05 正则语言的性质

15
RL的交
1 0
S p 0 1
0,1 1
1 S 0 1 qr 0 qs 0,1 pr ps 0
q
0,1 s
S
r
16
正则语言的封闭性
定理：如果 L 和 M 是正则语言，则 L- M 也是正则语言。 证明：利用 L-M=L ∩ ~M。 定理：如果 L 是正则语言，则 LR = { x | xR ∈L } 也是正则语言。 构造接受 LR 的有穷状态自动机： (1) 把 M 的状态转移图中的所有有向边的指向逆转。 (2) 令 M 的初始状态为新的有穷自动机的唯一的接受状态。 (3) 增加一个状态 p0 为新的有穷自动机的初始状态，同时从该状态出发到 M 的所有接受状态都建立一个 ε 转移。
10
泵引理的说明
用来证明一个语言不是 RL 不能用泵引理去证明一个语言是 RL。 (1) 由于泵引理给出的是 RL 的必要条件，所以，在用它证明一个语言不 是 RL 时，我们使用反证法。 (2) 泵引理说的是对 RL 都成立的条件，而我们是要用它证明给定语言不 是 RL ，这就是说，相应语言的“仅仅依赖于L的正整数N”实际上是 不存在的。所以，我们一定是无法给出一个具体的数的。因此，人 们往往就用符号N 来表示这个“假定存在”、而实际并不存在的数。 (3) 由于泵引理指出，如果 L 是 RL ，则对任意的 z∈L，只要|z|≥N，一 定会存在u, v, w，使 uviw∈L 对所有的 i 成立。因此，我们在选择 z 时，就需要注意到论证时的简洁和方便。
2
5.1 正则语言的泵引理
qj q1
qk
DFA在处理一个足够长的句子的过程中，必定会重复地经过某一个状态。 换句话说，在 DFA 的状态转移图中，必定存在一条含有回路的从启动状 态到某个终止状态的路。 由于是回路，所以 DFA 可以根据实际需要沿着这个回路循环运行，相当 于这个回路中弧上的标记构成的非空子串可以重复任意多次。
形式语言与自动机
1
主要内容
正则语言(RL)的性质 泵引理及其应用 并、乘积、闭包、补、交 正则代换、同态、逆同态的封闭性 从正则语言固有特征寻求表示的一致性 Myhill-Nerode定理 FA的极小化 正则语言的几个判定问题 空否、有穷否、两个DFA等价否、成员关系
9
例5-3
证明 { 0n1m2n+m | m, n≥1 }不是 RL。 证明：假设 L={ 0n1m2n+m |m, n≥1 } 是 RL。 取 z=0N1N22N 设 v=0k k≥1 从而有 uviw = 0N-k-j(0k)i0j1N22N = 0N+(i-1)k1N22N uv0w = 0N+(0-1)k1N22N = 0N-k1N22N 注意到 k≥1， N-k+N=2N-k<2N 0N-k1N22N L 这个结论与泵引理矛盾。所以，L 不是 RL。
13
正则语言的封闭性
定理 5-1 RL 在并、乘积、闭包运算下是封闭的。 根据 RE 的定义，立即可以得到此定理。 定理 5-2 RL 在补运算下是封闭的。 要点：原来接受的不接受，不接受的接受。 证明： M =( Q, ∑, δ, q0 , F ) L(M)=L， 取 DFA M' = ( Q, ∑, δ, q0 , Q-F ) 显然，对于任意的 x∈∑*， δ(q0 , x)= f ∈F δ(q0 , x)= f Q-F 即 x∈L(M) x L(M' )， L(M' )= ∑*- L(M)。 所以， RL 在补运算下是封闭的。 定理得到证明。
z 的开始处不太远的地方找到一个非空的 串 v，然后可以把它看作一个“泵”，重复 v 任意多次，
我们总能够在离
或者去掉它，而所得到的结果串仍然属于L。
7
例5-1
证明{ 0n1n | n≥1 }不是 RL。 证明：假设 L={ 0n1n | n≥1}是 RL。 不妨设 N 是泵引理所指的仅依赖于 L 的正整数，取 z = 0N1N ，则 z ∈L。 按照泵引理所述，存在 u, v, w，使得 z=uvw。 由于 | uv | ≤ N，| v | ≥ 1，所以 v 只能由0组成， 可设 v=0k，k≥1 此时有，u = 0N-k-j , w=0j1N 从而有，uviw = 0N-k-j (0k)i 0j1N = 0N+(i-1)k1N 当 i =2 时，有： uv2w=0N+(2-1)k1N = 0N+k1N 注意到 k≥1，所以，N+k>N。 这就是说，0N+k1NL。 这与泵引理矛盾。所以，L不是 RL。
18
正则代换 (regular substitution)
设∑,Δ 是两个字母表，映射 称为是从 ∑ 到 Δ的代换。
f : 2
*
如果对于a∈∑，f (a)是Δ上的 RL ，则称 f 为正则代换。
将 f 的定义域扩展到∑*上：
f : 2
*
*
(1) f (ε)={ε}； (2) f (xa)=f (x) f (a)。 将 f 的定义域扩展到 对于 L ∑*
= f (11)∪f (00) = f (1) f (1)∪f (0) f (0) = b*b*+aa = b*+aa
= L(a*ab*+a*b*b*) = L(a*b*)
20
正则代换
设∑, Δ是两个字母表，映射 是正则代换, 则
f : 2
*
(1) f (Φ)=Φ；
(2) f (ε)=ε； (3) 对于 a∈∑，f (a) 是Δ上的 RE； (4) 如果 r, s 是∑上的 RE，则 f (r+s) = f (r)+f (s) f (rs) = f (r) f(s) f (r*) = f (r)*
8
例5-2
证明{ 0n | n 为素数 } 不是 RL。 证明：假设 L={ 0n | n为素数 } 是 RL。 取 z=0N+p ∈L ，N+p 是素数。 不妨设 v=0k， k≥1 从而有 uviw=0N+p-k-j(0k)i0j =0N+p+(i-1)k 当 i=N+p+1时， N+p+(i-1)k = N+p+(N+p+1-1)k = N+p+(N+p)k = (N+p)(1+k) 注意到 k≥1，所以 N+p+(N+p+1-1)k=(N+p)(1+k) 不是素数。故当 i=N+p+1时， uvN+p+1w=0(N+p)(1+k) L 这与泵引理矛盾。所以，L 不是 RL。
是Δ上的 RE。
21
定理5-4
定理 5-4 设 L 是∑上的一个 RL，
f : 2
*
是正则代换，则 f (L) 也是 RL。 证明思路：使用 RE 进行定理证明。 因为 L 是RL，则存在正则表达式 r，使得 L(r)=L。 对 r 中运算符的个数 n 施以归纳，证明 f (r)是表示 f (L)的 RE。 即证明：f ( L(r) ) = L( f(r) ) 当 n=0 时，结论成立。 当 n≤k 时定理成立，即当 r 中运算符的个数不大于 k 时： f ( L(r) ) = L( f (r) )。 当 n=k+1 时， 分 3 种情况： (1) r = r1+r2 (2) r = r1r2 (3) r = r1*
11
泵引理的说明
(4) 当一个特意被选来用作“发现矛盾”的 z 确定以后，就必须依照 | uv | ≤N 和 | v |≥1的要求，说明 v 不存在(对“存在u, v, w”的否定) 。 (5) 与选 z 时类似，在寻找 i 时，我们也仅需要找到一个表明矛盾的“具 体”值就可以了(对“所有 i ”的否定)。 (6) 一般地，在证明一个语言不是 RL 的时候，我们并不使用泵引理的第 (5)条。 (7) 事实上，引理所要求的 | uv | ≤N 并不是必须的。这个限制为我们简化 相应的证明提供了良好支撑——扩充了的泵引理 。 (8) 如果希望证明一个语言是 RL，最直接的办法是给出该语言的正则文 法描述，或者是 FA, RE 描述。也可以直接使用一些已有的结果和 RL的性质。
6
泵引理 (pumping lemma)
设 L 为一个 正则语言 ，则存在仅依赖于 L 的正整数 N， 对于 z∈L，如果 | z |≥N，则存在 u, v, w，满足 (1) z = uvw； (2) | uv | ≤ N； (3) | v | ≥ 1； (4) 对于任意的整数 i ≥0，uviw ∈L； (5) N 不大于接受 L 的最小 DFA M 的状态数。
14
RL的交
定理 5-3 RL 在交运算下封闭。 利用 M1∩M2 = ~(~M1∪~M2) 即可证明。 构造 M1 = (Q1, ∑, δ1 , q1 , F1) 和 M2 = (Q2, ∑, δ2 , q2 , F2) 的交DFA。
M = (Q1×Q2 , ∑, δ , (q1 , q2) , F1×F2) δ((p, q), a) = (δ1(p, a), δ2(q, a) )
12
5.2 正则语言的封闭性
封闭性(closure property) 如果任意的、属于同一语言类的语言在某一特定运算下所得的结果仍然 是该类语言，则称该语言类对此运算是封闭的 有效封闭性(valid closure property) 给定一个语言类的若干个语言的描述，如果存在一个算法，它可以构造 出这些语言在给定运算下所获得的运算结果的相应形式的语言描述，则 称此语言类对相应的运算是有效封闭的。 本节讨论 RL 的封闭性 RL 在哪些运算下是封闭的？
2