初中数学图形运动问题动点问题
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• 1.读题，找出已知条件和未知条件。 • 2.确定运动元素有几个，确定每个运动元素的起点、终点
、速度、时间和路程。 • 3.确定问题中所求函数解析式的几何图形，并画出图形。 • 4.根据问题中所求的几何图形，确定等量关系，如三角形
的面积、周长公式等。有时可能用到分割或框图的方法。 • 5.设运动时间为未知数，并用这个未知数表示等量关系中
CD，CD垂直DE，DE垂直EF，ED垂直AF，动点Q沿A至B
至C至D至E至F运动，到F停止运动，速度为2个单位每
秒，已知AF=6，EF=8，AB=4，BC=3，设运动时间为x
秒，三角形AQF的面Q积为S，Q求SQ与x的函数关系式。
DQ
E
BQQ Q Q
Q
C
Q
A
F
如图，在组合图形ABCDEF中，AB垂直BC，BC垂直
CD，CD垂直DE，DE垂直EF，EF垂直AF，动点Q沿A至B
至C至D至E至F运动，到F停止运动，速度为2个单位每
秒，已知AF=6，EF=8，AB=4，BC=3，设运动时间为x
秒，三角形AQF的面Q积为S，Q求SQ与x的函数关系式。
DQ
E Q
BQQ Q Q
Q
C
Q
A
F
解运动问题的一般步骤：求函数解析式型
找出一个基本关系式，把相关的量用一个自 变量的表达式表达出来。
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形， 点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原 点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）
（1）点A的坐标是
沿正方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
②点P在运动过程中到边AD的距离发生怎样
的变化？
D
C
P
AP
PB
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（4）当t为何值时，S等于正方形ABCD面积
的八分之一。
D
CD
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
如图，在组合图形ABCDEF中，AB垂直BC，BC垂直
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
AP
B
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
A
B
P
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
：2.
P
A 三分之一A三B 分之二AB
B
P
P
A
B
1×t 1×t
思考：如果将问题中的比值改为：1：1，1：3或1：4将如何求t 值。
例2.如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90度 ，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A出发，以 1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向B运动。其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动。从运动开始，经过多 少时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯 形？成为直角梯形？
变化的量。有时会用到勾股定理、三角函数、相似的相关 知识。 • 6.根据等量关系列出函数关系式，注意一般动点每经过一 条线段就有一个函数解析式，另外要写清自变量的取值范 围。
解决图形运动问题
策略是：
“以静制动”，把动态问题，变为静态问题, 抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
关键是：
明确运动路径、运动速度、起始点、终点，从而确 定自变量的取值范围，画出相应的图形。
有关图形运动问题大体有三种 点的运动 线的运动 图形的运动
运动问题从所求问题来看，大体分 为两类：
•一.求运动时间型。
•二.求函数解析式型。
例1.已知线段AB长为20厘米，动点P从A
出发以每秒1厘米的速度向点B运动，当点P到
达点B时停止运动，设运动时间为t秒，当t为
何值时点P将线段AB分成的两部分的比值为1
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（1）P点在运动过程中
①动点P到点A、点D的距离AP、PD的长度发生怎样
的变化？
D
C
P
AP
B
P
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
（3）以下能大致反映S与t的函数图象的是（ A ）
0 24 6 0246 0 24 6 0 2 4 6
D
CD
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
P
A
B
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，
现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（2）设△APD的面积为S，求S关于t的
函数关系式，并写出t 的取值范围；
D
CD
,点C的坐标是
（2）当t= ＿
秒或
＿
秒时，MN=
1
2
AC
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
y
（4）:（3）中得到的函数 S有没有最大值？若 m
P P PP
D
A
B Q EQ
C Q FQ
解运动问题的一般步骤：求运动时间型。
• 1.读题找出已知条件和未知条件。 • 2.确定运动元素有几个，确定每个运动元素
的起点、终点、速度、时间和路程。 • 3.从问题入手，思考符合问题的情况有几种
，画出图形。 • 4.找出每种情况的等量关系，通常是线段的
等量关系，有时周长、面积等也可作为等量 关系。 • 5.设运动时间为未知数，并用这个未知数表 示等量关系中的每一个量。 • 6.根据等量关系列出方程并解方程求出运动 时间。
、速度、时间和路程。 • 3.确定问题中所求函数解析式的几何图形，并画出图形。 • 4.根据问题中所求的几何图形，确定等量关系，如三角形
的面积、周长公式等。有时可能用到分割或框图的方法。 • 5.设运动时间为未知数，并用这个未知数表示等量关系中
CD，CD垂直DE，DE垂直EF，ED垂直AF，动点Q沿A至B
至C至D至E至F运动，到F停止运动，速度为2个单位每
秒，已知AF=6，EF=8，AB=4，BC=3，设运动时间为x
秒，三角形AQF的面Q积为S，Q求SQ与x的函数关系式。
DQ
E
BQQ Q Q
Q
C
Q
A
F
如图，在组合图形ABCDEF中，AB垂直BC，BC垂直
CD，CD垂直DE，DE垂直EF，EF垂直AF，动点Q沿A至B
至C至D至E至F运动，到F停止运动，速度为2个单位每
秒，已知AF=6，EF=8，AB=4，BC=3，设运动时间为x
秒，三角形AQF的面Q积为S，Q求SQ与x的函数关系式。
DQ
E Q
BQQ Q Q
Q
C
Q
A
F
解运动问题的一般步骤：求函数解析式型
找出一个基本关系式，把相关的量用一个自 变量的表达式表达出来。
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形， 点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原 点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）
（1）点A的坐标是
沿正方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
②点P在运动过程中到边AD的距离发生怎样
的变化？
D
C
P
AP
PB
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（4）当t为何值时，S等于正方形ABCD面积
的八分之一。
D
CD
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
如图，在组合图形ABCDEF中，AB垂直BC，BC垂直
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
AP
B
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
A
B
P
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
：2.
P
A 三分之一A三B 分之二AB
B
P
P
A
B
1×t 1×t
思考：如果将问题中的比值改为：1：1，1：3或1：4将如何求t 值。
例2.如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90度 ，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A出发，以 1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向B运动。其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动。从运动开始，经过多 少时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯 形？成为直角梯形？
变化的量。有时会用到勾股定理、三角函数、相似的相关 知识。 • 6.根据等量关系列出函数关系式，注意一般动点每经过一 条线段就有一个函数解析式，另外要写清自变量的取值范 围。
解决图形运动问题
策略是：
“以静制动”，把动态问题，变为静态问题, 抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
关键是：
明确运动路径、运动速度、起始点、终点，从而确 定自变量的取值范围，画出相应的图形。
有关图形运动问题大体有三种 点的运动 线的运动 图形的运动
运动问题从所求问题来看，大体分 为两类：
•一.求运动时间型。
•二.求函数解析式型。
例1.已知线段AB长为20厘米，动点P从A
出发以每秒1厘米的速度向点B运动，当点P到
达点B时停止运动，设运动时间为t秒，当t为
何值时点P将线段AB分成的两部分的比值为1
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（1）P点在运动过程中
①动点P到点A、点D的距离AP、PD的长度发生怎样
的变化？
D
C
P
AP
B
P
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
（3）以下能大致反映S与t的函数图象的是（ A ）
0 24 6 0246 0 24 6 0 2 4 6
D
CD
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
P
A
B
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，
现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（2）设△APD的面积为S，求S关于t的
函数关系式，并写出t 的取值范围；
D
CD
,点C的坐标是
（2）当t= ＿
秒或
＿
秒时，MN=
1
2
AC
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
y
（4）:（3）中得到的函数 S有没有最大值？若 m
P P PP
D
A
B Q EQ
C Q FQ
解运动问题的一般步骤：求运动时间型。
• 1.读题找出已知条件和未知条件。 • 2.确定运动元素有几个，确定每个运动元素
的起点、终点、速度、时间和路程。 • 3.从问题入手，思考符合问题的情况有几种
，画出图形。 • 4.找出每种情况的等量关系，通常是线段的
等量关系，有时周长、面积等也可作为等量 关系。 • 5.设运动时间为未知数，并用这个未知数表 示等量关系中的每一个量。 • 6.根据等量关系列出方程并解方程求出运动 时间。