运筹学多目标规划
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多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
运筹学10-目标规划
X1 , X2 , di- , di+≥ 0 (i=1,2,3,4)
提纲
• 多目标决策问题 • 多目标规划问题解的概念 • 目标规划的建模 • 目标规划的图解法
目标规划的图解法
• 对于只有两个决策变量的目标规划问题，可以考虑用 图解法来求解。在用图解法求解时，首先必须满足所 有的绝对约束(硬约束)，然后，在此基础上按照优先 级的次序逐个考虑各个目标约束，以缩小解的范围。
例1续：目标规划图解法
• 例1（续）：用图解法求解例1，取 W33=2,W34=1
min Z=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-) X1+X2 +d1- -d1+=40 X1 +X2+d2- -d2+=50 X1+d3- -d3+=24 X2 +d4- -d4+=30
X1 , X2 , di- , di+≥ 0 (i=1,2,3,4)
目标规划解的概念
• 有效解(非劣解)：X* 为一个解，如果不存在一个解 Y，使得 Y 的任何一个目标函数值都不劣于 X* 相 应的目标函数值，并且 Y 至少有一个目标函数值严 格优于 X* 相应的目标函数值，则 X* 称为有效解 或者非劣解。
• X* 为有效解的意思是说找不到其他任何解在所有 目标上均优于X* 。
实际量＋ d－－ d+ = 目标值
负偏差变量 (实现值没有达到理想值的部分)
正偏差变量 (实现值超过理想值的部分)
最好等于： 最好不大于： 最好不小于：
Min d − + d + Min d + Min d −
提纲
• 多目标决策问题 • 多目标规划问题解的概念 • 目标规划的建模 • 目标规划的图解法
提纲
• 多目标决策问题 • 多目标规划问题解的概念 • 目标规划的建模 • 目标规划的图解法
目标规划的图解法
• 对于只有两个决策变量的目标规划问题，可以考虑用 图解法来求解。在用图解法求解时，首先必须满足所 有的绝对约束(硬约束)，然后，在此基础上按照优先 级的次序逐个考虑各个目标约束，以缩小解的范围。
例1续：目标规划图解法
• 例1（续）：用图解法求解例1，取 W33=2,W34=1
min Z=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-) X1+X2 +d1- -d1+=40 X1 +X2+d2- -d2+=50 X1+d3- -d3+=24 X2 +d4- -d4+=30
X1 , X2 , di- , di+≥ 0 (i=1,2,3,4)
目标规划解的概念
• 有效解(非劣解)：X* 为一个解，如果不存在一个解 Y，使得 Y 的任何一个目标函数值都不劣于 X* 相 应的目标函数值，并且 Y 至少有一个目标函数值严 格优于 X* 相应的目标函数值，则 X* 称为有效解 或者非劣解。
• X* 为有效解的意思是说找不到其他任何解在所有 目标上均优于X* 。
实际量＋ d－－ d+ = 目标值
负偏差变量 (实现值没有达到理想值的部分)
正偏差变量 (实现值超过理想值的部分)
最好等于： 最好不大于： 最好不小于：
Min d − + d + Min d + Min d −
提纲
• 多目标决策问题 • 多目标规划问题解的概念 • 目标规划的建模 • 目标规划的图解法
运筹学多目标规划(2)
0 λ
-1/4 1/4
主元运算：第二行加上第三行（-2）倍
0 x1 -P1 0 d1d2x1 P1 P2 0 0 1 0 x2 1 2 1/2 0 d1+ -1 0 0 -P1 -5p2 0 d1- d2+ d21 0 0 0 -1 0 0 1 0 -p2 d3+ 3/2 1/2 -1/4 0 d30 -1/2 1/4 100 40 30
第二行除以2
0 x1 -P1 0 d1x2 x1 P1 P2 0 0 1 0 0 0 x2 1 1 1/2 1 0 0 d1+ -1 0 0 -1 0 -P1 -5p2 0 d1- d2+ d21 0 0 0 0 0 0 -p2 d3+ 0 d320 30
3/2 -3/2 100
0 λ
-1/2 1/2 1/4 -1/4 0 0 -1/4 1/4 0 -5 0 0 3/2 -3/2 -1 0
0 λ
1/2 0
-1/4 1/4
主元运算：第一行加上第三行（-6）倍
0 x1 -P1 0 d1 d2 d3 P1 P2 0 2 1 0 x2 1 3 1/2 0 d1+ -1 0 0 -P1 -5p2 d1 1 0 0 0 -p2 d3 + 0 d3 -
d2 + d2 0 -1 0 0 1 0
3/2 -3/2 100 0 0 100 30
0 λ
0 x1 -P1 0 d1 d2 x1 P1 P2 0 0 1 0 0
0 x2 1 (2) 1/2 1 0
0 d1+ -1 0 0 -1 0
-P1 -5p2 d1 1 0 0 0 0
0
-p2 d3 +
0 d3 -
多目标规划(运筹学)
09:18
3
目标规划模型的约束和目标 目标规划模型里，目标被描述成了约束条件 约束分为软约束和硬约束
硬约束：必须得到满足的条件 软约束（目标约束）：描述模型目标的约束条件
硬约束必须得到满足 目标规划模型的目标是各个目标约束满足程 度的偏差量的加权和
09:18
4
目标约束建模：
如一个管理者构建了一个劳动力工时的目标，则：
阅读材料：
书P153，例7-1 书P160-161，7-3节
09:18
13
第二节 层次分析法
多准则决策问题(multi-criterion decision making problems) 可分为:
多目标决策问题(multi-objective decision making problem)：决策变量是连续的，备选方案有无限多。如 目标规划可以解决此类问题。
主要内容
了解目标规划与线性规划的相同点与不同点 掌握建立目标规划模型的方法 可用图解法解决有两决策的目标规划 掌握用描述层次分析法解决的问题 熟悉用AHP计算每个方案的一致性比例、优 先级百分比和优先级分数方法
09:18
1
第一节 目标规划
目标规划的来源
管理层的目标通常包括下面一些内容：
▪保持稳定的利润 ▪增加市场份额 ▪多样化产品线 ▪保持价格稳定
12x1+9x2+15x3+u1-v1=125 5x1+3x2+4x3+u2-v2=40 5x1+7x2+8x3+u3-v3=55 xi0, ui 0, vi0
09:18
8
LINDO中数据输入为
Min 5u1+2v2+4u2+3v3 St 12x1+9x2+15x3+u1-v1=125 5x1+3x2+ 4x3+u2-v2=40 5x1+ 7x2+ 8x3 +u3-v3=55 end
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
运筹学基础-目标规划
5.2 应用举例
[例1]某电子厂生产录音机和电视机两种产品，分别经由甲、乙两个车间生产。已知除外购件外，生产一台录音机需甲车间加工2h，乙车间装配1h；生产一台电视机需甲车间加工1h，乙车间装配3h；两种产品需检验、销售环节，每台录音机检验销售费用需50元，每台电视机检验销售费用需30元。又甲车间每月可用工时为120h，车间管理为80元/h，乙车间每月可用工时为150h，车间管理为20元/h。估计每台录音机利润100元，每台电视机利润75元，又估计下一年度内平均每月可销售录音机50台，电视机80台。 该厂的月度目标为
4、用EXCEL求解下列目标规划问题：
x =（10，20，10）
5、用EXCEL解以下目标规划模型
5、x1=12, x2=10, =14, Z=14p4
答案：
工序
型号
每周最大加工能力
A
B
Ⅰ（小时/台） Ⅱ（小时/台）
4 3
6 2
150 50
利润（元/台）
300
450
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： p1: 每周总利润不得低于10000元； p2: 因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至少生产15台； p3: 希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。 试建立这个问题的目标规划模型。
+ P3 ( 6d1- +5 d2- )
+ P4d6+
+ P6(6d4+＋5d5+)
（1）甲、乙两厂设备运转时间约束： 甲的总时间为8×12×25=2400（h），乙的总工作时间为16×7×25=2800（h），则：
2.5x1 +1.5x2 +d2- –d2+ ＝ 2800
高等教育运筹学课程多目标规划
每月销售唱机不少于80台 X2 + d3 d3+=100
每月销售录音机为100台 2X1+ X2+ d4 d4+=180
不使A车间停工 X1+ 3X2+ d5 d5+=200
不使B车间停工 d4++ d41 d41+=20
A车间加班时间限制在20小时内 X1;X2;d ; d + ;d41;d41+ 0i=1;2;3;4;5
6X1+4X2+ d1 d1+=280 2X1+3X2+ d2 d2+=100 4X1+2X2+ d3 d3+=120
X1;X2;di; di+ 0i=1;2;3
练习1
某车间有A B两条设备相同的生产线;它们 生产同一种产品 A生产线每小时可制造2件 产品;B生产线每小时可制造1 5件产品 如果 每周正常工作时数为45小时;要求制定完成 下列目标的生产计划：
产品 /资源
甲
原材料钢 （吨）
2
加工时间（小时）
4
单位利润（百元）
6
可利用
乙
的资源
总量
3
100
2
120
4
解：设生产甲产品X1件;乙产品X2件;则应用线性规划;建立模 型如下：
MAX Z=6X1+4X2 2X1+3X2<100 4X1+2X2<120 X1 X2 > 0
用单纯形法求得最优解=20;20；最优值=200百元
0 0 1/2 5/4
最终单纯形表为：
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
每月销售录音机为100台 2X1+ X2+ d4 d4+=180
不使A车间停工 X1+ 3X2+ d5 d5+=200
不使B车间停工 d4++ d41 d41+=20
A车间加班时间限制在20小时内 X1;X2;d ; d + ;d41;d41+ 0i=1;2;3;4;5
6X1+4X2+ d1 d1+=280 2X1+3X2+ d2 d2+=100 4X1+2X2+ d3 d3+=120
X1;X2;di; di+ 0i=1;2;3
练习1
某车间有A B两条设备相同的生产线;它们 生产同一种产品 A生产线每小时可制造2件 产品;B生产线每小时可制造1 5件产品 如果 每周正常工作时数为45小时;要求制定完成 下列目标的生产计划：
产品 /资源
甲
原材料钢 （吨）
2
加工时间（小时）
4
单位利润（百元）
6
可利用
乙
的资源
总量
3
100
2
120
4
解：设生产甲产品X1件;乙产品X2件;则应用线性规划;建立模 型如下：
MAX Z=6X1+4X2 2X1+3X2<100 4X1+2X2<120 X1 X2 > 0
用单纯形法求得最优解=20;20；最优值=200百元
0 0 1/2 5/4
最终单纯形表为：
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
运筹学第四章多目标规划
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
di+= fi(X)-fi(0) fi(X)>fi(0)
0
fi(X)fi(0)
负偏差变量（di-）：
实际决策值低于第i个目标值的数量
di-= 0
fi(X)fi(0)
fi(0) -fi(X) fi(X)<fi(0)
di+0 说明实际值超过目标值 则di-=0
di-0 说明实际值低于目标值 则di+=0
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21 .7.221. 7.2Frid ay , July 02, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。23:46:4423 :46:442 3:467/2 /2021 11:46:44 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 7.223:4 6:4423:46Jul-2 12-Jul- 21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。23:46:4423:4 6:4423:46Friday , July 02, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.7.221.7.22 3:46:44 23:46:4 4July 2, 2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年7月 2日星 期五下 午11时4 6分44 秒23:46:4421.7. 2 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年7月下 午11时 46分21 .7.223:46July 2, 2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021 年7月2 日星期 五11时4 6分44 秒23:46:442 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午11时4 6分44 秒下午1 1时46 分23:46:4421.7. 2
管理运筹学第4章-目标规划
多目标决策问题
多目标规划的矩阵表示： 多目标规划的矩阵表示：
max Z = CX
AX ≤ b
X ≥0
z1 z 其中： 其中： Z = 2 M zm
C = (cij )m×n c11 c = 21 M c m1 c12 c 22 cm 2 L c1n L c2n M L c mn
目标规划的数学模型---相关概念
1、设 x1 , x 2 为决策变量，此外，引进正负偏差变 量 d i+ d i−
d i+ 表示： 决策值超过目标值的部分。 正偏差变量
负偏差变量 d i−表示： 决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值又同时未达到目标值， 即恒有 d + × d − = 0
例：LP----目标规划：加入正负偏差变量
目标规划的数学模型---相关概念
3、优先因子（优先等级）与权系数 依据达到目标的主次或轻重缓急而存在的系数（权）。
要求第一个达到的目标赋予优先因子P1，次位目标P2 …… 并规定PK > PK+1……，表示更大的优先权。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，此时可 以分别赋予它们不同的权系数 wi
+ i
目标规划的一般数学模型—p103
− + min z = ∑ Pl ∑ ( wlk d k− + wlk d k+ ) l =1 k =1 L K
式中，
− + wlk , wlk 为权系数
n c kj x j + d k− − d k+ = g k , k = 1K K ∑ j =1 n a x ≤ (=, ≥)b , i = 1L m i ∑ ij j j =1 x j ≥ 0, j = 1L n − + d k , d k ≥ 0, k = 1L K
运筹学课件 第五章多目标规划
目标3 ：应尽可能利用现有设备，但不希望加班； 目标4 ：应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
管理运筹学目标规划
设d1-未到达利润目旳旳差值, d1+ 为超出目旳旳差值
当利润不不小于3200时,d1－＞０且d1＋＝0,有
40x1+30x2+50x3+d1－=3200成立
当利润不小于3200时，d1＋＞０且d1－＝０，有
40x1+30x2+50x3-d1+=3200成立
当利润恰好等于3200时，d1－=０且d1+=0,有
试求一种投资方案，使得一年旳总投资风险不高于700，且投资收 益不低于10000元。用来全部投资一种股票两个目旳不能同步到达.
管理运筹学
13
§2 目旳规划旳图解法
显然，此问题属于目旳规划问题。它有两个目旳变量：一是 限制风险，一是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目旳 旳优先权。
假设第一种目旳（即限制风险）旳优先权比第二个目旳（确 保收益）大，这意味着求解过程中必须首先满足第一种目旳， 然后在此基础上再尽量满足第二个目旳。
min
d
3
x3
d
3
d
3
30
管理运筹学
10
§1 目的规划问题举例
（4） 设d4ˉ 、d4+为设备A旳使用时间偏差变量, d5ˉ、d5+为设备
B旳使用时间偏差变量，最佳不加班旳含义是 d4+ 和d5+同步取最 小值，等价 于d4+ + d5+取最小值，则设备旳目旳函数和约束为：
min
d
4
6
§1 目的规划问题举例
目前决策者根据企业旳实际情况和市场需求，需要重新制 定经营目旳，其目旳旳优先顺序是：
（1）利润不少于3200元 （2）产品甲与产品乙旳产量百分比尽量不超出1.5 （3）提升产品丙旳产量使之到达30件 （4）设备加工能力不足能够加班处理，能不加班最佳不加班 （5）受到资金旳限制，只能使用既有材料不能再购进
运筹学知识点总结归纳
运筹学知识点总结归纳运筹学知识点总结归纳一、引言运筹学是一门综合运用数学、统计学和优化理论等相关知识解决实际问题的学科。
它的一个核心目标是在给定的约束条件下，使系统达到最佳状态。
本文将对运筹学的一些基本概念、方法和应用进行总结归纳，以便读者对这门学科有更深入的了解。
二、线性规划线性规划是运筹学中最基本、最常见的数学模型之一。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的。
通过线性规划，我们可以最小化或最大化一个目标函数来寻找最优解。
常见的线性规划方法有单纯形法、对偶法和内点法等。
三、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式。
在整数规划中，决策变量的取值限制为整数。
这种限制使问题更加复杂，通常需要使用分支定界法、割平面法等算法来求解。
整数规划在许多实际问题中有广泛的应用，如生产调度、路径优化等。
四、网络流问题网络流问题是运筹学中一个重要的研究方向。
在网络流问题中，节点和边表示物理或逻辑上的位置，流量沿边流动，目标是最大化总流量或最小化总成本。
常见的网络流问题有最小费用流问题、最大流问题等。
在实际应用中，网络流问题可以用于交通规划、供应链管理等领域。
五、排队论排队论是研究队列系统的数学理论。
队列是指一组按照某种顺序排列的实体，而排队论则是研究这些实体如何进入和离开队列的过程。
通过排队论，可以估计系统的性能指标，如平均等待时间、系统利用率等。
排队论在交通管理、生产调度等领域有广泛的应用。
六、决策分析决策分析是运筹学中的一个重要分支，旨在通过分析问题的数据和信息，寻找最优的决策方案。
决策分析中常用的工具包括决策树分析、多属性决策等。
通过决策分析，我们可以对风险进行评估，并为决策者提供有力的支持。
七、多目标规划多目标规划是一种同时优化多个目标函数的决策问题。
在多目标规划中，不同的目标可能相互冲突，无法简单地将其转化为单一目标。
解决多目标规划问题的方法有权重法、向量法等。
多目标规划在工程设计、投资组合等领域有广泛的应用。
运筹学目标规划
单目标规划 例5-2:某工厂生产A，B两种产品，有关数据如下。实现目标利润为140万元的最优生产方案
设备(台时) 原材料(KG) 利润(万元)
A
B
4
2
2
4
8
6
可用量 60 48
从决策者的角度看，他希望超过利润目标值，若达不到，也希望尽可能接近，即负偏差最 小
min Z d -
8 x 6 x - d d - 140
第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
• 线性规划的局限性 ▪ 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题
• 实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 ▪ 生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 ▪ 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
• 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小的；有定量的，有定性的；有互相补 充的，有互相对立的，LP则无能为力
例：甲乙产品的最优生产计划。
资源
产品
甲
乙
设备A
2
0
设备B
0
2
设备C
3
4
单位利润
3
5
现有资源 16 10 32
• 根据市场需求/合同规定： ▪ 希望尽量扩大甲产品 ▪ 减少乙产品产量。
• 又增加二个目标：
maxZ1=3x1+5x2 maxZ2=x1 minZ3=x2
2x1 ≤16 2x2 ≤10
3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
根据市场预测：
maxZ1=70 x1 + 120x2 minZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
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f
f1(x)
f2(x)
0
x1* Rpa* x2*
x
§2 多目标规划模型及其解的概念
定义4 设 ∈R，若不存在X∈R，使 F(X)<F( )， 则称 为问题的弱有效解。其全体记为 。
注：有效解必是弱有效解。
f
f1(x
)
f2(x
)
0
x
Rwp *
§2 多目标规划模型及其解的概念
两个目标的最大化问题： f2 D
• 全序与半序: 方案di与dj之间 单目标问题: di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况 是不可比较大小
• 决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对 目标的偏好。
• 解概念区别
单目标决策的解只有一种（绝对）最优解; 多目标决策的解有下面三种情况： ➢ 绝对最优解
决策变量：甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2 约束条件：
§2 多目标规划模型及其解的概念
目标函数：何为最佳？ （1）总花费最小： min f1(x1,x2)=4x1+2x2 （2）糖的总数量最大： max f2(x1,x2)=x1+x2 （3）甲级糖的数量最大： max f3(x1,x2)=x1
多目标规划问题
C B
A 0
劣解与有效解
E f1
§2 多目标规划模型1 最优点集合。 定理2
f
0
，其中 为单目标 fi (X) 上
f1(x) R1R* pa*= RabR*2*
f2(x)
Rwp *
x
§2 多目标规划模型及其解的概念 多目标规划——解的关系 定理3 定理4
§2 多目标规划模型及其解的概念 多目标规划——解的关系 例1 下图中，R1*=｛x1｝，R2*=｛x2｝，
d1
80
75
88
有效解
d2
75
81
85
有效解
d3
76
78
89
有效解
d4
78
74
86
劣解
§2 多目标规划模型及其解的概念
一、多目标规划举例
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别为4 元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计划总 花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不少于5 斤。问如何确定最佳的采购方案。
f
f1(x
) f2(x
)
0
x*
x
绝对最优解示意图 注：绝对最优解往往不存在！
§2 多目标规划模型及其解的概念
定义2 设X0∈R，若存在另一个可行解X1∈R，有 F(X1) ≤ F(X0)，则称可行解X0相对于X1来说是劣解 。注：决策中，劣解不会被考虑！
定义3 设 ∈R，若不存在X∈R，使F(X)≤F( )， 则称 为问题的非劣解，又称有效解，或Pareto解。 其全体记为 。
数学
外语
专业
解的类型
d1
80
75
88
d
75
81
85
2
d
76
78
89
3
d4
85
82
92
绝对最优解
d5
78
74
86
• 解概念区别 单目标决策的解只 有一种（绝对）最优解; 多目标决策的解有下面三种情况：
➢ 绝对最优解 ➢ 劣解（如d4劣于d1 ） ➢ 有效解(pareto解)——非劣解
数学
外语
专业
解的类型
向量数学规划 (Vector
Mathematical Programming)
§2 多目标规划模型及其解的概念
一、多目标规划举例 二、多目标规划的模型 三、多目标规划解的概念
§2 多目标规划模型及其解的概念 三、多目标规划解的概念
§2 多目标规划模型及其解的概念
定义1 设X*∈R，若对任意X∈R，均有 F(X*)≦F(X)，则称X*为问题（VMP）的 绝对最优解。其全体记为R*ab 。
f
f1(x)
f2(x)
0
x1 Rpa* x2
x
§2 多目标规划模型及其解的概念
多目标规划——解的关系
R
Rab*=Rpa*
Rp*a R2* R1*
R1* R
Rwp*
R2*
R3*
p=3 Rab*=φ
p=3 Rab*≠φ
多目标规划
§1 多目标决策简介 §2 多目标规划模型及其解的概念 §3 多目标规划的解法
约束条件：
§2 多目标规划模型及其解的概念 目标函数：何为最佳的经济效益？
（1）收益最大： （2）投资最少：
多目标0-1规划问题
§2 多目标规划模型及其解的概念 二、多目标规划的模型
决策变量： 目标函数：
…
约束条件：
§2 多目标规划模型及其解的概念 多目标规划模型的向量表达形式
记：
则模型为： 或
§3 多目标规划的解法
➢ 求：有效解或弱有效解
➢ 方法分类
评价函数法 目标排序法
➢ 准备工作：目标函数规范化
其中
§3 多目标规划的解法
一、评价函数法 :
§3 多目标规划的解法
§3 多目标规划的解法
§3 多目标规划的解法
一、评价函数法 1. 线性加权和法 2. 理想点法 3. 目标规划法
二、目标排序法
§2 多目标规划模型及其解的概念
例2【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资 金A万元，今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第 i (i=1,…,n) 个项目要用资金ai 万元，预计可得到 收益bi万元。问应如何使用总资金A万元，才能 得到最佳的经济效益？
解：令
1， 投资第i个项目
xi = 0，不投资第i个项目
运筹学多目标规划
2020/9/10
§1 多目标决策简介
一、多目标决策问题实例
• 干部评估－德、才兼备 • 教师晋升－教学、科研、论文等 • 购买冰箱－价格、质量、耗电、品牌等 • 球员选择－技术、体能、经验、心理 • 找对象－容貌、学历、气质、家庭状况
§1 多目标决策简介
二、多目标决策与多目标规划
多目标决策
多目标规划
（ Multiple Objective Programming ， 决策变量连续）
多准则决策
（ Multiple Criteria Decision Making，决策变量离散，即有限方案 ）
§1 多目标决策简介
三、多目标决策与单目标决策区别
• 点评价与向量评价 单目标： 方案dj ←评价值f(dj) 多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))
§3 多目标规划的解法
三种
§3 多目标规划的解法
§3 多目标规划的解法
➢ 确定权系数常用方法：特尔菲法、层次分 析法、α-法
➢α-法的步骤（以两个目标为例）：
U［F(X)］=α1f1(X)+α2f2(X)
(1) 求解单目标优化问题 (问题一)
，记
(问题二)
，记
§3 多目标规划的解法 （2）α-方法的出发点：U［F(X1)］=U［F(X2)］