FE-Ch01.3变分原理与里兹法

A
y* = y* ( x)
Y
x x+dx
X
dy
δy ( x)
y=y（x）
δ
∫
x2
x1
f [ x , y ( x )] dx =
∫
x2
x1
δ [ f ( x , y ( x ))] dx
二. 函数的定义和泛函的定义
1. 函数的定义：
若对于自变量x域中的每一个值， 若对于自变量x域中的每一个值，y有一 值与之对应，或数y对应于数x 关系成立。 值与之对应，或数y对应于数x的关系成立。 成立 则称变量y是变量x的函数， x)。 则称变量y是变量x的函数，即： y= y( x)。
线性、自伴随微分方程的定义： 线性、自伴随微分方程的定义： 微分方程
L (u ) + b = 0 ~ ~
in Ω
L 为微分算子 ~ L 具有性质： L L L 若 ~ 具有性质：~ (α u1 + β u 2 ) = α ~ ( u1 ) + β ~ ( u 2 ) L 线性微分算子。 则称 ~ 为线性微分算子。
Ω
~
~
~ ~
Γ
~
~
~ ~
二、 里兹法和伽辽金法
1. 线性、自伴随微分算子 线性、 如果微分方程具有线性、自伴随的性质， 如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则： • 不仅可以建立它的等效积分形式， 不仅可以建立它的等效积分形式， 并可利用加权余量法求其近似解； 并可利用加权余量法求其近似解； • 还可建立与之相等效的变分原理， 还可建立与之相等效的变分原理， 基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。 基于它的另一种近似求解方法 法
泛函的变分: [y(x)+εδy(x)]对 εδy(x)] 泛函的变分: 泛函变分是 Π[y(x)+εδy(x)]对ε的导 数在ε =0时的值 且拉格朗日的泛函变分定义为： 时的值， 数在ε =0时的值，且拉格朗日的泛函变分定义为：
∂ ∂Π = Π [ y ( x ) + εδ y ( x )] ∂ε
ε→ 0
5. 极大极小问题
如果函数y(x)在 如果函数y(x)在x=x0 的附近的任意点上的值都不 y(x) dy=y(x)(≥0)时 大（不小）于y(x0)，即 dy=y(x)-y(x0)≤ 0 (≥0)时， 不小） 在x=x0 上达到极大(极小)，在x=x0上，有 : 上达到极大(极小)
dy = 0
4. 函数的微分和泛函的变分
函数的微分: 函数的微分:函数的增量 △y=y(x+ △x)- y(x)可以 x)- y(x)可以 展开为线性项和非线性项 △y=A(x)△x+φ(x,△x)△x，其中A(x)和△x无关， y=A(x)△x+φ x,△x)△ 其中A(x) A(x)和 无关， φ(x,△x)则和△x有关，而且△x→0时， φ(x,△x) x,△x)则和 则和△ 有关，而且△ x,△ →0，称y(x)是可微的，其线性部分称为函数的微分。 y(x)是可微的 其线性部分称为函数的微分。 是可微的， 即dy=A(x)△x=y’(x)△x。 A(x)= y’(x)是函数的导 dy=A(x) x=y (x)△ A(x)△ (x)是函数的导 数，而且
弱变分和 弱变分和弱极大 如果只对于与y=y (x)有一阶接近度的曲线 有一阶接近度的曲线y=y(x) 如果只对于与y=y0(x)有一阶接近度的曲线y=y(x) 而言， 而言，或者只对于那些不仅在纵坐标间而且切线方向 间都接近的曲线而言，泛函在曲线y=y (x)上达到极 间都接近的曲线而言，泛函在曲线y=y0(x)上达到极 大(或极小)值，则就称这种变分为弱变分。这样达到 或极小) 则就称这种变分为弱变分 弱变分。 的极大值(或极小值)叫做弱极大(弱极小) 的极大值(或极小值)叫做弱极大(弱极小)，或弱变分 弱极大 的极大(或极小). 的极大(或极小).
变分原理与里兹法 §1.3 变分原理与里兹法
一. 变分的一些基本概念
处自由滑下， “最速落径问题”---质量为m的小环从 处自由滑下， 最速落径问题”---质量为 的小环从A处自由滑下 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦） 。（不计摩擦 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦） 设路径为 y=y（x）
上连续,且对于只满足某些一般条件的任意 段 (x1 , x2)上连续 且对于只满足某些一般条件的任意 上连续 选定的函数δ 选定的函数δy(x)，有: ，
∫
x2
x1
F ( x ) δ y ( x ) dx = 0
则在线段上(x1 , x2) ，有: F(x)=0 则在线段上 的一般条件为： δy(x)的一般条件为： 的一般条件为 (1)一阶或若干阶可微分； 一阶或若干阶可微分； 一阶或若干阶可微分 的端点处为0； (2)在线段 1 , x2)的端点处为 ； 在线段(x 的端点处为 在线段 (3)δy(x)或δy(x)及δy’(x)< ε等。
泛函极大极小
泛函Π[y(x)]也有相类似的定义。 泛函Π[y(x)]也有相类似的定义。 也有相类似的定义 如果泛函Π[y(x)]在任何一条与y=y 如果泛函Π[y(x)]在任何一条与y=y0(x) 接近的曲线上 在任何一条与 的值不大（不小） (x)]， 的值不大（不小）于Π[y0(x)]，即 ： δΠ= [y(x)](或 0)时 则称泛函 δΠ= Π[y(x)]- Π[y0(x)] ≤ 0 (或≥0)时，则称泛函 上达到极大值(或极小值) Π[y(x)]在曲线y=y0 (x) 上达到极大值(或极小值)， [y(x)]在曲线y=y 在曲线 而且在y=y (x)上有 而且在y=y0 (x)上有 :
y * ( x) = y ( x) + δy ( x)
称 δ y ( x ) 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。 的变分，它是一个无穷小的任意函数。 变分运算在形式上与微分运算相同。 变分运算在形式上与微分运算相同。
δ y 2 ( x ) = 2 y ( x )δ y ( x )
微分与变分运算次序可以交换。 微分与变分运算次序可以交换。 d dy (δ y ) = δ ( ) dx dx 积分与变分运算次序也可以交换。 积分与变分运算次序也可以交换。
由于δ 的任意性， 由于δai 的任意性，所以
Ω
~T ~ ~T ~ δ u A( u )dΩ + ∫ δ u B( u )dΓ = 0 ∫
~ ~
Γ
~
~
而对于等效积分的“ 而对于等效积分的“弱”形式
T T ~ ~ ~ ~ C ( δ u ) D ( u )d Ω + ∫ E ( δ u ) F ( u )d Γ = 0 ∫
Δy = y' (x) lim Δx → 0 Δx
函数的微分: 为一小参数，并将y(x+ε x)对 函数的微分:设ε为一小参数，并将y(x+ε△x)对ε求导 y(x+ 即得： 数，即得：
∂ y ( x + ε∆ x ) = y ' ( x + ε∆ x ) ∆ x ∂ε
∂ y ( x + ε∆x ) = y ' ( x ) ∆ x = dy ( x ) ∂ε ε→ 0
δΠ = 0
说明：泛函的极大(或极小) 说明：泛函的极大(或极小)值，主要是说泛函的相 或极小) 也就是说， 对的极大 (或极小)值， 也就是说，从互相接近的许 多曲线来研究一个最大(或最小)的泛函值， 多曲线来研究一个最大(或最小)的泛函值，但是曲 线的接近，有不同的接近度。因此，在泛函的极大 线的接近，有不同的接近度。因此， 极小定义里，还应该说明这些曲线有几阶的接近度。 极小定义里，还应该说明这些曲线有几阶的接近度。
当趋近于零时
证明y(x+ε =0处对 的导数就等于y(x 处对ε y(x） 证明y(x+ε△x) 在ε=0处对ε的导数就等于y(x）在x处 y(x+ 的微分。 的微分。这个定义与拉格朗日处理变分的定义是相似 的。
泛函的变分: 与函数的微分类似， 泛函的变分: 与函数的微分类似，泛函变分的定义 也有两个。 也有两个。 δΠ=Π[y(x)+δy(x)]-Π[y(x)]=L[y(x)，δy(x)] δΠ= [y(x)+δy(x)]- [y(x)]=L[y(x)， L[y(x)， y(x)]就叫做泛函的变分 就叫做泛函的变分， 上式中 L[y(x)，δy(x)]就叫做泛函的变分，用δΠ 表示。 表示。 泛函的变分是泛函增量的主部， 泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于 δy(x)来说是线性的。 y(x)来说是线性的。 来说是线性的
a A
2
ds =
dx 2 + dy 2
X
ds v= = dt
v= 2 gh
1 − y′ ⋅ dx dt
Y
2
y B
dt =
1 − y′ 2 gh
⋅ dx
称T为y（x）的泛函， 的泛函， 为自变函数。 y（x）为自变函数。
a
所需时间 T [ y ( x )] =
∫
1 − y ′2 2 gh
0
dx
即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函。 分形式定义的函数为泛函。
从泛函变分极值问题上可以看到变分法的几 个主要步骤： 个主要步骤： （1）从物理问题上建立泛函及其条件； ）从物理问题上建立泛函及其条件； 2）通过泛函变分， （2）通过泛函变分，利用变分法基本预备定理 求得欧拉方程 欧拉方程； 求得欧拉方程； 欧拉方程， （3）求解欧拉方程，这是微分方程求解问题。 ）求解欧拉方程 这是微分方程求解问题。
3. 微分和变分
微分 : x 的增量 △x 是指某两值之差 △x=x-x1 . x=x如果 x 的微分用 dx 表示，则 dx 也是增量的一种， 表示， 也是增量的一种， 即当这种增量很小很小时， dx= △x。 即当这种增量很小很小时，
变分: y(x)的增量在它很小时称为变分 变分: y(x)的增量在它很小时称为变分，用δy(x)或 的增量在它很小时称为变分， y(x)或 之差， δy表示， δy(x)是指y(x)和与它相接近的y1(x)之差， 是指y(x)和与它相接近的y 表示， y(x)是指y(x)和与它相接近的 (x)之差 即 δy(x)=y(x)-y1(x);这里： δy(x)也是x的函数， y(x)=y(x)- (x);这里 这里： y(x)也是 的函数， 也是x 只是 δy(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在 y(x)在指定的 域中都是微量。（假定y(x) 在指定的x 。（假定y(x)在 接近y (x)的一类函数中是任意改变的 接近y1(x)的一类函数中是任意改变的 ）。
强变分和 强变分和强极大
如果对于与y=y (x)的接近度为零阶的一切曲线而 如果对于与y=y0(x)的接近度为零阶的一切曲线而 (x)言，即对于y(x)-y0(x)非常小，但对于y’(x)即对于y(x)- (x)非常小，但对于 (x) (x)是否小毫无规定，泛函在曲线y=y (x)上达到 y’0(x)是否小毫无规定，泛函在曲线y=y0(x)上达到 极大(或极小) 则就把这类变分叫强变分 强变分。 极大(或极小)值，则就把这类变分叫强变分。这样达 到的极大(或极小)值叫做强极大(强极小) 到的极大(或极小)值叫做强极大(强极小)，或强变分 强极大 的极大(或极小). 的极大(或极小).
6. 变分法的基本预备定理
变分法的基本预备定理
上连续,且对于只满 如果函数 F(x)在线段 (x1 , x2)上连续 且对于只满 在线段 上连续 足某些一般条件的任意选定的函数δ 足某些一般条件的任意选定的函数δy(x)，有: ，
∫
x2
x1
F ( x ) δ y ( x ห้องสมุดไป่ตู้ dx = 0
变分法的基本预备定理 ：如果函数 F(x)在线 在线
2. 泛函的定义：
若对于某一类函数{y(x)} 若对于某一类函数{y(x)}中的每一函数 y(x)， {y(x)}中的每一函数 y(x)， Π 有一值与之对应，或数 Π 对应于函数 y(x) 的 有一值与之对应， 关系成立。 关系成立。则称变量 Π 是函数 y(x) 的泛函，即： 的泛函， 成立 Π= Π(y(x))。
若
Ω
∫
L ( u ) vd Ω ~ ~
任意函数
内积后，求积； 内积后，求积；
对上式分部积分，直至 的导数消失， 对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：
L v ∫ ~ (u ) ~ d Ω = ~ Ω uL v u v ∫ ~ ~ ( ~ ) d Ω + b.t .( ~ , ~ ) Ω