环的同态与同构
同构及同态在代数中的应用论文
同构及同态在代数中的应用论文同构及同态在代数中的应用摘要：在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合，而在近世代数中同态与同构又是其一等重要的概念，在近世代数中有重要的作用。
在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，本文给出了同态成为同构的条件，论述了同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性。
关键词：同态；同构；群；环1 代数系统的同态与同构1.1同态映射及同态的定义一个A到A的映射φ，叫做一个对于代数运算和来说的，A到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a和b是A的哪两个元，只要→→，b ba a就有a b a b→定义1：假如对于代数运算和来说，就有一个A到A的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，A与A同态。
定义2: 我们说，一个A与A间的一一映射φ是一个对于代数运算与来说的，A与A间的同构映射（简称同构），假如在φ之下，不管a，b是A的哪两个元，只要→a a→，b b就有a b a b→1.2同态与同构的联系1）从定义上看2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构关于代数系统的同态有以下定理：定理1 :假定，对于代数运算和来说，A与A同态。
那么，（1）若适合结合律，也适合结合律；（2）若适合交换律，也适合交换律。
定理2:假定，?，⊕都是集合A 的代数运算，?，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算?，?来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态。
那么，（1）若?，⊕适合第一分配律，?，⊕也适合第一分配律；(2)若?，⊕适合第二分配律，?，⊕也适合第二分配律。
2群的同态与同构2.1群的同态与同构定义定义3：给定群(),G 和群(),G ?称集G 到集G 的一个映射φ：G G →是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有()()()a b a b φφφ=? 当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G G ?）；当φ是群G 到群G 得一个同态时，令ker φ={x G ∈|()x e φ'=，e '是G 的单位元}，称之为φ的核。
§6.7 环 同 态
极大理想
定义.
环R的一个理想N说是一个极大理想，如果NR，
而R与N之间没有别的理想。
例.
设R是模12的整数环：{0,1,2,…,11}。
设N1=6R={0，6},则N1是主理想,但非极大理想:有R的
理想N2=2R={0,2,4,6,8,10},且N1 N2 R。
N2是R的极大理想（因为R的理想的元数整除R的元数，
例.
设R为整数环I，N=（m）=mI，则
a≡b（mod N） iff a=b+n, n∈N iff a=b+mk iff m∣a-b
iff a≡b（mod m）。
I的关于N的陪集即是模m的剩余类。
环中合同关系的性质
定理6.7.1 在环R中，对于模N，有
(1)反身性：a≡a; (2)对称性：若a≡b，则b≡a; (3)传递性：若a≡b，b≡c，则a≡c; (4)加法同态性：若a≡b,c≡d,则a±c≡b±d。 (5)乘法同态性：若a≡b，c≡d，则ac≡bd。
= σ-1(σ(a) ) σ-1( σ(b))
=(a+N)(b+N)= ab+N 故τ 是R′到R∕N上的一个同构对应。
定理6.7.6
设环R同态于R′: R～R′,同态核为N,于是 R与N之间的子环与R′的子环一一对应， 大环对应大环，小环对应小环， 理想对应理想。
R′与（0’）间无理想
iff R与N间无理想。
只可能为1，2，3，4，6，12，而N2的元数是6，故在R
与N2之间不会有别的理想）。 若取N3=3R={0,3,6,9},则N3也是R的极大理想。 可见，极大理想不唯一。
极大理想与单纯环的关系
定理6.7.7 若N是环R的理想，N R，则
3.5子环、环同态
事实上, xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( 是S 到S的同构映射)
xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( R中 的定义) ( xs ys )( xs ys S ) xs ys
（平凡子环）
例2：一个环R的可以同每一个元交换的元作成 一个子环,叫做环R的中心.
Байду номын сангаас
§3.5 子环、环的同态
二、环的同态及其若干性质
定理1：设R是一个环, R是一个不空集合, R有两个代数运算,一个叫做加法,一个 叫做乘法.若存在一个R到R的满射,使得 R与R对于一对加法以及一对乘法来说都 同态,则R也是一个环.
则规定的法则是 A 的加法和乘法, 且 对于一对加法 和一对乘法来说都是同构映射.
§3.5 子环、环的同态
(1)构造R S ( R S ); 证明： (2)作一个R 到 R 的一一映射;
(3)在R中定义两个代数运算,使得 R R ; (4)证明S是R 的子环.
R
S
§3.5 子环、环的同态
(1)作R S (R S ) {as , bs , cs , } {a, b, c, }.
§3.5 子环、环的同态
(2)规定 ：
RR
xs xs ( xs ), xs S , x x, x R S ,
则 是R到R的一一映射.
R
S
§3.5 子环、环的同态
§3.5 子环、环的同态
定义：设R和R 是两个环,则称R和R同态 （同构）,若满足
(1)存在满射(一一映射) : R R (2)保持运算(保持加法和乘法运算） ( x y ) ( x ) ( y )(x, y R );
3.4环的同态与同构
由此可见，对任意a+bi∈ Z(i), 只要a，b的奇偶性相 同，恒有a+bi ≡ 0(I)；若a，b奇偶性不同，则a+bi ≡ 1(I), 即 ,也即A/I只含两个元。 Z (i) / I {0,1} 类似可得，若 N {2(a bi) a, b Z} ，则
Z (i) / N {0,1, i,1 i} （ 事实上,对 a+bi∈ Z（i），
Def：设（R,+，· ），（R',+，· ）是两个环，若存在 一个R到R'的映射f，满足 a,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∈R,都有 f (a+b) = f (a)+f (b), f (ab) = f (a) · f (b), 则称 f 是环R到环R'的同态映射，简称同态～ 。
R
f
R′
注1．有定义可知，环的同态映射 f 是保持加法和乘 法两种运算的映射。 注2． f 单射—— f 是单同态 f 满射—— f 是满同态 f 双射—— f 是同构，记作R R' 注3． f 是单同态—— R f(R), 称f 将R同构嵌入 到R'中 注4．当R' =R，即f：R→R时—— 自同态，自同构， 自同构群 Aut R={f∣f：R R}.
不难验证, σ是一个同态，且有σ(M2(R) M2(R)。 通常称σ把M2(R)同构嵌入到M3(R)中。 故在同构意义下，M3(R)是M2(R)的扩环。
Def：设
f : R R
是环的同态，则R' 的零元0' 的原象 f -1 (0') 称为 f -1的同态核
K Ker f f 1 (0) {x x R, f ( x) 0}
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以与集M的幂集环．2．环中元素的运算规那么和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环〞)．但不能记为R，·，十)．因为这涉与对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·〞作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．假设环R 无零因子且阶大于1，那么R 中所有非零元素对加法有一样的阶．而且这个一样的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，那么R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，那么它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．那么易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数课件-3-3_环的同态与同构
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一、环同态与同构的定义
注：
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一、环同态与同构的定义
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一、环同态与同构的定义
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一、环同态与同构的定义
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一、环同态与同构的定义
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二、同态的性质
近世代数
第三章 环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是 近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
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§3.3 环的同态与同构
对环进行比较，采用的主要工具是环同态和环同构，从 而可揭示出两个貌似不同的环之间的某些共同性质，这是 在环的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法，同时 也是实践性很强的一种基本要求。
本节教学目的与要求： 了解环同态和同构的代数现象；了解环同态和同构的
代数传递性质和一些不能传递的代数性质；熟悉一些常用 的彼此同态和同构的实例。
领会代数性质的传递是重点，掌握其中的定理证明方 法是难点。
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§3.3 环的同态与同构
一.环同态与同构的定义 二.环同态的性质 三.同态象和同态核的定义
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三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核
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作业：P83第1,4题
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说明如下：
二、同态的性质
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二、同态的性质
注
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二、同态的性质
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三、同态像与同态核
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三、同态像与同态核
环同态基本定理
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二、环同态的一些简单性质
定理3.5.1 设 为环 R 到环R '的同态, 则 (1)(0R ) 0R' .（ 0R为 R中零元，0R为' R '中零元） (2) (na) n(a) ，n Z,a R . (3) (an ) ((a))n ，n N.
由定义可知, 环同态就是环之间保持运算的映射.
又如果同态映射 是单映射, 则称 为单同态
(monomorphism); 如果 是满映射, 则称 为满同态
(epimorphism), 此时, 称环 R 与 R '同态, 记作：
: R ~ R' ; 如果 既是单同态, 又是满同态, 则称 为
|S (s) (s) s s x 所以 |S 为满同态. 而
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Ker |S {s S |(s) 0}
{s S | s I} S I.
从而S I是S的理想, 且由环同态基本定理知, 有如
下的环同构
S /(S I ) (S I ) / I
因此, (e)是单位元, 由单位元的惟一性得(e) e' .
(2) 令r ' (e) , 则r ' 0 , 从而 r 'e' r ' (e) (ee) (e)(e) r '(e)
因为 R '无零因子, 所以消去律成立. 在上式两边消去r '
得(e) e'.
满同态, 则有环同构
%: R / Ker R'
证 (1) 记K Ker , 则为K 环R 的理想. 对任意
环的同态与同构
例5
设 R (a, b) a, b Z .在 R 中定义运算
a1, b1 a2 , b2 a1 a2 , b1 b2 . a1, b1 a2 , b2 a1a2 , b1b2 .
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z , 其中 , a, b a . 则 是一个环同态满
f
下面证②也成立( 即 S 是 R 的子环).
现设 R 中加法和乘法分别记为“ ”和“ ”, 又 S 设与 S 中的加法和乘法分别记为“ + ”和“· ”. 以下 将证明若局限在 S 内,“ ”与“+”, 与·是一致的.
xS , yS S 于是 xS yS Z S S ，所以 S S .则
定理 3.4.3
若 R 和 R 都是环,且 R R , 那么
不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域) 当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质 , 可以得到下面一个有趣 的事实.
引理
设R, , 是一个环, 而 : R A 是一个双
射 , 其中 A 仅是一个集合 . 那么, 可以给集合 A 定义加 法和乘法,使得 成为 R 到 A 的同构映射(即环同构).
为同态 的核.
例 3 一些常见的同态. (1) 零同态: : R R ', (a ) 0, ker ( ) R .
(2) 自然同态: 设 I 是环 R 的理想,
:R R
aa
自然同态为满同态, 且 ker ( ) I .
(3) 恒等同构:
ker ( ) {0}.
(4) 设 知, 存在 使 及
， 由多项式的带余除法 ,
环同构的例子
环同构的例子
环同构指的是两个或多个环在结构上完全相同的现象。
以下是一些环同构的例子：
1. 时钟和圆环：一台时钟的指针每小时绕一圈，类似于一个圆环，因此可以认为时钟和圆环在结构上是相同的。
2. 光谱环和电子态环：在凝聚态物理学中，光学光谱中不同能级的跃迁可以形成一个光谱环。
类似地，电子在固体中的不同能级之间的跃迁也可以形成一个电子态环。
这两个环在结构上是相同的。
3. DNA环和RNA环：DNA是双螺旋结构，而RNA是单链结构，但它们都具有环形结构。
从结构角度来看，DNA环和RNA环是相同的。
这些只是环同构的几个例子。
实际上，在不同学科领域中，还存在许多其他类型的环同构现象。
环的同态映射定义
环的同态映射定义环同态映射，也称为环同态，是一种保持环结构的映射。
在数学中，环是由一个非空集合和两个二元运算组成的代数结构。
这两个二元运算分别是加法和乘法，并且满足一定的公理。
环同态映射是对两个环之间的映射，它要求保持环的结构和运算。
在定义环同态映射之前，我们首先来了解一下环的基本概念。
一个环R是一个非空集合，满足以下条件：1.在R中定义了两个二元运算“+”和“×”，称为加法和乘法运算。
2. R中的加法运算是封闭的，即对于任意的a、b∈R，a+b∈R。
3. R中的加法运算是可结合的，即对于任意的a、b、c∈R，(a+b)+c=a+(b+c)。
4. R中的加法运算具有单位元素0，使得对于任意的a∈R，a+0=0+a=a。
5. R中的加法运算具有逆元素，即任意的a∈R，存在-b∈R使得a+(-b)=0。
6. R中的乘法运算是封闭的，即对于任意的a、b∈R，a×b∈R。
7. R中的乘法运算是可结合的，即对于任意的a、b、c∈R，(a×b)×c=a×(b×c)。
8. R中的乘法运算具有单位元素1，使得对于任意的a∈R，a×1=1×a=a。
9. R中的乘法运算对于加法运算具有分配律，即对于任意的a、b、c∈R，a×(b+c)=a×b+a×c。
现在我们来定义环同态映射。
设R和S是两个环，记为(R, +, ×)和(S, ⊕, ⊗)。
那么一个从R到S的环同态映射是一个映射φ：R→S，满足以下条件：1.对于任意的a、b∈R，有φ(a+b)=φ(a)⊕φ(b)。
这表示映射保持环R中的加法运算。
2.对于任意的a、b∈R，有φ(a×b)=φ(a)⊗φ(b)。
这表示映射保持环R中的乘法运算。
3.对于任意的a∈R，有φ(1_R)=1_S，其中1_R和1_S分别是环R 和S的单位元素。
通过这些定义，我们可以理解环同态映射的本质。
同构及同态和环
定义6.5.3 设G是一个群，若σ是G到G上的同构映 射，则称σ为自同构映射。
自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为恒 等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每个 元素都保持不变。下面再举几个自同构映射的例 子。
第9页，本讲稿共48页
例6.5.6 设（Z，+）是整数加法群， 令σ：n-n，nZ，
证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN， B=bN，AB=aNbN=abNN=abN，所以AB是一个陪集。
第14页，本讲稿共48页
定理6.5.3 按照陪集的乘法,N的所有陪集作成一个群.
命σ：a→aN，则σ是G到 上G的一个同态映射,其核为N.
证明： 由σ引(a理)σ1，(bG)中=a乘Nb法N=封ab闭N ，映射σ使
第13页，本讲稿共48页
以上所述说明了:若σ是G到G′上的同态映射,则其 核N为一正规子群。反过来，我们要问： 设N是G的一个正规子群,是否有一个群G′以及一 个G到G′上的同态映射σ,使N为σ的核？
回答是肯定的,下面造出如此之G′和σ。
引理1 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则 AB也是N的陪集。
是的。
证：因 -1(H’)表示H’在G中全体原象集，故 在下再看象集必是H’。 (6)若H是G正规子群，则H’=(H)是G’正规子 群。 证：对任g’G’ 往证g’H’g’-1H’ 因为必有gG 使(g)=g’而 g’H’g’-1=(g)(H)(g)-1=(gHg1)=(H)=H’ 所以，H’正规子群。
则σ是R+到R上的1-1映射,且对a,bR+， σ（a·b）=log（a·b）=log a+log b
=σ（a）+σ（b）。 故σ是R+到R上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数,若取σ(x)=log2x，或
环的同态基本定理
环的同态基本定理(1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环SR 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈∀， 称为R 到SR 的自然同态； (2) R ，R '是环，ϕ是环R 到环R '的满同态，令ϕKer K =，则商环K R 与环R '同构．证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η．故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη，即η是满同态．(2) 首先，作为像集合()()a K a ϕϕ=+．这是因为K 中任一元k 在ϕ下的像为零，则()()()()()a a k a K a ϕϕϕϕϕ=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射R SR '−→−ϕ ()()a K a K a ϕϕ=++ ．又()()K b K a +++ψψ＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψϕϕϕ＝()()()K b K a +++ψ，()()K b K a ++ψψ＝()()()()K ab ab b a +==ψϕϕϕ＝()()()K b K a ++ψ，()()R R R K '==+111ϕψ，故ψ是K R 到R '的环同态．又R 到R '的环的满同态ϕ，只看R 与R '的加法群结构是加法群的满同态．而ϕKer K =是加法群同态的核．由群的同态基本定理，ψ是K R 到R '的加法群同构，即ψ是双射．故ψ是环同构．例11 F 是域，[]x F 是F 上多项式环，N 是[]x F 的非零理想，则有非零多项式()x m ，使()[]()()x m x F x m N ==．证明 取N 中次数最低的多项式为()x m ，任取()N x f ∈，作除法算式()()()()x r x m x q x f +=，这里()0=x r 或()()()()x m x r ∂<∂．若()0≠x r ，则()()()()x m x r ∂<∂．由于N 是理想，()()N x m x q ∈，又()N x f ∈，故()()()()N x m x q x f x r ∈-=．这与()x m 是N 中最低次数多项式矛盾，因此()0=x r ，()()()x q x m x f =．这就证明了()[]x F x m N =．例12 ()F M n 只有零元的理想和自身两个理想．证明 设N 是()F M n 的非零理想．记ij e 为第i 行第j 列的元为1，其余位置上元为零的F 上n n ⨯方阵．回忆有性质⎪⎩⎪⎨⎧≠==.,0,,i s i s e e e lj ij ls 当当F 上任意n n ⨯方阵()ij a A =，可写成 ∑==n j i ij ij e a A 1,．现设N A ∈≠0，则有0≠ik a ，某l ，k ．于是∑=∈==n j i lk lk kk ij ll ij kk ll N e a ee e a Ae e 1,．对任i ，j ，作()ij kj lk lk illk e e e a e a =-1，则N e ij ∈．于是任意()N e e b e b n j i ij ii ij n j i ij ij ∈=∑∑==1,1,．这就证明了()F M N n =．模同态基本定理设η是-R 模M 到-R 模M '的一个模同态，则由η诱导出模同构()M N M ηη→：，()ηker =N ，使()()x N x ηη=+，M x ∈． 证明 设η为M 到M '的一个模同态，则其核()ηker 是M 的一个子模，同态象()M η是M '的一个子模．()ηker =N ，规定()x N x ηη +：()()x N x ηη=+，M x ∈ 于是η即为N M 到()M η的一个同构映射．这是因为：1)若N y N x +=+，则 N n ∈∃，使n y x +=，()()()()()y n y n y x ηηηηη=+=+=，故()()N y N x +=+ηη， 即在η之下，N M 的每一个元在()M η中有唯一的象，从而η是映射；2)()M x η∈'∀，M x ∈∃，()x x '=η，由η的定义知()()x x N x '==+ηη，故η是满射；3)若()()N y N x +=+ηη，则()()y x ηη=，于是()()()N y N x N y x N y x y x y x +=+⇒+∈⇒∈-⇒=-⇒=-00ηηη， 故η为单射；４）η为N M 到()M η的模同态．事实上R a N M N y N x ∈∈++∀，，有 ()()()()()N y x N y N x ++=+++ηη()()()()()N y N x y x y x +++=+=+=ηηηηη ()()()()ax N ax N x a ηηη=+=+()()N x a x a +==ηη 因此，η为N M 到()M η的模同构，即()M≅MηN其中()ηN为η的核．ker=参考文献[16] 胡庆平，李丹，胡志刚．系统间的一类联系——同态与同构[J]．昭通师范高等专科学校学报，2002，24(5)：5－11．。
同态与同构论文
浅谈同态和同构摘要近世代数的主要研究内容是所谓的代数系统，即带有运算的集合.近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用，在近世代数中，同态与同构是一个较为初等但又极为重要的概念，它们是相互联系又有所不同的.同态是保持代数系统结构的映射，是同构的推广.在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，这里阐述了同态成为同构的条件，论述了同态及同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性.关键词：同态；同构；群；环AbstractThe main research contents of modern algebra is so-called algebraic system,namely the set with operations.Modern algebra has important applications in other branchs of mathematics and many departments of natural science.Homomorphism and isomorphism are of great importance and are more elementary and they are related and different as well. Homomorphism is a shine upon which keeps the structure of the system of algegbra,and a extender of isomorphism. We first introduce the concepts of homomorphism and isomorphism and analyze the difference and relation of homomorphism and isomorphism. The condition on which homomorphism becomes isomorphism is given and we show some applications of homomorphism and isomorphism in different algebra systems, which illustrates the importance of homomorphism and isomorphism. Keywords: Homomorphism; Isomorphism; Group; Ring前言为了深入研究代数系统的结构，须将同类型的代数系统加以比较，以得到这种体系更为本质的性质，使得将这种类型的代数系统分类成为可能，分类的目的就是减少研究对象，即通过对少数特殊代数系的研究，把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中.同态与同构就是实现这种分类的主要途径，也是代数学的最基本的研究工具.1 代数系统的同态与同构的定义1.1 同态映射及同态的定义定义1 一个A 到A 的映射φ，叫做一个对于代数运算和来说的，A 到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a 和b 是A 的哪两个元，只要a a →，b b →就有 a b a b → 定义 2 假如对于代数运算和来说，有一个A 到A 的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，A 与A 同态.1.2 同构的定义定义3 我们说，一个A 与A 间的一一映射φ是一个对于代数运算与来说的，A 与A 间的同构映射（简称同构），假如在φ之下，不管a ，b 是A 的哪两个元，只要a a →，b b →就有 a b a b → 假如在A 与A 之间，对于代数运算与来说，存在一个同构映射，我们说，对于代数运算与来说，A 与A 同构，并且用符号A A ≅来表示.1.3同态与同构的区别与联系1）从定义上看 集合A 与A 同态是指A 到A 的一个满射，若这个映射同时又是单射，则称A 与A 同构.2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构，如：例1 建立实数集R 到正实数集R +的映射，:2x xσ，R 的运算为数的加法，R +的运算为数的乘法，因为2,2,222x y x y x y x y x y ++=⋅，因此该映射是R 到正实数集R +的一个同态映射，由于该映射是一一映射，因而也是一个同构映射.关于代数系统的同态有以下定理 定理1 假定对于代数运算和来说，A 与A 同态.那么，（1）若适合结合律，也适合结合律；（2）若适合交换律，也适合交换律.定理2 假定⊗，⊕都是集合A 的代数运算，⊗，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算⊗，⊗来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态.那么，（1）若⊗，⊕适合第一分配律，⊗，⊕也适合第一分配律；(2)若⊗，⊕适合第二分配律，⊗，⊕也适合第二分配律.2 群的同态与同构2.1群的同态与同构的定义定义4 给定群(),G 和群(),G ⨯，称群G 到群G 的一个映射φ：G G →是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有()()()a b a b φφφ=⨯当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G G ≅）；当φ是群G 到群G 的一个同态时，令ker φ={x G ∈|()x e φ=，e 是G 的单位元}称ker φ为φ的核.2.2同态与同构在群中的应用群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质.通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的不同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系.对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.如：循环群的结构定理：设)(a G =是由生成元a 生成的循环群，如果∞=||a ，那么Z G ≅.如果n a =||，那么n Z G ≅.用代数同构观点看，循环群只有二个.一个是整数加群Z ，另一个是模n 的剩余类加群n Z .设()G a =是循环群，若a 是无限阶元素，则G 与整数加群同构；若a 的阶是一个有限整数n ，那么G 与模n 剩余类加群同构.所以循环群的存在问题，数量问题，构造问题已彻底解决.定理3 设G 为群，G 为一个带有乘法运算的非空集合，若存在:G G φ→为满同态映射，则G 也是一个群.（该定理提供了一个借助已知群判定群的方法）定理4 设φ是群G 到群G 的一个同态满射.(1)若e 是G 的单位元，则()e φ是G 的单位元；(2)G 的元a 的逆元a 1-的象是a 的象的逆元，即11()[()]a a φφ--=；(3)a 的象的阶整除a 的阶.定理5 设G 为群，而N 是G 的任一个不变子群，那么必有群同态满射:G G N φ→， 其中：x G ∀∈，()x xN φ=.群G 的每个商群都为G 的同态象.而且通过N 将这个同态关系表现出来.于是由同态象的意义（传递性）知：G 的每个商群N G 都会在某些方面有些象G ，进而，可由商群N G的某些性质去推测群G 的一些性质.一般来说，商群要比G 简单些（因为N G是G 的元素以N 作陪集而形成的群）. 定理5的重要性还在于它具有某些完备性——G 的每一个同态象就是G 的商群（在同构下）定理6：设G 与G 是同态的群：G G ϕ~且ker()N ϕ=，那么，G N G ≅.按代数的观点，同构的群就是同样的群，因此，定理6表明，群G 只能与它的商群同态，或者说，G 的任何一个同态象G 必与G 的某个（且能够肯定的指明是哪个）商群一样.注意 上述的定理5和定理6习惯统称为群的同态基本定理（FHT ）.群G 与商群具有密切的联系，群的同态基本定理恰恰揭示这个内在联系.该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位.该定理揭示了“同态象”的实质.以上是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论.群G 的同态象G 可以设想是G 的一个“粗略”的模型；忽略了G 中的某些元素间的差异而又维持了其中的运算关系.关于两个群G 和G ，我们有（ⅰ）G 到G 有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（ⅱ）G 到G 有满同态，则意味着G 就是G 的商群（在同构下）.定理7 设:G G φ→是群同态满射,于是有下列结果(1) 若H 是G 的子群，则H 的像()H φ是G 的子群.(2) 若H 是G 的不变子群，则H 的像()H φ是G 的不变子群.(3) 若H 是G 的子群，则()1H φ-是G 的子群.(4) 若H 是G 的不变子群，则()1H φ-是G 的不变子群.3 环的同态与同构3.1环的同态与同构的定义定义5 设φ是环{}⋅+,,R 到环{}⋅+,,R 的映射.如果φ满足: ()()(),a b a b φφφ+=+ ()()()a b a b φφφ⋅=⋅则称ϕ是一个环同态映射.其中.,R b a ∈∀这里的乘法运算可省略不写，即()()()ab a b φφφ=.定义6 设R 和R 为环，映射:R R φ→为环同态，是指对每个,a b R ∈，()()()a b a b φφφ+=+；()()()ab a b φφφ=如果φ是一一对应，则φ叫做环R 和R 间的同构映射，称R 和R 同构，记作R R ≅.3.2同态与同构在环上的应用定理8 若存在一个R 到R 的满射，使得R 与R 对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R 也是一个环.定理9 设R 和R 是两个环，并且R 与R 同态.那么，R 的零元的象是R 的零元，R 的元a 的负元的象是a 的象的负元.并且，若R 是交换环，那么R 也是交换环；若R 有单位元1，那么R 也有单位元1，而且，1是1的象.显然环同态满射能传递许多代数性质,但也有一些是无法传递过去的.如可知6:Z Z φ→是环同态满射,其中: ()[]n n φ=.显然Z 是整环.Z 中没有零因子,但在6Z 中,[]2和[]3、[]4都是零因子.再如2显然不是Z 中的零因子,但()[]22φ=却是6Z 中的零因子.设R 和R 是同态的两个环，若R 无零因子，则R 可能有零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.再如例3 设(){},|,R a b a b Z =∀∈，在R 中定义运算:()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++ ()()().,,,21212211b b a a b a b a =可以验证: R 是一个环.现作一个映射::R Z φ→,其中, (),a b a φ=可以验证,ϕ是一个环同态满射.由于()0,0是R 中的零元,当0≠a 且0≠b 时.有()()()R b a ⇒=0,0,00,中有零因子.而显然Z 中没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子. 总结看，若:R R φ→是环同态满射，则（1）若R 是交换环，则R 也是交换环，但若R 是交换环，R 未必是交换环.如1120:,,,,00a b a f S S a b d R d d ⎛⎫⎛⎫→∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是环同态，2S 是交换环，1S 却不是交换环. （2）若R 有单位元的环，则R 也是单位元的环，且11，但若R 是有单位元的环，则R 未必也是单位元的环，如42340:,0000a b a f S S ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是环同态，4S 有单位元1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，但3S 没有单位元. 环同态满射尚不能保证传递环的全部代数性质.如果ϕ是环同构时,其结果则不同了. 定理10 若R 和R 都是环,且R R ϕ≅,那么ϕ不仅能传递所有的代数性质,而且R 是整环(除环,域)当且仅当R 是整环(除环,域).引理 设环同态:R R φ→，则φ是单同态的充要条件是{}ker 0φ=.由引理可得定理11 设R ，R 是环，:R R φ→是满同态，则φ是同构映射的充要条件是{}ker 0φ=. 定义7 设:R R φ→是一个环同态,那么R 中零元的完全原象 1(0){|()0}a R a φφ-=∈=叫作φ的核,通常记1(0)ker φφ-=. 例如建立映射{}:,ker m Z Z km k Z φφ→=∈定理12.设:R R φ→是一个环同态满射,令ker I φ=那么(ⅰ) ker I φ=是R 的理想 (ⅱ)R IR ≅ 定理13 设R 是一个环而I 是R 的理想,那么必有环同态IR R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模ker I ϕ=.称这样的ϕ为环的自然同态.注意 上述定理12和定理13通称为环的同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环IR 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环. 结 论以上分析总结了同态与同构在群论、环论中的应用，通过总结可以发现同态与同构在理论研究中的重要作用，表现在以下几个方面：1）便于代数系统的分类研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题.如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的.研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等.对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质.通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构在群的研究中是具有重要意义的基本观念,同时也是一个实践性很强的基本方法.对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.再如：循环群的结构定理指出：用代数同构观点，循环群只有二个.一个是整数加群Z ，另一个是模n 的剩余类加群n Z .这就给循环群的研究带来了极大的方便.因此按近世代数的观点：彼此同构的群只是在表达元素的符号与运算方法的符号及名称中有区别.于是，只要掌握了当中的任何一个，那么另一个也就能完全把握住了，而这些区别对于我们讨论，研究问题的宗旨——群的代数性质来说是无关紧要的.一般地，设ϕ: G →G 是群同构映射,那么ϕ的逆映射1ϕ-:G →G 也是群的同构映射. 而且在群之间的同构“≅”作为关系时，“≅”必是一个等价关系.基于这样的认识，群论的基本课题就是把群按同构关系分类；对每一个同构的群类确定它的代数结构.如所有含三个元素的群都是同构的，都是循环群，因此我们说三阶群只有一个.而四阶群只有两个：一个是循环群，一个是非循环群.2）便于代数结构之间的比较如前面定理3和定理8，设G与G同态，若G是群（环），则G也是群（环）.又如定理7，群G与群G同态，若H是G的子群（不变子群），那么H也是G的子群（不变子群），反之也成立.再如定理11，设R与R是同构的两个环，若R是整环（除环，域），那么R也是整环（除环，域）.3）代数集合自身的性质如前面定理1，设A与A同态，若适合结合律（交换律），也适合结合律（交换律）.又如定理2，设A与A同态，若⊗，⊕适合第一（二）分配律，⊗，⊕也适合第一（二）分配律.参考文献[1] 张禾瑞.近世代数基础[M]．北京：高等教育出版社，1978．5．[2] 朱平天，李伯葓，邹园．近世代数[M]．北京：科学出版社，2001．1．[3] 胡冠章，王殿军．应用近世代数[M]．北京：清华大学出版社，2006．7．[4] 丘维声．抽象代数基础[M]．北京：高等教育出版社，2003．8．[5] 韩士安，林磊．近世代数[M]．北京：科学出版社，2004．2．[6] 石生明．近世代数初步[M]．北京：高等教育出版社，2006．2．[7] 杨子胥．近世代数[M]．北京：高等教育出版社，2003．12．[8] 杨树生．代数系统的同构与同态[J]．内蒙古民族大学学报，2004．12．[9] 吴双全，刘霞．代数中的同余关系以及同构在代数中的应用[J]．呼伦贝尔学院学报，2010．2．[10] 郭世乐．环同态保持的一些性质[J]．吉林化工学院学报，2005．6．。
环上的同构
环上的同构是一种特殊的映射，它保持环的结构不变。
具体地说，如果R和S是环，那么一个从R到S的同构是一个双射f：R→S，它满足以下条件：
f(a + b) = f(a) + f(b) 对于所有的a，b∈R。
f(ab) = f(a)f(b) 对于所有的a，b∈R。
换句话说，同构不仅是一个双射，而且还保持环的加法和乘法运算。
这意味着，如果我们通过同构映射将一个环的元素映射到另一个环的元素，那么这两个元素在各自的环中具有相同的性质。
例如，整数环Z和多项式环Z[x]之间不存在同构，因为它们的结构不同。
但是，有些环之间存在同构。
例如，复数域C和实数域R上的2x2矩阵环之间存在同构。
同构在环论中非常重要，因为它们允许我们将一个环的问题转化为另一个环的问题，从而使问题更容易解决。
例如，如果两个环是同构的，那么它们的理想、商环等结构也是相同的。
因此，我们可以通过研究一个相对简单的环来了解另一个更复杂的环的性质。
环的同态映射定义
环的同态映射定义
摘要：
一、环的同态映射定义介绍
二、环的同态映射性质
三、环的同态映射应用
正文：
环的同态映射定义：
环的同态映射是环论中的一个重要概念，它是将一个环中的元素映射到另一个环中的元素，并保持环的一些重要性质。
设f 是由环R 到环S 的映射，如果它满足以下条件：
1.f 是环的映射：即对任意的x, y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y) 和
f(xy)=f(x)f(y)。
2.f 是满射：即对任意的y∈S，存在x∈R，使得f(x)=y。
3.f 是单射：即对任意的x≠y，有f(x)≠f(y)。
则称f 为R 到S 的同态映射。
环的同态映射性质：
1.同态映射保持乘法：即对任意的x, y∈R，有f(x*y)=f(x)*f(y)。
2.同态映射保持单位元：即f(1)=1。
3.同态映射保持逆元：即对任意的x∈R，如果f(x)≠0，则存在逆元x"，使得f(x")=f(x)^(-1)。
环的同态映射应用：
1.同态映射可以用于研究环的性质，例如，如果两个环之间存在同态映射，那么这两个环具有相似的性质。
2.同态映射可以用于环的构造，例如，通过同态映射可以将一个环嵌入到另一个环中，从而得到新的环。
3.同态映射还可以用于解决一些数学问题，例如，通过同态映射可以将一个难以处理的环问题转化为另一个易于处理的环问题。
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是 代 数 体 系, 如 果 是 R 到 R 的 满 射 且有
a, b R,.
a b a b , a b a b
则当 R, , 是环时, R , , 也必是环.
，
a b a 0 例 1 设 R1 a, b, c Z , R2 a, c Z , 0 c 0 c
B S .那么必存在另一个环 R , 满足
① R R, ② S 是 R 的子环.
证明 为了方便, 令 S aS , bS , cS ， 为 S 与S 间 的 同 构 映 射 . 而 S aS , bS , cS . 因 S S , 则 设
xS xS
又已知 是双射， 由 a1 , a2 的任意性， 得 R A.. 因 R 为环, 所以 A 也是环 .故 为同构映射.
利用上面的引理 , 我们来讨论环论中的“挖 补定理”.
定理 3.4.4( 挖补定理) 设 S 是环 R 的一个
子环,设 B RS .又设 S 也是环且 S S ,而
同态.
定理 3.4.2
设 R ~ R 是环同态满射,那么
① 若 OR 是 R 中的零元，则 OR 必是 R 的零元. 即
OR OR .
② 若 1R 是 R 的单位元，则 1R 必是 R 的 单位元. 即 1R 1R .
③
④
负元的象必是象的负元,即 a a .
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第 19 讲
第三章 环与域
§4 环的同态与同构
本讲的教学目的和要求： 本讲的内容出发点都是跟循群认的思略， 环——子环的定义——子环的实例——环同 态（尤其是环同态满射）——同态映射（满 射）所能传递的代数性质和不能传递的代数 性质。本讲中，要求能弄略和领会。 （1） 环同态与群同态的区别所在。
射 . 由于 0,0 是 R 中的零元 , 当 a 0 且 b 0 时 . 有 a,0 0, b 0,0 R 中有 零因子 . 但显然 Z 中 没有零因子. 这表明:零因子的象可能不是零因子.
由上可知 , 环同态满射不能保证传递全部的 代数性质，但我们有
(4) 设 知, 存在 使 及
， 由多项式的带余除法 ,
如果 于是
, 则 .
, 所以
.
如果 ( f ( x)) f (i) ，所以
, 则有
, 而 . 由此得
从而由同态基本定理, 有同构
.
四、环的扩张定理（挖补定理）
定理 3.3.6 (环的扩张定理) 设 : 为环的单同态, 且 . 则存在环 的子环, 且 . , 使得 为环
定理 3.4.3
若 R 和 R 都是环,且 R R , 那么
不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域) 当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质 , 可以得到下面一个有趣 的事实.
引理
设R, , 是一个环, 而 : R A 是一个双
射 , 其中 A 仅是一个集合 . 那么, 可以给集合 A 定义加 法和乘法,使得 成为 R 到 A 的同构映射(即环同构).
所以
a a .
④ a, b R, a, b R 使 a a , b b .
则 ab a b ab ba b a ba
因此 ab ba ，故 R 是交换环.
f
下面证②也成立( 即 S 是 R 的子环).
现设 R 中加法和乘法分别记为“ ”和“ ”, 又 S 设与 S 中的加法和乘法分别记为“ + ”和“· ”. 以下 将证明若局限在 S 内,“ ”与“+”, 与·是一致的.
xS , yS S 于是 xS yS Z S S ，所以 S S .则
例6 设
:
, .
, 则
是满同
态, 且
从而由同态基本定理得:
又因为
为自然同态, 所以此同构实际 .
, .
上是恒等同构, 即
例 7 设 : 证明:
证明 (1) 如果 中的 到
的系数都是有理数, 则 都是有理数. 所以 是
的映射.
(2) 任给
,
(3) 任给 , 则 所以, 为 到
, 的满同态.
, 令 ,
证明
任取 a1 , a2 A. 定义:
a1 a2 xy ， a1 a2 x y ,
其中 x a1 , y a2
所以
x y a1 a2 x y
xy a1 a2 x y
若 R 可交换，则 R 也可交换.
证明 ① a R, 因 是满射，所以 a R 使 a a.于是
OR a OR a OR a OR
因此 OR 是 R 中的零元.
② a R, a R 使 a a.
如果 既是单映射又是满映射, 则称 为同 构. 同构是环之间的一个等价关系, 且同构 的环之间有完全相同的代数性质.
二、环同态的性质
由上定义可知,一个环同态映射就是分别对 环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这 一点,可以自然地得到:
定理 3.4.1 设 R, , 和 R , , 都
,
.
(1) 将
看成加法群的同态, 则它是满同态. 是一 也是加群同态的核 , 所以 是满射, 故
因此由群的同态基本定理 , 这样定义的 个映射 . 且由于 这样定义的 也是满映射. (2) 所以, 要证
持乘法运算.
是单映射, 且由于
是环同构, 只要证明 保
所以,
为
到
的同构.
(3) 任给 .
, . 所以,
说明 （1） 设 为环 R 到 R '的同态, 则
(a n ) ( (a))n .
证明 由群同态的定义知,
(an ) (aa) (a) (a) ( (a))n .
（2 ） 设 为环 R 到 R '的同态, 称集合
ker ( ) {a R (a) 0}
而 同理,
1R a 1R a a a,
a 1R a 1R 1R.
③ a a a a OR OR
,
同理 , a a OR ,
他们同态吗？
一 环 同 态 定 义
定义 1
设 是环 R,, 到环 R ,, 的映射.如果
a, b R. 满足:
a b a b , a b a b
则称 是一个环同态映射.
.又令
B a, b, c R aS , bS , cS , a, b, c
现作一个新集合 然 R R.
R aS , bS , cS a, b, c , 显
作
f : R R ,其中
xS xS ,
xx
显然, f 是满射. 另一方面, x, y R , 可分为三 种情形逐一考虑( 其中, x y ).
（2） 扩环与子环之间在单位元变换性，零 因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点， 这是与群截然不同的地方。 （3）环同态映射（既使是环同态满射）也 有一些性质不能传递过去。 （4） 环同构的应用——挖补定理。
本讲的难点和重点： 本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。 （1） 环与子环之间的性质“变异”问题。 （2）环同态的保性质问题。 （3）挖补定理中“ S 视为 R 的子环”的不同意义。
有 xS , yS 和 Z S 使 xS xS ， yS yS ， zS zS
于是，
f xS y S
xS y S x S y S f x S f y S
f zS zS zS
如果 是满射(单射、双射),则称 为环同 态满射(环同态单射,环同构).
特别 是环同态满射时, 则称 R 与 R 同态 , 记 为 R～ R.
说明：
环同态是环之间保持运算的映射.
如果 为单映射, 则称 为单同态.
如果 为满映射, 则称 为满同态, 记作,
: R R ', 并称 R 与 R '同态.
:R R
aa
例 4
设
: Z Z6 是 环 同 态 满 射 , 其
中: n n.
在例 3 中，显然 Z 是整环. 所以 Z 中没有零 因子,但在 Z 6 中, 2 和 3 、 4 都是零因子.即 2 显然不是 Z 中的零因子, 但 2 2 却是 Z 6 中的零 因子.这告诉我们: 非零因子的象可能会是零因子.
x B, y S ， 故 x y ， 故
而 B S ,
f x f y .
总之,当 x y 时,有 f x f y ,
所以 f 是单射.
综上知， f 为R到R 的双射. 由引理,因为 R 为环, 则必可为 R 定义加法和乘法 , 使 R 为环且 R R . 所以 ①成立.
则 R1 , R2 关于矩阵的加法和乘法都构成环. 令