(完整版)沪科版八年级一元二次方程数学下册知识总结

沪科版八年级数学下册知识总结
一元二次方程知识点：
1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；
Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.
4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：
.a
c
x x a
b
x x )2(a 2ac 4b b x )
1(212122
,1=
-=+-±-=，
； 5. 一元二次方程的解法
（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①
2(0)x a a =≥ 解为：x =
②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=③
2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相
乘法
如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0
290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=
3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=
22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-= 24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+=
225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=
（3） 配方法
①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：
222
0()()022
P P x Px q x q ++=⇔+
-+= 示例：22233
310()()1022x x x -+=⇔--+=
②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：
22220 (0)()0 ()()022b b b
ax bx c a a x x c a x a c a a a
++=≠+
+=⇒-⇒++=g
222224()()2424b b b b ac
a x c x a a a a -⇒+=-⇒+=
示例： 22221
111210(4)10(2)2102222
x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-=
（4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法
将其变形为：
222
4()24b b ac x a a
-+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相
等的实根：1,2x =② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a
=-
③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

备注：公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：
20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c
②求出24b ac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,22b x a
-=
※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式
a
c x x a b x x 2121=-
=+，；Δ=b 2-4ac 分
析，不要求背记)
（1）两根互为相反数 ⇔ a
b -= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0；
（2）两根互为倒数 ⇔ a
c =1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0；
（3）只有一个零根 ⇔ a
c
= 0且a
b -≠0 ⇔
c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ⇔ a
c
= 0
且a
b -= 0 ⇔
c = 0
且b=0；
（5）至少有一个零根 ⇔ a
c =0 ⇔ c=0；
（6）两根异号 ⇔ a
c ＜0 ⇔ a 、c 异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ a
c ＜0且a
b -＞0⇔ a 、
c 异号且a 、b 异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ a
c ＜0且a
b -＜0⇔ a 、
c 异号且a 、b 同号；
（9）有两个正根 ⇔ a
c ＞0，a
b -＞0且Δ≥0 ⇔ a 、
c 同号， a 、
b 异号且Δ≥0； （10）有两个负根 ⇔ a
c ＞0，a
b -＜0且Δ≥0 ⇔ a 、
c 同号， a 、
b 同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.
ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)
或
ax
2
+bx+c=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--
a 2ac 4
b b x a
2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式：
x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.
8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2. （2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法：
.
0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简
去分母法
.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，
换元法）（
10. 二元二次方程组的解法：
.0)3(0
)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0
)2)(1()3(;
02;1⎩
⎨
⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩
⎨
⎧===------分组为应注意：的方程）（）
（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（
※11．几个常见转化：
；
；
或；
；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+
-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1
x (x
1
x 2)x 1x (x 1
x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212
12
21221212
122122121222
2
2
2
21221221212212221222121212
()2x x x x x x +=+-，
12
1212
11x x x x x x ++=，
22121212()()4x x x x x x -=+-，
12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+， 221112
121212
22212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==
等
⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-⇒=-4x x .22
x x 2x x .12x x )
2(2
21212121）两边平方为（和分类为 ； ⎪⎩
⎪⎨⎧
-==⇒==.
,)2(34x x 34x x )1()916x x (3
4
x x )
3(21212221
21因为增加次数两边平方一般不用和分类为
或 ；
.
0x ,0x :.
1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,
A sin x )4(21222
12221>>=+==+︒=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.
0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.
,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。