1.1.2余弦定理教学设计

人教版数学必修5 §1.1.2余弦定理的教学设计

一、教学目标解析

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。

4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。

二、教学问题诊断分析

1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：

①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；

②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。

2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。

3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。

三、教学支持条件分析

为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果

图2A B

C 按通常的运算规则，是近似值时用约等号。

四、 教学过程设计

1、教学基本流程：

①从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。

②余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己探索获得定理的证明。

③应用余弦定理解斜三角形。

2、教学情景：

①创设情境，提出问题

问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设

计合理的方案，来测量学校生物岛边界上两点的最

大距离（如图1所示，图中AB 的长度）。

【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学

生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体

会到数学来源于生活，数学服务于生活。

师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝

试解决。

学生1—方案1：如果卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取

一点C （如图2），用卷尺量出AC 和BC 的长，用

测角仪测出∠ACB 的大小，那么△ABC 的大小就

可以确定了。感觉似乎在△ABC 中已知AC 、BC

的长及夹角C 的大小，可以求AB 的长了。

其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢？

学生2—方案2：在岛对岸可以取C 、D 两点

（如图3），用卷尺量出CD 的长，再用测角仪测出

图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小。在△ACD 中，已知∠ACD 、∠ADC 及CD ，可以用正弦定理求AC ，同理在△BCD 中，用正弦定理求出BC 。那么在△ABC 中，已知AC 、

BC 及∠ACB ，似乎可以求AB 的长了。

教师：两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？

【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。 ②求异探新，证明定理

问题2：在△ABC 中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c 2=a 2+b 2。

【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。 师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

学生3：在△ABC 中，如图4，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D 。

在Rt △ACD 中，AD=bsin ∠1,CD= bcos ∠1;

在Rt △BCD 中，BD=asin ∠2, CD=acos ∠2; 2222222222c =(AD+BD)=b -CD+a -CD+2AD BD

= a 2cos 1cos 22sin 1sin 2

=a 2cos(12)

a 2cos

b ab ab b ab b ab C

⋅+-∠⋅∠+∠⋅∠+-∠+∠=+- 学生4：如图5，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D 。 222222

2222()22cos c AD BD b CD a CD a b a CD

a b ab C

=+=-+-=+-⋅=+-则：

学生5：如图5，AD = bsinC ，CD = bcosC ，

∴c 2 =（bsinC ）2+（a- bcosC ）2 = a 2 +b 2-2abcosC

类似地可以证明b 2 = a 2 +c 2-2accosB ，c 2 = a 2 +b 2-2abcosC 。

教师总结：以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分∠C 为钝角或直角时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点—余弦定理。

【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。

师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有

图4D A

图5

A