2 构造全等三角形的六种常用方法.ppt
合集下载
构造全等三角形的六种常用方法课件
构造方法简介
01
02
03
04
尺规作图法
利用尺规作图工具，通过已知 条件构造全等三角形。
翻折法
将已知三角形沿某条直线翻折， 得到与原三角形全等的三角形。
平移法
将已知三角形沿某方向平移一 定距离，得到与原三角形全等
的三角形。
旋转法
将已知三角形绕某点旋转一定 角度，得到与原三角形全等的
三角形。
02 方法一：SSS全 等法
感谢观看
拓展延伸：其他构造方法及应用场景
构造中位线
利用三角形中位线性质构 造全等三角形，常用于证 明线段相等或倍长中线等 问题。
构造角平分线
利用角平分线性质构造全 等三角形，常用于证明角 相等或线段成比例等问题。
构造垂直平分线
利用垂直平分线性质构造 全等三角形，常用于证明 线段相等或点共圆等问题。
THANKS
判定条件
两个三角形中，两个角及这两个角的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
构造步骤这两个角的夹边相等，最后根据ASA判定条件证明两个三角形全等。
示例
在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD。根据ASA全等法，可以判定△ABC≌△ADE。
应用场景分析
1 2 3
解决角度和边长问题 当题目中给出两个角和它们的夹边相等时，可以 利用ASA全等法证明两个三角形全等，从而解决 与角度和边长相关的问题。
构造全等三角形 在几何证明题中，有时需要构造全等三角形以证 明某些线段或角度相等。ASA全等法是构造全等 三角形的常用方法之一。
辅助线策略 当遇到复杂的几何问题时，可以通过作辅助线构 造全等三角形，将问题转化为已知的全等三角形 问题，从而简化解题过程。
全等三角形全等三角形ppt
实际应用案例展示
总结词
全等三角形在实际生活中有着广泛的应用，实际应用案例展示可以让我们更好地了解全等三角形的实 际应用价值。
详细描述
全等三角形实际应用案例展示包括全等三角形在几何、物理学、工程学等领域的应用实例，例如利用 全等三角形测量距离、利用全等三角形设计建筑结构等。通过实际应用案例展示，我们可以更好地理 解全等三角形的实际应用价值，感受数学与生活的紧密联系。
学生在解决全等三角形相关问题时，常常会因为一些 易错点而失分。
详细描述
全等三角形学生易错题型分析包括对学生在解决全等 三角形相关问题时常见的错误和易错点的详细讲解， 例如对全等三角形判定方法的使用不当、对全等三角 形性质的理解不准确等。通过对学生易错题型进行分 析，可以帮助学生在学习中更好地掌握全等三角形的 相关知识，避免常见错误，提高解题的准确性和效率 。
05
全等三角形的拓展知识
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形
两边相等的三角形，其中相等的两边称为腰，另一边称为底。
等边三角形
三边都相等的三角形，也称为正三角形。
直角三角形与等腰直角三角形
直角三角形
有一个角为90度的三角形。
等腰直角三角形
腰与底边垂直的等腰三角形，也称为等腰直角三角形。
相似三角形与位似三角形
定义反证法为假设两个三角形不全等，通过推理得出矛盾，从而证明两个三角形 全等的方法。
反证法的特点是可以在一些情况下避免直接证明两个三角形全等，而是通过反证 的方式得出矛盾，从而间接证明两个三角形全等。
04
全等三角形的应用举例
在几何作图中的应用
1 2
证明全等
全等三角形是几何证明中的重要工具，可以用 于证明线段、角、四边形等几何元素之间的相 等关系。
全等三角形PPT课件
C
归纳：判定两条线
段相等或二个角相 等可以通过从它们 所在的两个三角形 全等而得到
探究新知
A 因铺设电线的需要要在池塘 两侧A、B处各埋设一根电线 杆如图因无法直接量出A、B 两点的距离现有一足够的米
B 尺请你设计一种方案粗略测 你能应用刚 出A、B两杆之间的距离
刚学过的知 识解决问题
吗
小明的设计方案：先在池塘旁取一个 能直接到达A和B处的点C连结AC并延长 至D点使AC=DC连结BC并延长至E点使 BC=EC连结CD用米尺测出DE的长这个 长度就等于AB两点的距离请你说明理由
B E CF
平移
A
A
D
D
B
翻折
C
B EC
旋转
3.注意：两个三角形全等在表 示时通常把对应顶点的字母写
在对应的位置上
A
D
B
能否记作 ∆ABC≌ ∆DEF
F CE
应该记作∆ABC≌ ∆DFE
原因:A与D、B与F、C与 E对应
新课设计
❖ 本节教学中为了处理好图形的变换、对应的 识别等问题加之学生对图形的接受水平较低 我准备用多媒体演示这样做不仅在表现力上 更直观形象而且唤起了学生注意提高了学生 参与活动的机会同时把三角形的拼图与全等 三角形的探索相结合也就是说全等三角形的 性质和对应元素的找法不是直接给出的而是 让学生拼出来的这样让学生自己动手拼图实 践就会对相关结论印象深刻
❖ 学生活动：画一个三角形使它的三条边长分别为6cm、8cm、 10cm．教师板书画法把你画的三角形剪下与同伴画的三角 形进行比较它们全等吗
❖ 结论：三边对应相等的两个三角形全等简写为边边边或 SSS．
例题1
如图 △ABC 是刚架AB = AC AD是连结点A与
三角形全等的判定ppt课件
知4－讲
1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
感悟新知
2. 书写格式：如图12 . 2-8， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∠ B= ∠ B′， BC=B′C′， ∠ C= ∠ C′， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA).
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
感悟新知
知识点 1 基本事实“边边边”或“SSS”
知1－讲
1. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成 “边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后， 其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的 依据.
感悟新知
感悟新知
知5－练
例5 如图12.2-11，AB=AE，∠ 1= ∠ 2，∠ C= ∠ D． 求证：△ ABC ≌△ AED．
感悟新知
思路引导：
知5－练
感悟新知
知5－练
技巧点拨：判定两个三角形全等，可采用执果 索因的方法，即根据结论反推需要的条件. 如本 题还缺少∠ BAC= ∠ EAD，需利用已知条件∠ 1= ∠ 2 进行推导.
感悟新知
知2－练
③以点M′为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠ BAC 内 部交②中所画的弧于点N′； ④过点N′作射线DN′交BC 于点E． 若∠ B=52°，∠C=83°，则∠ BDE= ___4_5_°__.
感悟新知
知识点 3 基本事实“边角边”或“SAS”
知3－讲
1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
感悟新知
解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD.
2024八年级数学上册提练第5招构造全等三角形的七种常用方法习题课件新版冀教版
∴ AE ＝ GF .
∵ DG ＝ DF ，∴ AE ＝2 DF ，
故③正确；
1
2
3
4
5
6
7
④∵ AD 为中线，∴ S△ D ＋ S△ CDF ＝ S△ ABD ＋ S△ BDG ＝ S△ ABG ＝ S△ ECF ，
故⑤正确.故选D.
【点拨】D
返回
∵∠ E ＝∠ BAD ，
∠ EFC ＝∠ AGB ＝90°，
CF ＝ BG ，
1
2
3
4
5
6
7
∴△ CEF ≌△ BAG (AAS).
∴ AB ＝ CE ， AG ＝ EF ， S △ CEF ＝ S △ BAG . 故
②正确；
无法推出 AF ＝ CF ，故①错误；
③∵ AG ＝ EF ，
且 AG ＝ AF ＋ GF ， EF ＝ AF ＋ AE ，
又∵∠ ECF ＝90°，
1
2
3
4
5
6
7
∴∠ ACM ＝∠ ECF －∠ MCF ＝∠ MCN －∠ MCF
＝∠ BCN .
∵∠ AMC ＝∠ BNC ＝90°，
CM ＝ CN ＝3，∠ ACM ＝∠ BCN ，
∴△ AMC ≌△ BNC (ASA)，∴ AM ＝ BN ，
∴ OA － OB ＝( AM ＋ OM )－( BN － ON )＝ AM ＋
1
2
3
4
5
6
7
【证明】∵∠ BAC ＝60°，∠ C ＝40°，
∴∠ ABC ＝80°.
∵ BQ 平分∠ ABC ，
∴∠ CBQ ＝ ∠ ABC ＝ ×80°＝40°.
∵ DG ＝ DF ，∴ AE ＝2 DF ，
故③正确；
1
2
3
4
5
6
7
④∵ AD 为中线，∴ S△ D ＋ S△ CDF ＝ S△ ABD ＋ S△ BDG ＝ S△ ABG ＝ S△ ECF ，
故⑤正确.故选D.
【点拨】D
返回
∵∠ E ＝∠ BAD ，
∠ EFC ＝∠ AGB ＝90°，
CF ＝ BG ，
1
2
3
4
5
6
7
∴△ CEF ≌△ BAG (AAS).
∴ AB ＝ CE ， AG ＝ EF ， S △ CEF ＝ S △ BAG . 故
②正确；
无法推出 AF ＝ CF ，故①错误；
③∵ AG ＝ EF ，
且 AG ＝ AF ＋ GF ， EF ＝ AF ＋ AE ，
又∵∠ ECF ＝90°，
1
2
3
4
5
6
7
∴∠ ACM ＝∠ ECF －∠ MCF ＝∠ MCN －∠ MCF
＝∠ BCN .
∵∠ AMC ＝∠ BNC ＝90°，
CM ＝ CN ＝3，∠ ACM ＝∠ BCN ，
∴△ AMC ≌△ BNC (ASA)，∴ AM ＝ BN ，
∴ OA － OB ＝( AM ＋ OM )－( BN － ON )＝ AM ＋
1
2
3
4
5
6
7
【证明】∵∠ BAC ＝60°，∠ C ＝40°，
∴∠ ABC ＝80°.
∵ BQ 平分∠ ABC ，
∴∠ CBQ ＝ ∠ ABC ＝ ×80°＝40°.
全等三角形ppt课件免费
线的垂足之间的距离。
分类
总结词
全等三角形可以根据不同的分类标准进行分类，如按照边长是否相等可分为SSS、SAS、ASA、AAS 等类型。
详细描述
全等三角形可以根据不同的分类标准进行分类。根据边长是否相等，可以分为SSS（三边相等）、 SAS（两边和夹角相等）、ASA（两角和夹边相等）、AAS（两角和非夹边相等）等类型。此外，还 可以根据其他标准如角度大小、位置关系等进行分类。
例如，如果两个直角三角形中，一个直角边和斜边分别等于 另一个三角形的直角边和斜边，那么这两个直角三角形是全 等的。
与四边形的关联
四边形是由四条边和四个角组成的几何图形。全等三角形 与四边形在概念上也有一定的联系。例如，在证明两个四 边形是否全等时，有时需要将它们分解为多个三角形来证 明。
在证明两个四边形是否相似时，也可以利用相似三角形的 性质来推导。例如，如果一个四边形可以被分解为多个相 似三角形，那么这个四边形是相似的。
在证明全等三角形时，有时需要利用相似三角形的性质来推导。例如，如果两个 三角形是相似的，那么它们的对应边长成比例，这可以用于证明两个三角形是否 全等。
与勾股定理的关联
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的 平方。全等三角形与勾股定理有一定的关联。在证明两个三 角形全等时，有时需要利用勾股定理来推导。
ASA判定
总结词
两角及பைடு நூலகம்夹边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有两个角相等，并且这两个角所夹的一边长度也相等，则这两个 三角形全等。
AAS判定
总结词
两角及其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有两个角相等，并且 其中一个角的对边长度也相等，则这 两个三角形全等。
分类
总结词
全等三角形可以根据不同的分类标准进行分类，如按照边长是否相等可分为SSS、SAS、ASA、AAS 等类型。
详细描述
全等三角形可以根据不同的分类标准进行分类。根据边长是否相等，可以分为SSS（三边相等）、 SAS（两边和夹角相等）、ASA（两角和夹边相等）、AAS（两角和非夹边相等）等类型。此外，还 可以根据其他标准如角度大小、位置关系等进行分类。
例如，如果两个直角三角形中，一个直角边和斜边分别等于 另一个三角形的直角边和斜边，那么这两个直角三角形是全 等的。
与四边形的关联
四边形是由四条边和四个角组成的几何图形。全等三角形 与四边形在概念上也有一定的联系。例如，在证明两个四 边形是否全等时，有时需要将它们分解为多个三角形来证 明。
在证明两个四边形是否相似时，也可以利用相似三角形的 性质来推导。例如，如果一个四边形可以被分解为多个相 似三角形，那么这个四边形是相似的。
在证明全等三角形时，有时需要利用相似三角形的性质来推导。例如，如果两个 三角形是相似的，那么它们的对应边长成比例，这可以用于证明两个三角形是否 全等。
与勾股定理的关联
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的 平方。全等三角形与勾股定理有一定的关联。在证明两个三 角形全等时，有时需要利用勾股定理来推导。
ASA判定
总结词
两角及பைடு நூலகம்夹边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有两个角相等，并且这两个角所夹的一边长度也相等，则这两个 三角形全等。
AAS判定
总结词
两角及其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形有两个角相等，并且 其中一个角的对边长度也相等，则这 两个三角形全等。
《全等三角形》_课件-完美版
如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.
求证:△ABC ≌ △DCF.
B
证明：∵C是BF中点，
∴BC=CF.
C
A
在△ABC 和△DCF中，
AB = DC，(已知)
F
D
AC = DF，(已知)
BC = CF，(已证)
∴ △ABC ≌ △DCF (SSS).
【获奖课件ppt】《全等三角形》_课 件-完美 版1-课 件分析 下载
知识要点
“边边边”判定方法
u文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“SSS”） A u几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE， BC=EF，
B
C
D
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
E
F
【获奖课件ppt】《全等三角形》_课 件-完美 版1-课 件分析 下载
想一想：
如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC≌△DEF吗?
一 三角形全等的判定（“边边边”定理）
探究活动1：一个条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等 （2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等
结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
探究活动2：两个条件可以吗？
【获奖课件ppt】《全等三角形》_课 件-完美 版1-课 件分析 下载
典例精析
例2 如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与
BC中点D的支架，试说明：∠B=∠C.
解：∵D是BC的中点，
A
∴BD=CD.
在△ABD与△ACD中， B AB=AC（已知），
D
C
12.2直角三角形全等的判定PPT课件
12.2 三角形全等的判定
(HL)
1. 如图:△ABC≌△DEF，指出它们的对应 角、对应边。
AD
B
E
C
F
对应边：AB——DE
AC——DF
BC——EF 对应角：∠A——∠D
∠B——∠DEF ∠ACB——∠F
2. 我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ SSS、SAS、ASA、AAS
创设情景 引入课题
形能全等吗？
画一画：
动手实践 探索规律
任意画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，再画一个
Rt△A′C′B′ ，使∠C﹦∠C′，B′C′﹦BC，A′B′﹦AB （1）你能试着画出来吗？与小组内的其他同学交流一
（2）把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上， 它们全等吗？你能发现什么规律？
作法：
1. 画∠MC′N=90°； 2. 在射线C′M上取B′C′=BC； 3. 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′ 4. 连接A′B′，Rt△A′C′B′就是所求作的三角形。
∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD.
1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， AB＝AD.
求证：∠1=∠2 . A
12
B
D
C
3.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
F E
A
B
2.如图，C是路段AB的中点，两人 从C同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路 段AB的距离相等吗？为什么？
直角三角形全等的判定方法: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”.
(HL)
1. 如图:△ABC≌△DEF，指出它们的对应 角、对应边。
AD
B
E
C
F
对应边：AB——DE
AC——DF
BC——EF 对应角：∠A——∠D
∠B——∠DEF ∠ACB——∠F
2. 我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ SSS、SAS、ASA、AAS
创设情景 引入课题
形能全等吗？
画一画：
动手实践 探索规律
任意画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，再画一个
Rt△A′C′B′ ，使∠C﹦∠C′，B′C′﹦BC，A′B′﹦AB （1）你能试着画出来吗？与小组内的其他同学交流一
（2）把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上， 它们全等吗？你能发现什么规律？
作法：
1. 画∠MC′N=90°； 2. 在射线C′M上取B′C′=BC； 3. 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′ 4. 连接A′B′，Rt△A′C′B′就是所求作的三角形。
∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD.
1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， AB＝AD.
求证：∠1=∠2 . A
12
B
D
C
3.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
F E
A
B
2.如图，C是路段AB的中点，两人 从C同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路 段AB的距离相等吗？为什么？
直角三角形全等的判定方法: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°. 又∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.
∠6＝∠D， 在△EFC 和△EDC 中，∠3＝∠4，
EC＝EC， ∴△EFC≌△EDC(AAS)． ∴FC＝DC.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
返回
(2)解：∵AB－BE<AE<AB＋BE， ∴AB－AC<2AD<AB＋AC. ∵AB＝5，AC＝3， ∴2<2AD<8. ∴1<AD<4.
返回
方法 6 截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和 ∠CBA，点E在AD上． 求证：BC＝AB＋CD．
证明：如图，在 BC 上取一点 F，使 BF＝BA，连接 EF. ∵CE，BE 分别平分∠BCD 和∠CBA， ∴∠3＝∠4，∠1＝∠2. BA＝BF， 在△ABE 和△FBE 中，∠1＝∠2， BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE(SAS)． ∴∠A＝∠5.
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于 点F，连接DF.求证： ∠ADC＝∠BDF.
证明：如图，过点 B 作 BG⊥BC 交 CF 的延长线于点 G. ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°. ∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°. ∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°， ∴∠1＝∠2. 在△ACD 和△CBG 中，∠ AC1＝＝C∠B2，，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF. ∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF， 即∠HAF＝∠BAD＝90°. ∵BE＋DF＝EF， ∴BE＋BH＝EF， 则HE＝EF.
在△AEH 和F(SSS)．
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝12∠HAF＝45°.
返回
方法 4 平行线法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°， AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于 点Q，且AP与BQ相交于点O. 求证：AB＋BP＝AQ＋BQ.
证明： 如图，过点O作OD∥BC交AB于点D， ∴∠ADO＝∠ABC. ∵∠BAC＝60°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝80°. ∴∠ADO＝80°. ∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°. ∴∠AQO＝∠C＋∠QBC＝80°. ∴∠ADO＝∠AQB.
返回
方法 5 倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(1)证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB(SAS)． ∴AC＝EB. ∵AB＋BE>AE， ∴AB＋AC>2AD.
BD＝BG， 在△BDF 和△BGF 中，∠DBF＝∠GBF，
BF＝BF，
∴△BDF≌△BGF(SAS)． ∴∠BDF＝∠G.
∴∠ADC＝∠BDF.
返回
方法 3 旋转法 3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，
F为CD上的一点，BE＋DF＝EF， 求∠EAF的度数．
解： 如图，延长 CB 到点 H，使得 BH＝DF，连接 AH. ∵∠ABE＝90°，∠D＝90°， ∴∠D＝∠ABH＝90°. 在△ABH 和△ADF 中， AB＝AD， ∠ABH＝∠ADF＝90°，∴△ABH≌△ADF(SAS)． BH＝DF，
第1章 三角形的证明
双休作业(三) 2 构造全等三角形的六种常用方法
1
2
3
4
5
6
方法 1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， AD⊥BE，垂足为D． 求证：∠2＝∠1＋∠C．
证明：如图，延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下 翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕 为BD)．
∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在△ABD 和△FBD 中，∠ BDA＝BDB＝D，∠FBD， ∠ADB＝∠FDB＝90°，
∴△ABD≌△FBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，
∴∠2＝∠1＋∠C.
返回
方法 2 构造基础三角形法
∠ACD＝∠CBG＝90°，
∴△ACD≌△CBG(ASA)． ∴∠ADC＝∠G，CD＝BG. ∵D为BC的中点，∴CD＝BD. ∴BD＝BG. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CBF＝∠BAC＝45°. 又∵∠DBG＝90°，
∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.
∴∠DBF＝∠GBF.
∵AP平分∠BAC，∴∠DAO＝∠QAO. 又∵OA＝OA， ∴△ADO≌△AQO(AAS)． ∴OD＝OQ，AD＝AQ. ∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB. 又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB. ∴BD＝OD. ∴BD＝OQ.
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°， BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°. ∴∠BOP＝70°. ∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°， ∴∠APB＝70°. ∴∠BOP＝∠APB. ∴BO＝BP. ∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.