平面向量的坐标表示及运算
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
为了方便我们进行计算和分析，我们可以使用坐标表示来表示和计算平面向量。
本教案将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本的运算规则。
二、平面向量的坐标表示我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以表示为一个有序的坐标 (x, y)。
同样，一个平面向量也可以用一组有序数表示，分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、平面向量的坐标运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，求得它们的和。
在向量的坐标表示中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，求得新的向量。
在向量的坐标表示中，向量的数乘可以通过将向量的每一个分量与实数相乘得到。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，求得它们的差。
在向量的坐标表示中，向量的减法可以通过将被减向量的每一个分量分别减去减向量的对应分量得到。
4. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个实数。
在向量的坐标表示中，向量的数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将得到的乘积相加得到。
5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角大小。
在向量的坐标表示中，可以利用向量的数量积公式求得两个向量的夹角。
四、实例分析考虑以下平面向量 A 和 B：A = (2, 3)B = (4, -1)我们可以通过向量的坐标运算来求解以下问题：1. 计算 A + B2. 计算 2A3. 计算 A - B4. 计算 A·B5. 计算向量 A 与向量 B 之间的夹角五、总结通过本教案我们学习了平面向量的坐标表示方法以及常见的运算规则，这些知识对于解决平面几何问题非常有用。
希望同学们能够通过练习和实践，巩固这些知识，提升自己的数学能力。
平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的坐标运算公式推导用已知向量表示未知向量
一、共面向量基本定理1.如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。
（x，y不全为零）2.平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
3.在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量，平面内的任何一个向量都可以唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。
4.平面向量可以在任意给定的两个方向上分解，任意两个向量都可以合成一个给定的向量，即向量的合成和分解。
5.当两个方向相互垂直时，它们实际上是在直角坐标系中分解的，（x，y）称为矢量的坐标。
（矢量的起点是原点）所以这个定理为矢量的坐标表示提供了理论基础。
二、平面向量的坐标运算AB+BC=AC；ABAC=CB；(λμ)a=λ(μa)；(λ+μ)a= λa+μa；a·a=|a|²；a·b=b·a等。
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称（x，y）为向量的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。
三、向量的数量积的性质(1)a·a=∣a∣²≥0(2)a·b=b·a(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(4)a·(b+c)=a·b+a·c(5)a·b=0<=>a⊥b(6)a=kb<=>a//b(7)e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ四、基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一．(2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线；②有公共起点；③其长度及两两夹角已知．(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
五、用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：（1）要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；（2）把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则平面向量的坐标表示与运算平面向量是解析几何学中的重要概念，它可以通过坐标表示和进行各种运算。
本文将介绍平面向量的坐标表示及其运算法则。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数对（x, y）表示，其中x代表向量在x轴上的投影长度，y代表向量在y轴上的投影长度。
这个有序实数对称为向量的坐标表示。
例如，对于平面上的向量AB，若A点的坐标为（x₁, y₁），B点的坐标为（x₂, y₂），则向量AB的坐标表示为（x₂ - x₁, y₂ - y₁）。
二、平面向量的运算法则1. 加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点连线，新的向量就是连接相接点与连接终点的线段的向量。
对于向量AB和向量CD，它们的和向量为向量AC。
和向量的坐标表示为（x₂ - x₁ + x₄ - x₃, y₂ - y₁ + y₄ - y₃）。
2. 数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数乘改变了向量的大小，但不改变其方向。
对于向量AB和实数k，向量kAB的坐标表示为（k(x₂ - x₁), k(y₂- y₁)）。
3. 减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
对于向量AB和向量CD，它们的差向量为向量AD。
差向量的坐标表示为（x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃）。
4. 模长：向量的模长表示了向量的大小。
在平面直角坐标系中，向量（x, y）的模长表示为√(x² + y²)。
三、平面向量的运算实例例1：已知向量A(3, 4)，向量B(5, 2)，求向量A + 向量B 和向量A - 向量B的坐标表示。
解：向量A + 向量B的坐标表示为（3 + 5, 4 + 2），即(8, 6)。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
为了表示和计算平面向量，我们常常使用坐标表示法。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法，以及如何进行向量的加法、减法和数量乘法运算。
1. 坐标表示法简介在平面直角坐标系中，我们可以用有序数对表示一个点的坐标。
同样地，我们也可以用有序数对$(x,y)$来表示一个平面向量。
其中，$x$表示向量在$x$轴上的分量，$y$表示向量在$y$轴上的分量。
2. 向量的加法对于平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的和可以通过分别将它们的$x$分量相加，$y$分量相加得到：$$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$$3. 向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取负后与减向量相加得到。
对于向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的差可以表示为：$$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})=(x_1-x_2, y_1-y_2)$$4. 向量的数量乘法向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。
对于平面向量$\mathbf{a}=(x,y)$和实数$k$，其数量乘积为：$$k\mathbf{a}=(kx, ky)$$5. 向量的坐标表示在几何上的意义通过坐标表示法，我们可以将平面向量转化为有向线段。
以原点$(0,0)$为起点，平面向量$(x,y)$的终点坐标为$(x,y)$。
直观地，这个有向线段从原点指向$(x,y)$，表示向量的大小和方向。
6. 向量的线性组合由于向量的加法和数量乘法运算，我们可以进行向量的线性组合。
给定平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$以及实数$k_1$和$k_2$，它们的线性组合可以表示为：$$k_1\mathbf{a}+k_2\mathbf{b}=(k_1x_1+k_2x_2,k_1y_1+k_2y_2)$$线性组合的几何意义是将$k_1$倍的$\mathbf{a}$和$k_2$倍的$\mathbf{b}$相加得到一个新的向量。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的重要概念，它在几何和物理学中都有广泛的应用。
在平面直角坐标系中，平面向量的坐标表示与运算是研究平面向量的基础。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用两个有序实数表示，这两个实数分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
设向量a的坐标为(a₁, a₂)，则a可以表示为：a = a₁i + a₂j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则向量a加b的结果可以表示为：a +b = (a₁ + b₁)i + (a₂ + b₂)j。
2. 向量的减法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则向量a减b的结果可以表示为：a -b = (a₁ - b₁)i + (a₂ - b₂)j。
3. 向量的数量乘法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，实数k，则向量a乘以k的结果可以表示为：k*a = ka = (ka₁)i + (ka₂)j。
4. 向量的数量除法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，实数k(k ≠ 0)，则向量a除以k的结果可以表示为：a/k = a*(1/k) = (a₁/k)i + (a₂/k)j。
5. 向量的数量积设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则向量a与向量b的数量积结果可以表示为：a·b = a₁b₁ + a₂b₂。
6. 向量的模长设向量a的坐标为(a₁, a₂)，则向量a的模长可以表示为：|a| = √(a₁² + a₂²)。
三、示例分析为了更好地理解平面向量的坐标表示与运算，下面以实际问题为例进行分析。
问题：有两个平面向量a(-3, 4)和b(2, -1)，求这两个向量的和、差、数量积和模长。
解答：1. 向量的加法：a +b = (-3 + 2)i + (4 - 1)j = -i + 3j。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。
1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。
2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。
则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。
5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。
则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。
6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。
7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。
8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。
9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。
平面向量的坐标表示及坐标运算
平面向量的坐标表示及坐标运算一个平面上的向量可以用坐标的形式表示出来。
一般而言，在平面上的向量都可以用一个坐标向量来表示，用一对数字表示向量的大小和方向，可以是极坐标，也可以是直角坐标。
极坐标是把向量投影到平面上，以圆心为原点，向量的起点到圆心的距离表示大小，圆心到向量的角度表示方向。
在不同情况下，极坐标可以取不同的圆心，比如笛卡尔坐标系的极坐标，其圆心就是笛卡尔坐标系的原点；也可以取向量的起点为圆心，这样的极坐标叫作空间极坐标。
直角坐标是指将一个向量从起点投射到X轴，再从X轴投射到Y 轴，X轴上的距离表示向量的X成分，Y轴上的距离表示向量的Y成分。
这样就把一个向量表示为两个正数（或零）的组合，例如（3，4），即表示一个向量，其X成分为3，Y成分为4。
二、坐标运算1.量加法：当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相加，即：（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）。
2.量减法：同样地，当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相减，即：（a，b）-（c，d）=（a-c，b-d）。
3.放向量：缩放向量意味着将向量的大小变更，而不改变向量的方向，可以用缩放系数来表示，令K为缩放系数，则：K*（a，b）=（Ka，Kb），即对向量的每个成分乘以一个系数，就可以完成缩放的运算。
4.量的模：向量的模也称为向量的长度，表示向量大小的一个数值，它可以用欧式距离来表示，欧式距离计算公式的定义为：||A||=√（a^2+b^2），其中a和b分别表示向量的X和Y成分。
5.量的夹角：向量的夹角指向量之间的夹角，可以用弧度表示，也可以用角度表示，计算向量的夹角可以用余弦定理来计算，其计算公式定义为：cosθ=AB/||A||*||B||。
6.量的点积：点积用来表示两个向量的关系，可以用X和Y在向量上的分量来表示，它的计算公式定义为：AB=a*b+c*d，其中a，b，c，d分别表示两个向量的X和Y成分。
三、总结以上，就是平面向量的坐标表示及坐标运算的相关内容，在了解了平面向量的坐标表示方式以及如何进行坐标运算后，我们可以更加熟练的处理向量的坐标运算，也可以更清楚的理解向量的含义。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学和向量代数的研究中具有广泛的应用。
在平面直角坐标系中，平面向量可以通过其坐标表示和进行运算。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算方法。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量AB可以表示为(3, 4)，其中向量的起点为A，终点为B，x轴上的分量为3，y轴上的分量为4。
二、平面向量的运算1. 向量的加法与减法向量的加法可以通过分别对应分量进行加法运算得到。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的和向量C可以表示为C(3+1, 4+2)，即C(4, 6)。
类似地，向量的减法可以通过分别对应分量进行减法运算得到。
2. 向量的数量积两个向量的数量积，也称为点积或内积，可以表示为两个向量的对应分量乘积的和。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的数量积可以表示为3×1 + 4×2 = 11。
数量积具有一些重要的性质，如交换律和分配律，可以用于向量的运算。
3. 向量的数量积与夹角两个向量的数量积与它们之间的夹角有一定的关系。
根据数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
即A·B = |A| |B| cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A与B之间的夹角。
4. 向量的数量积与平行垂直关系如果两个非零向量的数量积为0，则它们是垂直的。
如果两个非零向量的数量积非零，则可以通过比较它们的数量积的正负来判断其是否平行。
如果数量积为正数，则它们是同向的；如果数量积为负数，则它们是反向的。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是一种特殊的向量运算。
向量的向量积满足“左手定则”，结果的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手法则。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。
对于二维平面上的向量，一般采用坐标形式表示。
平面向量的坐标表示通常用(a, b)来表示，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
二、平面向量的加法和减法运算1. 平面向量的加法运算将两个向量合成为一个新的向量，其坐标表示分别对应相加。
例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的和为向量C(a1+a2,b1+b2)。
2. 平面向量的减法运算将一个向量减去另一个向量，其坐标表示分别对应相减。
例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的差为向量C(a1-a2, b1-b2)。
三、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算指的是向量与一个实数的乘法运算。
将向量的每个分量与实数相乘即可。
例如，设有向量A(a, b)和实数k，那么k乘以向量A就是向量B(ka, kb)。
四、平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算又称为点积运算，结果是一个实数。
设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的数量积可以表示为A·B = a1·a2 +b1·b2。
五、平面向量的向量积运算平面向量的向量积运算又称为叉积运算，结果是一个向量。
设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的向量积可以表示为A×B = a1b2 -a2b1。
六、平面向量的运算规律1. 加法的交换律和结合律向量加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A+ (B + C)。
2. 数量积的交换律和结合律向量数量积满足交换律和结合律，即A·B = B·A，(kA)·B = k(A·B)。
3. 数量积与向量积的分配律向量数量积与向量积满足分配律，即A·(B + C) = A·B + A·C。
6.3平面向量及运算的坐标表示课件(人教版)
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关。（ ） （4）向量（2，3）与向量（-4，-6）同向。（ ）
【提示】（1）×。对于同一个向量，无论位置在哪里， 坐标都一样。 （2）√。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终 点与始点坐标之差等于终点坐标。 （3）×。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两 向量的顺序有关。
2
线，则C的坐标可以是（ ）
A.（-9，1） B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
【思维·引】设出点C的坐标，因为A，B，C三点共线， 写出向量 AB,AC（或 BC），由向量共线的条件结合选项 求解。
【解析】选C。设点C的坐标是（x，y），
【内化·悟】 1.由共线的坐标条件求参数的解题步骤是怎样的？ 提示：（1）分别写出共线的两个向量的坐标。 （2）通过共线条件列出方程（组）。 （3）解方程（组）求出参数。
2.如何判断共线的向量u与v是同向还是反向？ 提示：写成u=λv的情势，若λ>0，同向，若λ<0，反向。
角度3 三点共线问题 【典例】已知A（1，-3），B (8，1 )，且A，B，C三点共
量 AB共线的单位向量是（ ）
A.(3， 4) C.(6，8)
B.( 3，4 ) 55
D.( 4， 3 ) 55
【思维·引】利用向量共线的坐标表示判断。 【解析】选B。因为AB =（7，-3）-（4，1）=（3，-4）， 由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与AB共 线，但A，C中向量不是单位向量。
因为A（0，1），AC=（-3，-3），
所以
x y
3, 1 3,
解得
x y
3, 2,
所以点C的坐标为（-3，-2）。又B（3，2），所以BC=（-
平面向量的坐标表示与线性运算
平面向量的坐标表示与线性运算平面向量是平面上一个有大小和方向的箭头，它由起点和终点确定。
在数学中，可以通过坐标表示来描述平面向量，这种表示方法可使计算和运算更加方便。
一、平面向量的坐标表示平面中的向量可以由两个有序实数对表示，根据坐标轴的方向，通常用(x, y)表示平面向量。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
这种表示方法类似于笛卡尔坐标系中的点的表示方法。
例如，有一个向量a，它的起点在原点(0, 0)，终点在点A(x1, y1)上。
那么这个向量的坐标表示就是(a1, a2) = (x1, y1)。
其中，a1 = x1，a2 =y1。
同样地，对于任意两个平面向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2)和(b1, b2)。
二、平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。
1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量相加得到一个新的向量。
加法的运算规则如下：(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)通过向量的加法，可以得到一个新的向量，它的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
这个新的向量叫做"和向量"。
2. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数乘的运算规则如下：k(a1, a2) = (ka1, ka2)通过向量的数乘，可以得到一个新的向量，它的起点与原向量相同，终点在与原向量方向相同（若k>0）或相反（若k<0）的位置。
这个新的向量也叫做"倍数向量"。
三、例题解析假设有向量a = (3, -2)和向量b = (1, 4)，我们来进行一些常见的线性运算。
1. 向量的加法a +b = (3, -2) + (1, 4) = (3 + 1, -2 + 4) = (4, 2)2. 向量的数乘2a = 2(3, -2) = (2 * 3, 2 * -2) = (6, -4)-3b = -3(1, 4) = (-3 * 1, -3 * 4) = (-3, -12)通过以上例题可以看出，平面向量的坐标表示和线性运算在数学中有着广泛的应用。
平面向量的坐标表示和运算
平面向量的坐标表示和运算平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述平面上的位移、力、速度等物理量。
在平面向量的研究中，坐标表示和运算是基本且常用的方法。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算，并说明其在解决问题中的应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是将向量在坐标系中用数值来表示。
通常，平面向量常用欧几里得空间的笛卡尔坐标系来表示，即二维平面上的直角坐标系。
设平面向量为AB，A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，则平面向量AB的坐标表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)例如，若A点的坐标为(3, 4)，B点的坐标为(7, 2)，则向量AB的坐标表示为：AB = (7 - 3, 2 - 4) = (4, -2)在直角坐标系中，向量的坐标表示可以帮助我们直观地理解向量的方向和大小，方便进行后续运算和问题解答。
二、平面向量的运算1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量按照坐标分量相对应相加的运算。
设向量A的坐标表示为(x1, y1)，向量B的坐标表示为(x2, y2)，则向量A与向量B的加法运算结果C的坐标表示为：C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2)例如，设向量A的坐标表示为(3, 2)，向量B的坐标表示为(1, -1)，则向量A与向量B的加法运算结果C的坐标表示为：C = (3 + 1, 2 + (-1)) = (4, 1)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量的运算。
设向量A的坐标表示为(x1, y1)，向量B的坐标表示为(x2, y2)，则向量A与向量B的减法运算结果D的坐标表示为：D = A - B = (x1 - x2, y1 - y2)例如，设向量A的坐标表示为(3, 2)，向量B的坐标表示为(1, -1)，则向量A与向量B的减法运算结果D的坐标表示为：D = (3 - 1, 2 - (-1)) = (2, 3)3. 数乘运算平面向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算。
向量的坐标表示与平面向量的运算
向量的坐标表示与平面向量的运算向量是数学中一种常用的概念，它能够用于描述空间中的方向和大小。
在研究向量时，我们经常使用坐标表示和进行运算。
本文将探讨向量的坐标表示以及平面向量的运算。
一、向量的坐标表示向量的坐标表示是将向量的起点放在原点(0,0)处，终点放在坐标轴上的一点(x,y)，然后以起点与终点之间的线段作为向量的表示。
记作向量AB，表示为AB = (x,y)。
二、向量的加法运算对于平面上的两个向量A = (x1, y1)和B = (x2, y2)，向量的加法运算可以表示为：A + B = (x1 + x2, y1 + y2)。
即将两个向量的横坐标分别相加，纵坐标分别相加，得到一个新的向量。
三、向量的减法运算向量的减法运算与加法运算相似，可以表示为：A - B = (x1 - x2, y1 - y2)。
即将被减向量的横坐标减去减去向量的横坐标，纵坐标减去减去向量的纵坐标，得到一个新的向量。
四、向量的数乘运算向量的数乘运算即将一个向量乘以一个实数。
对于向量A = (x, y)和实数k，数乘运算可以表示为：kA = (kx, ky)。
即将向量的横坐标和纵坐标分别乘以实数k，得到一个新的向量。
五、向量的数量积向量的数量积是向量间的一种运算，结果是一个实数。
对于平面上的两个向量A = (x1, y1)和B = (x2, y2)，向量的数量积可以表示为：A·B = x1x2 + y1y2。
即将两个向量的横坐标分别相乘，纵坐标分别相乘，然后相加，得到一个实数。
六、向量的向量积向量的向量积是向量间的一种运算，结果是一个新的向量。
对于平面上的两个向量A = (x1, y1)和B = (x2, y2)，向量的向量积可以表示为：A×B = (0, 0, x1y2 - x2y1)。
即将两个向量的横坐标和纵坐标进行交叉相乘，再在结果中添加一个垂直于平面的纵坐标，得到一个新的向量。
总结：向量的坐标表示和运算对于研究空间中的方向和大小有着重要的意义。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算在数学中，平面向量是一个有方向和大小的量。
它可以用坐标表示，并且可以进行一些基本的运算，比如加法和乘法。
本文将介绍平面向量的坐标表示与运算。
1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示其坐标，通常用大写字母表示向量。
假设有一个向量AB，其起点是A，终点是B。
向量AB的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量在x轴上的分量，Ay表示向量在y轴上的分量。
2. 平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的和向量EF的坐标可以通过分别将Ax与Cx相加得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相加得到新向量的y轴分量来表示。
EF的坐标表示为(EF_x, EF_y)，其中EF_x = Ax + Cx，EF_y = Ay + Cy。
3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有向量AB，其坐标为(Ax, Ay)，实数k表示数乘因子。
那么该向量的数乘结果向量AC的坐标可以通过将Ax与k相乘得到新向量的x轴分量，将Ay与k相乘得到新向量的y轴分量来表示。
AC的坐标表示为(AC_x, AC_y)，其中AC_x = Ax * k，AC_y = Ay* k。
4. 平面向量的零向量零向量是指所有分量均为0的向量，通常用0表示。
对于任意向量AB，与其相加的零向量的坐标为(0, 0)。
即，任意向量与零向量相加，结果向量仍为原向量。
5. 平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的差向量GH的坐标可以通过分别将Ax与Cx相减得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相减得到新向量的y轴分量来表示。
GH的坐标表示为(GH_x, GH_y)，其中GH_x = Ax - Cx，GH_y =Ay - Cy。
2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则 (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,
平面向量的坐标表示与计算
平面向量的坐标表示与计算平面向量是数学中的重要概念，用于描述平面上的位移、力、速度等物理量。
在平面上，一个向量可以用其坐标表示，并通过坐标进行计算。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，通常使用点表示向量的起点，箭头表示向量的方向和长度。
假设有平面向量AB，其中点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2, y2)，向量AB的坐标表示为(x2-x1, y2-y1)。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足向量的平行四边形法则。
假设有平面向量AB和平面向量CD，其中AB的坐标表示为(a, b)，CD的坐标表示为(c, d)，则向量AB+CD的坐标表示为(a+c, b+d)。
通过将两个向量的横坐标相加，纵坐标相加，即可得到它们的和向量的坐标表示。
三、平面向量的数乘平面向量的数乘满足将向量的每个坐标分别乘以一个常数。
假设有平面向量AB的坐标表示为(a, b)，常数k，那么k*AB的坐标表示为(k*a, k*b)。
通过将向量的每个坐标分别乘以常数k，即可得到数乘后的向量。
四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反，然后与减向量进行加法运算来实现。
假设有平面向量AB和平面向量CD，其中AB的坐标表示为(a, b)，CD的坐标表示为(c, d)，则向量AB-CD的坐标表示为(a-c,b-d)。
通过将CD取反，然后与AB进行加法运算，即可得到减法后的向量的坐标表示。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积可以通过将两个向量的对应坐标成对相乘，然后相加而得到。
假设有平面向量AB和平面向量CD，其中AB的坐标表示为(a, b)，CD的坐标表示为(c, d)，则向量AB·CD的坐标表示为(a*c+ b*d)。
通过将两个向量的对应坐标成对相乘，然后相加，即可得到数量积的坐标表示。
六、平面向量的模长平面向量的模长可以通过对向量的坐标进行开方运算而得到。
假设有平面向量AB的坐标表示为(a, b)，则向量AB的模长表示为√(a^2 +b^2)。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是几何中非常重要的概念，它能够用一个有序的数对来表示一个有大小和方向的量。
在数学中，平面向量通常用箭头来表示，箭头的起点表示该向量的起点，箭头的长度表示该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。
对于平面向量的坐标表示与运算，下面将进行详细的介绍。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用一个二维有序数对来表示。
设向量的起点为原点O(0, 0)，终点为P(x, y)，向量的坐标表示为OP = (x, y)。
二、平面向量的运算平面向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 平面向量的加法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的和向量C的坐标表示为C(x₁+x₂, y₁+y₂)。
即C = A + B = (x₁+x₂, y₁+y₂)。
2. 平面向量的减法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的差向量D的坐标表示为D(x₁-x₂, y₁-y₂)。
即D = A - B = (x₁-x₂, y₁-y₂)。
3. 平面向量的数量乘法设平面向量A的坐标表示为A(x, y)，实数k为任意实数，则k与A 的数量乘积的坐标表示为kA(kx, ky)。
三、平面向量运算的性质平面向量的运算满足如下性质：1. 加法的交换律和结合律：对于任意的两个向量A和B，有A + B = B + A和(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 减法的定义：向量减法可以等价于向量加法：A - B = A + (-B)。
3. 数量乘法的结合性：对于任意实数k和向量A，有(kl)A = k(lA)，其中l为实数。
4. 数量乘法的分配率：对于任意的实数k和向量A、B，有k(A + B) = kA + kB。
四、平面向量的模和方向角平面向量的模表示向量的大小，可以用勾股定理求得。
设向量A的坐标表示为A(x, y)，则A的模表示为|A| = √(x² + y²)。
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口答
坐标
(1) ai5j
a_(_1 _, _5_) _
(2) a2j (3) a j 2 i
3
a_( 0_,___2_)
( 2 , 1)
a__3____
向量的坐标运算
设a(x1, y1) b(x2, y2)
则 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
24 y
解得 x=2, y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
C D
x
思考2：若已知平面上三个点A、B、C 的
坐标分别为(－2，1）,（－1，3）,（3， 4）,求第四个点的坐标,使这四个点构成一 个平行四边形的四个顶点.
y
6
D1
5
4
C
B3
D2
2
A
1
D
D
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
6 5
4
B3
2
A
1
C D
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
y
解：设点D的坐标为（x, y） B
AB (1, 2) DC (3 x, 4 y)
A O
且 AB DC 1 3 x
3）、（3，4），(2,2)求证四边形 ABCD是
平行四边形
y
5
4
(1, 3) B 3
2
(2, 1)A
1
C(3, 4) D(2, 2)
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。 y
e1
a a
e1 e1
e2
e2
为了研究问题的方便，我们 把这组互相垂直的基底选为 坐标轴上的单位向量，如图：
对于任意的向量 a
y
a
j
O
Hale Waihona Puke ixaxiyj(x,yR )
称( x , y ) 为向量 a 的坐标 , 记作向量a(x, y)
a 2i j
a(2, 1)
y
O •x
A(2, 1)
也可在坐标系中作出此向量：
x
－1
－2
a ( x 1 ,y 1 ) (x 1 , y 1 )
若点 A( x 1,
y1 )
B(x 2,
y2 )
则向量 A B (x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
例1.已知向量a(1, 2), b(3, 1)，求：
（1）a b （2）a 2b
例2.如图，已知四边形的四个顶点A、B、
C 、 D的坐标分别是（-2，1）、（-1，
平面向量坐标表示和运算
平面向量基本定理 如果e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a ,
存在一对实数 1 , 2 ,
使 a1e12e2
复习引入
a1e12e2
e1
a
M
C
Aa
e2
e
1
e
e
1
1
e2
O
N
B
复习引入
当基底e1 , e2 是一组互相垂直的向量时，
上面这种分解我们称之为正交分解。