平面向量的坐标表示及运算
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a ( x 1 ,y 1 ) (x 1 , y 1 )
若点 A( x 1,
y1 )
B(x 2,
y2 )
则向量 A B (x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
例1.已知向量a(1, 2), b(3, 1)，求：
（1）a b （2）a 2b
例2.如图，已知四边形的四个顶点A、B、
C 、 D的坐标分别是（-2，1）、（-1，
24 y
解得 x=2, y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
C D
x
思考2：若已知平面上三个点A、B、C 的
坐标分别为(－2，1）,（－1，3）,（3， 4）,求第四个点的坐标,使这四个点构成一 个平行四边形的四个顶点.
y
6
D1
5
4
C
B3
D2
2
A
1
D
D
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
平面向量坐标表示和运算
平面向量基本定理 如果e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a ,
存在一对实数 1 , 2 ,
使 a1e12e2
复习引入
a1e12e2
e1
a
M
C
Aa
e2
e
1
e
e
1
1
e2
O
N
B
复习引入
当基底e1 , e2 是一组互相垂直的向量时，
上面这种分解我们称之为正交分解。
x
－1
－2
6 5
4
B3
2
A
1
C D
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
y
解：设点D的坐标为（x, y） B
AB (1, 2) DC (3 x, 4 y)
A O
且 AB DC 1 3 x
e1
a a
e1 e1
e2
e2
为了研究问题的方便，我们 把这组互相垂直的基底选为 坐标轴上的单位向量，如图：
对于任意的向量 a
y
a
j
O
ix
axiyj(x,yR )
称( x , y ) 为向量 a 的坐标 , 记作向量a(x, y)
a 2i j
a(2, 1)
y
O •x
A(2, 1)
也可在坐标系中作出此向量：
O Aa(2,Baidu Nhomakorabea1)
口答
坐标
(1) ai5j
a_(_1 _, _5_) _
(2) a2j (3) a j 2 i
3
a_( 0_,___2_)
( 2 , 1)
a__3____
向量的坐标运算
设a(x1, y1) b(x2, y2)
则 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
3）、（3，4），(2,2)求证四边形 ABCD是
平行四边形
y
5
4
(1, 3) B 3
2
(2, 1)A
1
C(3, 4) D(2, 2)
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。 y
若点 A( x 1,
y1 )
B(x 2,
y2 )
则向量 A B (x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
例1.已知向量a(1, 2), b(3, 1)，求：
（1）a b （2）a 2b
例2.如图，已知四边形的四个顶点A、B、
C 、 D的坐标分别是（-2，1）、（-1，
24 y
解得 x=2, y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
C D
x
思考2：若已知平面上三个点A、B、C 的
坐标分别为(－2，1）,（－1，3）,（3， 4）,求第四个点的坐标,使这四个点构成一 个平行四边形的四个顶点.
y
6
D1
5
4
C
B3
D2
2
A
1
D
D
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
平面向量坐标表示和运算
平面向量基本定理 如果e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a ,
存在一对实数 1 , 2 ,
使 a1e12e2
复习引入
a1e12e2
e1
a
M
C
Aa
e2
e
1
e
e
1
1
e2
O
N
B
复习引入
当基底e1 , e2 是一组互相垂直的向量时，
上面这种分解我们称之为正交分解。
x
－1
－2
6 5
4
B3
2
A
1
C D
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
y
解：设点D的坐标为（x, y） B
AB (1, 2) DC (3 x, 4 y)
A O
且 AB DC 1 3 x
e1
a a
e1 e1
e2
e2
为了研究问题的方便，我们 把这组互相垂直的基底选为 坐标轴上的单位向量，如图：
对于任意的向量 a
y
a
j
O
ix
axiyj(x,yR )
称( x , y ) 为向量 a 的坐标 , 记作向量a(x, y)
a 2i j
a(2, 1)
y
O •x
A(2, 1)
也可在坐标系中作出此向量：
O Aa(2,Baidu Nhomakorabea1)
口答
坐标
(1) ai5j
a_(_1 _, _5_) _
(2) a2j (3) a j 2 i
3
a_( 0_,___2_)
( 2 , 1)
a__3____
向量的坐标运算
设a(x1, y1) b(x2, y2)
则 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
3）、（3，4），(2,2)求证四边形 ABCD是
平行四边形
y
5
4
(1, 3) B 3
2
(2, 1)A
1
C(3, 4) D(2, 2)
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。 y