2011北约自主招生数学题及解答
2011年北大自主招生联考数学试题及解答
()()1132，(123x +的交点的直线方程()()1132得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩252x x -++解析：因为222cos 2a b c C ab +-=22222a b a b ab +⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥()2231422a b ab ab +-= 312422ab ab ab⋅-≥12=，当且仅当a b =时，""=成立，又因为()0,C π∈，所以060C ∠≤。
所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线；所以211212CC CC r r C C -=+<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的双曲线；21121212点、实轴长为12r r -的双曲线；所以211212CC CC r r C C -=+=或211212CC CC r r C C +=+=，所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线（圆1C 、2C 的交点除外）；21121212实轴长为12r r +的椭圆（圆1C 、2C 的交点除外）；所以211212CC CC r r C C -=-=或2112CC CC r r +=-，所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆（两圆1C 、2C 的交点除外）；（ⅰ）若C 与1C ，2C 都内切，则11CC r r =-，22CC r r =-，所以211212CC CC r r C C +=->，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的椭圆；（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆。
2011北大自主招生数学详解版
值为何？ 解 由 a7 a3 4d 可得公差 d 4 , 从而 a1 21 . 令 21 4( x 1) 0 得 x 6.25 , 故 {an } 从第 7 项开 始为正, 所以 {S n } 的最小项为 S6 66 . 4. 在 ABC 中， a b 2c ，求证： C 60 . 证 根据正弦定理有 sin A sin B 2sin C , 从而有
2011 年北约等十三校联考自主招生数学试卷 厦门一中徐小平
1. 已知平行四边形的其中两条边长为 3 和 5，一条对角线长为 6，求另一条对角线长. 解一 (引理) 平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和. 另一对角线长为
2(32 52 ) 62 4 2 . C B 解二 如图, 设 AB 3 , AD 5 , BD 6 , 则据余弦定理有 2 2 2 2 AB AD cos A AB AD BD 2 , 于是 AC 2 DC 2 AD 2 2 DC AD cos CDA D A 32 52 2 AB AD cos A 32 , 从而 AC 4 2 . 2 2 2. 求过抛物线 y 2 x 2 x 1 和 y 5 x 2 x 3 的交点的直线方程. 解 由上述两方程消去二次项可得 6 x 7 y 1 0 , 此即为过两抛物线交点的直线方程. 3. 在等差数列 {an } 中， a3 13, a7 3 ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求数列 {S n } 的最小项，并指出其
“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
2011年北京大学等13所大学自主招生数学试题解答
４ｓｉｎ２Ｃｃｏｓ２Ｃ ＝２ｓｉｎ Ｃ≤ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ Ｂ＝
的方程．
｛ｙ＝２ｘ２ －２ｘ－１，
解法 ２ 联 立 方 程 组
消去 ｙ＝－５ｘ２ ＋２ｘ＋３．
２ ０１１×｜ｘ－２ ０１１１｜＝｜ｘ－１｜＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２１｜）＋
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜）＋ … ＋
（｜ｘ－２ ０１１１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜＋ … ＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＝
（｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２０１ １１｜）＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
其２ 个交点为Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ）、Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ）．代入点 Ａ 的坐
标
得
烄ｙ１ 烅 烆ｙ１
＝２ｘ１２ －２ｘ１ －１， ＝－５ｘ２１ ＋２ｘ１ ＋３．
① ②
①×５＋②×２ 得 ７ｙ１ ＝－６ｘ１ ＋１，即 ６ｘ１ ＋７ｙ１ －１
＝０．同理得 ６ｘ２ ＋７ｙ２ －１＝０．
所以，两交点 Ａ、Ｂ 都在直线６ｘ＋７ｙ－１＝０ 上，
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋ …
（※）
其中共有（１＋２＋３＋ … ＋２ ０１１）÷２＝５０３×２ ０１１
解法２ 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则３＝ａ７ ＝ ａ３ ＋４ｄ＝－１３＋４ｄ，解得ｄ＝４＞０，则通项
ａｎ＝ａ３ ＋（ｎ－３）ｄ＝４ｎ－２５． 令 ａｎ ＝４ｎ－２５＜０，得 正 整 数 ｎ≤６，则
ａ１ ＜ａ２ ＜…＜ａ５ ＜ａ６ ＜０＜ａ７ ＜…， Ｓ１ ＞Ｓ２ ＞…＞Ｓ５ ＞Ｓ６ ＜Ｓ７ ＜Ｓ８ ＜…． 所以，数列Ｓ１ ，Ｓ２ ，…中的第 ６ 项最小，最小值为
2011北约自主招生文科数学试题
2011北约自主招生文科数学试题1、（三函\解几）已知平行四边形的两边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。
2、（解几\方程）求过抛物线Y=2X^2-2X-1与Y=-5X^2+2X+3的交点的直线方程。
3、（数列）在等差数列｛an（n下标）｝中，a3=-13，a7=3，Sn（n下标）为其前n项和。
问数列｛Sn（n下标）｝的哪一项最小？并求出最小项值。
4、（三函\不等式）在三角形ABC中，若a+b》=（大于等于）2c，证明：C《=（小于等于）60度。
5、（数论）是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？参考思路：1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。
2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。
当然，也可以先设直线方程Y=kX+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。
3、常规题。
先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。
4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosC，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosC》=0.5，于是得证。
5、尚未解出。
数论问题对高中文科生来说还是难了一点……面试题1、最刁钻的问题：火车开车前为什么会先退一步然后再前进？在采访了物理老师之后，得出的结论是：通常情况下,火车各节车厢之间的挂钩拉得很紧,牵引力必须克服整列火车与铁轨的最大静摩擦力才能启动。
自主招生北约数学试题及解答(2010-2014)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x'=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB．（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．I HG FE 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s'=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答2013年北约自主招生数学试题与答案1．1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦和11 5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为1,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
2011年“北约”自主招生13校联考部分试题
2011年“北约”自主招生13校联考部分试题高考网记者来到了北大考点二教和三教，上午考语文、数学、英语，从现场考生的反应情况来看，“北约”自主招生联考的试题难度适中，绝大多数考生都答完全部的试题。
语文考查文言文和现代文阅读，及基础的字音字形，没有出现偏题怪题，文科数学题相对比较简单，英语对考生积累的词汇量要求比较高。
记者采访了北京四中两位文科生，“数学无选择题，共7道大题，文科生做前五道，理科生做后5道，感觉试题不是很难，我都做完了。
”以下为高考网整理的“北约”13校联考部分试题：语文：题型包括10道选择题、文言文理解和翻译、现代文阅读、作文等。
10道选择题：辨别字型，主要考察学生的基本功，要求学生选择正确的词语填空，选项主要是让学生区分错别字，比如到底是“果腹”还是“裹腹”；文言文，周密的关于歌舞升平的文章；另一篇韩非子关于国家法律的文章。
一篇古文翻译，但翻译之前，必须自己先断句。
现代文阅读，为一篇散文，主要内容为人与自然。
阅读分析，题为《我们失去了与自然交流的语言》的文章，读完回答问题，最后一题关于环境开发与保护的看法。
古文阅读，韩非子的文章，讨论治国之道，为官清廉、严明法纪的文章，没有断句，要求学生添加句读且翻译；另有一篇宋朝周密的文章。
作文，根据“无尽的远方和无数的人们”作文，要求700-800字，文体不限。
数学：无选择题，题型包括7道解答题，考到的知识点包括三角函数、解析几何等。
前五道文科题较简单，后五道理科题相对难一些。
英语：题型包括选择题、阅读理解题、填空题、改错题。
选择题30道。
阅读理解共4篇文章，每篇文章5个选择题。
30个填空题，前10道是从15个词中选10个填空，中间10道是自己填词，后10道是改错。
完形填空，有首字母和没有首字母的各有一道完形填空；考试中没有翻译，共4篇阅读文章，涉及人文社科学和自然科学，其中还有一篇科技论文，关于科研决策时用到大脑的哪一部分；最后一题为改错题，10句话中，每句都有一个错误，包括拼写、时态、定冠词等错误。
“北约”自主招生数学试题及答案(2010-2014)
2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =. 于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1, 所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.已知22()arctan14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.证明tan3是无理数.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3是有理数,则tan 6,tan12,tan 24为有理数,再由tan 6和tan 24可得tan 30为有理数,这与3tan 30=!因此,tan3是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠, 则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---, 由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠, 此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠, 故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,23不可以同时在M 中.10.已知12,,,n x x x R +∈,且121n x x x =,求证:12)(2)1)n n x x x +≥.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立; ②假设*(1,)n k kk N =≥∈时,不等式12)(2)1)k k x x x +≥成立.那么当1n k =+时,则1211k k x x x x +=,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k k x x x x x x +++--≤⇒+≥+,所以1212)(2(2)k kx x x x ++ 12112)[22()]kk kk x x xx x x ++=+++11212)(2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥+≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+=及n k =时的假设,故1n k =+时不等式也成综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立. (二法)左边展开得12)(2)n x x x+12121212111()(2)()k k nnn n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k k knn nk k k k C C C k k ki i i nii i n n n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12)(2)n x x x +1122))2)(2)(21)n n n n kknnn n nnC C C C ---≥++++=+,即证. (三法)由平均值不等式有111()n nnk k n ==≥……①;111(n nn k k n ==≥……②①+②得1()nk k n n x =≥,即12)(2)1)n n x x x +≥成立.2013年北约自主招生数学试题与答案（时间90分钟，满分120分）1．和1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦的系数均为有理数，且有两根分别为和1.和1-于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
5
答案： 1、 不妨设角 ADC 为 a,那么角 ABC=π-a。 由余弦定理可得 AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出 cosa=5/7.即有 sina=2(根号 6)/7. 代入 cosa=5/7,可得 AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是 AC/2sina. 2、设 13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得 a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为 (m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么 2009 就不在这个 数列中了。 3、 挺简单，设 a=tanx+（根 3）,b=cotx+(根号 3）,假设均为有理数。 那么由(a-（根号 3） ） （b-（根号 3） ）=1 可得（a+b）根号 3=ab+2.若 a+b 非零，除过来就矛盾了。 所以必有 a+b=0，此时 ab+2 也是 0. 显然与 a，b 是有理数矛盾。 4、b=0 的时候可知得有|a|≤1.,此时 a+b≤1.下面考虑 b 不等于 0 的情况。 代入+1 和-1 后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有 b≥-1) 对称轴的位置是 x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候 那么 1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出 b≤1/3.此时 a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得 a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有 (1)式也成立。此时用柯西不等式 (a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4 那么就有了 a+b≤2.等号成立的充要条件是 a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的. 比较三种情况，显然 2 是 a+b 的最大值， 5、设优秀有 a 人，及格 b 人，不及格 c 人。 则 a+b+c=333 ① 6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人，故用小于等于） 即 6a+4b≤1000 即 3a+2b≤500 由①得 2a+2b=666-2c 即 a+666-2c≤500 即 a+166≤2c 若 a≥167 则这 167 人至少共解出 167*6=1002 道题，矛盾 故 a≤166 故 a+166≤166+166≤2c 即 c≥166 所以 c≥166≥a 即不及格得人数大于等于优秀的人数
2011年“北约”自主招生数学研究报告
备 考 方 略
２ ０ １ １ 年 “ 北 约 ＂ 自 主 招 生 数 学 研 究 报 告
一 王道 清
Ｉ ｋ Ｎ大版《 数学２ 》 第８ ４ 页信 息技术应用探索性 问题 例题 。 课本例题 ： 求和两个定 圆相切的动 圆 圆心轨 迹 。已知 ： 两个定 圆ｏ， 和圆ｏ ， 半径分别 为 ｒ ２ ， 一 动 圆 和它都外切 。（ １ ） 如果两个定 圆ｏ 和圆０： 相 离， 圆心 的轨迹是什么？（ ２ ） 如果两个定圆０ 和圆 ０ 相切 ， 情况怎么样？ （ ３ ） 如果两个定 圆０ 和圆０： “ 北约 ” 第１ 题： 已知平行 四边形的其中两条边为 相交呢？（ ４ ） 思考每种情况中的点 所满足的几何关 ３ 和５ ， 一条对角线为６ ， 求另一对角线 的长 。 人民教育 系 。 （ ５ ）如 果 动 圆 和 这 两 个 定 圆 相 切 （ 即 可 以 内 版《 数学２ 》 第１ ０ ５ 页例４ ： 证明平行 四边形对角线 的 切 ） ， 思考 （ １ ） ， （ ２ ） ， （ ３ ） ， 情 况 又 会 怎 么样 ？ 该 题 考 查 平方和等于其四边平方和。例题给 出详尽的解析法 解析法 和分类讨 论数学思想。该考题直接选 自课本 证 明。 该 考 题 是 课 本 例题 （ 定理 ） 结论 的直 接 应 用 。 北 例题 ， 难度完全一样 。 ２ ０ １ ３ 年全 国新课标卷第２ Ｏ 题又 师大 版《 数学５ 》 第５ ５ 页练 习题 ： 在平行 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 考北京师大版 这个例题 ， 如 下 所 述 。 已 知 圆 ： （ ＋ 中， Ｄ Ａ Ｂ ： ４ ５ ｏ 。 求证 ： Ａ Ｃ ２ ｘ Ｂ Ｄ ２ ＝ Ａ ＋ Ａ Ｄ 。 证 明方 法 １ ） ＋ ＝ １ ， 圆Ⅳ： （ 一 １ ） ＋ ＝ ９ ， 动 圆Ｐ 与 圆 外切 并且 是两次用余弦定理 ， 求 出两条对角线的平方 。 课本练 与圆Ⅳ内切 ， 圆心Ｐ 的轨迹为曲线 Ｃ 。（ １ ） 求ｃ 的方程 。 习题是求两条 对角线的平方的乘积 ，而该考题是两 该高考题难度低于课本例题 。 第６ 题 出现在信息技术 条对角线的平 方求和 。 在布置课本作业时 ， 教师一定 应用专题 中， 很 多学校没有讲 ， 不予重视 ， 没有计算 会引 申出 “ 平行 四边形对角线的平方和等于其四边 机 也 完全 可 以解 决此 题 。 平方和” 这个定理。如果学生对课本很熟悉 ， 直接用 “ 北约 ” 第７ 题： 求 ） ＝Ｉ 一 １ ｌ ＋ｌ ２ ｘ 一 １ ｌ ＋ …＋ 引 申结 论 ， 很容易解决。 该 考 题难 度 低 于 课 本 例题 和 Ｉ ２ ０ １ ｌ ｘ － １ ｌ 最小值 。 本题考查分类讨论思想和分析 练 习题 。 问题和解决 问题能力 ，综合性强 ，对 考生能力要求 “ 北约 ” 第２ 题： 求过抛物线ｙ ＝ ２ ｘ ２ — ２ ｘ ＇ ｌ 和Ｙ ＝ 一 ５ ｘ ２ ＋ 高。 ２ 抖３ 的交点的直线方程 。第２ 题是北 师大版《 数学选 综上所述 ，联考试题７ 个题有４ 个是数学课本 习 修２ — １ 》 第８ ９ 页曲线 系方程定 理（ 第９ ０ 页 习题曰 ３ 要求 题。文科５ 个试题 中有３ 个是课本习题 ， 理科５ 个考题 再次证 明该定理 ） 直接应用。曰 ３ ： 两条 曲线方 程是 中２ 个是课本习题 。再次证实了教育部考试 中心《 对 （ ， ） ＝ ０ 和 （ ， ｙ ） ＝ Ｏ ， 它们的交点是Ｐ （ ｙ ｏ ） 。求证 ： （ 数学 ） 教学与复习的建议》 所言 ， “ 事实上 ， 高考试卷 方程 ： （ ， ｙ ） ＋ ｋ Ａ（ ， ｙ ） ＝ ０ 的曲线也经过点Ｐ 。（ 这里ｋ 中有相 当多 的试题是课本基本题 目的直接 引用 或稍 是任意实数 ） 。 解答该题只需要将两个抛物线方程联 作变形 而得来的 ，其 目的在于引导师生重 视基 础知 立削去 即可得到所求直线方程 。 如果不用课本定 识和基本训练 。” （ ＜ ＜ ２ Ｏ Ｌ Ｏ 年版高考 文科试题分析》 第 理或 习题结论 ， 用解方程组求交点坐标 ， 再求直线方 １ ４ ２ 页， ＜ ＜ ２ ｏ ｏ ８ 年版高考理科试题分析》 第１ ６ １ 页， 教育 程也可 以解决 ， 但运算量大， 且容易 出错 。该考题难 部考试 中心 ， 高等教育 出版社 ） 度 低 于 课 本 习题 。 “ 北约联盟高校 ” 是全 国著名的 １ １ 所综 合性 大学 “ 北约 ” 第３ 题： 在 等差数列 ｆ ％ｌ 中， ａ ｚ 一１ ３ ， ｏ ｑ ＝ ３ ， 和两所工科大学联盟 ， 其 中１ ２ 所高校是９ ８ ５ 重点 建设 数列 ｌ 的前ｎ 项的和为Ｊ ｓ ， 求数列 ｆ ｓ 的最小项 ， 并求 大学 ， 香港大学是世 界名校 。 因此“ 北约联盟高校 ” 自 出其值如何。人 民教育版Ａ版《 数 学５ 》 第４ ５ 页例４ ： 已 主选拔录取联合考试 ， 比全 国普通 高考层次高。 大量 知等差数Ｎ ５ ， ３ ０ ／ ７ ， ２ ５ ７， ／ ． ． ． 的前／ ７ ， 项 的和为Ｓ ｎ ， 求 使 得５ ｎ 最大 的序号ｎ 的值。例题先求 出公差 ， 写出ｓ ｎ 的 选用课 本习题作为选拔杰 出高 中毕业生 ，对中学数 （ １ ） 学生掌握数学课 本是 表达式 ， 再用配方法 ， 分析得到ｎ 正整数值 。 本考题第 学教学有重要 的导 向作用 ： 非 常 重 要 的 。课 本 中基本 概 念 、 基本 技 能 、 基 本 方 法 二种解法 和北 京师大版 《 数学５ 》第２ ０ 页Ｂ ４ 解 法相 同。Ｂ ４ ： 已知ｆ 是等差数列 ， 其 中口 ， ＝ ３ １ ， 公差ｄ ＝ 一 ８ 。 和课本习题是学好高等数学最重要 的基础 ，教师和 ２ ） 全面掌握课本 内 （ １ ） 求数列 ｆ 的通项公式 ， 并作 出它的 图像 ； （ ２ ） 数 学生要特别重视课本 的研 读。（ 不 能 忽 略 课 本 任何 内容 。 特 别重 视 课 本 新 课 改 突 列｛ ％｝ 从哪一项开始小 于０ ７（ ３ ） 求数列｛ 前 项和的 容 ， 课题 学习 、 研究 性学习 。 最大值 ， 并求 出对应ｎ 的值 。该考题 和课本例题和习 出的内容如信息 技术应 用 、 要求学生要 特别熟悉课本所有例题 习题 ，包括课本 题类型和难度相同。 典 型例题 ， 对课本 内容要前 后联系 ， “ 北约 ”第４ 题 ：在 ＡＡ Ｂ Ｃ 中， ａ ＋ ｂ ≥２ ｃ ，求证 ： 习题重要结论 ， 同时引导师生通过研读课本 ， 提高学生数 ｃ ≤６ ０ ｏ 。 本题证法至少有 三种 。 最直接思路是用余 融会贯通。 （ ３ ） 特别突 出数学思想数学方法 弦定 理 证 明 ， 也 可 以用 正 弦 定理 证 明 ， 还 可 以用 反 证 学能力而跳出题海 。 的学 习。（ ４ ） 考题共计 五道 大题 ， 比高考题 目（ ２ ２ 个 法证 明 。 其中６ 道大综合性题 ） 少得 多， 可 以引导高 中减轻 “ 北约 ” 第５ 题： 是 否存在 四个正 实数 ， 使 得它们 题 ， 的两 两 乘 积 为 ２ ， ３ ， ５ ， ６ ， １ ０ ， １ ６ ７ 本 题 考 查 反证 法 。 反 师生学 习负担 ，降低考试难度 ，有利于学生全面发 证法在高等数学中应用广泛 ，而 中学数学教学 中对 展 ， 个性 发展 ， 引导中学实施素质教育 。 （ ５ 本 为 主进 行 教 学 ，为 学 生 “ 北约” 第６ 题： ｃ 和ｃ ， 是平面上两个不重合的 固 学 好数学打好基础 ，防止教辅资料对 教学 的干 扰。 定圆 ， ｃ 是平面上 的一个动 圆 ， ｃ 与ｃ ， Ｃ 都相切 ， 则ｃ （ ６ ） 高 考 复 习应 当重 视 自主 招 生试 题 。 的圆心的轨迹方程是何种 曲线？ 说 明理 由。 该考题是 （ 作者单位 ： 河 南省 焦 作 一 中 ）
专题八：动量
专题八 动量概述：略一．动量定理及其应用 1．恒力的冲量例1．一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？2．变力冲量问题——微元法应用之动量定理微观表达式例2.从地面以速度v 1竖直向上抛一皮球，返回原地速率为v 2。
若皮球运动时受空气阻力大小与速率成正比，求皮球运动的时间。
3．动量定理在二维空间的应用例3．在光滑水平面上有质量均为m =150g 的四个球A 、B 、C 、D ，其间以质量不计、不可伸长的1、2、3三条细线相连。
最初，细线刚好张直，如图所示，其中∠ABC =∠BCD =1200。
今对A 球施以一个沿BA 方向的瞬时冲量I =4.2Ns 后，四球同时开始运动，试求开始运动时球C 的速度。
例4．三质点A 、B 、C 质量分别为m 1、m 2、m 3，位于光滑水平面上，用已拉直的不可伸长的轻绳AB 和BC 连接，απ-AB C =∠，α为锐角，如图所示。
今有一冲量为J 的冲击力沿BC 方向作用于C 点，求A 的速度。
点评：动量定理在二维空间的应用例5．(2014模拟)如图所示，光滑的水平面上有两个质量均为m=1.0kg 的小球A 、B，二者相距10cm，两小球之间有一长度为20cm的轻质绳与两小球相连，初始时两小球处于静止状态。
某时刻小球B以v0=10m/s的速度沿垂直于两球初始位置的连线做匀速直线运动，求绳拉直后瞬间，两小球的速率。
二．板块模型如图所示，一木板（M）静止放在光滑的水平面上，一木块（m）以一定的初速度（v0）从左端滑上木板，木块最终未脱离木板。
1．力和运动的方法例1.如图所示，已知木板的质量为M，木块的质量为m，初速度大小为v0, 二者之间的动摩擦因素为μ，木块最终未脱离木板，请用力和运动的方法讨论下列问题：（1）两物体的共同速度；（2）从开始运动到两物体具有共同速度所用的时间；（3）这一过程中木块对地位移的大小；（4）这一过程中木板对地位移的大小；（5）证明：两物体间的相对位移大于木板对地的位移。
2011年北约自主招生联考试题
2011年北约自主招生联考试题语文：题型包括10道选择题、文言文理解和翻译、现代文阅读、作文等。
10道选择题：辨别字型，主要考察学生的基本功，要求学生选择正确的词语填空，选项主要是让学生区分错别字，比如到底是“果腹”还是“裹腹”；文言文，周密的关于歌舞升平的文章；另一篇韩非子关于国家法律的文章。
一篇古文翻译，但翻译之前，必须自己先断句。
现代文阅读，为一篇散文，主要内容为人与自然。
阅读分析，题为《我们失去了与自然交流的语言》的文章，读完回答问题，最后一题关于环境开发与保护的看法。
古文阅读，韩非子的文章，讨论治国之道，为官清廉、严明法纪的文章，没有断句，要求学生添加句读且翻译；另有一篇宋朝周密的文章。
作文，根据“无尽的远方和无数的人们”作文，要求700-800字，文体不限。
数学：无选择题，题型包括7道解答题，考到的知识点包括三角函数、解析几何等。
前五道文科题较简单，后五道理科题相对难一些。
英语：题型包括选择题、阅读理解题、填空题、改错题。
选择题30道。
阅读理解共4篇文章，每篇文章5个选择题。
30个填空题，前10道是从15个词中选10个填空，中间10道是自己填词，后10道是改错。
完形填空，有首字母和没有首字母的各有一道完形填空；考试中没有翻译，共4篇阅读文章，涉及人文社科学和自然科学，其中还有一篇科技论文，关于科研决策时用到大脑的哪一部分；最后一题为改错题，10句话中，每句都有一个错误，包括拼写、时态、定冠词等错误。
据悉，考生的笔试成绩可在两至三周后在“中国综合性大学自主选拔录取联合考试报名平台”上查询。
政治：材料分析题：根据钱学森的“沙理论”———利用日光、沙漠、生物、植物，将沙漠变为绿洲，创造财富，拉动当地经济发展。
请据此分析“沙理论”蕴含的哲学道理；“沙理论”带动了经济、社会、生物环境的三赢，请分析其中的原因。
历史：8个名词解释：辛丑条约、亚里士多德、楚辞、斯诺、启蒙运动等。
论述题：谈谈中国长城与大运河对中国历史的意义。
2011北约自主招生数学题及解答
2011北约自主招生数学题及解答∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x2=2(9+25)，x2=32，∴x=42。
∎2求过抛物线y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3交点的直线方程。
解：y=2x2-2x-1y=-5x2+2x+3，5y=10x2-10x-52y=-10x2+4x+6，7y=-6x+1，∴6x+7y-1=0为所求。
∎3、等差数列a1,a2,⋯满足a3=-13，a7=3，这个数列的前n项和为Sn，数列S1,S2,⋯中哪一项最小，并求出这个最小值。
解：d=a7-a37-3=164=4，∴a1=-21，Sn=2n2-23n，当n=234，即n=6时Sn最小，最小为-66。
∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤60°。
解：ab≤(a+b2)2，cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab≥(a+b)2-c2(a+b)22-1=1-2c2(a+b)2≥1-2c24c2=1 2，所以C≤60°。
∎ 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解：设存在四个正实数分别为a<b<c<d，依题意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，∴a2bc=6，∴a=1，b=2，c=3，d=5，而cd=15≠16，故不存在。
或解：∵abcd=32，而(abcd)3=1800×16，不满足，故不存在。
∎6、C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
解：设两定圆⊙C1，⊙C2的半径分别为r1,r2，动圆C的半径为R。
⑴当r1=r2①⊙C1与⊙C2相交时a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的公共弦；b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|=r1-R，|CC2|=r2+R，|CC1|+|CC2|=r1+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。
北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)
2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。
二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。
2011年北约数学试题
2011年北约自主招生数学试题1、已知平行四边形两边长分别是3和5，一条对角线是6．求另一条对角线的长度．2、求过抛物线22221,523y x x y x x =--=-++两交点的直线方程．3、等差数列1237,,13, 3..n a a a a n S ⋅⋅⋅=-=满足这个数列的前项和为数列12,⋅⋅⋅S S 中哪一项最小？并求出这个最小值．4、在2,60.ABC a b c C ∆+≥∠≤中，如果证明5、是否存在四个正实数，它们两两乘积分别是2，3，5，6，10，16．6、设12C C 和是平面上两个不重合的固定圆周．设C 是该平面上的一个动圆，它与12C C 和均相 切．问：C 的圆心轨迹是何种曲线？证明你的结论．7、求12120111.x x x -+-+⋅⋅⋅+-的最小值2【参考答案】1、解答：设平行四边形为ABCD ，且6,3,5===AC BC AB ，易得：51cos -=∠ABC ，所以151cos =∠BAC ，24,321515322592==⨯⨯⨯-+=BD BD ． 2、解答：设两条抛物线额交点为),(),,(2211y x B y x A ，联立两条抛物线的方程⎩⎨⎧++-=--=32512222x x y x x y ，消去2x 得：167+-=x y ，B A ,两点的坐标均满足这个方程，所以直线AB 的方程为0176=-+y x ．3、解答：方法一：因为公差4437=-=a a d ，所以03,01,21761>=<-=-=a a a ，所以6S 最小，最小值666-=S ； 方法二：8234232322222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n n n S n ，当6=n 时，n S 的最小值为666-=S ． 4、解答：方法一、在ABC ∆中，由余弦定理得： 21848233222cos 22222222=≥-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+≥-+=ab ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，因为函数x y cos =在),0(π上单调递减，所以3π≤C ． 方法二、依题意得：2cos 2sin 42cos 2sin 2sin 2sin sin B A B A B A B A C B A ++≥-+⇔≥+， 212cos ≤+B A ，因为函数x y cos =在),0(π上单调递减，所以33232πππ≤⇒≥+⇒≥+C B A B A ． 5、解答：假设存在满足题意的四个正实数d c b a ,,,，且假定d c b a <<<<0，依题意得：16,10,3,2====cd bd ac ab ，由前两个式子得32=c b ，由后两个式子得85=c b ，矛盾，所以不存在满足题意的四个数．6、解答：设⊙1C 的半径为1r ，⊙2C 的半径为2r ，⊙C 的半径为r ，且假定21r r ≥．（1）当21r r =时，①若⊙1C 与⊙2C 外离，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是21C C 的中垂线；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r +的双曲线； ②若⊙1C 与⊙2C 外切，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是21C C 的中垂线（除去21C C 的中点）；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是直线21C C （除去21C C 的中点）； ③若⊙1C 与⊙2C 相交，此时⊙C 必与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切，点C 的轨迹是两圆公共弦在圆外部分的两条射线．（2）当21r r >时，①若⊙1C 与⊙2C 外离，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r -的双曲线；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r +的双曲线；②若⊙1C 与⊙2C 外切，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r -的双曲线（除去⊙1C 与⊙2C 的切点）；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是直线21C C （除去点21,C C 及⊙1C 与⊙2C 的切点这三个点）；③若⊙1C 与⊙2C 相交，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r -的双曲线（除去⊙1C 与⊙2C 的两个交点）；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，长轴长为21r r +的椭圆（除去⊙1C 与⊙2C 的两个交点）；④若⊙1C 与⊙2C 内切，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是直线21C C （除去⊙1C 与⊙2C 的切点）；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，长轴长为21r r +的椭圆（除去⊙1C 与⊙2C 的两个切点）；⑤若⊙1C 内含⊙2C ，且不同心，当⊙C 与⊙1C 内切、与⊙2C 外切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，长轴长为21r r +的椭圆；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，长轴长为21r r -的椭圆；⑥若⊙1C 内含⊙2C ，且同心，当⊙C 与⊙1C 内切、与⊙2C 外切时，点C 的轨迹是以1C 为圆心，半径为221r r +的圆；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均内切时，点C 的轨迹是以1C 为圆心，半径为221r r -的圆． 7、解答：首先设12n a a a ≤≤≤，12()||||||n f x x a x a x a =-+-++-．由绝对值的最高理论知， n 为奇数时，当12n x a +=时，()f x 有最小值；n 为偶数时，当122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦任何值时，()f x 有最小值． 于是分解之，20111111111()|1|||||||||||||||2233320112011f x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-++-++-个， 共有： 201220111+2+2011==20230662⨯个断点（包括多重）． 设123456111,,,23a a a a a a ======202306612011a =． 因为202306610115332=． 现在求1011533a 和1011534a 的值．设10115331a t =，则121011533t +++≥， 1211011533t +++-<．可得1422t =．且1011533101153411422a a ==，故11422x =时，()f x 的值最小．111111491()112114221423120111832.142214221422142214231422711f =-+-⨯++-⨯+⨯-++⨯-=。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
形
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．ａｌ一口２
ｂＩ—ｂ２
Ｂ Ａ ＋￡ Ａ Ｂ Ｃ ＋￡Ｃ ．，二 Ｃ
即证｛一（口Ｉ＋口２＋ｂＩ＋６２）一（口ｌ＋ｄ２＋口，＋
ａ 口ｌ ａ 口２
２丁＋口，
２丁一口＇
【百１８９】＋１＝１３分，而北方最高分的最大值为６＋ｎ
万方数据
１４
中’？善ｉ：．７（２００ｓ年第２期・高中版）
南方球队内部比赛总得分ＣⅢ２
，１２
・解题研究・
＝１３６，
一ｌ＝１１分＜１３分，
．・．
冠军在南方队
北方球队内部比赛总得分ｃ２＝２８，
北方胜南方得分＝３０—２８＝２， 北方球队最高得分＝７＋２＝９， 因为９×１７＝１５３＜２７０， 所以南方球队中至少有一支得分超过９分． 冠军在南方球队中．综上所述，冠军是一支南方 球队． 点评这道试题要注意突破口的选择，也需要 耐心和比较强的推理、分析能力． ５．（理科）０一ｘｙｚ坐标系内ｘｏｙ平面系内０≤，，≤ ２一石２绕），轴旋转一周构成一个不透光立体在点 （１，０，１）设置一光源，在ｘｏｙ平面内有一以原点为圆 心的圆ｃ被光照到的长度为２霄，求曲线Ｃ上未被照 到的长度．
ｃ：＋。＋ｎ（肛＋９）≥召，ｃ：≤Ａ，
即３ｎ２—２２ｎ一３６。＜０．
‘．・
’Ｂ＝９Ａ，
．・．ｃ：＋９＋ｎ（，ｌ＋９）≥Ｂ＝９Ａ１＞９ｃ：，
（１）
，’２
又总分为乞Ⅲ有１０Ｉ乞小钴厶（１）得厅＝６或８．
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2011北约自主招生数学题及解答
∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x2=2(9+25)，x2=32，∴x=42。
∎2求过抛物线y=2x2−2x−1，y=−5x2+2x+3交点的直线方程。
解：
y=2x2−2x−1
y=−5x2+2x+3
，
5y=10x2−10x−5
2y=−10x2+4x+6
，7y=−6x+1，∴6x+7y−1=0为所求。
∎3、等差数列a1,a2,⋯满足a3=−13，a7=3，这个数列的前n项和为S n，数列S1,S2,⋯中哪一项最小，并求出这个最小值。
解：d=a7−a3
7−3=16
4
=4，∴a1=−21，S n=2n2−23n，当n=23
4
，即n=6时S n最小，最小为−66。
∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤60°。
解：ab≤(a+b
2)2，cosC=a2+b2−c2
2ab
=(a+b)2−2ab−c2
2ab
≥(a+b)2−c2
(a+b)2
2
−1=1−2c2
(a+b)2
≥1−2c2
4c2
=1
2
，
所以C≤60°。
∎ 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？
解：设存在四个正实数分别为a<b<c<d，依题意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，∴a2bc=6，∴a=1，b=2，c=3，d=5，而cd=15≠16，故不存在。
或解：∵abcd=32，而(abcd)3=1800×16，不满足，故不存在。
∎6、C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
解：设两定圆⊙C1，⊙C2的半径分别为r1,r2，动圆C的半径为R。
⑴当r1=r2
①⊙C1与⊙C2相交时
a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的公共弦；
b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；
c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|=r1−R，|CC2|=r2+R，|CC1|+|CC2|=r1+r2，
轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。
②⊙O1与⊙O2外切时
a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的切点；
b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；
c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是直线C1C2，去掉C1、C2和两圆的切点。
③⊙O1与⊙O2相离时
a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；
b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；
c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|−r1=|CC2|+r2，||CC1|−|CC2||=r1+r2，
轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线。
⑵当r1≠r2，不妨设r1<r2
①⊙C1与⊙C2相交时
a).⊙C与它两都外切，|CC1|−r1=|CC2|−r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支，去掉两圆公共区域的部分；
b).⊙C与它两都内切，|CC1|+r1=|CC2|+r2，或r1−|CC1|=r2−|CC2|轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的一支；
c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|−r1=r2−|CC2|，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。
②⊙O 1与⊙O 2外切时
a).⊙C 与它两都外切，|CC 1|−r 1=|CC 2|−r 2，轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线中(对应焦点C 1)的一支，去掉两圆的切点；
b).⊙C 与它两都内切|CC 1|+r 1=|CC 2|+r 2，轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线中(对应焦点C 2)的一支；
c).⊙C 与两圆一个内切，一个外切时，|CC 1|−r 1=r 2−|CC 2|，轨迹是直线C 1C 2，去掉C 1、C 2和两圆切点。
③⊙O 1与⊙O 2相离时
a).⊙C 与它两都外切，|CC 1|−r 1=|CC 2|−r 2，轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线中(对应焦点C 1)的一支；
b).⊙C 与它两都内切，|CC 1|+r 1=|CC 2|+r 2，轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线中(对应焦点C 2)的一支；
c).⊙C 与两圆一个内切，一个外切时，|CC 1|−r 1=r 2−|CC 2|，轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线。
④⊙O 1与⊙O 2内切时
a).⊙C 与它两都外切，轨迹是射线C 2C 1在两圆切点以外部分；
b).⊙C 与它两都内切，轨迹是以两圆切点为端点，方向是C 1C 2，去掉C 1、C 2和两圆切点的射线。
c).⊙C 与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，去掉两圆的切点。
⑤⊙O 1与⊙O 2内含时
a).⊙C 与它两都内切，轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆；
b).⊙C 与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆。
∎7、求f(x)= x −1 + 2x −1 +⋯+|2011x −1|的最小值。
解：f(x)=|x −1|+|x −12|+|x −12|+|x −13|+|x −13|+|x −13|+⋯+|x −12011|+|x −12011|+⋯ +|x −12011|，一共有1+2+3+⋯+2011=1006×2011个绝对值，则是偶数个，故中间第 503×2011个和第503×2011+1个之间取得最小值；设第503×2011个绝对值是|x −1n |，∴1+2+3+⋯+n =n(n +1)2≤503×2011，∴n(n+1)≤1006×2011=2023066，∵ 2023066≈1422，
∵1422×1423=2023506，∴取n=1421。
∴第503×2011个和第503×2011+1个绝对值是 |x −11422|，∴f min x =f 11422 =|11422−1|+|21422−1|+|31422−1|+⋯+|20111422−1| =11422(|1−1422|+|2−1422|+|3−1422|+⋯+|2011−1422|)=11422(1421+1420+1419+⋯ +1+0+1+2+3+⋯+589)= 11422(1422×14212+590×5892)= 11422(1010331+173755)=592043711。