，DB= √2a，∵DE≠DB，∴△BMD与△END不全等，∴BM≠EN，故答案为：B.【分析】由已知可证MN∥BE，得到直线MN，BE确定一个平面，可证直线BM，EN 是相交直线，再由△BMD与△END不全等，得到BM≠EN，即可判断得结论.9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）A. 2−124B. 2−125C. 2−126D. 2−127 【答案】 C 【考点】程序框图【解析】【解答】解：执行已知程序框图，第1次： S =1,x =12 ，不满足条件，继续循环；第2次： S =1+12,x =122 ，不满足条件，继续循环；第3次： S =1+12+122,x =123 ，不满足条件，继续循环；…；第7次： S =1+12+⋯+126,x =127 ，满足条件，结束循环，输出S 的值，即 S =1−1271−12=2−126，故答案为：C.【分析】执行已知程序框图，进行循环计算，直到满足条件，结束循环，由 S =1−1271−12=2−126 ，即可求出输出S 的值. 10.双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（） A.3√24 B. 3√22C. 2√2D. 3√2 【答案】 A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：∵双曲线C ：x 24−y 22=1，则 a =2,b =√2 ，∴ c =√6 ， F (√6,0) ，渐近线方程为 y =±√22x ，设P 在渐进线 y =√22x 上，过P 作 PM ⊥OF ，如图：∵ |PO|=|PF| ，∴△POF 是等腰三角形，∴ M (√62,0) ，代入渐进线方程 y =√22x 中，可得 |PM |=√32，∴ S △PFO=12|OF |·|PM |=3√24，故答案为：A.【分析】由已知得到F(√6,0)，过P作PM⊥OF，由|PO|=|PF|，得到△POF是等腰三角形，求出|PM|=√32，即可求出△PFO的面积.11.设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A. f（log3 14）＞f（2−32）＞f（2−23） B. f（log3 14）＞f（2−23）＞f（2−32）C. f（2−32）＞f（2−23）＞f（log3 14） D. f（2−23）＞f（2−32）＞f（log314）【答案】C【考点】不等式比较大小【解析】【解答】解：∵f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴f(log314)=f(−log34)= f(log34)，又∵−32<−23<0，∴2−32<2−23<20=1，∵log34>log33=1，∴2−32<2−23<log34，∵f(x)在(0,∞)单调递减，∴f（2−32）＞f（2−23）＞f（log3 14），故答案为：C.【分析】由已知f(x)是偶函数，得到f(log314)=f(log34)，利用f(x)的单调性，即可比较大小.12.设函数f（x）=sin（ωx+ π5）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，π10）单调递增④ω的取值范围[ 125，2910）其中所有正确结论的编号是（）A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】 D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：由已知画出函数的大致图象，如图：由图可知f(x)在（0,2π）有且仅有3个极大值点，故①正确；2π在E，F之间，靠近点E，有且仅有2个极小值点，靠近点F，有且仅有3个极小值点，故②错误；令f(x)=0，可得E，F的横坐标分别为24π5ω,29π5ω，则24π5ω≤2π<29π5ω，解得ω的取值范围是[ 125，2910)，故④正确；由④可取ω的最大值ω=3，得到函数在−π2<3x+π5<π2单调递增，即f(x)在（0,π10）单调递增，故③正确，故答案为：D.【分析】由已知画出函数的大致图象，利用图象得到①正确，②错误，再利用函数f(x)的性质得到③④正确，即可得结论.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.（共4题；共20分）13.已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- √5b，则cos<a，c>=________。

2021高考全国3卷理科数学带答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试完毕后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，那么A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出局部叫棒头，凹进局部叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．假设1sin 3α=，那么cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，那么ABP ∆面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦， 7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成品使用挪动支付的概率都为p ，各成员的支付方式互相独立，设X 为该群体的10位成员中使用挪动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，那么p =A ．0．7B ．0．6C ．0．4D ．0．39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，假设ABC ∆的面积为2224a b c +-，那么C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π610．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93么三棱锥D ABC -体积的最大值为A ．123B ．183C ．243D ．54311．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：〔00a b >>，〕的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．假设16PF =，那么C 的离心率为 A 5B ．2C 3D 212．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，那么A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2021高考数学新高考1卷(附参考答案)

故平均数不相同错误"项若第一组中位数为+7则第二组的
中位数为*7 $+7 '6显然不相同错误%项8*$ 8+'
,!0!解析在曲线*$6+ 上任取一点2 363对函数* 86$8+故方差相同正确0项由极差的定义知若第一
$6+ 求导得*4$6+所以曲线*$6+ 在点2 处的切线方程为组的极差为+758&+7&+则第二组的极差为*758&*7&+ $ +758'
#&&#'#&$''#&故选 %! $!"!解析设圆锥的母线长为(由于圆锥底面圆的周长
等于扇形的弧长则($#)槡#解得($#槡#!故选 "! (!)!解析因为函数 * $ *&++ 的单调递增区间为
#,&
#
#,'
#
,$ !
对于函数 -+$
令- 3$ .'!&363则-4 3$ .&363! 当3%.时-4 3)-此时函数- 3单调递增当3).时-4 3%-此时函数- 3单调递减所以- 3758 $-.$6. 由题意可知直线*$/与曲线* $- 3的图象有两个交点则/%- 3758 $6. 当3%.'!时- 3)-当3).'!时- 3%-作出函数- 3的图象如下图所示
某学校组织'一带一路(知识竞赛#有"#$ 两类问题#每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答#若回答错误则该同学比赛结束& 若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答#无论回答正确与否#该同学比赛结束!" 类问题中的每个问题回答正确得$#分#否则得#分&$ 类问题中的每个问题回答正确得%#分#否则得#分#己知小明能正确回答" 类问题的概率为#>%#能正确回答 $ 类问题的概率为#>0#且能正确回答问题的概率与回答次序无关! $!%若小明先回答" 类问题#记 8 为小明的累计得分# 求8 的分布列$$%为使累计得分的期望最大#小明应选择先回答哪类问题. 并说明理由!

2021年福建省高考数学真题及参考答案

2021年福建省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（）A.{}2 B.{}3,2 C.{}4,3 D.{}4,3,22.已知i z -=2，则()=+i z z （）A.i26- B.i24- C.i26+ D.i24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22 C.4D.244.下列区间中，函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆149:22=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若2tan -=θ，则()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.56-B.52-C.52 D.567.若过点()b a ,可以左曲线xe y =的两条切线，则（）A.ae b＜ B.be a＜ C.bea ＜＜0 D.aeb ＜＜08.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据n x x x 21，，由这组数据得到新样本数据n y y y 21，，其中()n i c x y i i ,2,1=+=，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()ααsin ,cos 1P ，()ββsin ,cos 2-P ，()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()0,1A ，则（）==C.213OP OP OP OA ⋅=⋅ D.321OP OP OP OA ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()165522=-+-y x 上，点()04，A ，()20，B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，23=PB D.当PBA ∠最大时，23=PB 12.在正三棱柱111C B A ABC -中，11==AA AB ，点P 满足1BB BC PB μλ+=，其中[]1,0∈λ，[]1,0∈μ，则（）A.当1=λ时，P AB 1∆的周长为定值B.当1=μ时，三棱锥BC A P 1-的体积为定值C.当21=λ时，有且仅有一个点P ，使得BP P A ⊥1D.当21=μ时，有且仅有一个点P ，使得B A 1⊥平面PAB 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

西城区2021届高三年级统一测试数学试题及答案 (1)

北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第1页（共8页）西城区高三统一测试数学参考答案 2021.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（ 1 ）B （ 2 ）A （ 3 ）A （ 4 ）D （ 5 ）D （ 6 ）C （ 7 ）B（ 8 ）C（ 9 ）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12），（13），3（14）（答案不唯一，只要是即可）（15）②④注：第（12）和（13）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接交于点，连接，在正方形中，.因为为的中点,所以. ………………3分因为平面，平面，所以平面. ………………5分（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，. ………………8分设平面的法向量为，(0,1]y =12-π(21)k +πBD AC O OE ABCD OB OD =E 1DD 1//OE BD 1BD ⊄ACE OE ⊂ACE 1//BD ACE 2A xyz -(0,0,0)A (2,2,0)C (0,2,0)D (0,2,1)E (0,2,0)AD = (2,2,0)AC = (0,2,1)AE =ACE (,,)x y z =n北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第2页（共8页）所以所以即………………10分令，则，，于是.………………11分设直线与平面所成角为，则.………………13分所以直线与平面（17）（共13分）解：（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期，.………………2分此时.选条件①②：因为的最小值为，所以.………………3分因为图象的一个对称中心为，所以，………………5分所以，因为，所以，此时.………………7分所以.………………8分选条件①③：因为的最小值为，所以.………………3分0,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 220,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩,2,x y z y =-⎧⎨=-⎩1y =-1x =2z =(1,1,2)=-n AD ACE θ|sin |cos ,|||||AD AD AD θ⋅=〈〉===⋅n |n n AD ACE ()f x 2π()f x 22T π=⨯=π22Tωπ==()sin(2)f x A x ϕ=+()f x A -2A =()f x (,0)125π2()12k k ϕ5π⨯+=π∈Z ()6k k ϕ5π=π-∈Z 2ϕπ<6ϕπ=1k =()2sin(2)6f x x π=+()f x A -2A =北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第3页（共8页）因为函数的图象过点，则，即，.因为，所以，………………5分所以，.………………7分所以.………………8分选条件②③：因为函数的一个对称中心为，所以，………………4分所以.因为，所以，此时.………………6分所以.因为函数的图象过点，所以，即，，所以.………………7分所以.………………8分（Ⅱ）因为，所以，因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，………………11分()f x (,1)65π-()16f 5π=-2sin()13ϕ5π+=-1sin()32ϕ5π+=-2ϕπ<636ϕ7π5π13π<+<36ϕ5π11π+=6ϕπ=()2sin(2)6f x x π=+()f x (,0)125π2()12k k ϕ5π⨯+=π∈Z ()6k k ϕ5π=π-∈Z 2ϕπ<6ϕπ=1k =()sin(26f x A x π=+()f x (,1)65π-(16f 5π=-πsin(136A 5π+=-11πsin 16A =-2A =()2sin(2)6f x x π=+[0,]x a ∈ππ2[,2]666x a π+∈+()f x [0,]a ππ3π2262a +<≤北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第4页（共8页）得，………………13分所以的取值范围为.（18）（共14分）解：（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件. 由图表可知，颗恒星有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值.所以.………………3分（Ⅱ）由图表知，有颗恒星的“赤纬”数值大于，有颗恒星的“赤纬”数值小于. 所以随机变量的所有可能取值为：.………………4分，，， . ………………8分所以随机变量的分布列为：………………9分所以.………………11分（Ⅲ）.………………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，所以.………………1分所以，.………………3分曲线在点处的切线方程为.………………4分63a π2π<≤a [,)63π2πA 10551()102P A ==750- 350- X 1,2,3,41373410C C 71(1)C 21030P X ⋅====2273410C C 3(2)C 10P X ⋅===3173410C C 1(3)C 2P X ⋅===4073410C C 1(4)C 6P X ⋅===X 131114()12343010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2212s s <1a =()e (ln 1)x f x x =-11()e (ln 1)e e (ln 1)x xx f x x x x x'=-+=+-(1)e f =-(1)0f '=()y f x =(1,(1))f e y =-X 1234P1303101216北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第5页（共8页）（Ⅱ）由，得，令，则.………………6分当时，，当时，，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以的最小值为.………………7分当时，，，………………9分又在单调递增，故存在，使得，在区间上，在区间上.………………10分所以，在区间上，在区间上，所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数存在极小值.………………11分（Ⅲ）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于.① 当时，，由（Ⅱ）得，所以.所以在上单调递增，所以的最小值为.由，得，满足题意.………………13分② 当时，由（Ⅱ）知，在上单调递减，所以在上，不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，，解得.………………1分因为，即，………………2分()e (ln )x f x x a =-1()e (ln )x f x x a x'=+-1()ln h x x a x =+-22111()x h x x x x-'=-=01x <<()0h x '<1x >()0h x '>()h x (0,1)(1,)+∞()h x (1)1h a =-1a >(1)10h a =-<(e )e 0a a h -=>()h x (1,)+∞0(1,e )a x ∈0()0h x =0(1,)x ()0h x <0(,)x +∞()0h x >0(1,)x ()0f x '<0(,)x +∞()0f x '>0(1,)x ()f x 0(,)x +∞()f x ()f x [1,)x ∈+∞()1f x -≥()f x 1-1a ≤(1)10h a =-≥()0h x ≥()0f x '≥()f x [1,)+∞()f x (1)e f a =-e 1a --≥1ea ≤1a >()f x 0(1,)x 0(1,)x ()(1)e <e f x f a =--≤a 1(,e-∞21314a +=2a =222431c ab =-=-=1c =北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第6页（共8页）所以，，所以离心率，的面积.………………5分（Ⅱ）由已知，直线的方程为. 当，，时，直线的方程为，交轴于点；当，，时，直线的方程为，交轴于点.若直线经过轴上定点，则，即，直线交轴于点.………………7分下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点.联立消整理，得，………………8分设，.则，.………………10分设点，所以直线的方程：.………11分令，得.………………12分因为，(2,0)D -(1,0)F 12c e a ==DEF △1393224S =⨯⨯=DE 112y x =+(2,0)A -3(1,)2B (1,)G t AG (2)3t y x =+y 2(0,)3t 3(1,)2A (2,0)B -(2,)G t -AG 332(1)23t y x --=--y 3(0,)3t +AG y 2333t t +=3t =AG y (0,2)3t =AG y (0,2)221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，y 22(43)880k x kx ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122843k x x k -+=+122843x x k -=+2(,3)G x AG 121233()y y x x x x --=--0x =2121211212333x y x x x yy x x x x -+-=+=--121121212123(1)3x x kx x x kx x x x x x -+--==--1212kx x x x =+北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第7页（共8页）所以.………………14分所以直线过定点.综上，存在实数，使得直线经过轴上定点.………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为，，，，所以，.………………4分（Ⅱ）充分性：若是等差数列，设公差为.因为数列是递增数列，所以.则当时，.所以，.………………6分必要性：若.因为是递增数列，所以，所以，且互不相等.所以.又，所以，且互不相等.所以，，…，.所以，所以为等差数列.………………9分（Ⅲ）因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和.共个不同的值；且对任意的，和这两个数中至少有一个在集合中.………………11分又因为这个数在数列中共出现次，所以数列中存在，所以.综上，，且.………………12分A T A A 12121212123()222x x x x x x y x x x x --+-===--AG 0,2（）3t =AG y (0,2)11a =22a =34a =43a ={1,2,3,1}T =-()4P T =A d A 0d >j i >()j i a a j i d -=-{,2,,(1)}T d d N d =- ()1P T N =-()1P T N =-A 21311N a a a a a a -<-<<- 21311,,N a a a a a a T ---∈ ,21311{,,}N T a a a a a a =--- ,32421221N N N a a a a a a a a a a --<-<<-<-<- 324221,,,N N a a a a a a a a T ----∈ ,3221a a a a -=-4231a a a a -=-211N N a a a a --=-21321N N a a a a a a --=-==- A 1,2,3,,,2n n 1n +1,2,3,,(1)n ±±±±- (21),(22),,n n n ±-±-± 2(1)242n n n -+=-1,2,3,,1,,,21m n n n =-- m m -1,2,3,,,2n n 1n +21N n =+()i j a a i j =≠0T ∈()41P T n -≤()2P T n ≥北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第8页（共8页）设数列：，此时，.现对数列分别作如下变换：把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.……把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.再对数列依次作如下变换：把一个移为的后一项，得到数列：，此时，；再把一个移为的后一项：得到数列：，此时，；依此类推……最后把一个移为的后一项：得到数列：，此时，.综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为.………………15分{0,1,2,,21}n - 12n ()3P T n =22n ()3+1P T n =2n 0A 1,1,2,2,3,3,4,4,,,,2n n n T =()2P T n =0A 12,31,2,2,1,3,3,4,4,,,,2n n n {0,1,2,3,,(21),1}T n =-- ()21P T n =+13,41,2,2,3,3,1,4,4,,,,2n n n {0,1,2,3,,(21),1,2}T n =--- ()22P T n =+11,n n -1,2,2,3,3,4,4,,1,1,1,,,2n n n n n -- {0,1,2,3,,(21),1,2,,2}T n n =---- ()2232P T n n n =+-=-1,2n n 1,2,2,3,3,4,4,,,,1,2n n n {0,1,2,3,,21,1,2,,1}T n n =---- ()2131P T n n n =+-=-0A 1A 1,2,2,3,3,4,4,,,,2,1n n n {0,1,2,3,,21,1,2,,1,12}T n n n =----- 2A 1,2,3,3,4,4,,,,2,2,1n n n {0,1,2,3,,21,1,2,,1,12,22}T n n n n =------ n n A 1,2,3,4,,,2,,1,,2,1n n n n - {0,1,2,3,,21,1,2,,1,12,22,,}T n n n n n =------- ()41P T n =-()P T 2n 41n -2n ()P T 2n。

2021届高三数学试题参考答案

2021届高三数学试题参考答案一．选择题（每题5分，共50分）AADBC CAACB二．填空题（每题5分，共25分） 11．3512．4 13．12114．π20 15．A )1,0[∪),1(+∞； B ．2 C ．26三．解答题（共75分） 16．（本题满分12分）解：（1）∵ 1)4sin()4sin(2)6(cos 2)(2-+-+-=πππx x x x f )4cos()4sin(2)32cos(πππ--+-=x x x)22sin(2sin 232cos 21π-++=x x x x x x 2cos 2sin 232cos 21-+=)62sin(π-=x（5分）∴ 周期 ππ==22T 。

由262πππ+=-k x ，得 32ππ+=k x )(Z k ∈ ∴ 函数图像的对称轴方程为32ππ+=k x )(Z k ∈（7分）（2）∵]2,12[ππ-∈x ，∴]65,3[62πππ-∈-x ，又∵)(x f )62sin(π-=x 在区间]3,12[ππ-上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，∴当3π=x 时，)(x f 取最大值1。

又 ∵1)2(23)12(=<-=-ππf f ，∴当12π-=x 时，)(x f 取最小值23-。

∴ 函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上的值域为]1,23[-。

（12分）17．（本题满分12分）解：（1）从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5，6，7，8。

(2分)354)5(473314===C C C X P ， 3518)6(472324===C C C X P ， 3512)7(471334===C C C X P ，351)8(47344===C C C X P ，（8分）（2）根据随机变量X 的分布列，可以得到得分大于6的概率为：35133513512)8()7()6(=+==+==>X P X P X P 。