第一章 质点运动学

第一章 质点运动学习题答案 1-1 质点做直线运动，运动方程为

2126x t t =-

其中t 以s 为单位，x 以m 为单位，求：(1)t ＝4s 时，质点的位置、速度和加速度；(2)质点通过原点时的速度；(3)质点速度为零时的位置；(4) 做出x -t 图、v -t 图、a -t 图.

解：(1) 根据直线运动情况下的定义，可得质点的位置、速度和加速度分别为 2

126x t t =- （1） 1212dx

v t dt

=

=- （2） 2212d x

a dt

==- （3）

当t ＝4s 时，代入数字得：48x =-m 36v =-m/s 12a =-m/s 2

（2）当质点通过原点时，x ＝0，代入运动方程得：2

126t t -＝0 解得：120,2t t ==，代入（2）式得： 112v =m/s 2v =－12m/s

(3) 将0v =代入（2）式，得12120t -= 解得：1t =s 代入（1）式得：x =12m －6m=6m 1.2一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =

2

1t 2

+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度.

解：（1）

j t t i t r

)432

1()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有

j i r

5.081-= m

j j r

4112+=m j j r r r

5.4312+=-=∆m

(3)∵ j i r j j r

1617,4540+=-=

∴ 104s m 534

201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j

i r r t r v (4) 1s m )3(3d d -⋅++==j t i t

r

v 则 j i v 734+= 1

s m -⋅

(5)∵ j i v j i v

73,3340+=+=

204s m 14

44-⋅==-=∆∆=j v v t v a (6) 2s m 1d d -⋅==j t

v

a 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量.

1-4 一质点沿一直线运动，其加速度为2a x =-，式中x 的单位为m ，a 的单位为m/s 2

,试求该质点的速度v 与位置坐标x 之间的关系.设0x =时，0v ＝4m/s 解：依题意

2dv dv dx dv a v x dt dx dt dx

=

===- 0

2x

v v xdx vdv -=⎰

⎰

积分得 2

2

201()2

x v v -=- 22302162v v x x =

-=-

1-5质点沿直线运动，加速度2

4a t =-，如果当t ＝3时，9x =，2v =，求质点的运动方程. (其中a 以m/s 2

为单位，t 以s 为单位，x 以m 为单位，v 以m/s 为单位) 解：加速度表示式对t 积分，得

301

43v adt t t v ==-++⎰

4

2001212

x vdt t t v t x ==-

+++⎰ 将t ＝3s ，x ＝9m ，2v =m/s 代入以上二式，得积分常数01v =-m/s ，0x ＝0.75m ，则

3421

41

3

1

20.75

12

v t t x t t t =-+-=-+-+

1-6 当物体以非常高的速度穿过空气时，由空气阻力产生的反向加速度大小与物体速度的平方成反比，即2

a kv =-，其中k 为常量. 若物体不受其他力作用沿x 方向运动，通过原点时的速度为0v ，试证明在此后的任意位置x 处其速度为0kx v v e -=.

解：根据加速度定义得：

2dv a kv dt ==-，因dv dv dx dv a v dt dx dt dx

===，代入上式，分离变量，整理后得：1

dv kdx v

=-，应用初始条件00,x v v ==，两边积分得

00

1v

x v dv kdx v =-⎰⎰ 得 0ln v v kx =- 即 有：0kx

v v e -= 1-7试写出以矢量形式表示的质点做匀速圆周运动的运动学方程，并证明做匀速圆周运动质

点的速度矢量v 和加速度a 矢量的标积等于零，即0

v a = 解：以直角坐标表示的质点运动学方程为

cos ,sin x R t y R t ωω==

以矢量形式表示的指点运动学方程为

cos sin R t R t ωω=+r i j

速度和加速度分别为

sin cos dr

R t R t dt

ωωωω=

=-+v i j 22cos sin R t R t ωωωω=--a i j

所以 0

v a = 1-8一质点在xoy 平面内运动，其运动方程为cos sin a t b t ωω=+r i j ，其中,,a b ω均为大于零的常量.

解：（1）质点在任意时刻的速度sin cos d a t b t dt

ωωωω=

=-+r

v i j （2）由cos ,sin x a t y b t ωω==

消去t ，可得轨道方程

22

221x y a b

+= 可见是椭圆方程，表明质点作椭圆运动 （3）加速度22(cos sin )=d a t b t dt

ωωωω=

=-+-v

a i j r 因为2

ω>0，所以a 的方向恒与r 反向，即a 恒指向椭圆中心.