幂指对函数及方程

幂、指、对函数及方程
方法指导：
一、幂函数
1. 幂函数的定义
函数(k y x k =为常数，)k ∈Q 称为幂函数，其中x 是自变量，前面的系数为1．
2. 幂函数的图像 研究p
q y x =的图像特点，其中p q
是既约分数（最简分数）．
3. 幂函数的性质
（1） 对于一切幂函数，当0x >时，总有0y >，所以幂函数在第一象限均有图像，且幂函数图像不可能出现在第四象限．
（2） 幂函数一定过点(1,1)．
（3） 当0k >时，k y x =在(0,)+∞上递增，图像过点(0,0),(1,1)；
① 当01k <<时，k y x =向x 轴正方向递增；
② 当1k >时，k y x =向y 轴正方向递增．
当0k =时，k y x =是一条不过点(0,1)的直线；
当0k <时，k y x =在(0,)+∞上递减，图像过点(1,1)，图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．
（4） 在1x =的右侧由上至下k 递减．
二、指数函数
1. 指数运算法则
（1） (0,)x y x y a a a a x y +⋅=>∈R 、 （2） ()(0,)x y xy a a a x y =>∈R 、
（3） ()(0,0,)x x x a b a b a b x ⋅=⋅>>∈R
2. 指数函数的定义
函数(0,1,)x y a a a x =>≠∈R 称为指数函数．
3. 指数函数的图像
4. 指数函数的性质
（1） 函数图像在x 轴上方，函数值恒大于零，故函数图像不可能在三、四象限．
（2） 指数函数的图像经过点(0,1)，01a =．
（3） 函数定义域为R ，值域为(0,)+∞．
（4） 非奇非偶函数
（5） 无零点
（6） 函数(1)x y a a =>在(,)-∞+∞内是增函数；函数(01)x y a a =<<在(,)-∞+∞
内是减函数．
（7） 在1a >时，第一象限内1y >，增长速度十分惊人；第二象限内01y <<，增
长缓慢；
在01a <<时，第一象限内01y <<；第二象限内1y >．
（8） 无最值
（9） 函数图像与x 轴无限接近，x 轴叫做函数的渐近线．
（10） x y a =的图像与1
()x y a
=的图像关于y 轴对称． 三、指数方程
（1） 同底型：
()()()()(0,1)f x g x a a f x g x a a =⇔=>≠．
（2） 基本型：
① ()()log (0,1,0)f x a a b f x b a a b =⇔=>≠>；
② ()()()lg ()lg (0,1,0,1)f x g x a b f x a g x b a a b b =⇔=>≠>≠．
（3） 代换型：
① 20x x Aa Ba C ++=，令x t a =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解； ② 2220()()0x x x x x x a a Aa Ba b Cb A B C b b ++=⇒++=，令()x a t b
= （注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．
（4） 图解型：
一般不可直接求解的可利用图象法求近似值．
四、对数
1. 对数的定义
若(0,1)b a N a a =>≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注意底数的范围是(0,1)(1,)+∞；真数的取值范围是(0,)+∞．
2. 对数的性质
若0,1,0,0,0,0,1a a M N n b b >≠>>>>≠，那么
（1） 零和负数没有对数
（2） log 1a a =，log 10a =，log a N a N =
（3） log ()log log a a a MN M N =+，log (
)log log a a a M M N N =- （4） log log n a a M n M =，log log m n a a n b b m =
（5） log log log a b a N N b =（换底公式），特别地1log log a b b a
=【拓展公式】 3. 常用的对数 以10为底的对数叫做常用对数，通常写做lg N ；以无理数 2.71828
e =为底的对数叫做自然对数，通常写做ln x ．
五、对数函数
1. 对数函数的定义
函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>称为对数函数．
2. 对数函数的图像
3. 对数函数的性质
（1） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都在y 轴右侧．
（2） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都经过点(1,0)．
（3） 函数定义域(0,)+∞，值域R ．
（4） 非奇非偶函数．
（5） 对数函数log (1)a y x a =>在(0,)+∞上是增函数，函数值开始增长较快，到了某一值后增长速度变慢；对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞上是减函数，函数值开始减小较快，到了某一值后减小速度变慢．
（6） 对数函数log (1)a y x a =>，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <； 对数函数log (01)a y x a =<<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >．
（7） y 轴是对数函数的渐近线．
（8） 当1a >时，底数越大，图像越靠近x 轴；
当01a <<时，底数越小，图像越靠近x 轴．
（9） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数．
六、对数方程
（1） 同底型：
()0log ()log ()(0,1)()0()()0()()a a f x f x g x a a g x f x g x f x g x >⎧⎪=>≠⇔>⇔=>⎨⎪=⎩
．
（2） 基本型：
log ()(0,1)()b a f x b a a f x a =>≠⇔=．
（3） 代换型：
2
log ()log ()0a a A f x B f x C ++=，令log ()a t f x =（注意t 的范围），转化为
20At Bt C ++=求解．
（4） 图解型：
一般不可直接求解的可利用图像法求近似值．
典型题解：
幂、指、对函数的图像及性质
特殊方程
1.比较下列各题中两个值的大小
（1）323
()4和233()4 （2）0.63()4-和0.64()3
-
（3）0.62()5-和1 （4）12π和1()2
π 2．若433342
3494434334log log log log (log log )()log log x ⋅=+-+，则x =（ ）． A ．4 B ．16 C ．256 D ．81
3．如图，幂函数223()Z m m y x
m --=∈的图像关于y 轴对称，且与x 轴y 轴均无交点，
求此函数解析式．
4. 关于x 的方程lg 3x x +=，103x
x +=的根分别为,αβ．则αβ+=__________．
5． 使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是______.
6.方程2log (4)3x x +=实数解的个数是（ ）
A 0
B 1
C 2
D 3
7．已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根是2，求a 的值和方程的其余的根．
8． 已知1(1)()22,x x f x --+=-则1(2)f -=_________.
9.若关于x 的方程2
(3)24log log x x a +-=的根在区间（3,4）内，则a 的取值范围为______. 10.设集合1{420,},x x A a x R +=-+=∈若A 为单元素集，求实数a 的取值范围.。