(完整版)沪科版八年级一元二次方程数学下册知识总结

沪科版八年级数学下册知识总结

一元二次方程知识点：

1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

.a

c

x x a

b

x x )2(a 2ac 4b b x )

1(212122

,1=

-=+-±-=，

； 5. 一元二次方程的解法

（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①

2(0)x a a =≥ 解为：x =

②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=③

2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相

乘法

如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0

290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=

3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=

22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-= 24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+=

225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=

（3） 配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

222

0()()022

P P x Px q x q ++=⇔+

-+= 示例：22233

310()()1022x x x -+=⇔--+=

②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

22220 (0)()0 ()()022b b b

ax bx c a a x x c a x a c a a a

++=≠+

+=⇒-⇒++=g

222224()()2424b b b b ac

a x c x a a a a -⇒+=-⇒+=

示例： 22221

111210(4)10(2)2102222

x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-=

（4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法

将其变形为：

222

4()24b b ac x a a

-+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相

等的实根：1,2x =② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a

=-

③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：

20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c

②求出24b ac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,22b x a

-=

※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式

a

c x x a b x x 2121=-

=+，；Δ=b 2-4ac 分

析，不要求背记)

（1）两根互为相反数 ⇔ a

b -= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0；

（2）两根互为倒数 ⇔ a

c =1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0；

（3）只有一个零根 ⇔ a

c

= 0且a

b -≠0 ⇔

c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ⇔ a

c

= 0

且a

b -= 0 ⇔

c = 0

且b=0；

（5）至少有一个零根 ⇔ a

c =0 ⇔ c=0；

（6）两根异号 ⇔ a

c ＜0 ⇔ a 、c 异号；

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ a

c ＜0且a

b -＞0⇔ a 、

c 异号且a 、b 异号；

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ a

c ＜0且a

b -＜0⇔ a 、

c 异号且a 、b 同号；

（9）有两个正根 ⇔ a

c ＞0，a

b -＞0且Δ≥0 ⇔ a 、

c 同号， a 、

b 异号且Δ≥0； （10）有两个负根 ⇔ a

c ＞0，a

b -＜0且Δ≥0 ⇔ a 、

c 同号， a 、

b 同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)

或

ax

2

+bx+c=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--

a 2ac 4

b b x a

2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式：

x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.

8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2. （2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法：

.

0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简

去分母法

.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，

换元法）（