地基中的附加应力计算方法总集
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地基中附加应力计算
§3 土体中的应力计算
小结
应力状态
自重应力
水平地基中的自重应力
的计算
土力学中应力符号的规定 地基中的应力状态 应力应变关系的假定
影响因素 基底压力分布 实用简化计算
基底压力计算
附加应力 的计算
因素：底面形状；荷载分 布；计算点位置
'u
饱和土的有效应力
土的变形与强度都
原理
只取决于有效应力
34
y
x
x
M’
R βz
M
z R2 r2 z2 x2 y2 z2
k
3
2
[1
(r
1 / z)2 ]5/ 2
z
k
P z2
集中力作用下的 应力分布系数
查表3-1
4
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
k
P z2
特点
k
3
2
[1
(r
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
2
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－
P
o
αr
x R
布辛内斯克(J.Boussinesq)课题
x
y M’
βz
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
l z
0
——圆形面积均布荷载作用时园心点下
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计
第四章第四讲-荷载作用下地基中附加应力计算
基底附加压力
附加应力是由于修建建筑物之后在地基内新增加 的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉 降的主要原因
• 集中荷载作用下的附加应力 • 矩形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
基本解 叠加原理
地基中的附加应力
第四讲 荷载作用下地基中附加应力计算
在建筑物建造之前，地基中的自重应力已经存在， 基底附加压力是指作用在基础底面的压力与基础 底面处原有的自重应力之差，它是引起地基土附 加应力及变形的直接因素。
因此，将建筑物建造后的基底压力扣除基底标高 处原有的土体自重应力后，才是基础底面处新增 的基底附加压力。
叠加原理 角点计算公式
C
任意点的计算公式
a C
D b
D
•
矩形内： σz
(
K
A z1
K
B z1
K
C z1
K
D z1
)
p
A
•
矩形外：σz
(
K
ABCD z1
K BD z1
K CD z1
K
D z1
)
p
c
矩形分布荷载的附加应力
B d
矩形面积竖直三角形分布荷载
BL
σz 0 0 d z σz ( p0, m, n)
碎散体
非线性 弹塑性
成层土 各向异性
连续介质
（宏观平均）
加载
线弹性体
线弹性
（应力较小时）
均质各向同性体
卸载
（土层性质变化不大）
E、与位置和方向无关
εp
εe
理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法： 解析方法优点：简单，易于绘成图表等
附加应力是由于修建建筑物之后在地基内新增加 的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉 降的主要原因
• 集中荷载作用下的附加应力 • 矩形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
基本解 叠加原理
地基中的附加应力
第四讲 荷载作用下地基中附加应力计算
在建筑物建造之前，地基中的自重应力已经存在， 基底附加压力是指作用在基础底面的压力与基础 底面处原有的自重应力之差，它是引起地基土附 加应力及变形的直接因素。
因此，将建筑物建造后的基底压力扣除基底标高 处原有的土体自重应力后，才是基础底面处新增 的基底附加压力。
叠加原理 角点计算公式
C
任意点的计算公式
a C
D b
D
•
矩形内： σz
(
K
A z1
K
B z1
K
C z1
K
D z1
)
p
A
•
矩形外：σz
(
K
ABCD z1
K BD z1
K CD z1
K
D z1
)
p
c
矩形分布荷载的附加应力
B d
矩形面积竖直三角形分布荷载
BL
σz 0 0 d z σz ( p0, m, n)
碎散体
非线性 弹塑性
成层土 各向异性
连续介质
（宏观平均）
加载
线弹性体
线弹性
（应力较小时）
均质各向同性体
卸载
（土层性质变化不大）
E、与位置和方向无关
εp
εe
理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法： 解析方法优点：简单，易于绘成图表等
地基中的附加应力计算
σ K p ,σ
K p ,
K
s XZ
p
s 0
z x s 式中 n , m K 为附加应力系数可查表 B B
任意形状基底受各种分布形式荷载的作 用下地基中附加应力的计算
• 感应图：
感应图
AB Z
Z 0.005NP0
土体中的应力集中与应力扩散
B
H
均匀
B
H 均匀
b 2
K xz F ( x, B, z )
Z K z P0， X
附加应力系数 K x p0 xz K xz p0 ,
式中 K z K x K xz为附加应力系数可根据 m和n查表
查表
(P94表3.6.1)
Kz Kx K xz
Kz Kx
附加应力等值线
条形面积三角形荷载
dP
3
dP p0 d
3
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
3
计算原理
dP p0 d
z
b
0
2 z 3 p 0 d [(x ) 2 z 2 ] 2
2P0 z 3 z (x2 z 2 )2
X
2P0 x 2 z (x 2 z 2 )2
dP1
2
B
p 0 d
xz zx
s z s Z
2P0 xz 2 2 2 (x z )
s 0 s X s X s 0
B dP2 p0 d B
s xz
B
H
硬 成层 均匀
软
地基中的附加应力计算
第二章 土体应力计算
&4 地基中的附加应力计算
华北水利水电学院土力学课程组
概 述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。 只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基
均质各向同性线性变形
体
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。 Ks可直接查表
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
3 z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
R= x +y +z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R = x2 + y 2 + z 2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
等代荷载法－基本解答的初步应用
&4 地基中的附加应力计算
华北水利水电学院土力学课程组
概 述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。 只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基
均质各向同性线性变形
体
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。 Ks可直接查表
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
3 z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
R= x +y +z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R = x2 + y 2 + z 2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
等代荷载法－基本解答的初步应用
4.4地基附加应力的计算
过程：取元素面积 dA rdrd ，
则均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0dA P0rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
l 0
x dxdy
b
b
0 ( x2 y2 z2 )5
mnp
2
1 m2 n2
(1 m2 )
m2 1 n2
m2
t1 p
t1 ——应力系数，是 l / b 和 z / b 的函数，可制成表备查。
同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应
b 0.5
b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载
p x b
p ，求荷载为
零的角点下某深度处
M点的竖向应力 z值。
的 z值，并绘出分布图；
解：
z (m) r (m) r/z
z
Q z2
(kPa)
0
0
0 0.4775
∞
1
0
0 0.4775
95.5
3
0
0 0.4775
23.9
4
0
0 0.4775
10.6
5
0
0 0.4775
则均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0dA P0rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
l 0
x dxdy
b
b
0 ( x2 y2 z2 )5
mnp
2
1 m2 n2
(1 m2 )
m2 1 n2
m2
t1 p
t1 ——应力系数，是 l / b 和 z / b 的函数，可制成表备查。
同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应
b 0.5
b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载
p x b
p ，求荷载为
零的角点下某深度处
M点的竖向应力 z值。
的 z值，并绘出分布图；
解：
z (m) r (m) r/z
z
Q z2
(kPa)
0
0
0 0.4775
∞
1
0
0 0.4775
95.5
3
0
0 0.4775
23.9
4
0
0 0.4775
10.6
5
0
0 0.4775
地基中的附加应力
0 ＝18.5kN/m3
202.2kPa 193.7kPa 165.7kPa
111.2kPa
80.9kPa
地基附加应 力分布曲线
62.3kPa
本节演示结束 谢谢观看！
z
z
K
P z2
M(x,y,z) z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
z
3Pz 3
2R5
3P
2R2
cos3 q
附加应力分布规律
距离地面越深，附加应力的分布范围越广
在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐 减小
同一竖向线上的附加应力随深度而变化
在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小
A
1m
2m 200kPa o
2m
B基础引起的 附加应力
1m
1m
三、条形基础地基中的附加应力计算
基础底面长宽 理想 比l / b→∞ 情况
条形基础
实际 情况
基础底面长宽 比l / b≥10
pdy布辛涅斯克解
线积分
z
2 pz3 x2 z2
2
几种不同分布荷载计算Ⅰ
均布荷载情况
p
b/2 b/2
pm in
bl l
条形基础取单 位长度计算
分析步骤Ⅱ:
F=400kN/m
0.1m M=20kN •m
1.5m 0 ＝18.5kN/m3
2m
292.0kPa
112.6kPa
2.基底附加压力计算
基底标高以上 天然土层的加 权平均重度
基础埋 置深度
p0max pmax
p0 m in
水利工程土力学教学课件：任务4.3地基中的附加应力
z 10m :
8
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa i 1
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算
Qo
r
x R
—西罗提（Cerruti）课题
x
y
z
z
y
x
M y
z
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算 —西罗提（Cerruti）课题
z
3Q
2R5
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
基本方法：
将荷载作用 面积分块
各分块产生的 竖向附加应力
叠加
土中任意点的 竖向附加应力
角点下竖向附加 应力计算公式
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
a
h
d 情况一：M点投影在矩形荷载
作用面积范围之内
等值线（应力泡）
集中荷载作用下的地面沉降
s Q(1 2 ) E0r
E0 —土的变形模量
—土的泊松比
例题 4.3
在地表面作用集中力Q＝200kN，计 算地面深度z=3m处水平面上竖向法向应 力σz分布，以及距Q作用点r=1m处竖直 面上竖向法向应力σz分布。
解答
解答
例题 4.4
O
有一矩形基础，b=2m，l=4m， 作用均布荷载p=10kPa，计算矩形 基础中点O下深度z=2m及10m处 的竖应力σz 值。
地基附加应力计算
均布线荷载作用下附加应力计算—弗拉曼（Flamant）解
M
地基附加应力计算
均布条形荷载作用下附加应力计算
z u p
应力系数
u
8
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa i 1
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算
Qo
r
x R
—西罗提（Cerruti）课题
x
y
z
z
y
x
M y
z
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算 —西罗提（Cerruti）课题
z
3Q
2R5
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
基本方法：
将荷载作用 面积分块
各分块产生的 竖向附加应力
叠加
土中任意点的 竖向附加应力
角点下竖向附加 应力计算公式
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
a
h
d 情况一：M点投影在矩形荷载
作用面积范围之内
等值线（应力泡）
集中荷载作用下的地面沉降
s Q(1 2 ) E0r
E0 —土的变形模量
—土的泊松比
例题 4.3
在地表面作用集中力Q＝200kN，计 算地面深度z=3m处水平面上竖向法向应 力σz分布，以及距Q作用点r=1m处竖直 面上竖向法向应力σz分布。
解答
解答
例题 4.4
O
有一矩形基础，b=2m，l=4m， 作用均布荷载p=10kPa，计算矩形 基础中点O下深度z=2m及10m处 的竖应力σz 值。
地基附加应力计算
均布线荷载作用下附加应力计算—弗拉曼（Flamant）解
M
地基附加应力计算
均布条形荷载作用下附加应力计算
z u p
应力系数
u
地基附加应力
地基附加应力是建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力，其公式为：d p p p c 00γσ-=-=
竖向集中力下的地基附加应力
1 布辛奈斯克法
这个方法给出了三个方向的正应力和剪应力以及位移的公式。
其中最常用的是竖向正应力和竖向位移的公式，公式见下
θπσ32cos 23R P
=
P 作用于坐标原点的竖向集中力
R
M 点至坐标原点的距离 θ R 线与z 坐标轴的夹角
2 等代荷载法
如果地基中M 点与局部荷载的距离比荷载截面尺寸大很多时，就可以用一个集中力P 代替局部荷载，然后利用不辛奈克斯公式求解，经简化得到下面的公式：2z P K =σ
，其中K 是一个与z r
有关的系数，经查表就可得到。
若有若干个集中荷载作用在地基上，则应按叠加原理计算地基中某点M 的附加应力。
当局部荷载的平面形状或者分布形状不规则时，可将荷载面（或基础底面）分成若干个规则面积单元，每个面积单元上的分布荷载可近似用集中荷载代替，这样就可以利用叠加法来计算基础下某一深度点的附加应力（此法不宜用于求靠近荷载面的计算点），一般其精度能保证工程要求。
2 巨型荷载和圆形荷载下的地基附加应力
以角点法计算均布矩形荷载下的地基附加应力，分为四种情况
荷载面边缘;荷载面内;荷载面边缘外侧；荷载面角点外侧
以上四种情况都可通过分割和补加得到想要的角点，然后来利用叠加法通过查表可得到想要求的计算点的附加应力。
土力学地基中的应力计算
p
arctan
1
2(x / b) 2(z / b)
arctan 1 2(x / b) 2(z / b)
4 z [4( x )2 4( z )2 1]
bb
b
[4( x )2 4( z )2 1]2 16( z )2
b b
b
b
b
13
•带状三角形荷载
b
p
x
z
Mx
(x, z)
z
查表3－3
e 基底压力呈三角形分布
e 基底局部出现拉应力
基底与地基脱开
对于矩形底面，＝ b
6
37
(1) 矩形底面单轴偏心荷载作用时(e)
由竖向、弯矩平衡方程
P
b 2
(
p1
p2 ) a
M
b 2 ( p1
p2
)
a
(
b 2
b) 3
p1 p2
PM AW
P (1 A
e)
P 1 A
6e b
e a
b
P M Pe
z
p
{x b
(arctan
x z
/ /
b b
arctan
x
/b 1) z/b
z b
(x
/
b
x/b 1)2
1 (z
/
b)2
}
k(x b
,
z b
)
p
•带状梯形荷载
14
5、矩形均布面积荷载作用下附加应力旳计算
1）角点下旳垂直附加应力
dP pdxdy
d z
3dP 2
z3 R5
3p 2
z3 R5
dxdy
第四章 地基中附加应力与变形计算
20 18 16
Elevation (metres)
14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distance - metres
圆形基底均布压力－地基竖向应力等值线分布 Lesson 1: Pressure distribution under a circular footing
当水平场地地基表面作用局部均布荷载时，仍然假定 土柱的变形属于侧向变形条件，只产生竖向变形。但 是，随深度增大，水平面上的竖向压应力逐渐减小， 需要分层确定竖向应变和竖向变形量。
s
H1
H2
H3
s = ∑εi Hi
i =1
3
侧限压缩变性特性
地基土的侧限压缩变形特性可以由侧限压缩试验测试
p
H H
H 1 + eo
Distance - metres
条形基底均布压力－地基竖向应力等值线分布 Lesson 2: Pressure distribution under a strip footing
3m Footing 100 kPa E = 5000 kPa, Poisson's Ratio = 0.334
20
80
18
90
20
10
Elevation (metres)
12
10
8
6
30
4
2
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
40
50
14
60
16
70
Distance - metres
条形基底均布压力－地基水平向应力等值线分布 Lesson 2: Pressure distribution under a strip footing
精编地基中的附加应力计算资料
第二章 土体应力计算
【解】（1）求作用于基底面上的力及偏心距。将Fh移至基底面，根据 静力等效，需加力矩。设合力作用点离基底前缘A点的水平距离为x，利 用合力矩定理，即
Fv·x= Fv×3.2－Fh ×2.4 则 x=（3.2 Fv－2.4 Fh ）／Fv=3.2－2.4 ×400 ／ 2400
＝2.8（m） 于是合力偏心距e=b/2－2.8＝0.2（m）；合力作用点位于基底面中点的 左侧0.2m。 （2）求基底压力。这属于平面问题应用式（2－13），得竖向基底压力
第二章 土体应力计算
应用式（2－17），得 ph=Fh/b=400/6=66.7kPa （3）求基底净压力（基底附加应力）。对于梯形分布的竖向基底压力应用 图2－23所示方法可得竖向基底净压力如下
pn=pmin－γod=320－19×1.5＝291.5kPa pt=pmax－pmin=480－320＝160kPa
图4-3 集中荷载作用下地基中应力
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力 学和固体力学都有贡献。
竖向集中力作用下地基附加应力
弹性力学解答 Boussinesq 解
竖向集中力作用下地基附加应力
z
3Pz 3
2R5
六 条形基底均布荷载作用下地基附加应力
条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力
p pt b
条形基底受水平荷载作用时附加应力
第二章 土体应力计算
基底作用有倾 斜偏心荷载时
平面问题： 注意：（1）原点
（2）X轴正向
第二章 土体应力计算
【例题2－3】如图所示的挡土墙，基础底面 宽度为6m，埋置于地面下1.5m处。每米墙自 重及其上部其他竖向荷载Fv= 2400kN/m，作 用位置离墙基础前缘A点3.2m；因土压力等作 用墙背受到水平力Fh=400kN/m，其作用点距 离基底面2.4m。设地基土重度为19kN/m3， 若不计墙后填土附加应力的影响，试求因Fv ，Fh作用基础中心点及前缘A点下深度 z=7.2m处M点，N点的附加应力。
4.4地基附加应力的计算
过程：将坐标原点取在
荷载为零的角点上，z 轴通过M点。
取元素面积 dA dxdy ，
则均布荷载可等效为一
个集中荷载 dQ x dxdy。 b
在矩形面积范围内求积分得到M点的竖向应力值 z ：
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
z
A
d z
3z3 p
2
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
法向应力表达式：
x
3Q
2
zx2
R5
1 2
3
R2 Rz z2
R3 R z
x2(2R z)
R3 R z2
z
3Qz3
2 R5
y
3Q
2
zy2
R5
1 2
m z 11 b1
n l 22 b1
查表得应力系数
c =0.1999 zA c p0 0.1999 100=19.99kPa
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
2、边点E下的应力值 zE
zE EADI EBCI 2 EADI
m z 11 n l 11
3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算
目的：若在半无限土体表面作用一分布荷载P(x,y)如图所示，计算 土中某点M(x,y,z)的竖向应力 z 值。
3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算
过程：取元素面积 dA dd ，则均布荷载可等效为一个集中荷
载 dQ p(x, y)dd 。
按布西奈斯克公式
注意：计算附加应力时，l 总是代表长边，b总是代表短边。
荷载为零的角点上，z 轴通过M点。
取元素面积 dA dxdy ，
则均布荷载可等效为一
个集中荷载 dQ x dxdy。 b
在矩形面积范围内求积分得到M点的竖向应力值 z ：
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
z
A
d z
3z3 p
2
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
法向应力表达式：
x
3Q
2
zx2
R5
1 2
3
R2 Rz z2
R3 R z
x2(2R z)
R3 R z2
z
3Qz3
2 R5
y
3Q
2
zy2
R5
1 2
m z 11 b1
n l 22 b1
查表得应力系数
c =0.1999 zA c p0 0.1999 100=19.99kPa
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
2、边点E下的应力值 zE
zE EADI EBCI 2 EADI
m z 11 n l 11
3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算
目的：若在半无限土体表面作用一分布荷载P(x,y)如图所示，计算 土中某点M(x,y,z)的竖向应力 z 值。
3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算
过程：取元素面积 dA dd ，则均布荷载可等效为一个集中荷
载 dQ p(x, y)dd 。
按布西奈斯克公式
注意：计算附加应力时，l 总是代表长边，b总是代表短边。
地基附加应力的计算
，则式（2-13）可改写为
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征
图2-13 集中力作用下土中的应力σz的分布
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征
在集中力P作用 在r＞0的竖直线 线上的σz分布 上的σz分布
1)
1.角点下任意深度的附加应力
图2-17 矩形均布荷载作用时角点下的附加应力σz
1.2矩 形面 积上 均布 荷载 作用 下的 地基 附加 应力
2.非角点下任意深度的附加应力
当矩形面积上均布荷载作用下的附加应力计算点不 位于角点下时，可通过角点下的应力计算公式（2 1 5）和应力叠加原理求得。例如，求非角点Q下任意深 度的附加应力时，可通过Q点将荷载面积划分为几块 小矩形面积，使Q点为每块小矩形面积的共同角点， 利用式（2 15）分别求出Q点下同一深度在每个小矩 形均布荷载作用下的应力值，然后利用叠加原理求出 总的附加应力，这就是角点法。如图2 18所示，角 点法可分为四种情况。
2)
在一定深度z处 的水平面上的
σz分布
3)
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征 图2-14集中力作用下σz的等值线
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
3.多个集中力作用下的σz
图2-15 两个集中力作用下σz的叠加
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
土力学与中应力
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
1.计算公式
法国J.布辛奈斯克（Boussinesq，1885）运用弹性理论 推出了这些应力分量的解，其中竖向正应力 σz在建筑工程 中对基础沉降计算意义最大，其表达式为
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征
图2-13 集中力作用下土中的应力σz的分布
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征
在集中力P作用 在r＞0的竖直线 线上的σz分布 上的σz分布
1)
1.角点下任意深度的附加应力
图2-17 矩形均布荷载作用时角点下的附加应力σz
1.2矩 形面 积上 均布 荷载 作用 下的 地基 附加 应力
2.非角点下任意深度的附加应力
当矩形面积上均布荷载作用下的附加应力计算点不 位于角点下时，可通过角点下的应力计算公式（2 1 5）和应力叠加原理求得。例如，求非角点Q下任意深 度的附加应力时，可通过Q点将荷载面积划分为几块 小矩形面积，使Q点为每块小矩形面积的共同角点， 利用式（2 15）分别求出Q点下同一深度在每个小矩 形均布荷载作用下的应力值，然后利用叠加原理求出 总的附加应力，这就是角点法。如图2 18所示，角 点法可分为四种情况。
2)
在一定深度z处 的水平面上的
σz分布
3)
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征 图2-14集中力作用下σz的等值线
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
3.多个集中力作用下的σz
图2-15 两个集中力作用下σz的叠加
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
土力学与中应力
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
1.计算公式
法国J.布辛奈斯克（Boussinesq，1885）运用弹性理论 推出了这些应力分量的解，其中竖向正应力 σz在建筑工程 中对基础沉降计算意义最大，其表达式为
地基中的附加应力计算
xy y x 3 2 P 0 x R 5y1 z 3 2R x3((y 2 R R zz )2 )
3P0 xyz
2 R 5
yz
zy
3 P0
2
yz 2 R5
P0
o αr
x R
y M’ θz
3 P0 y
2xR 3
cos
2
xz
zx
3 P0
2
xz 2 R5
y
M
3P0 x cos 2
P0
0.1P 0.05P 0.02P
球根
应力 球根
0.01P
• 如果有几个集中荷载作用（应力叠加原理）
叠加原理 叠加原理建立在弹性 理论基础之上，当地基表 面同时作用有几个力时， 可分别计算每一个力在地 基中引起的附加应力，然 后对每一个力在地基中引 起的附加应力累加求出附 加应力的总和。
zK 1z P 1 2K 2P z2 2 K nP zn 2z 1 2i n 1K iP i
m=L/B, n=z/B
z Ks p0
查表
K sF (B ,L ,z)F (B L,B z)F (m ,n )
矩形竖直向均布荷载角点下的附加应力分布系数Ks
矩形面积受竖直均布荷载作用时角点下的 附加应力系数Ks
1、长短边的问题 2、线性内插问题
z Ks p0
2. 任意点的垂直附加应力—--角点法
• 地基中附加应力： • 基底附加应力在地基中
引起的附加于原有应力 之上的应力。
地基中的附加应力是使 地基发生变形，引起建 筑物沉降的主要原因。
土中附加应力分布特点：
• 土中附加应力分布特点：
• 1、 在地面下同一深度的水平面上的附加应力不同， 沿力的作用线上的附加应力最大，向两边则逐渐减 小。 2、 距地面愈深，应力分布范围愈大，在同一铅直 线上的附加应力不 同， 愈深则愈小。 3、计算地基附加应力，一般假定地基土是各向同性 的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上 都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形 半空间，就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空 间的理论解答。
土体中的应力计算—附加应力的计算(土力学课件)
土中任意点所受的附加应力
z 2 p
x
p x
z z
x z
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
2.条形面积受三角形荷载作用下的附加应力
土中任意点所受的附加应力
z 3 p
-x 0
z x
p x
z
注意坐标系的建立，以荷载0为坐标原点，向荷 载增大的方向为正方向。
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
3.圆形面积均布荷载作用下的竖向附加应力
(1)距离地面越深， 附加应力的分布范围 越广，r/z=2.5范围内。
(2)在距地面为z的平 面上，集中力作用线 下的附加应力最大， 向两侧逐渐减小。
集中力作用下附加应力分布图
一、竖直集中荷载作用下的地基附加应力计算
1、附加应力分布规律
(3)距P作用线为r竖直 线上的附加应力随深 度先增加再减小。
171
332 kPa
134
条形荷载作用下土中附加应力
（1）p1=134kPa
+x
+x
+（x 2）p2=198kPa
-x
z x1 x/b z/b
x2 x/b z/b
00 0 0 1
134 1 0.5 0 0.500 99 233
1 0 0 0.5 0.820 110 1 0.5 0.5 0.410 81 191
条形荷载作用下 土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
1.条形面积受均布荷载作用下的土中竖向附加应力
土中任意点所受的附加应力 x
z 2 p
2 ——条形均布荷载作用
下的竖向附加应力系数
2 (x / b, z / b)
z 2 p
x
p x
z z
x z
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
2.条形面积受三角形荷载作用下的附加应力
土中任意点所受的附加应力
z 3 p
-x 0
z x
p x
z
注意坐标系的建立，以荷载0为坐标原点，向荷 载增大的方向为正方向。
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
3.圆形面积均布荷载作用下的竖向附加应力
(1)距离地面越深， 附加应力的分布范围 越广，r/z=2.5范围内。
(2)在距地面为z的平 面上，集中力作用线 下的附加应力最大， 向两侧逐渐减小。
集中力作用下附加应力分布图
一、竖直集中荷载作用下的地基附加应力计算
1、附加应力分布规律
(3)距P作用线为r竖直 线上的附加应力随深 度先增加再减小。
171
332 kPa
134
条形荷载作用下土中附加应力
（1）p1=134kPa
+x
+x
+（x 2）p2=198kPa
-x
z x1 x/b z/b
x2 x/b z/b
00 0 0 1
134 1 0.5 0 0.500 99 233
1 0 0 0.5 0.820 110 1 0.5 0.5 0.410 81 191
条形荷载作用下 土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
1.条形面积受均布荷载作用下的土中竖向附加应力
土中任意点所受的附加应力 x
z 2 p
2 ——条形均布荷载作用
下的竖向附加应力系数
2 (x / b, z / b)
地基中的附加应力
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
2m 202.2kPa 193.7kPa 165.7kPa 111.2kPa 80.9kPa 62.3kPa
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数，均 为m,n的函数
水平均布荷载
z1 K h ph
z 2 Kh ph
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数，均 为m,n的函数
【例题分析】 有两相邻基础A和B， 其尺寸、相对位置及 基底附加压力分布见 右图，若考虑相邻荷 载的影响，试求A基础 底面中心点o下2m处的 竖向附加应力
1.5m 2m
0 ＝18.5kN/m3
荷载偏心距 e=M/(F+G)
基础及上覆 土重G= GAd 140.3kPa
319.7kPa
pmax pmin
1.基底压力计算
条形基础取单 位长度计算
F G 6e 1 bl l
分析步骤Ⅱ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m
x
附加应力系数
P K 2 z
z
z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
附加应力分布规律
距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐 减小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无 限传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应 力扩散）
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w
h h2
wi
j
上式为流土的临界条件，所以可以认为流
土的临界条件为那里的有效应力等于零
如: P85-例3-3
A
37
根据流网确定孔隙水应力
A
38
超孔隙水压力
由渗流或荷载引起的超过静水位的孔隙 水压力称为超孔隙水压力
对于稳定渗流，由于水头是常数，因而 超孔隙水压力将不随时间变化
对于荷载引起的超孔隙水压力，将随时 间而变化，其变化规律仍然服从有效应 力原理。
A
19
圆形面积均布荷载作用中心的附加应力
A
20
三、平面问题条件下的地基附 加应力
理论上，当条形基础的长度l/b趋向于无 穷大时，地基中的应力状态属于平面问 题
实际工程中，当l/b≥10视为平面问题 有时当l/b≥5时，按平面问题计算，也能
保证足够的精度。
A
21
竖直线荷载作用下的地基附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
K值可直接查表
A
8
等代荷载法－基本解答的初步应用
由于集中力作用下地基中的附加应力 σz是荷载的一次函数，因此当若干竖 向集中力Fi作用于地表时，应用叠加 原理，地基中z深度任一点M的附加应 力σz应为各集中力单独作用时在该点 所引起的附加应力总和。
u whw
A
32
有效应力原理
当总应力保持不变时，孔隙水应力和有 效应力可以相互转化，即孔隙水应力减 小（增大）等于有效应力的等量增加 （减小）
非常重要！！
A
33
静水条件下水平面上的孔隙水应力和 有效应力
wh1saht2
u w h w w h 1 h 2
uh2
A
34
稳定渗流作用下 水平面上的孔隙水应力和有效应 力
A
14
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
A
15
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
A
16
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
dz 3z32ptRxd5bxdy
R x2y2z2
A
17
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
A
18
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。
Ks可直接查表
A
13
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
角点法 对于实际基底面积范围以内或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
A
39
Ns
A
A
29
饱和土体中的有效应力
A
30
太沙基有效应力原理
对饱和土体内某一研究平面
A N s A A su
Ns
A
1au
u
A
31
饱和土体中的孔隙水应力
孔隙水应力：饱和土体中由孔隙水来承担或 传递的应力定义为孔隙水应力，常用u表示。
孔隙水应力的特性与通常的静水压力一样， 方向始终垂直于作用面，任一点的孔隙水应 力在各个方向是相等的。
线荷载是作用于半无限空间表面宽度趋 近于零沿无限长直线均布的荷载
著名的Flamant解
A
22
竖直线荷载作用下的地基附加应力
A
23
竖直线荷载作用下的地基附加应力
•由于线荷载沿y坐标无限延伸， 因此与y轴垂直，平行于xoz任何 平面上的应力状态完全相同。这 种情况属于弹性力学平面问题。 •平面问题只有三个独立的应力分 量
地基中的附加应 力计算方法总集
A
1
概述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。
只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
A
2
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
向下渗流
u w h w w h 1 h 2 h
wh1saht2
uh 2 w hA源自35稳定渗流作用下 水平面上的孔隙水应力和有效应 力
向上渗流
wh1sh2
u w h w h 1 h 2 h
uh 2 w h
A
36
流土临界条件
当a-a平面上的孔隙水应力增加到与总应
力相等，即有效应力降为零，有
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷
小，将σz用积分 表示
A
11
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R x2y2z2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
A
12
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
A
9
等代荷载法－基本解答的初步应用
将基底面基底净压力 的分布划分为若干小 块面积并将其上的分 布荷载合成为小的集 中力，即可应用等代 荷载法进行计算。
这种方法适用于基底 面不规则的情况，每 块面积划分得越小， 计算精度就越高。
A
10
二、空间问题条件下地基附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
A
24
条形基底均布荷载作用下地基附加应力
A
25
条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力
A
26
条形基底受水平荷载作用时附加应力
A
27
讨论
A
28
3.5饱和土体中的有效应力
有效应力：通过粒间接触面传递的应力 称为有效应力，只有有效应力才能使得 土体产生压缩（或固结）和强度。
把研究平面内所有粒间接触面上接触力 的法向分力之和除以所研究平面的总面 积所得的平均应力来定义有效应力
A
3
问题类型
空间问题 矩形基础、圆形基础
平面问题 条形基础
A
4
一、附加应力的基本解答
竖向集中力作用下地基附加应力
弹性力学解答 Boussinesq 解
A
5
竖向集中力作用下地基附加应力
R r2z2
A
6
竖向集中力作用下地基附加应力
R r2z2
竖向集中力作用竖向附加应力系数
A
7
竖向集中力作用下地基附加应力