自动控制原理_第九章

非线性系统分析
系统结构
r
e NL
Linear Plant
y
非线性环节的描述函数近似于一个复数增 益的比例环节，从而可以利用线性系统的 频域分析方法来讨论稳定性。
非线性系统分析
非线性元件的描述函数就等价于线性系统 的频率特性，所以线性系统理论中的频域 结果，如奈氏判据，波特图，霍尔维茨判 据及根轨迹方法等，几乎可以推广到非线 性系统中来研究非线性元件的稳定性、周 期解等。
f f ( x, u ) f ( x0 , u0 ) x
非线性系统分析
三 非线性特性
实际控制系统中的非线性特性是多种多样 的，一般以解析函数的形式出现，如
2ax w x ax u x
2 3
u
x
非线性系统分析
1 连续非线性特性
特点：非灵敏区；饱和区
f(x) f(x)
非线性系统分析
Lypunov稳定性理论：
在非线性系统控制中，它是研究系统稳定 性的主要方法 Lypunov第一方法：用级数形式的解来研究 系统稳定性，即将系统在原点展开成泰勒 级数的形式，得到一阶线性近似方程，它 的稳定性就决定了非线性系统的稳定性， 为一般线性化方法奠定了基础，同时也给 出了线性化方法成立的条件
非线性系统分析
一 描述函数定义：
非线性环节：输入为 x X sin t 如果输出 y ( t ) 在时间段T内是有界可积的 （存在最大最小值），则可以展开为 Fourier级数：
A0 y( t ) An cos nt Bn sin nt 2 n 1
A0 Yn sin( nt n ) 2 n 1
非线性系统分析
研究方法的特点
目前通常用到的（不是全部）非线性方 法有一个基本特点，就是总以某种方式 通过线性化而建立起来的。换句话说就 是以线性方法为基础加以修补使之能够 适应解决非线性问题的需要。
非线性系统分析
相平面方法：
将非线性特性分段线性化之后，将相平 面分成几个区域，使得在每个区域上系 统都是线性的，然后分别在各个区域上 做出相图，从而建立整个非线性系统的 相图，实质是分区线性化方法
放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在 输入电压超过放大器的线性工作范围时，呈现饱 和现象(a).
（a）
非线性系统分析
执行元件的电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和 负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电 枢才会转动。存在着死区而当电枢电压达到定数 值时，电机转速将不再增加呈现饱和现象，如 （ b） .
非线性系统分析
2 T
An 1
2
当非线性环节具有奇 对称特性时，直流分 量A0为零

1来自百度文库

y ( t ) cos ntd(t )
0 2
Bn


y ( t ) sin ntd(t )
0
Yn
2 An

2 Bn
An n arctan Bn
非线性系统分析
描述函数为在正弦谐波作用下，非线性环 节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号 的复数比
非线性系统分析
如果给定系统是状态方程形式,如 x 1 x12 2 x1 x2 x1 u1 f1 ( x, u ), x2 x2 u2 f 2 ( x, u )
f1 , f 2非线性函数，工作点为（x10，x20，u10，u20） , 通常为零点
f ( x0 ,u0 ) ( x x0 ) ( x0 ,u0 ) (u u0 ) u f f x x x0 f ( x, u ) f ( x0 , u0 ) ( x0 ,u0 ) x ( x0 ,u0 ) u x u f1 f1 f1 f1 x x u u 1 2 1 2 x x u f 2 f 2 f 2 f 2 x x u u 1 2 ( x0 ,u0 ) 1 2 ( x0 ,u0 ) 线性系统稳定 非线性系统稳定
(d)
非线性系统分析
为了继续使用较为成熟的线性系统分析设 计方法，通常是把非线性系统近似线性化。 这种线性化只适用于非线性程度不严重的 情况，例如不灵敏区较小，（b）中死区较 小，输入信号幅值较小，传动机构空隙不 大时，都可以忽略非线性特征的影响，将 非线性环节视为线性环节，另外系统工作 在某个数值附近的较小范围内，也可以将 非线性系统近似看作线性的。最常见的线 性化方法就是泰勒展开：
非线性系统分析
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ' ( x0 ) ( x0 )
忽略高阶导数项，就可以把非线性函数 线性近似化。应该注意的是泰勒展开X的 某个小邻域内有效。超出该范围，所做 的近似就失去了意义。这个范围是严格 控制的。
非线性系统分析
以液位系统为例，设液 位H工作在H 0附近，相应的输入量 Qi 在Qi 0附近变化，可以取 H H H 0，Q Q Qi 0， H 为非线性函数， 将它线性化泰勒展开 1 H H0 （H H 0） 2 H0 由于H，Qi 变化较小，所以取泰勒 展开的一次近似， 高阶项省略。这就求出 小偏差的近似线性方程 ： dH K C Qi H dt 2 H0 通常在工作点附近直接 写作 dH K C Qi H H，Qi （H 0，Qi 0） dt 2 H0
转化为线性系统：
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
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例如实验室中的水槽装 置（d） H：液位高度 Qi : 输入量 Qo : 流出量 C：储水槽横截面 据水力学原理： Q0 K H K：比例系数取决于液体 的黏度与阀阻。 则液位系统的动态方程 为： dH C Qi Q0 Qi K H dt 显然液位和输入 Qi 之间 为非线性的微分方程
y
y
t
t
sin t
t
y ( t ) sin t
t
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3 y(t)为半波对称 y(t ) y(t ) ，则
A2k 0
y
B2k 0
t
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二 描述函数的类型 y
滞环非线性
x
y
t
X
x
t
非线性系统分析
输出为半波对称函数，所以
A0 A2k B2k 0
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Lypunov第二方法：无需求解方程而直接 判断解的稳定性。此方法关键是找到一个 正定且有界的V(x,t)函数，且保证V函数沿 时间t的导数为负定的，那么系统就是稳定 的。其中V(x,t)函数可以看作是能量系统的 能量函数，从物理学角度来讲，如果一个 系统的能量是有限的，且能量随时间的变 化率为负时，那么这个系统的所有运动都 是有界的，而且最终在能量为零时，所有 运动都会返回到平衡位置，即系统达到稳 定。
非线性系统分析
例：二阶系统（谐振子）
2x 0 x
相轨迹方程为 x 2 2 x 2 A2 2
相轨迹是一组椭圆族， 系统只发生一种类型 的运动——相轨迹所 表示的周期解，且与 初始状态有关。
x’
x
非线性系统分析
描述函数法（谐波线性化法）：
非线性处理的近似方法，控制工程中较为 普及的一种实用方法。 优点：比较简单，解决问题全面，且适用 于高阶系统和各种非线性特性。 缺点：数学理论基础不完善，得到的结果 既不是充分的，也不是必要的，而且在近 似过程中会丧失部分非线性信息，从而无 法从谐波线性化方程中取得关于非线性系 统的某些更复杂现象的本质与特性
非线性系统分析
常见非线性特性：
死区
饱和
开方
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幂函数
滞环
继电
非线性系统分析
死区双位
滞环继电
死区滞环继电
非线性系统分析
四 非线性系统的研究方法及特点
相平面方法 描述函数法 李亚普诺夫稳定性理论
非线性系统分析
相平面方法：
研究对象是二阶系统，利用系统微分方程 在相平面上建立系统解的几何形象，从而 获得二阶系统的运动性质。 特点：无需求解非线性微分方程，直接给 出能够显示系统运动特征的相图，从而获 得系统全部运动性质的定性知识。 独特优越性：系统存在无限多的轨线运动， 只需画出其中几条就可以获得系统全部轨 线的概貌。
(b)
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传动机构受加工和装备精度限制，换向时存在着 间歇特性。（C）
(c)
非线性系统分析
二 模型线性化
严格的讲，几乎所有的控制系统都是非线性 的，即使采用了一个线性模型并较好地描 述了系统，也只是对这个系统的一个近似
描述罢了。
非线性系统分析
非线性系统：
f ( x, t , u ), x y g ( x, t , u )
x
非线性系统分析
以理想继电器和带有空间滞后的继电器特 性为例，说明分段线性化后的数学表达式
f(x) k
-k
x
k, x0 f ( x) k , x 0
非线性系统分析
f(x)
k
-a a x
-k
0 k , x a或 x a, x ) f ( x, x k , x a 或 x a , x 0
非线性系统分析
注意：谐波线性化只是形式上将非线性 特性进行了线性化，其实仍然保留了非 线性的特性，体现在线性化系数k(A)与
运动参数A有关。
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Lyapunov第一稳定方法：
真正的线性化方法，基于泰勒级数展开 并忽略高阶导数项，从而实现一阶线性 化。
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Lyapunov第二稳定方法：
非线性系统分析
描述函数方法：
一种近似线性化方法，实质是把非线性函数 u=f(x)用某个线性关系u’=k(A)x’来代替， 从而实现线性化，其中线性化系统k并不是 常数，而是关于表征系统运动特性的常数A 的某个函数（即描述函数），上式体现了变 量为谐波时的线性化关系，所以又称为“谐 波线性化”方法。
Y1 j B1 jA1 1 N ( X ) e X X
Y1
输出一次谐波的幅值
输出一次谐波的相位
1
非线性系统分析
Fourier级数特性： 1 y(t)为奇函数:y(t)=-y(-t)，则 An 0
y
y
t
t
cost
t
y ( t ) cost
t
非线性系统分析
2 y(t)为偶函数y(t)=y(-t)，则 Bn 0
本质上是真正的非线性方法，但是却不 存在一般的构造V函数方法，目前成功构 造V函数的方法是鲁里叶与波斯特尼考夫 于1944年提出的，对线性系统构造V函 数，然后附加一个修正项，作为相应非 线性函数的V函数，从这一点上来看，真 正的非线性方法也是在线性为基础的情 况下才得以实现的。
非线性系统分析
第二节 描述函数方法
x
x
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2 不连续特性
又称继电型非线性元件
f(x) f(x)
x
x
非线性系统分析
f(x)
f(x)
x
x
非线性系统分析
3 非单值区特性
分类：滞后；间隙
f(x) f(x)
x
x
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f(x)
f(x)
x
x
滞后指输入值增加或减小时对应的输出值 是不同的。
非线性系统分析
间隙特性：
f(x)
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第九章 非线性系统分析
非线性系统分析
第一节 概论 一 一般情况
非线性系统一般由三部分组成: 被控对象，执行机构，测量装置
执行机构 被控对象 测量装置
非线性系统分析
数学描述
f ( x, u, t ) x y g ( x, u, t )
定常、时变； 连续、离散
非线性系统分析
描述函数的定义
描述函数的类型
描述函数的计算
描述函数分析方法
极限环
总结
非线性系统分析
系统结构：
注：线性和非线性部分可以分开；绝大多数的线性
系统都是低通滤波器，则非线性元件的输出y主要是 由低频成分组成，非线性元件 NL就等价于一个线性 比例环节；非线性环节应具有奇对称静态关系。
X sin t
NL
Y1 sin(t 1 )
Y1 ( ) A1 cost B1 sint
Y1 j 1 N e X
非线性系统分析
单值非线性奇函数
y y
输出为奇函数
t
x
An 0
x
Y1 ( ) B1 sin t
B1 N X
t
非线性系统分析
三 描述函数的计算
y y k d s