(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
★备考知考情
1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．
2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.
一、知识梳理《名师一号》P15
注意：
研究函数单调性必须先求函数的定义域，
函数的单调区间是定义域的子集
单调区间不能并！
知识点一函数的单调性
1.单调函数的定义
1
2
2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间.
注意：
1、《名师一号》P16 问题探究 问题1
关于函数单调性的定义应注意哪些问题？
(1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值．
(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；
(3)定义的两种变式：
设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①1212
()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；
3 1212
()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．
2、《名师一号》P16 问题探究 问题2
单调区间的表示注意哪些问题？
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法
(1) 定义法:
利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；
②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形
(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性．
(2) 导数法:
设函数y ＝f (x )在某区间D 内可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．
注意：(补充)
（1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，
4 则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 内为增函数； 如果f ′(x ) 0≤，则f (x )在区间D 内为减函数．
（2）单调性的判断方法：
《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法
定义法及导数法、图象法、
复合函数的单调性(同增异减)、
用已知函数的单调性等
(补充)单调性的有关结论
1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数，
则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数．
2．若f (x )为增(减)函数，
则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0， 则()1f x 为减(增)
(减)函数．
3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．
4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，
若f (x )与g (x )的单调性相同，
则其复合函数f [g (x )]为增函数；
若f (x )、g (x )的单调性相反，
则其复合函数f [g (x )]为减函数．
简称”同增异减”
5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
函数单调性的应用
《名师一号》P17 特色专题
(1)求某些函数的值域或最值．
(2)比较函数值或自变量值的大小．
(3)解、证不等式．
(4)求参数的取值范围或值．
(5)作函数图象．
二、例题分析：
（一)函数单调性的判断与证明
例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1
判断下列说法是否正确
(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．()
(2)函数f(x)＝1
x在其定义域上是减函数．()
(3)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．()
答案：√×√
例1.（2）《名师一号》P16 高频考点例1（1）
5
(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()
A．y ＝x＋1 B ．y＝(x －1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
答案：A.
例2.（1）《名师一号》P16 高频考点例1（2）
判断函数f(x)＝ax
x＋1
在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
法一：定义法
设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝
ax1
x1＋1
－
ax2
x2＋1
＝ax1x2＋1－ax2x1＋1
x1＋1x2＋1
＝
a x1－x2
x1＋1x2＋1
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
6
7
∴当a >0时，f (x 1)－f (x 2)<0，
即f (x 1)<f (x 2)，
∴函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．
同理当a <0时，f (x 1)－f (x 2)>0，
即f (x 1)>f (x 2)，
∴函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．
法二：导数法
注意：《名师一号》P17 高频考点 例1 规律方法
1.判断函数的单调性应先求定义域；
2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为： 取值—作差—变形—判号—定论，
其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；
3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视
（二）求复合函数、分段函数的单调性区间
例1.《名师一号》P16 高频考点 例2（1） 求函数y ＝x －|1－x |的单调增区间；
y ＝x －|1－x |＝⎩
⎨⎧
1，x ≥1，2x －1，x <1. 作出该函数的图象如图所示．
由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．
例2.（1）《名师一号》P16 高频考点例2（2）
(x2－4x＋3)的单调区间．
求函数y＝log1
3
解析:令u＝x2－4x＋3，
原函数可以看作y＝log1
u与u＝x2－4x＋3的复合函数．
3
令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3.
(x2－4x＋3)的定义域为
∴函数y＝log1
3
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，
在(3，＋∞)上是增函数．
而函数y＝log1
u在(0，＋∞)上是减函数，
3
8
9 ∴y ＝log13
(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，
单调递增区间为(－∞，1)．
注意：《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法
求函数的单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，
即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间． 例2.（2）(补充)21122
log 4log ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭y x x
答案：增区间：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；减区间：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
练习:()222log log y x x =-
答案：增区间：
)+∞
；减区间：(
10 （三）利用单调性解（证）不等式及比较大小 例1.（1）《名师一号》P17 特色专题 典例(1)
已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x
，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
【规范解答】 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x
在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，
∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，
当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，
即f (x 1)<0，f (x 2)>0.
例1.（2）《名师一号》P17 特色专题 典例(2)
已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧
x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式 f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )
A ．(2,6)
B ．(－1,4)
C ．(1,4)
D ．(－3,5)
11
【规范解答】作出函数f (x )的图象，
如图所示，则函数f (x )在R 上是
单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，
可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，
即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，
所以不等式的解集为(－1,4)．
注意:本例分段函数的单调区间可以并!
（四）已知单调性求参数的值或取值范围
例1.(1)《名师一号》P17 特色专题 典例(3)
已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩满足对任意的实数
x 1≠x 2，都有1212
()()0-<-f x f x x x 成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫138，2
12
【规范解答】函数f (x )是R 上的减函数，
于是有⎩⎪⎨⎪⎧
a －2<0，a －2×2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－1，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，138.
例2.(1) （补充）如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间 (－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
[答案] [－14
，0] [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a ，
因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解
得－1
4
≤a<0.综上所述－
1
4
≤a≤0.
例2.(2)（补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是()
A．(－∞，0]B．[－2,2] C．{2} D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析]f′(x)＝3x2－6a，
若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；
若a>0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a 时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－2a<x<2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，
∴a＝2.
变式：若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)单调递减，
则a的取值范围是？
13
14
[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)
和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分． 本例亦可用x ＝±2是方程f ′(x )＝3x 2－6a ＝0的两根 解得a ＝2.
例2.(3) （补充） 若函数)2,3()(log )(32
1---=在ax x x f 上单调递减， 则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．[9，12]
B ．[4，12]
C ．[4，27]
D ．[9，27]
答案：A
温故知新P23 第9题
若函数()()
2
12log 3=-+f x x ax a 在区间 [)2,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 《计时双基练》P217 基础7
《计时双基练》P217 基础8、10
15 8、设函数()12+=+ax f x x a
在区间()2,-+∞上是增函数, 那么a 的取值范围是
答案: [)1,+∞
10、设函数()()=≠-x
f x x a x a
（2）若0>a 且()f x 在区间()1,+∞内单调递减, 求a 的取值范围.
答案: [)1,+∞
（五）抽象函数的单调性
例1.（补充）已知f (x )为R 上的减函数，那么满足 f (|1
x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案：C
16 解析：因为f (x )为减函数，f (|1x |)<f (1)，所以|1x
|>1，则|x |<1且x ≠0，即x ∈(－1,0)∪(0,1)．
练习：()y f x =是定义在[]
1,1-上的增函数， 解不等式2(1)(1)f x f x -<-
答案：()0,1
温故知新 P12 第8题
注意：
解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解
例2. 《计时双基练》P216 培优4
函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切0,0>>x y 都有()()()=-x f f x f y y
，当1>x 时，有()0>f x 。

（1） 求(1)f 的值；
17
（2） 判断()f x 的单调性并加以证明；
（3） 若(4)2=f ，求()f x 在[]1,16上的值域.
答案:单调增; []0,4
注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义
练习: 《计时双基练》P218 培优4
函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切,∈x y R 都有()()()+=+f x f y f x y ，当0>x 时，有()2
()0,13<=-f x f .
(1)求证: ()f x 在R 上是减函数；
(2)求()f x 在[]3,3-上的最大值与最小值.
答案: 2;2-
课后作业
一、 计时双基练P217 基础1-10
课本P16-17变式思考1、2；
18
二、 计时双基练P217 基础11、培优1-4
课本P18对应训练1、2、3
预习 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性 补充：
练习1：
函数f (x )＝⎩
⎨⎧
－x ＋3a ， x <0a x ， x ≥0(a >0且a ≠1) 是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．[13，1)
C ．(0，13]
D ．(0，23
]
分析：f (x )在R 上为减函数，故f (x )＝a x (x ≥0)为减函数，可知0<a <1，又由f (x )在R 上为减函数可知，f (x )在x <0时的值恒大于f (x )在x ≥0时的值，从而3a ≥1.
解析：∵f (x )在R 上单调递减，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1，3a ≥1.
∴13≤a <1. 答案：B
19 练习2：
已知f (x )＝⎩⎨⎧
(3－a )x －4a (x <1)log a x (x ≥1)
是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，3)
C ．[35
，3) D ．(1,3)
[答案] D
[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1 ①，又由f (x )在(－∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3 ②，又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值
0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35
③，由①②③可得1<a <3.
解法2：令a 分别等于35
、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D.
[点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，
20 x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．
练习3：
若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．
单调函数，则实数k 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．[1，32
) C ．[1,2) D ．[32
，2)
[答案] B
[解析] 因为f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12
. 据题意，⎩⎪⎨⎪⎧
k －1<12<k ＋1k －1≥0，
21 解得1≤k <32
，选B.
练习4:
已知函数32
2312y x ax x =++
(1) 若函数在R 上是单调增函数，则a 的取值范围是 .
解析:若函数在R 上是单调增函数 {}()0R x f x '⇔=≥
因为26612y x ax '=++开口方向向上，
所以0,∆≤即()
236420,a -⨯≤即
a -≤≤
（2）已知函数322312y x ax x =++，若函数的单调递
减区间是()1,2，则a 的值是 .
解析:若函数的单调递减区间是
()1,2{}(1,2)()0x f x '⇔=<
26612y x ax '=++
所以1,2是方程266120x ax ++=的两个实数根,由韦达
22 定理，12,3a a +=-∴=-
(3)若函数在[2,)+∞上是单调增函数，则a 的取值范围
是 .
解析:若函数在[2,)+∞上是单调增函数
[){}2,()0x f x '⇔+∞⊆≥
分类讨论：
① 当,0≤∆即()236420,a -⨯≤即
a -≤≤条件成立；
②
当02423
(2)0a a a a a f ∆>⎧⎧><
-⎪⎪⎪-<⇔>-⎨⎨⎪⎪
≥-⎩'≥⎪⎩，
即 3a -≤<-或a >
综上，3a ≥-条件成立，3-≥a 为所求.。