2随机事件与概率的定义
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1 区间[0.5,1]的长度 1 P( A) 2 . 区间[0， 4]的长度 4 8
Example 1.4
甲乙两人相约 8 12 点在预定地点会面。先到的人等候另
一人 10 分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。 Solution 以 X ， Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 8 X 12 ，
设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件 的发生频率稳定在某数附近摆动，则称数为事件 的概率(Probability)，记为：
P( A) p
注：1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全取决于事 件本身的结果，是先于试验客观存在的。 2 概率的统计定义只是描述性的。 3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近 似值。
(8)
(9)
一页以上的信纸的信中都没做记号;
以"亲爱的"开头的信都不是~Mr.Z~写的.
三、 随机事件(Random event)
在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件 (Random event)。 随机事件常用大写字母A, B, C,…表示，它是样本空间Ω的子 集合。 在每次试验中，当且仅当子集A中的一个样本点出现时，称 事件A发生。 对于一个试验，在每次试验中必然发生的事件，称为E 的必然事件(Certain event)； 在每次试验中都不发生的事件，称为E的不可能事件 (Impossible event)。
(6) P( A )=1-P(A); (7) 减法公式： P( B-A )=P(B)-P(AB);
(8) 单调性：A⊆ B, 则 P(A)≤ P(B);
附：卡尼曼的心理学实验
琳达，31岁，女，单身，坦率直言，非常聪明， 大学时主修哲学，其间非常关心歧视与社会公 正问题，并参加了反核游行。
88人给下列陈述评分，1～8分，
1.只击中第一枪；2.只击中一枪； 3.三枪都没击中；4.至少击中一枪。
解：
1. A1 A2 A3 2. A 1A 2A 3A 1A 2A 3A 1A 2A 3 3.
A1 A2 A3
4. A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
为什么要引入集合?
例 路易.卡洛尔推理问题
已知以下前提条件,
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
由此证明: 我不能看G 先生的信.
房中所有注明日期的信都是用蓝纸写的; Mr.G~写的信都是用"亲爱的"起始的; 除~Mr.Z~以外没有人再用黑墨水写信; 我能看的信都未收藏起来; 只有单页纸的信是注明日期的; 未做记号的信都是用黑墨水写的; 用蓝纸写的信都藏了起来;
8 Y 12 ；若以 ( X , Y ) 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以 用这平面上的边长为 4 的一个正方形： 8 X 12 ，8 Y 12 内所有
点表示出来。二人能会面的充要条件是 X Y 1 2 （图中阴影部分） ；所 以所求的概率为：
1 1 2 16 2[ （4 ） ] 阴影部分的面积 15 2 2 P 正方形ABCD的面积 16 64 .
k 1
Ak Ak
n
n
k 1
4.事件的差(Difference of events) 记为
A B
5.互不相容事件(互斥)(Incompatible events) 记为
AB
6.对立事件(Opposite events) 记为
7.事件运算满足的定律
A
交换律(Exchange law)： A B B A
P( A1 A2 An ) P( Ai )
i 1 n
1i j n
P( A A )
i j
1i j k n
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
例:
某学校在一个月30天中, 安排的课程为: 15天有数学课, 14天有语文课, 14天有英语课, 7天既有数学又有语文, 6天既有数学又有英语, 6天既有语文又有英语, 三门都有的有3天, 问: (1) 有几天不上课? (2) 有几天只上一门课? (3) 有几天只上两门课?
结合律(Combination law)： ( A B) C A ( B C ) 分配律(Distributive law)： ( A B)C ( AC) ( BC) 对偶律(Dual law)：A B AB
AB A B
例：向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用A1、A2、A3 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用A1、A2、A3 表示以下各事件：
四、 概率的性质 (The property of probability)
（1） 0 P( A) 1. （2） P( ) 0 ， P() 1 . （3）若 AB ，则 P( A B) P( A) P( B) . （4） P( A) 1 P( A) . （5） P(B A) P(B A) P(B) P( AB) . 特别地，若 A B ， P( B A) P( B) P( A) ， P( B) P( A) .
三、统计概型
频率(Frequency)
设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件
下，把E 独立的重复做n 次，nA表示事件A在这n次
试验中出现的次数(称为频数)。比值
f n ( A) n A n
称
为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).
概率的统计定义 (The statistic definition of probability)
随机试验都具有以下的特点： ⑴ 可以在相同的条件下重复地进行； ⑵ 每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果； ⑶ 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验 称为随机试验(Random experiment)。
二、 样本空间(Sampling space)
四、 概率的性质
(1)
非负性：P(A) ≥ 0 ;
(2) 规范性： P(Ω) = 1; (3) 可加性： 若AB=Ø , 则 P(A+B)=P(A)+P(B); (4) P(Ø )=0; (5)有限可加性：A1, A2, ……, An 互不相容，则
P(A1+A2+…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);
9 8 7 6 5 4 种取法，故 P( A)
98 7 65 4 0.11 6 9
6
（2）事件 B={６个数不含奇数}的取法。因为 6 个 数只能在 2，4，6，8 四个数中选，每次有 4 种取法，
6 4 6 4 所以有 取法。故 P( B) 9 6
（3）事件 C={６个数中５恰好出现 4 次}的取法。 因为 6 个数中５恰好出现 4 次可以是 6 次中的任意 4 次，
1-----最可能，8-----最不可能。
陈述
琳达在女权运动中表现活跃
平均可能性得分
2.1
琳达是一名治疗精神病的社会工作者
琳达在书店工作，还参加了瑜伽班
3.1
3.3
琳达是一名银行出纳，并在在女权运动中表现活跃
琳达是小学教师
4.1
5.2
琳达是女选民联盟的成员
琳达是一名银行出纳
源自文库
5.4
6.2
琳达是保险推销员
§1.3 概率的定义与性质
(The Statistic Definition of Probability)
一、 古典概型（等可能概型）(Classical probability) “概型”是指某种概率模型。“古典概型”是 一种最简单、最直观的概率模型。如果做某个随机 试验时，只有有限个事件可能发生，且事件满足下 面三条： 1 发生的可能性相等(等可能性)； 2 在任意一次试验中至少有一个发生(完备性)； 3 在任意一次试验中至多有一个发生(互不相容). 具有上述特性的概型称为古典概型。
P ( A)
A的计量 S的计量
Example 1.3
在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上
（０， ４） 上的所有实数， 旋转陀螺， 求陀螺停下来后， 圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。 Solution 由于陀螺及刻度的均匀性， 它停下来时其圆周 上的各点与桌面接触的可能性相等， 且接触点可能有无 穷多个，故
Chapter One 随机事件与概率
1.2
随机事件的基本概念
一、 随机试验(Random experiment) 1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 3. 抛一枚骰子，观察出现的点数。 4. 记录车站售票处一天内售出的车票数。 5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 6. 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的 样本空间，记为 S 或者 Ω。
样本空间的元素，即E的每个结果,称为 样本点 (Sampling point)。
例 (续 )
(1) 任意抛掷一枚硬币的实验结果对应的样本空间: Ω={H, T}. (2). 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 Ω={0, 1, 2, 3} (3). 抛一枚骰子，观察出现的点数。 Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} (4). 记录车站售票处一天内售出的车票数。 Ω={0, 1, 2, …, n} (5). 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 Ω={ t| t≧0 }
四、 事件间的关系与运算 (Relation and operation of events)
设试验E的样本空间为Ω ，而A,B,Ak(k=1,2,…)是Ω 的子集。
1.事件的包含与相等(Inclusion and equivalent relation) 记为
B A
2.事件的和(Union of events) 记为 3.事件的积(Product of events) 记为
6.4
陈述
琳达在女权运动中表现活跃 琳达是一名银行出纳，并在在女权运动中 表现活跃
平均可能性得分
2.1 4.1
琳达是一名银行出纳
6.2
张三路上遇到了堵车且上课迟到了.
张三上课迟到了.
哪个发生的可能性更大?
(9) 加法公式（容斥原理，若当公式）：
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 设 A1, A2, ……, An是任意n个事件，则有
4 C 出现的方式有 6 种，剩下的两种只能在 1，2，3，4，
2 8 6，7，8，9 中任取，共有 种取法。故
4 2 C6 8 P(C ) 96
二、 几何概型 (Geometric probability) 如果一个试验具有以下两个特点： （1） 样本空间 S 是一个大小可以计量的几何 区域（如线段、平面、立体） 。 （2） 向区域内任意投一点，落在区域内任意 点处都是“等可能的” 。 那么，事件 A 的概率由下式计算：
等可能概型中事件概率的计算： 设在古典概型中，试验E共有n个基本件， 事件A包含了m个基本事件，则事件A的概率为
P( A) m n
Example 1.1 在箱中装有 100 个产品，其中有 3 个次品， 为检查产品质量，从这箱产品中任意抽 5 个，求抽得 5 个产 品中恰有一个次品的概率。 Solution 从 100 个产品中任意抽取 5 个产品， 共有 C100 种抽 1 4 C 3 取方法， 事件 A={有 1 个次品， 4 个正品}的取法共有 C97 种 取法，故得事件 A 的概率为
5
P( A)
1 4 C3 C97 0.138 5 C100
Example 1.2 概率：
在１~９的整数中可重复的
随机取６个数组成６位数，求下列事件的
（１）６个数完全不同； （２）６个数不含奇数； （３）６个数中５恰好出现 4 次。
Solution 从 9 个数中允许重复的取 6 个数进行排列，共 有 9 种排列方法。 （ 1 ） 事 件 A={ ６ 个 数 完 全 不 同 } 的 取 法 有
Example 1.4
甲乙两人相约 8 12 点在预定地点会面。先到的人等候另
一人 10 分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。 Solution 以 X ， Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 8 X 12 ，
设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件 的发生频率稳定在某数附近摆动，则称数为事件 的概率(Probability)，记为：
P( A) p
注：1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全取决于事 件本身的结果，是先于试验客观存在的。 2 概率的统计定义只是描述性的。 3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近 似值。
(8)
(9)
一页以上的信纸的信中都没做记号;
以"亲爱的"开头的信都不是~Mr.Z~写的.
三、 随机事件(Random event)
在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件 (Random event)。 随机事件常用大写字母A, B, C,…表示，它是样本空间Ω的子 集合。 在每次试验中，当且仅当子集A中的一个样本点出现时，称 事件A发生。 对于一个试验，在每次试验中必然发生的事件，称为E 的必然事件(Certain event)； 在每次试验中都不发生的事件，称为E的不可能事件 (Impossible event)。
(6) P( A )=1-P(A); (7) 减法公式： P( B-A )=P(B)-P(AB);
(8) 单调性：A⊆ B, 则 P(A)≤ P(B);
附：卡尼曼的心理学实验
琳达，31岁，女，单身，坦率直言，非常聪明， 大学时主修哲学，其间非常关心歧视与社会公 正问题，并参加了反核游行。
88人给下列陈述评分，1～8分，
1.只击中第一枪；2.只击中一枪； 3.三枪都没击中；4.至少击中一枪。
解：
1. A1 A2 A3 2. A 1A 2A 3A 1A 2A 3A 1A 2A 3 3.
A1 A2 A3
4. A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
为什么要引入集合?
例 路易.卡洛尔推理问题
已知以下前提条件,
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
由此证明: 我不能看G 先生的信.
房中所有注明日期的信都是用蓝纸写的; Mr.G~写的信都是用"亲爱的"起始的; 除~Mr.Z~以外没有人再用黑墨水写信; 我能看的信都未收藏起来; 只有单页纸的信是注明日期的; 未做记号的信都是用黑墨水写的; 用蓝纸写的信都藏了起来;
8 Y 12 ；若以 ( X , Y ) 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以 用这平面上的边长为 4 的一个正方形： 8 X 12 ，8 Y 12 内所有
点表示出来。二人能会面的充要条件是 X Y 1 2 （图中阴影部分） ；所 以所求的概率为：
1 1 2 16 2[ （4 ） ] 阴影部分的面积 15 2 2 P 正方形ABCD的面积 16 64 .
k 1
Ak Ak
n
n
k 1
4.事件的差(Difference of events) 记为
A B
5.互不相容事件(互斥)(Incompatible events) 记为
AB
6.对立事件(Opposite events) 记为
7.事件运算满足的定律
A
交换律(Exchange law)： A B B A
P( A1 A2 An ) P( Ai )
i 1 n
1i j n
P( A A )
i j
1i j k n
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
例:
某学校在一个月30天中, 安排的课程为: 15天有数学课, 14天有语文课, 14天有英语课, 7天既有数学又有语文, 6天既有数学又有英语, 6天既有语文又有英语, 三门都有的有3天, 问: (1) 有几天不上课? (2) 有几天只上一门课? (3) 有几天只上两门课?
结合律(Combination law)： ( A B) C A ( B C ) 分配律(Distributive law)： ( A B)C ( AC) ( BC) 对偶律(Dual law)：A B AB
AB A B
例：向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用A1、A2、A3 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用A1、A2、A3 表示以下各事件：
四、 概率的性质 (The property of probability)
（1） 0 P( A) 1. （2） P( ) 0 ， P() 1 . （3）若 AB ，则 P( A B) P( A) P( B) . （4） P( A) 1 P( A) . （5） P(B A) P(B A) P(B) P( AB) . 特别地，若 A B ， P( B A) P( B) P( A) ， P( B) P( A) .
三、统计概型
频率(Frequency)
设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件
下，把E 独立的重复做n 次，nA表示事件A在这n次
试验中出现的次数(称为频数)。比值
f n ( A) n A n
称
为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).
概率的统计定义 (The statistic definition of probability)
随机试验都具有以下的特点： ⑴ 可以在相同的条件下重复地进行； ⑵ 每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果； ⑶ 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验 称为随机试验(Random experiment)。
二、 样本空间(Sampling space)
四、 概率的性质
(1)
非负性：P(A) ≥ 0 ;
(2) 规范性： P(Ω) = 1; (3) 可加性： 若AB=Ø , 则 P(A+B)=P(A)+P(B); (4) P(Ø )=0; (5)有限可加性：A1, A2, ……, An 互不相容，则
P(A1+A2+…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);
9 8 7 6 5 4 种取法，故 P( A)
98 7 65 4 0.11 6 9
6
（2）事件 B={６个数不含奇数}的取法。因为 6 个 数只能在 2，4，6，8 四个数中选，每次有 4 种取法，
6 4 6 4 所以有 取法。故 P( B) 9 6
（3）事件 C={６个数中５恰好出现 4 次}的取法。 因为 6 个数中５恰好出现 4 次可以是 6 次中的任意 4 次，
1-----最可能，8-----最不可能。
陈述
琳达在女权运动中表现活跃
平均可能性得分
2.1
琳达是一名治疗精神病的社会工作者
琳达在书店工作，还参加了瑜伽班
3.1
3.3
琳达是一名银行出纳，并在在女权运动中表现活跃
琳达是小学教师
4.1
5.2
琳达是女选民联盟的成员
琳达是一名银行出纳
源自文库
5.4
6.2
琳达是保险推销员
§1.3 概率的定义与性质
(The Statistic Definition of Probability)
一、 古典概型（等可能概型）(Classical probability) “概型”是指某种概率模型。“古典概型”是 一种最简单、最直观的概率模型。如果做某个随机 试验时，只有有限个事件可能发生，且事件满足下 面三条： 1 发生的可能性相等(等可能性)； 2 在任意一次试验中至少有一个发生(完备性)； 3 在任意一次试验中至多有一个发生(互不相容). 具有上述特性的概型称为古典概型。
P ( A)
A的计量 S的计量
Example 1.3
在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上
（０， ４） 上的所有实数， 旋转陀螺， 求陀螺停下来后， 圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。 Solution 由于陀螺及刻度的均匀性， 它停下来时其圆周 上的各点与桌面接触的可能性相等， 且接触点可能有无 穷多个，故
Chapter One 随机事件与概率
1.2
随机事件的基本概念
一、 随机试验(Random experiment) 1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 3. 抛一枚骰子，观察出现的点数。 4. 记录车站售票处一天内售出的车票数。 5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 6. 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的 样本空间，记为 S 或者 Ω。
样本空间的元素，即E的每个结果,称为 样本点 (Sampling point)。
例 (续 )
(1) 任意抛掷一枚硬币的实验结果对应的样本空间: Ω={H, T}. (2). 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 Ω={0, 1, 2, 3} (3). 抛一枚骰子，观察出现的点数。 Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} (4). 记录车站售票处一天内售出的车票数。 Ω={0, 1, 2, …, n} (5). 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 Ω={ t| t≧0 }
四、 事件间的关系与运算 (Relation and operation of events)
设试验E的样本空间为Ω ，而A,B,Ak(k=1,2,…)是Ω 的子集。
1.事件的包含与相等(Inclusion and equivalent relation) 记为
B A
2.事件的和(Union of events) 记为 3.事件的积(Product of events) 记为
6.4
陈述
琳达在女权运动中表现活跃 琳达是一名银行出纳，并在在女权运动中 表现活跃
平均可能性得分
2.1 4.1
琳达是一名银行出纳
6.2
张三路上遇到了堵车且上课迟到了.
张三上课迟到了.
哪个发生的可能性更大?
(9) 加法公式（容斥原理，若当公式）：
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 设 A1, A2, ……, An是任意n个事件，则有
4 C 出现的方式有 6 种，剩下的两种只能在 1，2，3，4，
2 8 6，7，8，9 中任取，共有 种取法。故
4 2 C6 8 P(C ) 96
二、 几何概型 (Geometric probability) 如果一个试验具有以下两个特点： （1） 样本空间 S 是一个大小可以计量的几何 区域（如线段、平面、立体） 。 （2） 向区域内任意投一点，落在区域内任意 点处都是“等可能的” 。 那么，事件 A 的概率由下式计算：
等可能概型中事件概率的计算： 设在古典概型中，试验E共有n个基本件， 事件A包含了m个基本事件，则事件A的概率为
P( A) m n
Example 1.1 在箱中装有 100 个产品，其中有 3 个次品， 为检查产品质量，从这箱产品中任意抽 5 个，求抽得 5 个产 品中恰有一个次品的概率。 Solution 从 100 个产品中任意抽取 5 个产品， 共有 C100 种抽 1 4 C 3 取方法， 事件 A={有 1 个次品， 4 个正品}的取法共有 C97 种 取法，故得事件 A 的概率为
5
P( A)
1 4 C3 C97 0.138 5 C100
Example 1.2 概率：
在１~９的整数中可重复的
随机取６个数组成６位数，求下列事件的
（１）６个数完全不同； （２）６个数不含奇数； （３）６个数中５恰好出现 4 次。
Solution 从 9 个数中允许重复的取 6 个数进行排列，共 有 9 种排列方法。 （ 1 ） 事 件 A={ ６ 个 数 完 全 不 同 } 的 取 法 有