收敛数列的性质Word版

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§2 收敛数列的性质

定理 4： 1o 设 lim a n = a , α , β 满足 α < a < β , 那么当
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1

收敛数列的性质和函数极限的性质

n
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符该号点推邻得域函内数的在符该号点推得邻极域限内符的号符号

收敛数列的性质

b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an

§2.2收敛数列的性质

n n 1. 由两边夹定理， lim n
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .

此定理的逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若且时, 有直观:
(2) lim yn lim z n a
n n

n
lim xn a

定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a

(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:

2收敛数列

2收敛数列一、收敛数列的性质定理1 (唯一性) 若数列aₙ收敛，则它的极限是唯一的.证法一：设aₙ有两个极限a和b.若a≠b，则存在a和b和两个不相交的邻域.一方面，当n充分大时，a，后面所有的项全落在a的邻域中：另一方面，当n充分大时，aₙ后面所有的项又全落在b的邻域中，前后矛盾，从而a=b。

证法二：若a和b是aₙ的两个极限,则只要证a=b,即证∀ε>0,有|a-b|<ε.设lim n→∞a n=a n lim n→∞a n=b,则∀ε>0. ∃N₁∈N₊∀n>N₁,有|aₙ−a|< c∃N₂∈N₊,∀n>N₂,有|aₙ−b|<ε当n>N₁且n>N₁时,即取N=max{N₁,N₁},当n>N时,①与②同时成立,从而有|a−b|=|(a−aₓ)+(aₙ−b)|≤|a−aₙ|+|aₙ−b|<c+c=2c,问题得证. (请读者自行完成详细证明过程)定理2 (有界性) 若数列{a₁}收敛，则数列aₙ有界，即3M>0. Vn e N..有|aₙ|<M,证法：由极限定义，从数列的某项a₁起后面所有的项都有界，数列的前N项是有限项，从而可以找到M>0.注：1)定理2等价于：若数列aₙ无界，则数列发散，比如，数列2ⁿ无界，所以它是发散的.2)有界数列不一定收敛，比如，数列(−1)ⁿ有界，但它并不收敛，定理 3 (保序性) 若lim n→∞a n=a lim n→∞b n=b,且a<b , 则∃N∈N₊,∀n>N,有aₙ<bₙ.证法：一方面，由a<b知，存在a和b的两个互不相交的邻域(比如邻域半径可取b−a);另一方面，由数列极限定义知，对任意事先指定的邻域。

3N∈N ,∀n>N, 2有an全落在a的邻域中, 而bₙ全落在b的邻域中.因此，3N∈N ₁,∀n>N,有( aₙ<bₙ.推论1 若 lim n→∞a n =a 与 lim n→∞b n =b,且∃N ∈N ,∀n>N.有 aₙ≤bₙ(aₙ≥bₙ),则 a≤b(a≥b).证法：用反证法。

高等数学第2章第2节收敛数列的性质

§２收敛数列的性质引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．一、收敛数列的性质１极限唯一性定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限．２有界性定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{}(1)n-有界，但它不收敛．３保号性定理2.4 若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．注在应用保号性时，经常取2'aa =．４保不等式性定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则l i m l i m n n n n a b →∞→∞≤．思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞→∞<？保不等式性的一个应用：例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞=，则n =思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？５迫敛性定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具．下面是其应用一例：例2 求数列的极限．６极限的四则运算法则定理2.7 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞±=±=±;lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅.若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且有 lim lim lim nn n n n nn a a a b b b →∞→∞→∞==. 特别地，若n b c =，则lim()lim n n n n a c a c →∞→∞+=+，lim lim n n n n ca c a →∞→∞=.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则．下举几例；例3 求 nn n n n 113lim++∞→例4 求 65214lim 22-++∞→n n n n类似可求 11101110lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ ，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.例5 求1lim +∞→n nn a a ，其中1a ≠-.例6求n .例7 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭ . 二数列的子列１．引言极限是个有效的分析工具．但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效．这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究．那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”．２．子列的定义定义１设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<< ，则数列12,,,,k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序．简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列．注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列．由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛．注若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．这是判断数列发散的一个很方便的方法．如})1{(n -，})1{(2k -收敛于1，})1{(12+-k 收敛于1-，故})1{(n -发散．例7 证明 }2{sinπn 发散．作业：P33 1（1）（4）（5），2，4（1）（4）（6），6（1）。

收敛数列的性质_高等数学(上册)_[共3页]

17 函数、极限与连续第1章然而，尽管ε有任意性，但它一经给出，就应暂时看作固定不变的，以便根据它来求N . 再者，ε既然可以是任何正数，那么它也可用2,3εε或2ε来代替.（2）N 的存在性 N 是与ε有关的正整数，用来刻画保证不等式||n x A ε−<成立需要n 有多大的程度. 一般地，ε越小，N 越大. 定义中重要的是N 的存在性，而不在于它到底取何值. 当N 存在时，它的取值不唯一，可取比它大的任何正整数，因此我们确定时，经常将||n x A −作适当的放大处理，使问题简单化. 同样的，N 也未必要求是正整数，只要是正数即可.（3）收敛数列的简明图形如果用数轴上的点来表示收敛数列{}n x 的各项，就不难发现：不论正数ε多么小，所以下标大于N 的n x ，都落在A 的一个邻域(,)U A ε内（图1-2-1），而在此邻域之外，至多只有N 项（有限项）.图1-2-1利用收敛数列的简明图形不难推测数列2{}n 与{(1)}n −都是发散的，因为它们不是几乎全体的点（至多有限个点除外）都能聚集在某一个点的任意小邻域内.例1.2.1 证明cos lim0.n n n→=∞ 证对0ε∀>，要使 cos |cos |||0n n n x A n nε−=−=<，而|cos |1n n n <，所以只要使1n ε<，即1n ε>. 取正整数1N ε⎡⎤=⎢⎣⎦，当n N >时，总有||n x A ε−<，所以cos lim 0.n n n→=∞ 例1.2.2 设||1q <，证明等比数列 211,,,,,n q q q −的极限为0.证如果0q =，结论显然. 因此我们只要证明0||1q <<的情形. 由于11||0||,n n n x A q q −−−=−=因此对0ε∀>（01ε<<），要使||n x A ε−<，只要1||n q ε−<. 两边取自然对数，得ln 1.ln ||n q ε>+ 取正整数ln 1ln ||N q ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，有||n x A ε−<，所以1lim 0.n n q −→=∞ 1.2.2 收敛数列的性质定理1.2.1（唯一性）收敛数列的极限唯一.证反证法. 假设收敛数列{}n x 有两个不同的极限,A B ，不妨设.A B <由于lim n n x A →=∞，所以对。

收敛数列的性质

§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）：数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。

即数列收敛，则它只有一个极限。

证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。

由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。

现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。

定理2 （有界性）：若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。

即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。

证明：设lim n n a a →∞=。

取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。

记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。

定理3（保不等式性）：设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。

若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。

证明：设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。

0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。

取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。

由此得到2a b ε<+。

收敛数列性质

收敛数列性质
1、唯一性：如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。

2、有界性：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。

推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

收敛数列
收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

收敛数列与其子数列间的关系
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M
若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

如果数列{Xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

收敛数列的性质

性质4: “两边夹”定理设an , bn 为收敛数列,且 lim an lim bn a
n n
若自然数 N 0 ,使当 n N 0时,有 an cn bn 则 lim cn a （迫敛性）
n
性质5: 极限的四则运算法则
若 lim an a, lim bn b ,则
n n
（1） lim (an bn ) lim an lim bn a b
n n n
(an bn ) lim an lim bn （3） lim ( ) (b 0) n b lim bn b n
性质1:收敛的数列必定有界（有界性）
注意：逆命题不成立.有界未必收敛.
例如： xn (1)n

推论：无界数列必定发散.
n
保号性
性质2:若 lim xn a p( p) ,则正整数
N,使当 n N 时,有: xn p( p) 推论1:若 lim xn a 0( 0) ,则正整数 N,使当 n N 时,有: xn 0( 0)
n
lim an
n
推论2:如果数列 xn 从某项起有 xn 0( 0),且
lim xn a,那么 a 0( 0)
n
注意:如果数列 xn 0( 0) , lim xn a不能推出
a 0( 0)
n
1 例如：lim n n
性质3:收敛数列的极限是唯一的（唯一性）

第2节收敛数列的性质64585

n
n
令 n an a, 则所证结论转化为
若
lim
n

n

0,
则 lim 1 2 n 0.
n
n
证明：令 n an a, 则待证结果转化为:
若
lim
n

n

0,
则 lim 1 2 n 0.
n
n
由
lim
n

n

0,
记为 { xnk }
nk k (教材P12)
定理2.6 如果数列 {an } 收敛于 a ，那么它的任一子数列也收敛于 a .
证设 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子列，由
lim
n
xn

a,
故对于任意给定的正数
存在着正整数 N , 当 n N 时，
| xn a | 成立。

N2 ,n

N 2 ,|
bn

b
|
2(a

, 1)
取N max{N1, N2 },当n N ,得 | anbn ab | .
(3) 先证 lim 1 1 n bn b
对于
|b| 2

0,
N 1 ,
s.t
当n

N1时,
|
bn

b
|
|
b 2
|
,
| bn || b | | bn b |
5o
lim
n
an

a的充要条件是{an

a}为无穷小.
例6
例4 :
已知
lim

1-3收敛数列的性质

2007／09／24§1.3 收敛数列的性质1. 唯一性定理1 每个收敛的数列只有一个极限.证,lim ,lim b x a x n n n n ==∞→∞→又设由定义知,使得 ,, ,021N N ∃>∀ε;,1ε<->a x N n n 恒有时当;,2ε<->b x N n n 恒有时当一、收敛数列的性质{},,max 21N N N =取时有则当N n >)()(a x b x b a n n ---=-ax b x n n -+-≤.2ε=ε+ε<.时才能成立上式仅当b a =故收敛数列极限唯一.2. 有界性定义: 对数列{n x }, 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有M x n ≤成立, 则称数列{n x }有界, 否则, 称为无界.例如,};1{+n n 数列}.2{n 数列数轴上对应于有界数列的点n x 都落在闭区间],[M M -上.有界无界相应的, 可以给出有上界和有下界的定义定理2 收敛的数列必定有界.证,lim a x n n =∞→设由定义,,1=ε取,1,<->∃a x N n N n 时恒有使得当则.11+<<-a x a n 即有},1,1,,,max{1+-=a a x x M N 记,,M x n n ≤皆有则对一切自然数{}.有界故n x 注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例1.)1(1是发散的证明数列+-=n n x 证,lim a x n n =∞→设由定义,,21=ε对于,21,,成立有时使得当则<->∃a x N n N n ),21,21(,+-∈>a a x N n n 时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而-n x 不可能同时位于长度为1的区间内..)1(1发散所以数列+-=n n x3. 子列极限一致性定义：在数列中任意抽取无限多项并保持}{n x 这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列}{n x 的子数列，简称子列.}{ k n x 记为一子数列也收敛于}{n x 定理3如果数列收敛于a , 那么它的任.a, N K =取,时则当K k >.N n n n N K k ≥=>,|ε<-a x k n 于是｜证, }{ }{ 的任一子列是数列设n n x x k,lim a x n n =∞→由总有时使得当 , N n >. ||成立ε<-a x n ,N 0, *∈∃>∀N ε故对.lim a x k n n =∞→证得数列是发散的，通常利用此定理来证明是发散的数列}{sin n )14(P .)1( 1是发散的数列比如：+-=n n x4. 不等式性质P20证明见 ; ; ,, ,lim 14oβαβαβα<><<=∞→n n n n a a n a a a 充分大时有那么当满足设：定理; , ,lim ,lim 2 n n n n n n o b a n b a b b a a <<==∞→∞→充分大时有那么当且设. , ,lim ,lim 3 b a b a n b b a a n n n n n n o ≤≤==∞→∞→那么有有充分大时且当设定理5.0,lim )3(;][lim )2(;][lim )1(,lim ,lim ≠=⋅=⋅±=±==∞→∞→∞→∞→∞→b b a b a b a b a b a b a b b a a n n n n n n n n n n n n n 其中则设证二、极限的四则运算; )1(绝对值的三角形不等式; , , )2(绝对值不等式添加项收敛数列的有界性b b b nn 11lim ,0)3(=≠∞→时先证, . , ,0112||时当对于N n t s N b >∃>2||||b b b n <-.02||||>>b b n 且此时,1时所以当N n >.||22b b bn -≤|||||11| b b b b b b n n n -=-.11lim ,b b n n =∞→即证得.)2(易见结论成立再由.||2|11| 2ε<-≤-b b bb b n n . , 0, ,lim 2t s N b b n n ∃>∀=∞→ε对由于.2|| , 22εb b b N n n <->有时当便有时因此当 ,},max{21N N n >说明：有+无=无，无+无=不定；有=⨯⨯无=不定;无,不定无推广到有限项.例2:145432lim 22-++-∞→n n n n n 22145432lim nn n n n -++-=∞→221lim 4lim 5lim 4lim 3lim 2lim n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→-++-=52=例3:)...1(lim 12-∞→++++n n q q q q q q n n n ---=∞→∞→1lim 11lim n n q q q ∞→---=lim 1111 .11 q-=qq n n --=∞→11lim .)...1(lim ,1||12-∞→++++<n n q q q q 计算极限设:解三、无穷小:定义. ,,0 }{ 简称无穷小数列称为无穷小列那么这个的极限为如果收敛数列n a:6定理;}||{}{ 1 为无穷小为无穷小的充要条件是n n oa a ;)( 2仍是无穷小或差两个无穷小之和o ; }{ ,}{,}{ 3为无穷小那么为有界数列为无穷小设n n n n oa c c a;}{ ,}{,N ,0 4*也是无穷小那么为无穷小如果设n n n n o a b n b a ∈≤≤.}{lim 5为无穷小的充要条件是a a a a n n n o -=∞→....lim ,lim :421a na a a a a n n n n =+++=∞→∞→求证已知例分析：a na a a n n =+++∞→...lim 210)()()(lim 21=-++-+-∞→na a a a a a n n ⇔.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则0)(lim lim =-⇔=∞→∞→a a a a n n n n ,a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若证明：, a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则:则待证结果转化为,0lim =∞→n n α由 0,>∀ε对.2 ,εα<>n N n 时当,N *∈∃N 使得所以2)(||21εααα⋅-++++<n N n n N n nN αααα+++++ 212||21εααα++++<n N ,0lim 21=+++∞→n N n ααα 而,,N 1*1N N N >∈∃所以,1时使得当N n >,2||21εααα<+++n N ,22 21εεεααα=+<+++n n 故......所以四、夹逼准则(两边夹法则)定理7 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那末数列{n x }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当},,max{21N N N =取恒有时当,N n >,ε+<<ε-a y a n 即,2ε<->a z N n n 时恒有当,ε+<<ε-a z a n 上两式同时成立,,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→例5).12111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 求解,11112222+<++++<+n nn n n n n n nn n n n n 111lim lim 2+=+∞→∞→又,1=22111lim1limnn n n n +=+∞→∞→,1=由夹逼定理得.1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n1lim : 0, 61=>∞→na a n 求证设例nn na a n a 111 , 1, :≤≤>≥我们有时当先设证明,1lim 1=∞→nn n 由于知由夹逼定理 ,.11lim 1成立对≥=∞→a a nn 于是这时再设 ,1 ),1,0(1>∈-aa .1111lim 1lim 11==⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→n na a n n)13( lim :7 --+∞→n n n 求极限例n n n n n n 434134)13( 0 :<+≤-++=--+<我们有不等式解0.)13( lim ,}4{=--+∞→n n nn 所以是无穷小因为例８.ka a a ≤≤≤≤ 210设则knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim证明：kn n k n n k n n n n k k a ka a a a a a →≤+++≤= 21由夹逼定理，knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim五、小结收敛数列的性质有界性、唯一性、子列极限一致性、不等式性质极限的四则运算无穷小夹逼准则(两边夹法则)作业(习题集)习题1-3 A：2；3（偶数）；5；6；8；9.。

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§2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限——§2.2 收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性）若数列}{n a 收敛，则它的极限唯一.证法一假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>∀ε，12,N N ∃∈¥，当1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二（反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a ,aa n n =∞→lim ， ba n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取02>-=ab ε，由定义，1N ∃∈¥，当1N n >时有ε<-a a n ⇒2b a a a n +=+<ε. 又2N ∃∈¥，当2N n >时有 ε<-b a n⇒2b a b a n +=->ε，因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a ba a <+<2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性）如果数列}{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>∃M ，使对n ∀有 Ma n ≤||证明设aa n n =∞→lim 取1=ε，0>∃N 使得当N n >时有 1<-a a n即1||||||<-≤-a a a a n n⇒1||||+<a a n . 令|)|,|,||,||,|1m ax (21N a a a a M Λ+=则有对n ∀Ma n ≤||即数列}{n a 有界.注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如})1{(n-. ②在证明时必须分清何时用取定ε，何时用任给ε.上面定理3.2证明中必须用取定ε，不能用任给ε，否则N 随ε在变，找到的M 也随ε在变，界M 的意义就不明确了.性质3（保序性）设aa n n =∞→lim ，ba n n =∞→lim ，(1) 若b a >，则存在N 使得当N n >时有nn b a >;(2) 若存在N ，当N n >时有nn b a ≥，则b a ≥（不等式性质）.证明（1）取02>-=b a ε，则存在1N ，当1N n >时 2||ba a a n -<-, 从而22ba b a a a n +=-->.又存在2N ，当2N n >时2||b a b b n -<-⇒22ba b a b b n +=-+<⇒ 当),m ax (21N N n >时n n a ba b <+<2.（2）（反证）如b a <，则由⑴知必N ∃当N n >时nn b a >这与已知矛盾.推论（保号性）若b a a n n >=∞→lim 则N ∃，当N n >时ba n >.特别地，若0lim ≠=∞→a a n n ，则N ∃，当N n >时n a 与a 同号.思考如把上述定理中的nn b a ≥换成nn b a >，能否把结论改成nn n n b a ∞→∞→>lim lim ？例设≥n a （Λ,2,1=n ），若aa n n =∞→lim ，则a a n n =∞→lim证明由保序性定理可得 0≥a .若0=a ，则0>∀ε，1N ∃，当1N n >时有2ε<n a ⇒ε<n a 即aa n n ==∞→0lim .若0>a ，则0>∀ε，2N ∃，当2N n >时有 εa a a n <-|| 数列较为复杂，如何求极限？性质4（四则运算法则）若}{n a 、}{n b 都收敛，则}{n n b a +、}{n n b a -、}{n n b a 也都收敛，且特别地，nn n n a c ca ∞→∞→=lim lim ，c 为常数如再有0lim ≠∞→n n b 则}{nn b a也收敛，且n n nn nn n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim .证明由于nn n n b a b a )1(-+=-，nn n n b a b a 1⨯=，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，0>∀ε，1N ∃，当1N n >时 ε<-a a n ；2N ∃，当2N n >时ε<-b b n ,取),m ax (21N N N =，则当N n >时上两式同时成立. （1）|||||||||)()(|||b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=-,由收敛数列的有界性，0>∃M ，对n ∀有Mb n ≤||故当N n >时，有由ε的任意性知ab b a n n n =∞→lim .（2） 0lim ≠=∞→b b n n .由保号性，00>∃N 及0>k ，对0N n >∀有k b n >||（如可令2||b k =）.取),m ax (20N N N =，则当N n >时有|||||||||||11|b k b k b b b b b b bb n n n n ε<-<-=-,由ε的任意性得 b b nn 11lim=∞→ . 用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算：但将上述N 换成∞，一般不成立.事实上∑∞=1k 或∏∞=1k 本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列}{n a 、}{n b 、}{n c ，如N ∃，当N n >时有nn n b c a ≤≤，且∞→n lim =n a ∞→n lim lb n=，则∞→n lim lc n=.证明 ∞→n lim =n a ∞→n lim lb n=⇒0>∀ε，21,N N ∃, 当1N n >时， εε+<<-l a l n ；当2N n >时，εε+<<-l b l n ,取),,m ax (210N N N N =，则当N n >时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有N n >时 εε+<≤≤<-l b c a l n n n ⇒ε<-||l c n 即∞→n lim l c n =.该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.推论若N ∃，当N n >时有n n b c a ≤≤（或a c b n n ≤≤）且a b n n =∞→lim ，则a c n n =∞→lim . 例求证∞→n lim0!=n a n（0>a ）.证明 k ∃∈¥使得a k >，从而当k n >时有由于∞→n lim n a k a k ⋅!=!k a k ∞→n limn a 0= 由推论即可得结论.例设1a ，2a ，…，m a 是m 个正数，证明∞→n lim ),,,max(2121m n n mn n a a a a a a ΛΛ=++.证明设),,m ax (21m a a a A Λ=，则≤A nnm n n a a a Λ++21A m n ≤ 1>m ⇒∞→n lim nm 1=，由迫敛性得结论.例1)1(1lim>=∞→a a nn .在证明中, 令01>-=nn a h ， nn h a )1(+=，得n ah n <<0，由此推出0→n h .由此例也看出由n n n y z x <<和n n n n y a x ∞→∞→==lim lim , 也推出az n n =∞→lim .例2 证明 1lim=∞→nn n .证明令 n nh n +=1,两边夹推出 0→n h ，即1→nn .在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例:例3 求极限 93164lim 22++++∞→n n n n n .解 3434lim 93164lim 22911622=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n .例4 求极限 )10()1(lim <<+++∞→a a a n n Λ.解 a a a a a n n nn -=--=+++∞→∞→1111lim )1(lim Λ. 例5 )11(lim )13(lim 1lim 13lim )113(lim n n n n n n n n n n n n n n n ++=++=+⨯+∞→∞→∞→∞→∞→例6 求01110111lim b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ΛΛ，k m ≤，0≠m a ，0≠k b .解原式=k k k k k k k m m k m m n n b n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim ΛΛ⎪⎩⎪⎨⎧≠==k m k m b a mm,0,,即有理式的极限⎩⎨⎧0高次，则为分子最高次低于分母最，为最高次系数之比分子分母最高次数相同.如327103542lim 323=---+∞→n n n n n . 例7 =-+∞→)1(lim n n nn 11lim112n n →∞===+.例8 设0,>b a ，证明 ),max (limb a b a nn n n =+∞→.证明),max(),max(2),max(),max(b a b a b a b a b a nn n n n n n →≤+≤=. 二、数列的子列 (一) 引言极限是个有效的分析工具.但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”. (二) 子列的定义定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<<L L ，则数列12,,,,k n n n a a a L L称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序.简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列.如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列.由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8 数列}{n a 收敛的充要条件是：}{n a 的任何非平凡子列都收敛．证明必要性: 设}{,lim k n n n a a a =∞→是}{n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当Nk >时有.ε<-a a k 由于,k n k ≥故当N k >时有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了}{k n a 收敛（且与}{n a 有相同的极限）．充分性: 考虑}{n a 的非平凡子列}{2k a ，}{12-k a 与}{3k a ．按假设，它们都收敛．由于}{6k a 既是}{2k a ，又是}{3k a 的子列，故由刚才证明的必要性，.lim lim lim 362k k k k k k a a a ∞→∞→∞→==(9)又}{36-k a 既是}{12-k a 又是}{3k a 的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→=(10)（9）式与（10）式给出所以由课本例7可知}{n a 收敛．由定理2．8的证明可见，若数列}{n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与}{n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列}{n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列}{n a 一定发散．例如数列},)1{(n -其偶数项组成的子列})1{(2n-收敛于1，而奇数项组成的子列})1{(12--k 收敛于1-，从而})1{(n -发散．再如数列}2{sinπn ，它的奇数项组成的子列}212{sinπ-k 即为})1{(1--k ，由于这个子列发散，故数列}2{sin πn 发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．。

第二节收敛数列的性质

{收敛。
（证明过程见书上33页，留与大家自己阅读理解）
小结 (1), 唯一性; (2), 有界性; (3), 保号性; (4), 四则运算法则; (5), 迫敛性定理; (6), 收敛数列与其子列的关系. 作业 P33: 1（3）（4）（6), 3, 4, 6.
第二章数列极限
§2 收敛数列的性质
收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 证明假设同时有 lim xn =a 及 lim xn =b , 且 a<b.
n→∞ n→∞
按极限的定义, 对于ε = b−a >0, 存在充分大的正整数 N, 2 使当n>N时, 同时有 |xn−a|<ε = b−a 及|xn−b|<ε = b−a , 2 2 因此同时有 xn < b+a 及xn > b+a , 2 2 这是不可能的. 所以只能有a=b.
注：上定理条件中即便换为xn > 0(或xn < 0),也未必有 lim xn = a > 0 n →∞ 1 或 lim x n < 0 例如： x n = n→ ∞ n 定理4.（保不等式性）
(
)
设{an }与{bn }均为收敛数列.若存在正整数N 0 , 使当n > N 0时有
收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. 定理3(收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a>b(或a<b), 那么存在正整数N, 当n>N时, 有xn>b(或xn<b).

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§2 收敛数列的性质Ⅰ. 教学目的与要求1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.3．掌握数列极限迫敛性定理、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 收敛数列的性质.难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容收敛数列有如下一些重要性质：定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．证设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||210a b -=ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限．一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有.||M a n ≤证设a a n n =∞→lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,m ax {|21+-=a a a a a M N则对一切正整数n 都有n a ≤M ．注有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){}n1-有界，但它并不收敛．定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '))0,(a ∈，存在正数N ，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．证设0>a ．取a a '-=ε(>0)，则存在正数N ，使得当N n >时有a a n >a '=-ε，这就证得结果．对于0<a 的情形，也可类似地证明．注在应用保号性时，经常取2aa ='.定理2.5(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞→∞→≤证设,0.lim ,lim >==∞→∞→ε任给b b a a n n n n 分别存在正数n N N ，使得当与211N >时，有n a a <-ε，（1）当2N n >时有ε+<b b n . (2)取{}210,,max N N N N =，则当N n >时，按假设及不等式(1)和(2)有,εε+<≤<-b b a a n n由此得到.2ε+<b a 由的ε任意性推得b a ≤，即≤∞→n n a lim .lim n n b ∞→请学生思考：如果把定理2.5中的条件n n b a ≤换成严格不等式<n a n b ，那么能否把结论换成?lim lim n n n n b a ∞→∞→<，并给出理由 .例1 设() ,2,10=≥n a n ．证明：若,lim a a n n =∞→则.lim a a n n =∞→ （3）证由定理2.5可得.0≥a若0=a ，则由0lim =∞→n n a ，任给0>ε，存在正数N ，使得当N n >时有<n a2ε，从而ε<n a 即,0ε<-n a 故有.0lim =∞→n n a若0>a ，则有aa a aa a a a a n n n n -≤+-=-.任给0>ε，由a a n n =∞→lim ，存在正数N ，使得当N n >时有,εa a a n <-从而ε<-a a n ．(3)式得证．定理 7.2(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0N n >时有n n n b c a ≤≤， (4) 则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim ．证任给0>ε，由a b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，分别存在正数1N 与2N ，使得当n >1N 时有n a a <-ε， (5) 当2N n >时有ε+<a b n ． (6) 取{},,,m ax 210N N N N =，则当N n >时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有εε+<≤≤<-a b c a a n n n ．从而有ε<-a c n ，这就证得所要的结果．定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具．例2 求数列{nn }的极限．解记n n n h n a +==1，这里()10>>n h n ，则有()().2112n nn h n n h n ->+= 由上式得 ()1120>-<<n n h n ，从而有 12111-+≤+=≤n h a n n . (7)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+121n 是收敛于1的，因对任给的0>ε，取221ε+=N ，则当N n > 时有ε<--+1121n ．于是，不等式(7)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛性证得1lim =∞→n n n ．在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则．定理2．7(四则运算法则) 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n b a +，-n a {}n b ，{}n n b a .也都是收敛数列，且有()n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim lim ，().lim .lim .lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=特别当n b 为常数c 时有().lim lim ,lim lim n n n n n n n n a c ca c a c a ∞→∞→∞→∞→=+=+若再假设0≠n b 及0lim ≠∞→n n b ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是收敛数列，且有 n n n n nnn b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim.证由于()n n n n b a b a 1-+=-及nn n n b a b a 1.=，因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可.设,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→则对任给的,0>ε分别存在正数1N 与2N ，使得,ε<-n n b a 当,1N n > ,ε<-b b n 当.2N n >取{},,m ax 21N N N =则当N n >时上述两不等式同时成立，从而有1．()()().lim 2b a b a b b a a b a b a n n n n n n n +=+⇒<-+-≤+-+∞→ε2． ()().b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=- （8）由收敛数列的有界性定理，存在正数M ，对一切n 有M b n <.于是，当N n >时由（8）式可得()εa M ab b a n n +<-.由ε的任意性，得ab b a n n n =∞→lim .3．由于,0lim ≠=∞→b b n n 根据收敛数列的保号性，存在正数3N ，则当>n 3N 时有b b n 21>.取{},,m ax 32N N N ='则当N n '>时有 222211bb b b b b b b b b n n n n ε<-<-=- 由ε的任意性，这就证得b b nn 11lim =∞→.例3 求01110111lim b n b nb n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ，其中k m ≤，0,0≠≠k m b a ．解以kn-同乘分子分母后，所求极限式化为k k k k kk k m m k m m n nb n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim . 当0>α时有0lim =-∞→αnn .于是，当k m =时，上式除了分子分母的第一项分别为m a 与m b 外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于mmb a ；当k m <时，由于()∞→→-n n km 0，故此时所求的极限等于0．综上所述，得到⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----.,0,,lim 1110111m k m k b ab b n b n b a a n a n a m m nn k k k k n m m m m 例4 求,1lim +∞→nnn a a 其中1-≠a .解若,1=a 则显然有211lim =+∞→nn n a a ; 若1<a ,则由0lim =∞→nn a 得()01lim lim lim 1lim =+=+∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn a a a a 若1>a ,则.1011111lim 1lim =+=+=+∞→∞→nn n nn a a a 例5求().1limn n nn -+∞→解 (),111111++=++=-+nnn n n n n由()∞→→+n n111及例1得 ∞→n lim().211111lim1=++=-+∞→nn n nn 最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理．定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集+N 的无限子集，且<<< 21n n , <k n 则数列,,,,21k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列,简记为}{k n a .注1 由定义1可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在{}n a 中的先后次序．{}k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k ≥．实际上{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列．例如，子列{}k a 2由数列{}n a 的所有偶数项所组成，而子列{}12-k a 则由{}n a 的所有奇数项所组成．又{}n a 本身也是{}n a 的一个子列，此时k n k =，2,1=k ，.注2 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．例如{}k a 2和{}12-k a 都是{}n a 的非平凡子列．由上节例8可知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．定理2．8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛．证必要性设a a n n =∞→lim ，{}k n a 是{}n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当N k >时有ε<-a a k ．由于k n k ≥，故当N k >时更有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了{}k n a 收敛(且与{}n a 有相同的极限)．充分性考虑{}n a 的非平凡子列{}k a 2，{}12-k a 与{}k a 3．按假设，它们都收敛．由于}{6k a 既是{}k a 2，又是{}k a 3的子列，故由刚才证明的必要性，k k k k k k a a a 362lim lim lim ∞→∞→∞←==．（9）又{}36-k a 既是{}k a 2又是{}k a 3的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→= （10）(9)式与(10)式给出.lim lim 122-∞→∞→=k k k k a a所以由上节例7可知{}n a 收敛由定理2．8的证明可见，若数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与{}n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．例如数列(){}n1-，其偶数项组成的子列(){}n21-收敛于1，而奇数项组成的子列(){}121--k 收敛于—1，从而(){}n1-发散.再如数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn ，它的奇数项组成的子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-π212sink 即为(){}11--k ，由于这个子列发散，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn 发散.由此可见，定理2.8是判断数列发散的有力工具．Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握收敛数列的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.P 2、3、5、7、8、9、10.Ⅴ课外作业:３３友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

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§2 收敛数列的性质

收敛数列的性质和函数极限的性质

收敛数列的性质

§2.2收敛数列的性质

2收敛数列

高等数学第2章第2节收敛数列的性质

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最新02-2 收敛数列的性质

收敛数列的性质

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第二节 收敛数列的性质

第二节收敛数列的性质