环的同态与同构

证明
任取 a1 , a2 A. 定义:
a1 a2 xy ， a1 a2 x y ,
其中 x a1 , y a2
所以
x y a1 a2 x y
xy a1 a2 x y
.又令
B a, b, c R aS , bS , cS , a, b, c
现作一个新集合 然 R R.
R aS , bS , cS a, b, c , 显
作
f : R R ,其中
xS xS ,
xx
显然, f 是满射. 另一方面, x, y R , 可分为三 种情形逐一考虑( 其中, x y ).
如果 是满射(单射、双射),则称 为环同 态满射(环同态单射,环同构).
特别 是环同态满射时, 则称 R 与 R 同态 , 记 为 R～ R.
说明：

环同态是环之间保持运算的映射.
如果 为单映射, 则称 为单同态.


如果 为满映射, 则称 为满同态, 记作,
: R R ', 并称 R 与 R '同态.
:R R
aa
例 4
设
: Z Z6 是 环 同 态 满 射 , 其
中: n n.
在例 3 中，显然 Z 是整环. 所以 Z 中没有零 因子,但在 Z 6 中, 2 和 3 、 4 都是零因子.即 2 显然不是 Z 中的零因子, 但 2 2 却是 Z 6 中的零 因子.这告诉我们: 非零因子的象可能会是零因子.
若 R 可交换，则 R 也可交换.
证明 ① a R, 因 是满射，所以 a R 使 a a.于是
OR a OR a OR a OR
因此 OR 是 R 中的零元.
② a R, a R 使 a a.
则 R1 , R2 关于矩阵的加法和乘法都构成环. 令
R1 R2
a b a 0 : 0 c 0 c
易证 是由 R1到 R2 的一个满同态，从而 R1 ~ R2 .
例2 若R是一个环， S为R 的一个子环， 则S到R 的映射.
: s s (s S ) 是由环S 到环R的一个单
例5
设 R (a, b) a, b Z .在 R 中定义运算
a1, b1 a2 , b2 a1 a2 , b1 b2 . a1, b1 a2 , b2 a1a2 , b1b2 .
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z , 其中 , a, b a . 则 是一个环同态满
是 代 数 体 系, 如 果 是 R 到 R 的 满 射 且有
a, b R,.
a b a b , a b a b
则当 R, , 是环时, R , , 也必是环.
，
a b a 0 例 1 设 R1 a, b, c Z , R2 a, c Z , 0 c 0 c
B S .那么必存在另一个环 R , 满足
① R R, ② S 是 R 的子环.
证明 为了方便, 令 S aS , bS , cS ， 为 S 与S 间 的 同 构 映 射 . 而 S aS , bS , cS . 因 S S , 则 设



xS xS
x B, y S ， 故 x y ， 故
而 B S ,
f x f y .
总之,当 x y 时,有 f x f y ,
所以 f 是单射.
综上知， f 为R到R 的双射. 由引理,因为 R 为环, 则必可为 R 定义加法和乘法 , 使 R 为环且 R R . 所以 ①成立.
所以
a a .
④ a, b R, a, b R 使 a a , b b .
则 ab a b ab ba b a ba
因此 ab ba ，故 R 是交换环.
定理 3.4.3
若 R 和 R 都是环,且 R R , 那么

不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域) 当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质 , 可以得到下面一个有趣 的事实.
引理
设R, , 是一个环, 而 : R A 是一个双
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射 , 其中 A 仅是一个集合 . 那么, 可以给集合 A 定义加 法和乘法,使得 成为 R 到 A 的同构映射(即环同构).

如果 既是单映射又是满映射, 则称 为同 构. 同构是环之间的一个等价关系, 且同构 的环之间有完全相同的代数性质.
二、环同态的性质
由上定义可知,一个环同态映射就是分别对 环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这 一点,可以自然地得到:
定理 3.4.1 设 R, , 和 R , , 都
(ⅰ) 若 x, y B ，那么 f x x y f y ；
(ⅱ) 若 x, y S , 则 f x x , f y y 。因为
是同构映射，所以当 x y 时必有 x y .
f x x .但 f y y , (ⅲ) 若 x B ， 而 y S 时，
同态.
定理 3.4.2
设 R ~ R 是环同态满射,那么

① 若 OR 是 R 中的零元，则 OR 必是 R 的零元. 即
OR OR .
② 若 1R 是 R 的单位元，则 1R 必是 R 的 单位元. 即 1R 1R .
③
④
负元的象必是象的负元,即 a a .
为同态 的核.
例 3 一些常见的同态. (1) 零同态: : R R ', (a ) 0, ker ( ) R .
(2) 自然同态: 设 I 是环 R 的理想,
:R R
aa
自然同态为满同态, 且 ker ( ) I .
(3) 恒等同构:
ker ( ) {0}.
射 . 由于 0,0 是 R 中的零元 , 当 a 0 且 b 0 时 . 有 a,0 0, b 0,0 R 中有 零因子 . 但显然 Z 中 没有零因子. 这表明:零因子的象可能不是零因子.
由上可知 , 环同态满射不能保证传递全部的 代数性质，但我们有
f
下面证②也成立( 即 S 是 R 的子环).
现设 R 中加法和乘法分别记为“ ”和“ ”, 又 S 设与 S 中的加法和乘法分别记为“ + ”和“· ”. 以下 将证明若局限在 S 内,“ ”与“+”, 与·是一致的.
xS , yS S 于是 xS yS Z S S ，所以 S S .则
所以 xS yS zS . 这表明在 S 中，加法“ ”与“+”是一致的.
同理可证在 S 中“ ”与“· ”也是一致的. 所以 S 是 R 的子环，②成立.
三、环同态基本定理
定理 3.3.5 (环同态基本定理) 设 : 为环的满同态, 则有环同构
且
. 其中, .
证明 令: :
为自然同态:
又已知 是双射， 由 a1 , a2 的任意性， 得 R A.. 因 R 为环, 所以 A 也是环 .故 为同构映射.

利用上面的引理 , 我们来讨论环论中的“挖 补定理”.
定理 3.4.4( 挖补定理) 设 S 是环 R 的一个
子环,设 B RS .又设 S 也是环且 S S ,而
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第 19 讲
第三章 环与域
§4 环的同态与同构
本讲的教学目的和要求： 本讲的内容出发点都是跟循群认的思略， 环——子环的定义——子环的实例——环同 态（尤其是环同态满射）——同态映射（满 射）所能传递的代数性质和不能传递的代数 性质。本讲中，要求能弄略和领会。 （1） 环同态与群同态的区别所在。
(4) 设 知, 存在 使 及
， 由多项式的带余除法 ,
如果 于是
, 则 .
, 所以
.
如果 ( f ( x)) f (i) ，所以
, 则有
, 而 . 由此得
从而由同态基本定理, 有同构
.
四、环的扩张定理（挖补定理）
定理 3.3.6 (环的扩张定理) 设 : 为环的单同态, 且 . 则存在环 的子环, 且 . , 使得 为环
有 xS , yS 和 Z S 使 xS xS ， yS yS ， zS zS

于是，
f xS y S
xS y S x S y S f x S f y S
f zS zS zS
（2） 扩环与子环之间在单位元变换性，零 因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点， 这是与群截然不同的地方。 （3）环同态映射（既使是环同态满射）也 有一些性质不能传递过去。 （4） 环同构的应用——挖补定理。
本讲的难点和重点： 本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。 （1） 环与子环之间的性质“变异”问题。 （2）环同态的保性质问题。 （3）挖补定理中“ S 视为 R 的子环”的不同意义。
说明 （1） 设 为环 R 到 R '的同态, 则
(a n ) ( (a))n .
证明 由群同态的定义知,
(an ) (aa) (a) (a) ( (a))n .
（2 ） 设 为环 R 到 R '的同态, 称集合
ker ( ) {a R (a) 0}
而 同理,
1R a 1R a a a,
a 1R a 1R 1R.
③ a a a a OR OR
,
同理 , a a OR ,
例6 设
:
, .
, 则
是满同
态, 且
从而由同态基本定理得:
又因为
为自然同态, 所以此同构实际 .
, .
上是恒等同构, 即
例 7 设 : 证明:
证明 (1) 如果 中的 到
的系数都是有理数, 则 都是有理数. 所以 是
的映射.
(2) 任给
,
(3) 任给 , 则 所以, 为 到
, 的满同态.
, 令 ,
,
.
(1) 将
看成加法群的同态, 则它是满同态. 是一 也是加群同态的核 , 所以 是满射, 故
因此由群的同态基本定理 , 这样定义的 个映射 . 且由于 这样定义的 也是满映射. (2) 所以, 要证
持乘法运算.
是单映射, 且由于
是环同构, 只要证明 保
所以,
为
到
的同构.
(3) 任给 .
, . 所以,
他们同态吗？
一 环 同 态 定 义
定义 1
设 是环 R,, 到环 R ,, 的映射.如果
a, b R. 满足:
a b a b , a b a b
则称 是一个环同态映射.