(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳

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1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情

1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用.

2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15

注意:

研究函数单调性必须先求函数的定义域,

函数的单调区间是定义域的子集

单调区间不能并!

知识点一函数的单调性

1.单调函数的定义

1

2

2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间.

注意:

1、《名师一号》P16 问题探究 问题1

关于函数单调性的定义应注意哪些问题?

(1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值.

(2)函数的单调区间必须是定义域的子集;

(3)定义的两种变式:

设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1

()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;

3 1212

()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.

2、《名师一号》P16 问题探究 问题2

单调区间的表示注意哪些问题?

单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法

(1) 定义法:

利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1

②作差f (x 1)-f (x 2),并适当变形

(“分解因式”、配方成同号项的和等); ③依据差式的符号确定其增减性.

(2) 导数法:

设函数y =f (x )在某区间D 内可导.如果f ′(x )>0,则f (x )在区间D 内为增函数;如果f ′(x )<0,则f (x )在区间D 内为减函数.

注意:(补充)

(1)若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个,

4 则如果f ′(x )0≥,则f (x )在区间D 内为增函数; 如果f ′(x ) 0≤,则f (x )在区间D 内为减函数.

(2)单调性的判断方法:

《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法

定义法及导数法、图象法、

复合函数的单调性(同增异减)、

用已知函数的单调性等

(补充)单调性的有关结论

1.若f (x ),g (x )均为增(减)函数,

则f (x )+g (x )仍为增(减)函数.

2.若f (x )为增(减)函数,

则-f (x )为减(增)函数,如果同时有f (x )>0, 则()1f x 为减(增)

(减)函数.

3.互为反函数的两个函数有相同的单调性.

4.y =f [g (x )]是定义在M 上的函数,

若f (x )与g (x )的单调性相同,

则其复合函数f [g (x )]为增函数;

若f (x )、g (x )的单调性相反,

则其复合函数f [g (x )]为减函数.

简称”同增异减”

5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.

函数单调性的应用

《名师一号》P17 特色专题

(1)求某些函数的值域或最值.

(2)比较函数值或自变量值的大小.

(3)解、证不等式.

(4)求参数的取值范围或值.

(5)作函数图象.

二、例题分析:

(一)函数单调性的判断与证明

例1.(1)《名师一号》P16 对点自测 1

判断下列说法是否正确

(1)函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函数.()

(2)函数f(x)=1

x在其定义域上是减函数.()

(3)已知f(x)=x,g(x)=-2x,则y=f(x)-g(x)在定义域上是增函数.()

答案:√×√

例1.(2)《名师一号》P16 高频考点例1(1)

5

(2014·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()

A.y =x+1 B .y=(x -1)2

C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)

答案:A.

例2.(1)《名师一号》P16 高频考点例1(2)

判断函数f(x)=ax

x+1

在(-1,+∞)上的单调性,并证明.

法一:定义法

设-1

则f(x1)-f(x2)=

ax1

x1+1

ax2

x2+1

=ax1x2+1-ax2x1+1

x1+1x2+1

a x1-x2

x1+1x2+1

∵-1

∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0.

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