2 构造全等三角形的六种常用方法.ppt

BD＝BG， 在△BDF 和△BGF 中，∠DBF＝∠GBF，
BF＝BF，
∴△BDF≌△BGF(SAS)． ∴∠BDF＝∠G.
∴∠ADC＝∠BDF.
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方法 3 旋转法 3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，
F为CD上的一点，BE＋DF＝EF， 求∠EAF的度数．
解： 如图，延长 CB 到点 H，使得 BH＝DF，连接 AH. ∵∠ABE＝90°，∠D＝90°， ∴∠D＝∠ABH＝90°. 在△ABH 和△ADF 中， AB＝AD， ∠ABH＝∠ADF＝90°，∴△ABH≌△ADF(SAS)． BH＝DF，
∠ACD＝∠CBG＝90°，
∴△ACD≌△CBG(ASA)． ∴∠ADC＝∠G，CD＝BG. ∵D为BC的中点，∴CD＝BD. ∴BD＝BG. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CBF＝∠BAC＝45°. 又∵∠DBG＝90°，
∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.
∴∠DBF＝∠GBF.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°. 又∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.
∠6＝∠D， 在△EFC 和△EDC 中，∠3＝∠4，
EC＝EC， ∴△EFC≌△EDC(AAS)． ∴FC＝DC.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
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方法 4 平行线法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°， AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于 点Q，且AP与BQ相交于点O. 求证：AB＋BP＝AQ＋BQ.
证明： 如图，过点O作OD∥BC交AB于点D， ∴∠ADO＝∠ABC. ∵∠BAC＝60°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝80°. ∴∠ADO＝80°. ∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°. ∴∠AQO＝∠C＋∠QBC＝80°. ∴∠ADO＝∠AQB.
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方法 5 倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(1)证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB(SAS)． ∴AC＝EB. ∵AB＋BE>AE， ∴AB＋AC>2AD.
∵AP平分∠BAC，∴∠DAO＝∠QAO. 又∵OA＝OA， ∴△ADO≌△AQO(AAS)． ∴OD＝OQ，AD＝AQ. ∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB. 又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB. ∴BD＝OD. ∴BD＝OQ.
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°， BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°. ∴∠BOP＝70°. ∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°， ∴∠APB＝70°. ∴∠BOP＝∠APB. ∴BO＝BP. ∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.
(2)解：∵AB－BE<AE<AB＋BE， ∴AB－AC<2AD<AB＋AC. ∵AB＝5，AC＝3， ∴2<2AD<8. ∴1<AD<4.
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方法 6 截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和 ∠CBA，点E在AD上． 求证：BC＝AB＋CD．
证明：如图，在 BC 上取一点 F，使 BF＝BA，连接 EF. ∵CE，BE 分别平分∠BCD 和∠CBA， ∴∠3＝∠4，∠1＝∠2. BA＝BF， 在△ABE 和△FBE 中，∠1＝∠2， BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE(SAS)． ∴∠A＝∠5.
第1章 三角形的证明
双休作业(三) 2 构造全等三角形的六种常用方法
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方法 1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， AD⊥BE，垂足为D． 求证：∠2＝∠1＋∠C．
证明：如图，延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下 翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕 为BD)．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于 点F，连接DF.求证： ∠ADC＝∠BDF.
证明：如图，过点 B 作 BG⊥BC 交 CF 的延长线于点 G. ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°. ∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°. ∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°， ∴∠1＝∠2. 在△ACD 和△CBG 中，∠ AC1＝＝C∠B2，，
∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在△ABD 和△FBD 中，∠ BDA＝BDB＝D，∠FBD， ∠ADB＝∠FDB＝90°，
∴△ABD≌△FBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，
∴∠2＝∠1＋∠C.
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方法 2 构造基础三角形法
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF. ∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF， 即∠HAF＝∠BAD＝90°. ∵BE＋DF＝EF， ∴BE＋BH＝EF， 则HE＝EF.
在△AEH 和△AEF 中，AAHE＝＝AAEF，， EH＝EF，
∴△AEH≌△AEF(SSS)．
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝12∠HAF＝45°.