初中数学图形运动问题动点问题
初中二年级数学动点问题
1. 梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。
已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
假设运动时间为t 秒，问：（1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？ （3）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形？（4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形？2. 如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时 出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动 时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，cm BC AD 5==,AB =12 cm,CD =6cm , 点P 从A 开始沿AB边向B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
设运动时间为t 秒。
（1）求证：当t =23时，四边形APQD 是平行四边形； （2）PQ 是否可能平分对角线BD ？若能，求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能，请说明理由； （3）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，求t 的值。
A BCD PQABCDQPA F D P EB QC FD BC D'A4. 如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过O 作直线MN//BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于F 。
完整版初中数学动点问题归纳
动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点3x??6y?P、QO BA、点出发，两点，动点年齐齐哈尔市）直线同时从与坐标轴分别交于20091、（4yQ OAA 1沿线段个单同时到达点，运动停止．点运动，速度为每秒BO ABP→运动．位长度，点→沿路线B、A两点的坐标；1）直接写出（Ptt OPQ△Q SS之间的面积为的运动时间为与秒，（2）设点，求出xQOA 的函数关系式；48?SQ、O、P MP的求出点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，并直接写出以点（3）当时，5坐标．，6）（0）B0解：1、A（8，2S=t＜3时，2、当0＜t S=3／8(8-t)t＜t＜8时，当3 B所有时间分段分类；）问按点提示：第（2P到拐点探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不，O、P、Q第（3）问是分类讨论：已知三定点为边。
然后为对角线、OQ为边、OQ为对角线，③OP同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP 画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
年衡阳市）2、（2009，是⊙O的直径，弦BC=2cm如图，AB o．∠ABC=60 的直径；1）求⊙O（与⊙O相切；延长线上一点，连结ABCD，当BD长为多少时，CD（2）若D是点出发沿的速度从BAB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从（3）若动点E以2cm/sA点出发沿着t)?t?2)(t(s0为直角三角形．为何值时，△BEF方向运动，设运动时间为BCEF，连结，当CC CF FE ABABADOEB O O1页共11 第页）3图（）2图（）1图（．注意：第（3）问按直角位置分类讨论0)a??33(y?a(x?1)2)，0(?2A D，经过点如图，重庆綦江）已知抛物线抛物线的顶点为，3、（2009xx CO BCOMADOM∥BD．过于点作射线轴正半轴上，，．过顶点连结平行于在轴的直线交射线1）求该抛物线的解析式；（O)st(OMPP．问运动，设点运动的时间为出发，以每秒（2）若动点1从点个长度单位的速度沿射线tDAOP为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？当M yDCQ OOBOC?B个长度同时出发，分别以每秒，动点和点3（）若和动点1分别从点BOOC运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随个长度单位的速度沿和单位和2Ptt BCPQPQ)(s四边形，之停止运动．设它们的运动的时间为连接为何值时，，当AQOxB PQ的面积最小？并求出最小值及此时的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°BCPQ 的面积最小。
初一动点问题解题技巧和方法
初一动点问题解题技巧和方法初一动点问题解题技巧和引言初一动点问题是初中数学中的一个重要知识点，也是初中数学解题中常见的问题类型之一。
在解决初一动点问题时，我们需要运用一些特定的技巧和方法。
本文将介绍几种常见的初一动点问题解题技巧和方法。
方法一：坐标法1.首先，我们需要给问题中的物体设定坐标系。
通常可以选择平面直角坐标系或平面极坐标系。
2.接着，根据题意，确定物体的初始位置和移动规律。
3.运用坐标变换公式，计算出物体在不同时刻的坐标。
4.根据问题要求，计算或判断物体在某个特定时刻的位置和状态。
方法二：速度法1.首先，我们需要设定物体的初始速度和加速度等关键信息。
2.根据物体的初始速度和加速度，运用运动学公式计算物体在不同时刻的速度和位移。
3.利用速度-时间图像或位移-时间图像分析问题，找出物体在某个特定时刻的位置和状态。
方法三：速度图像法1.通过绘制物体的速度-时间图像，观察图像的特点。
2.根据图像的形状，判断物体的运动状态，如匀速、匀加速、等速变速等。
3.运用速度-时间图像的面积计算方法，求解问题中的相关量。
方法四：位移图像法1.通过绘制物体的位移-时间图像，观察图像的特点。
2.根据图像的形状，判断物体的运动状态，如匀速、匀变速、反向运动等。
3.运用位移-时间图像的斜率计算方法，求解问题中的相关量。
方法五：等效距离法1.根据问题中的条件，把复杂的运动形式化简为等效距离的运动。
2.运用等效距离的运动规律，计算出物体在不同时刻的位置和状态。
3.根据问题要求，计算或判断物体在某个特定时刻的位置和状态。
方法六：代数法1.根据问题中的条件，设定物体的初始位置和移动规律。
2.利用方程组或代数方程表示物体的运动状态。
3.运用代数方法解方程组或代数方程，求解问题中的相关量。
结论初一动点问题的解题方法有很多种，本文介绍了几种常见的方法，包括坐标法、速度法、速度图像法、位移图像法、等效距离法和代数法。
在解题过程中，我们可以根据具体问题的要求选择合适的方法进行计算和分析，提高解题效率。
初中数学动点问题解题思路
∵P、Q同时同速出 ∴AP=BQ
设AP=BQ= x ，则PC=6- x ， QC=6+ x
即6-x= 1（6+x）解得x=2 2
∴AP的长是2.
②用含30°角的直角三角形的性质及 等边三角形性质进行解答（在
Rt△QCP中）
∵△ABC是边长为6的等边 三角形，
∴AC=BC=6，∠C=60° 又∵∠BQD=30° ∴△QCP是含有30°角的Rt△ ∴CQ=2PC ∵P、Q同时同速出发， ∴AP=BQ ∵AP+PC+BC=2AC=12
而△APF是等边三角形， PE⊥AF,
∴AE=EF ∴BD+AE=FD+EF 又(FD+EF)+(BD+AE)=AB
=6, 即ED+ED=6
∴ ED=3为定值，即ED的 长不变
(2) 解法二：构造三角形与 △APE全等
过点Q作QF⊥AB的延长 线于点F
先证△APE≌△BQF ∴AE=BF，PE=QF 又∵∠QDF=∠PDE 再证△QDF≌△PDE ∴FD=DE ∵AB=AE+DE+BD=BF+
二、问题引入 遵义市2012年中考第26题：
• 26．如图，△ABC是边长 为6的等边三角形，P 是 AC边上一动点，由A向C 运动（与A、C不重
• 合），Q是CB延长线上一 动点，与点P同时以相同 的速度由B向CB延长线方 向运动（Q不与B重合） ，过P作PE⊥AB于E，连 接PQ交AB于D.
• （1）当∠BQD=30°时， 求AP的长；
又∵∠A=∠C=60° ∴△APE∽△CQE
利用 AE AP 即 PC CQ
x
1
x 2
x
初一数学动点问题20题及答案
初一数学动点问题20题及答案数轴上动点问题1．已知：如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为2，点C表示的数为﹣8，动点P从点A出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点M为线段BC中点，点N为线段BP中点．设运动时间为t秒．（1）线段AC的长为__________个单位长度；点M表示的数为；（2）当t=5时，求线段MN的长度；（3）在整个运动过程中，求线段MN的长度．（用含t的式子表示）．2．已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是x，﹣6，4．（1）线段BC的长为_________，线段BC的中点D所表示的数是；（2）若AC=8，求x的值；（3）在数轴上有两个动点P，Q，P的速度为1个单位长度/秒，Q的速度为2个单位/秒，点P，Q分别从点B，C同时出发，在数轴上运动，则经过多少时间后P，Q两点相距4个单位？3．动点A、B同时从数轴上的原点出发向相反的方向运动，且A、B的速度之比是1：4（速度单位：长度单位/秒），3秒后，A、B两点相距15个单位长度．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置．（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间？4．如图A、B两点在数轴上分别表示﹣10和20，动点P从点A出发以10个单位每秒的速度向右运动，动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度出向右运动．设运动时间为t．（1）当点P运动到B点时，求出t的值；（2）当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出此时P点对应的数？（3）在此运动过程中，若P、Q相距10个单位，直接写出运动时间t？5．已知a，b满足（a+2）2+|b﹣1|=0，请回答下列问题：（1）a=_______，b=_______；（2）a，b在数轴上对应的点分别为A，B，在所给的数轴上标出点A，点B；（3）若甲、乙两个动点分别从A，B两点同时出发沿x轴正方向运动，已知甲的速度为每秒2个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度，更多好题请进入：437600809，请问经过多少秒甲追上乙？6．在数轴上有A、B两动点，点A起始位置表示数为﹣3，点B起始位置表示数为12，点A的速度为1单位长度/秒，点B的运动速度是点A速度的二倍．（1）若点A、B同时沿数轴向左运动，多少秒后，点B与点A相距6单位长度？（2）若点A、点B同时沿数轴向左运动，是否有一个时刻，表示数﹣3的点是线段AB 的中点？如果有，求出运动时间；如果没有，说明理由．7．如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H 同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？8．如图，数轴上的点A，B对应的数分别为﹣10，5．动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AB的长；（2）直接用含t的式子分别表示数轴上的点P，Q对应的数；（3）当PQ=AB时，求t的值．9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是你数轴上一点，且AB=10，动点P从点O 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B所表示的数______；当t=3时，OP=_______．（2）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R 同时出发，问点R运动多少秒时追上点P？10．如图．点A、点C是数轴上的两点，0是原点，0A=6，5AO=3CO．（1）写出数轴上点A、点C表示的数；（2）点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，问运动多少秒后，这两个动点到原点O的距离存在2倍关系？11．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，P为数轴上的动点，其对应的数为x．（1）数轴上是否存在点P，使P到点A、点B的之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（2）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动．问，它们同时出发几分钟时点P到点A、点B的距离相等？12．A、B两个动点在数轴上做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如下．（1）根据题意，填写下列表格；（2）A、B两点能否相遇？如果相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇，请说明理由；（3）A、B两点能否相距18个单位长度？如果能，求相距18个单位长度的时刻；如不能，请说明理由．13．如图1，点A，B是在数轴上对应的数字分别为﹣12和4，动点P和Q分别从A，B 两点同时出发向右运动，点P的速度是5个单位/秒，点Q的速度是2个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）AB=．（2）当点P在线段BQ上时（如图2）：①BP=______________（用含t的代数式表示）；②当P点为BQ中点时，求t的值．。
初中数学动点问题大全
初中数学动点问题大全动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。
题型一动点形成的面积问题1．面积公式：三角形面积用12S ah =来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。
2．面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。
3．相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。
角度1：利用公式法解决动点面积问题例题1：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点30A （，）和23B （，）．过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB 、BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当ABC ADC S S ∆∆=时，求点D 的坐标．变式1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(,3)a （其中4a >），射线O 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图像上，且//AB x 轴，//AC y 轴．（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ABP ACP S S ∆∆的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACP S S ∆∆的值；如果变化，请说明理由．O x y （备用图）O xy解析：（1）∵反比例函数12y x=的图像经过横坐标为6的点P ，∴点P 的坐标为（6，2）．设直线AO 的表达式为y kx =（0k ≠）．将点P （6，2）代入y kx =，解得13k =．∴所求反比例函数的解析式为13y x =．（2）∵AB //x 轴，∴点B 纵坐标为3，将3y =代入12y x=，得4x =．∴B 坐标为（4，3）．∵AB =BO ，∴224(40)(30)a -=-+-9a =．∴点A 坐标为（9，3）．（3）不变．延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，∴32ADO AEO S S a ∆∆==．∵点C 坐标为（a ，12a ）．∴6CEO S ∆=，同理6BDO S ∆=，∴ADO BDO AEO CEO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ABO ACO S S ∆∆=．∵△ABP 与△ABO 同高，∴ABP ABO S AP S AO ∆∆=．同理ACP ACO S AP S AO ∆∆=．∴1ABP ACP S S ∆∆=．即当a 变化时，ABP ACPS S ∆∆的值不变，且恒为1变式2：如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(3,0)B ，(0,4)C ，点A 在x 轴的负半轴上，4OC OA =；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作//PM BC 交射线AC 于点M ，联结CP ，若CPM ∆的面积为2，则请求出点P 的坐标；解析：（1）设这条抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠它的顶点坐标为16(1,)3（2）过点P 作PH AC ⊥，垂足为H .∵P 点在x 轴的正半轴上，∴设0P x （，）.∵A )0,1(-，∴1PA x =+.∵在Rt AOC ∆中，222OA OC AC +=；又∵14OA OC ==，∴17AC =90sin 117PH PH PHA CAO AP x ∠=︒∴∠===+ 17PH =//BP CM PM BC AB AC ∴= ；300B P x （，），（，）1点P 在点B 的左侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)12217x -=解得110x .P =∴（，）2点P 在点B 的右侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)122417x -=解得11x =+，21x =-（不合题意，舍去）∴P（1+0）.综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1+0）角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2：如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB DC ==，4AD =．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且//ME DN ，//MF AN ，联结EF ．（1）如图1，如果//EF BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是ADN ∆的面积的38，求AM 的长；解析：（1）∵AD //BC ，EF //BC ，∴EF //A D ．又∵ME //DN ，∴四边形EF DM 是平行四边形．∴EF =DM ．同理可证，EF =AM ．∴AM =DM ．∵AD =4，∴122EF AM AD ===．（2）∵38ADN MENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．∵ME //DN ，∴△AME ∽△AN D ．∴22AME ADN S AM S AD∆∆=．同理可证，△DM F ∽△DN A ．即得22DMF ADN S DM S AD ∆∆=．设AM =x ，则4DM AD AM x =-=-．∴22(4)516168x x -+=．即得2430x x -+=．解得11x =，23x =．∴AM 的长为1或3．A B CD M N EF （图1）AB C D M N E F变式3：已知直线1l 、2l ，12//l l ，点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC BC ⊥，60ABC ∠=︒，4AB =，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO 翻折，点D 与'D 重合．（1）如图1，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长；（2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N ．①如图2，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；②若DON ∆的面积为323时，求AE 的长．解析：变式4：如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BC AC ⊥，4AD =cm ，︒=∠45D ，3=BC cm ．（1）求B ∠cos 的值；（2）点E 为BC 延长线上的动点，点F 在线段CD 上（点F 与点C 不重合），且满足ADE AFC ∠=∠，如图2，设x BE =，y DF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点E 为射线BC 上的动点，点F 在射线CD 上，仍然满足ADE AFC ∠=∠，当AFD ∆的面积为2cm 2时，求BE 的长．解析：（1）∵//AD BC ，∴ACB DAC ∠=∠.∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒.∴90DAC ∠=︒.∵45D ∠=︒，∴45ACD ∠=︒.∴AD AC =.∵4AD =，∴4AC =.∵3=BC ，∴5AB ==.∴3cos 5BC B AB ∠==.（2）∵//AD BC ，∴ADF DCE ∠=∠.∵AFC FDA FAD ∠=∠+∠，ADE FDA EDC ∠=∠+∠，又AFC ADE ∠=∠，∴FAD EDC ∠=∠.∴ADF DCE ∆~∆.∴AD DF DC CE =.在Rt ADC ∆中，222AC AD DC +=，又4==AC AD ，∴24=DC .∵x BE =，∴3-=x CE .y DF =，∴3244-=x y .22322-=x y .定义域为113<<x .（3）当点E 在BC 的延长线上，由（2）可得：ADF DCE ∆~∆，∴2(DC AD S S DCE ADF =∆∆.∵2AFD S ∆=，4=AD ，24=DC ，∴4=∆DCE S .∵AC CE S DCE ⨯⨯=∆21，∴44)3(21=⨯-⨯BE ，∴5BE =.当点E 在线段BC 上，同理可得：44)3(21=⨯-⨯BE .∴1BE =.所以BE 的长为5或1.角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3：已知在平面直角坐标系xoy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为(0)m m >，过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；解析：变式5：已知在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴相交于(1,0),(3,0)A B -两点，对称轴l 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且ADC ∠的正切值为12．（1）求顶点D 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若FAC ADC ∠=∠，求F 点的坐标．解析：（1）∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，∴对称轴l ：直线1x =，2AC =∵90ACD ∠=︒，1tan 2ADC ∠=，∴4CD =，∵0a >，∴()1,4D -（2）设()214y a x =--将1,0x y =-=代入上式，得，1a =所以，这条抛物线的表达为223y x x =--（3）过点F 作FH x ⊥轴，垂足为点H设()2,23F x x x --，∵FAC ADC ∠=∠，∴tan tan FAC ADC ∠=∠，∵1tan 2ADC ∠=，∴1tan 2FH FAC AH ∠==∵223FH x x =--，1AH x =+，∴223112x x x --=+解得172x =，21x =-（舍），∴79,24F ⎛⎫ ⎪⎝⎭巩固1：如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，3AC =．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF OA ⊥，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D 的坐标．解析：（1）∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=a a x ，∴OC =1，OA =OC +AC =4，∴点A （4，0）．∵∠OBC =∠OAB ，∴tan ∠OAB =tan ∠OBC ，∴OBOC OA OB =，∴OB OB 14=，∴OB =2，∴点B （0，2），∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y ．（2）由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG ：FG =3：2，DF ：FG =5：2，设m OF =，得m AF -=4，221412++-=m m DF ，由FG //OB ，得OA AF OB FG =，∴24m FG -=，∴2:524:)22141(2=-++-m m m ，∴01272=+-m m ，∴4,321==m m （不符合题意，舍去），∴点D 的坐标是（3，45）巩固2：如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ．（1）求证：BCD DAF ∆∆∽；（2）若1BC =，设CD x =，AF y =；①求y 关于x 的函数解析式及定义域；②当x 为何值时，79BEF BCD S S ∆∆=？（1）证明：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒A C BO yx∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠，∴ADF DBC ∠=∠，∴BCD ∆∽DAF∆（2）∵BCD ∆∽DAF ∆，∴BC CD AD AF=∵1BC =，设CD x =，AF y =，∴11x x y=-，∴()201y x x x =-<<（3）解法一：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∴BE BF BC BD=，∵BE BD =，1BC =，∴2BE BF =∵EBF ∆∽CBD ∆，79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==，∴279BE BF ==，∴29AF =∴229x x -=，解得1221,33x x ==，∴当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=解法二：∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∵79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCDS BE S BC ∆∆==∵1BC =，BE BD =，∴279BD =过点B 作BH AC ⊥于点H ，∵60C ∠=︒，∴BH =16DH =，12CH =当点D 在线段CH 上时，111263CD CH DH =-=-=当点D 在线段CH 的延长线上时，112263CD CH DH =+=+=综上所述，当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=．巩固3：在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上一动点，将三角板直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．（1）判断EAP ∆与PDC ∆一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是EAP ∆周长等于PDC ∆周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．解析：（1）△EAP ∽△PDC①当P 在AD 边上时，如图（1）：∵矩形ABCD ，==90D A ∠∠ ，∴1+2=90∠∠据题意=90CPE ∠ ∴3+2=90∠∠ ，∴1=3∠∠，∴△EAP ∽△PDC②当P 在AD 边上时，如图（2）：同理可得△EAP ∽△PDC（2）若点P 在边AD 上，据题意：PD x =6PA x =-4DC =AE y =又∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴22613442x x y x x -==-+()06x <<若点P 在边DA 延长线上时，据题意PD x =，则6PA x =-，4DC =，AE y =，∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴()2664x x y x -=>（3）假如存在这样的点P ，使△EAP 周长等于PDC ∆的2倍①若点P 在边AD 上∵△EAP ∽△PDC ∴():6:4EAP PDC C C x =- ，∴()6:42x -=，∴2x =-不合题意舍去；②若点P 在边DA 延长线上，同理得()6:42x -=，∴14x =综上所述：存在这样的点P 满足题意，此时14PD =巩固4：如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴这个抛物线的解析式为：2142y x x =--顶点为9(1,)2-（2）如图：取OA 的中点，记为点N ∵OA =OC =4，∠AOC =90°∴∠ACB =45°∵点N 是OA 的中点∴ON =2又∵OB =2∴OB =ON又∵∠BON =90°∴∠ONB =45°∴∠ACB =∠ONB∵∠OMB +∠OAB =∠ACB ∠NBA +∠OAB =∠ONB ∴∠OMB =∠NBA1°当点M 在点N 的上方时，记为M 1∵∠BAN =∠M 1AB ，∠NBA =∠OM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN AB AB AM =又∵AN =2，AB =∴110AM =又∵A （0，—4）∴1(0,6)M 2°当点M 在点N 的下方时，记为M 2，点M 1与点M 2关于x 轴对称，∴2(0,6)M -综上所述，点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-题型二动点形成的相切问题1．直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2．圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距．利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度4：直线与圆相切问题例题4：如图，在ABC ∆中，10,12,AB AC BC ===点E F 、分别在边BC AC 、上（点F 不与点A 、C 重合）//EF AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC x =．（1）求B ∠的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE DF 、分别交AB 于M 、N ，若MN y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E 为圆心、BE 长为半径的E 与边AC 1没有公共点时，求x 的取值范围．2一个公共点时，求x 的取值范围．3两个公共点时，求x 的取值范围．AE CB FA B D GC EF变式6：已知：矩形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AC 交AC 于点E ，分别交射线AD 于F 点、交射线CD 于G 点，BC ＝6．（1）当点F 为AD 中点时，求AB 的长；（2）联结AG ，设AFG AB x S y ∆==,,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在x 的值，使以D 为圆心的圆与BC 、BG 都相切？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵点F 为AD 中点，且AD =BC =6，∴AF =3∵矩形ABCD 中，∠ABC =90°，BG ⊥AC 于点E ，∴∠ABE +∠EBC =90°，∠AC ∠EBC =90°∴∠ABE =∠ACB ，∴△ABF ∽△BCF ，∴AB AF BC AB =∴AB =23（2）由（1）可得△ABF ∽△BCF ∴AB AF BC AB =∵AB ＝x ，BC ＝6∴AF =62x ；同理可得：CG =x36①当F 点在线段AD 上时DG =CG -CD =x x x x 23636-=-∴S ⊿AFG =1236213x x CG AF -=⋅。
初中数学动点问题总结
初二动点问题1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB 边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A 作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC ≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M 从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．7.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A 的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（ 85， 245）M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．。
初中数学动点问题归纳
…………………………动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点3x???6yP、QO B、A点出发，与坐标轴分别交于、（2009年齐齐哈尔市）直线同时从两点，动点14yQ OAA个单点，运动停止．点运动，速度为每秒沿线段1同时到达BO APB沿路线→→运动．位长度，点B、A（1）直接写出两点的坐标；Ptt OPQ△SQS的运动时间为，求出秒，2）设点之间与的面积为（xQOA 的函数关系式；48?SQP、O、MP的（3）当的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点时，求出点5坐标．6）B（0，（8，0）解：1、A2S=t3时，＜t＜2、当0 ／8(8-t)t8时，S=3 当3＜t＜所有时间分段分类；P到拐点B）问按点提示：第（2探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同，、Q第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P为边。
然后画出各类OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边，②OP为边、OQ分类-----①OP为边、的图形，根据图形性质求顶点坐标。
年衡阳市）（20092、，的直径，弦BC=2cm如图，AB是⊙O o．∠ABC=60 的直径；）求⊙O（1 O相切；BD长为多少时，CD与⊙延长线上一点，连结（2）若D是ABCD，当点出发沿的速度从BF以1cm/s的速度从E以2cm/sA点出发沿着AB方向运动，同时动点（3）若动点t)t?2)(t(s0?BC方向运动，设运动时间为为直角三角形．为何值时，△BEF，连结EF，当C C CFFE A BABAD OEOO B）图（3）图（2图（1）3）问按直角位置分类讨论注意：第（0)?3(?3a??ya(x1)2)，02A(?D，经过点，已知抛物线如图，2009（、3重庆綦江）抛物线的顶点为（（（（（（（．…………………………xx CO BCOMAD∥OMBD．连结轴的直线交射线过在作射线于点，．过顶点轴正半轴上，平行于（1）求该抛物线的解析式；Ot(s)OMPP．问出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动的时间为（2）若动点运动，设点从点tDAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？当为何值时，四边形M yDCOQ OB?OCB个长度同时出发，分别以每秒分别从点，动点1和动点（3）若和点BOOC运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随和单位和2个长度单位的速度沿Ptt BCPQPQs)(四边形当，之停止运动．设它们的运动的时间为连接为何值时，，AQOxB PQ的面积最小？并求出最小值及此时的长．°注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60 的面积最小。
初中数学动点问题
关于动点问题的总结 “动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,H MN G P O AB图1于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中,22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.A EDC B图2解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =, ∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.A 3(2)3(1)又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .A B C O H(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
初中数学动点问题及练习题附参考答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
初中数学压轴题-动点问题
通常动点的运动场所将从以下选出：1、在直角三角形的边上运动2、在梯形的边上运动3、在坐标轴上运动4、在抛物线上运动如果设时间为t,一般情况将从以下12个问题中选出（1）求某条线段的长度（2）求某个三角形的面积s与时间t的函数关系式（3）求两个图形重叠部分或动点所带的射线扫某个图形部分的面积s与时间t的函数关系式并求面积的最大值（4）t取何值时两直线平行（5）t取何值时两直线垂直？（6）t取何值时某三角形为等腰三角形三角形？（7）t取何值时某三角形为直角三角形？（8）t取何值时某四边形为特殊四边形？（9）t取何值时两个三角形全等或相似（10）当动点所带的射线把某个中心对称图形的面积二等分时求t.（11）点在运动的过程中，某个图形的面积或角度是否发生变化，若不变，求出这个面积或角的度数，若变化，说明怎样变？（12）当抛物线等分某些特殊点的数量时求t的取值范围E图1CD PD、A的距离之差最大，求出点第2题图），用待第2题图R 1R 2R 3D?E 3932. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
明确运动路径，运动速度，起始点，终点，从而确定自变量的取值范围，画出相应的图形。
找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来。
(完整版)初中数学动点问题归纳
BB动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
初中数学专题07几何图形动点运动问题(解析版)
专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【答案】（1）＝，见解析；（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立，见解析；（3）线段CP的长为1或3 【解析】【分析】（1）证出∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠BAD＝∠CAF；可证△DAB≌△F AC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，得出∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证△GAD≌△CAF（SAS），得出∠ACF＝∠AGD ＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（3）分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣2＝2，易证△AQD∽△DCP，得出对应边成比例，即可得出CP＝1；②点D在线段BC延长线上运动时，同理得出CP＝3．【详解】（1）①解：∠BAD＝∠CAF，理由如下：∵四边形ADEF是正方形∴∠DAF＝90°，AD＝AF∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF故答案为：＝②在△BAD和△CAF中，AB ACBAD CAF AD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD≌△CAF（SAS）∴CF＝BD∴∠B＝∠ACF∴∠B+∠BCA＝90°∴∠BCA+∠ACF＝90°∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD（2）如图2所示：AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．理由如下：过点A作GA⊥AC交BC于点G则∠GAD＝∠CAF＝90°+∠CAD∵∠ACB＝45°∴∠AGD＝45°∴AC＝AG在△GAD和△CAF中，AG ACGAD CAF AD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°∴CF⊥BD．（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，①点D在线段BC上运动时，如图3所示：∵∠BCA＝45°∴△ACQ是等腰直角三角形∴AQ＝CQ＝22AC＝4∴DQ＝CQ﹣CD＝4﹣2＝2∵AQ⊥BC，∠ADE＝90°∴∠DAQ+∠ADQ＝∠ADQ+∠PDC＝90°∴∠DAQ＝∠PDC∵∠AQD＝∠DCP＝90°∴△DCP∽△AQD∴CPDQ＝CDAQ，即CP2＝24解得：CP＝1②点D在线段BC延长线上运动时，如图4所示：∵∠BCA＝45°∴AQ＝CQ＝4∴DQ＝AQ+CD＝4+2＝6∵AQ⊥BC于Q∴∠Q＝∠F AD＝90°∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D ∴∠ADQ＝∠AFC′则△AQD∽△AC′F∴CF⊥BD∴△AQD∽△DCP∴CPDQ＝CDAQ，即CP6＝24解得：CP＝3综上所述，线段CP的长为1或3．【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________【答案】（1）AE=BD．∠APC=60°；（2）成立，见详解；（3）AE=BD【解析】【分析】（1）观察猜想：①证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE=BD，∠CAE=∠BDC；②过点C向AE，BD作垂线，由三角形全等可得高相等，再根据角分线判定定理，推出PC平分∠APB，即可求出∠APC的度数；（2）数学思考：结论成立，证明方法类似；（3）拓展应用：证明△ACE≌△DCB（SAS），即可得AE=BD.【详解】解：（1）观察猜想：结论：AE=BD．∠APC=60°．理由：①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，∴∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD；②由①得∠EAC=∠BDC，∵∠AOC=∠DOP，∴∠APB=∠AOC+∠EAC=180°-60°= 120°．过过点C向AE，BD作垂线交于点F与G∵由①知△ACE≌△DCB∴CF=CG∴CP为∠APB的角平分线∴∠APC=12APB∠=60°；（2）数学思考：结论仍然成立．①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，∴∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD；②由①得∠AEC=∠DBC，∴∠CEA+∠PEB=∠CBD+∠PEB=60°，∴∠APB=∠CBD+∠CBE+∠PEB=120°．过过点P向AC，BC作垂线交于点H与I∵由①知△ACE≌△DCB∴PH=PI∴CP为∠APB的角平分线∴∠APC=12APB∠=60°；（3）∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=90°，CE=CB，∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD∴∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1P m，且四边形OADP的面积是ABC∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；（3）如图，动点M 从点C 出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB 运动，同时动点N 从点A 出发.以每秒2个单位的連度沿线段AO 运动，当N 到达O 点时，M ，N 同时停止运动，运动时间是t 秒()0t >，在M ，N 运动过程中.当5MN =时，直接写出时间t 的值.【答案】（1）()6,0A ，()0,4C （2）()18,1P -（3）1或3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角坐标系中点的确定，即可求出A 点坐标和C 点坐标；（2）根据四边形OADP 的面积是ABC ∆面积的2倍，列出关于m 的方程，解方程即可求出点P 的坐标； （3）由题意表示出ON =6－2t ，MC =t ，过点M 作ON 得垂线ME 交OA 于点E ， 根据勾股定理列出关于t 的方程，求解即可. 【详解】（1）∵长方形OABC 的项点B 的坐标是(6,4)， ∴BC =6，AB =4， ∴OA =6，OC =4， ∴A （6,0）C （0,4）；（2）连接PD ，PO ，过点P 作PE ⊥OD ，交OD 于点E ，∵BC =6，AB =4； ∴11==64=1222ABC S AB BC ⋅⨯⨯△， ∵四边形OADP 的面积是ABC ∆面积的2倍， ∴四边形OADP 的面积是24， ∴==OADP S S S △OAD △ODP 四边形＋11=2422OA OD PE OD ⋅⋅＋ ∵D 为OC 中点， ∴OD =2;∵(),1P m 是第二象限的点， ∴PE =﹣m ， ∴可列方程为1162+2m =22⨯⨯⨯⨯（﹣）24；解得m =﹣18， ∴()18,1P -（3）如图，过点M 作ON 的垂线ME 交OA 于点E ，由题意得ON =6－2t ，MC =t ()3t ≤0＜； ∴ME =4，EN =6－3t 又∵5MN =，∴根据勾股定理可列方程为()22246t =5＋－3，解方程得t =1或t =3 ∴当t =1或t =3时，5MN =. 【名师点睛】本题考查了矩形的性质和直角坐标系中点的确定，勾股定理等，利用方程思想解决问题是解题的关键【举一反三】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连结PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．【答案】（1）BQ＝5﹣t;（2）52秒;（3）t＝165.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证△APO≌△CQO，则AP＝CQ，再利用BQ BC CQ=-即可得出答案；（2）由平行四边形性质可知AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，建立一个关于t的方程，解方程即可求出t的值；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长度，进而求出AO的长度，然后利用ABC的面积求出EF 的长度，进而求出OE的长度，而AE可以用含t的代数式表示出来，最后在Rt AOE中利用勾股定理即可求值.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠P AO＝∠QCO，∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝t，∵BC＝5，∴BQ＝BC-CQ=5﹣t；（2）∵AP ∥BQ ，当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形， 即t ＝5﹣t ，t ＝52， ∴当t 为52秒时，四边形ABQP 是平行四边形；（3）t ＝165，如图，在Rt △ABC 中， ∵AB ＝3，BC ＝5，∴AC 2222534BC AC -=-= ∴AO ＝CO ＝12AC ＝2， 1122ABCSAB AC BC EF == AB AC BC EF ∴=∴3×4＝5×EF ， ∴125EF =， ∴65OE =，∵OE 是AP 的垂直平分线， ∴AE ＝12AP ＝12t ，∠AEO ＝90°， 由勾股定理得：AE 2+OE 2＝AO 2，22216()()225t ∴+=165t ∴=或165t =-（舍去）∴当165t =秒时，点O 在线段AP 的垂直平分线上． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及动点问题，掌握平行四边形的判定及性质，以及勾股定理是解题的关键.类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒? （2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行? 【答案】（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行103秒；（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行20秒后,直线PQ ∥AB 【解析】 【分析】（1）首先设蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行t 秒，可得方程：10-t =2t ，解此方程即可求得答案；（2）首先设P 、Q 两只蚂蚁最快爬行x 秒后，直线PQ ∥AB ，可得方程：x -10=50-2x ，解此方程即可求得答案. 【详解】(1)设蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行t 秒， ∵四边形ABCD 是长方形， ∴∠B =90∘， ∴BP =BQ ，∵AP =tcm ,BQ =2tcm ,则PB =AB −AP =10−t (cm )， ∴10−t =2t ，解得：t=103，∴蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行103秒；(2)设P、Q两只蚂蚁最快爬行x秒后,直线PQ∥AB，∵AD∥BC，∴四边形ABPQ是平行四边形，∴AQ=BP，∴x−10=50−2x，解得：x=20，∴P、Q两只蚂蚁最快爬行20秒后,直线PQ∥AB；【名师点睛】此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【举一反三】如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(1，0)，C(-3，0)；(2)23(023)33S t tS t t⎧=≤<⎪⎨=-⎪⎩（＞）（3）存在，点Q的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（123）.【解析】【分析】（1）根据方程求出AO 、AB 的长，再由AB ：AC =1:2求出OC 的长，即可得到答案； （2）分点M 在CB 上时，点M 在CB 延长线上时，两种情况讨论S 与t 的函数关系式； （3）分AQ =AB ,BQ =BA ,BQ =AQ 三种情况讨论可求点Q 的坐标. 【详解】 （1）x 2-3x +2=0， （x -1）（x -2）=0， ∴x 1=1，x 2=2， ∴AO =1，AB =2， ∴A (1，0)，OB ===，∵AB ：AC =1:2, ∴AC =2AB =4， ∴OC =AC -OA =4-1=3， ∴C (-3，0).(2)∵3OB OC ==,∴22222312BC OB OC =+=+=, ∵2222416,24AC AB ====, ∴222AC AB BC =+,∴△ABC 是直角三角形，且∠ABC =90︒， 由题意得：CM =t ，BC=当点M 在CB 上时，1)2S t t =⨯=(0t ≤<， ②当点M 在CB 延长线上时，12(2S t t =⨯-=-t＞.综上，(0 S t t S t t ⎧=≤<⎪⎨=-⎪⎩＞. （3）存在，①当AB 是菱形的边时，如图所示，在菱形AP 1Q 1B 中，Q 1O =AO =1，∴ Q 1(-1，0)，在菱形ABP 2Q 2中，AQ 2=AB =2，∴Q 2(1，2)， 在菱形ABP 3Q 3中，AQ 3=AB =2，∴Q 3(1，-2)； ②当AB 为菱形的对角线时，如图所示， 设菱形的边长为x ，则在Rt △AP 4O 中，22244AO P O AP += 2221(3)x x =+-，解得x =233， ∴Q 4（1，233）. 综上，平面内满足条件的点Q 的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，233）.【点睛】此题考查一次函数的综合运用、解一元二次方程，解题过程中注意分类讨论.类型四 【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y ＝ax 2﹣34x +c 与x 轴相交于点A （﹣2，0）、B （4，0），与y 轴相交于点C ，连接AC ，BC ，以线段BC 为直径作⊙M ，过点C 作直线CE ∥AB ，与抛物线和⊙M 分别交于点D ，E ，点P 在BC 下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．【答案】（1）y＝38x2﹣34x﹣3；（2）P（3，﹣138）；（3）点P（2，﹣3），最大值为12【解析】【分析】（1）用交点式设出抛物线的表达式，化为一般形式，根据系数之间的对应关系即可求解；（2）根据（1）中的表达式求出点C（0，-3），函数对称轴为：x=1，则点D（2，-3），点E（4，-3），当△PDE 是以DE为底边的等腰三角形时，点P在线段DE的中垂线上，据此即可求解；（3）求出直线BC的表达式，设出P、H点的坐标，根据四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP进行计算，化为顶点式即可求解．【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣2a＝﹣34，解得：a＝38，故抛物线的表达式为：y＝38x2﹣34x﹣3；（2）当x=0时，y=-3，故点C的坐标为（0，﹣3），函数对称轴为：x＝242-+=1，∵CE∥AB∴点D（2，﹣3），点E（4，﹣3），则DE的中垂线为：x＝242＝3，当x＝3时，y＝38x2﹣34x﹣3＝﹣138，故点P（3，﹣138）；（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0）C（0，﹣3）代入得：403k bb+=⎧⎨=-⎩解得：343 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线BC的表达式为：y＝34x﹣3，故点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，38x2﹣34x﹣3），则点H（x，34x﹣3）；四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP＝12⨯3×6+12⨯HP×OB＝9+12×4×（34x﹣3﹣38x2+34x+3）＝﹣3 4x2+3x+9=()23-2124x-+，∵﹣34＜0，故四边形ACPB的面积有最大值为12，此时，点P（2，﹣3）．【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，掌握中点坐标公式及作辅助线的方法是关键．【举一反三】已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当t为32s时，点M是AB中点；（2）y与t的函数关系式是y28675t=-+；（3）t的值为52s；（4）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）求出BD＝3，根据BM BPAB BD=，即可求出时间t；（2）先判断出△MBP∽△ABD，进而得出MP，同理表示出QN和CN，然后利用梯形面积公式进行计算即可得出结论；（3）根据（2）中所求，结合面积之间的关系建立方程即可得出结论；（4）假设存在，先利用PM＝QN求出t，进而求出PM，PN，判断出PM≠PN即可得出结论．【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵PM⊥BC，∴PM∥AD，∴BM BP AB BD=，∵点M 是AB 中点 ∴12BM AB =， ∴12BP BD =， ∵AB = AC ， ∴132BD CD BC ===， ∵BP =t ， ∴132t =，解得：32t =， 即当t 为32s 时，点M 是AB 中点； （2）过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵PM ∥AD ， ∴△MBP ∽△ABD ， ∴MP BPAD BD=，∵4AD ==， ∴43MP t=， ∴43MP t =，同理，△QCN ∽△ACD ， ∴CQ QN CNAC AD CD==， ∵5CQ t =-， ∴5543t QN CN-==， ∴()445=455QN t t =--，()335=355CN t t =--， ∴32=63355PN t t t --+=-，∴y =S 四边形PNQM =()21144284362235575MP QN PN t t t t ⎛⎫⎛⎫+⋅=+-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即y 与t 的函数关系式是y 28675t =-+； （3）若S 四边形PNQM ：S △ABC ＝4：9，则y =49S △ABC ，∵S △ABC =11641222BC AD ⋅=⨯⨯=，∴2846=12759t -+⨯， 解得152t =，252t =-（不合题意，舍去）， ∴t 的值为52s ； （3）若四边形PNQM 为正方形，则需满足PM = QN ，PM = PN ，当PM = QN 时，44=435t t -，解得：158t =， 当158t =时，PM =44155==3382t ⨯，PN =221593=3=5584t --⨯，∴PM ≠PN ， ∴不存在． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、梯形和三角形的面积公式、解一元二次方程以及正方形的性质等知识点，解本题的关键是用方程的思想解决问题．【新题训练】1．如图①，△ABC 是等边三角形，点P 是BC 上一动点（点P 与点B 、C 不重合），过点P 作PM ∥AC 交AB 于M ，PN ∥AB 交AC 于N ，连接BN 、CM ．（1）求证：PM +PN ＝BC ；（2）在点P 的位置变化过程中，BN ＝CM 是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND ∥BC 交AB 于D ，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先证明△BMP，△CNP是等边三角形，再证明△BPN≌△MPC，从而PM=PB，PN=PC，可得PM+PN ＝BC；（2）BN＝CM总成立，由（1）知△BPN≌△MPC，根据全等三角形的性质可得结论；（3）作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，连接DF即可．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵PM∥AC，PN∥AB，∴∠BPM＝∠ACB＝60°，∠CPN＝∠ABC＝60°，∴△BMP，△CNP是等边三角形，∴∠BPM＝∠CPN＝60°，PN=PC，PN=PC，∴∠BPN＝∠MPC，∴△BPN≌△MPC，∴PM=PB，PN=PC，∵BP+PC＝BC，∴PM+PN＝BC;（2）BN＝CM总成立，理由：由（1）知△BPN≌△MPC，∴BN＝CM；（3）解：如图③即为所求．作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，连接DF，作直线AH⊥BC交BC 于H，同（1）可证△AND，△AME，△BPM，△CEF都是等边三角形，∴D与N，M与E，B与C关于AH对称.∴BM=CE，∴BM=CF，∴P与F关于AH对称，∴所做图形是轴对称图形.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2) EF 1213；(3)S四边形CEFG最小=52.【解析】【分析】(1)利用矩形的性质及平行线的性质，可证得∠DCG=∠MAG，,∠CDG=∠AMG，△AGM∽△CGD，再利用相似三角形的对应边相等，可得比例线段，然后证明DC=AB=2AM，即可证得CG与AG的数量关系. (2)利用勾股定理，分别求出AC、DG的长，再分情况讨论：①当∠DEF=∠DCG时，△DEF∽△DCG；②当∠DEF=∠DGC时，△DEF∽△DGC，分别利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求出EF的长.(3)作GH⊥DC，FN⊥DC，易证△DNF∽△MAD，可证对应边成比例，求出NF的长，再根据S四边形CEFG=S△DCG-S△DEF，可得到S与t的函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出四边形CEFG的面积的最小值.【详解】证明：(1)在矩形ABCD中，AB∥DC,∴∠DCG=∠MAG,∠CDG=∠AMG,∴△AGM∽△CGD,∴CG DC AG AM=∵点M是边AB的中点, ∴DC=AB=2AM,∴CGAG=2，CG即CG=2AG(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得AC=2222AD CD1218613+=+=,由(1)得CG=2AG，CG=23AC=413，同理可得DG=10①当∠DEF=∠DCG时,△DEF∽△DCG∴EF DECG DC=即EF618413=,解得EF=4133②当∠DEF=∠DGC时,△DEF∽△DGC∴EF DECG DG=,即EF610413=,解得EF=12135(3)作GH⊥DC,FN⊥DC,设运动时间为t，则DF=DG-FG=10-t，DE=2t，∵∠DNF=∠DAM,∠NDF=∠AMD,∴△DNF∽△MAD∴DF FN DM DA = 即 10t FN 1512-= ，解得NF = 404t5- ∵S 四边形CEFG =S △DCG -S △DEF ()22211404t 4404=18122t t t 72=5523225555-⨯⨯⨯-⨯⨯=-+-+t ∴当t =5时，S 四边形CEFG 最小=52 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的动点问题，以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的性质判定相似三角形，然后利用相似三角形的性质求出边长并建立二次函数模型是解题的关键.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC 的边长为4cm ，点D 从点C 出发沿CA 向A 运动，点E 从B 出发沿AB 的延长线BF 向右运动，已知点D 、E 都以每秒0.5cm 的速度同时开始运动，运动过程中DE 与BC 相交于点P ，设运动时间为x 秒．(1)请直接写出AD 长．（用x 的代数式表示） (2)当△ADE 为直角三角形时，运动时间为几秒？ (3)求证：在运动过程中，点P 始终为线段DE 的中点．【答案】（1）AD =4-0.5x ；（2）83；（3）证明见解析．【解析】 【详解】试题分析：（1）直接根据AD =AC -CD 求解；（2）设x 秒时，△ADE 为直角三角形，分别用含x 的式子表示出AD 和AE ，再根据Rt △ADE 中30°角所对的直角边等于斜边的一半得出x 的方程，求解即可；（3）作DG ∥AB 交BC 于点G ，证△DGP ≌△EBP 便可得. 解：（1）由AC =4，CD =0.5x ，得AD =AC -CD =4-0.5x ； （2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =AC =4cm ，∠A =∠ABC =∠C =60°．设x 秒时，△ADE 为直角三角形，∴∠ADE =90°，CD =0.5x ，BE =0.5x ，AD =4-0.5x ，AE =4+0.5x ， ∴∠AED =30°，∴AE =2AD ， ∴4+0.5x =2（4-0.5x ），∴x =83.答：运动83秒后，△ADE 为直角三角形；（3）作DG ∥AB 交BC 于点G ，∴∠GDP =∠BEP ，∠CDG =∠A =60°，∠CGD =∠ABC =60°， ∴∠C =∠CDG =∠CGD ，∴△CDG 是等边三角形，∴DG =DC ， ∵DC =BE ，∴DG =BE ．在△DEP 和△EBP 中，∠GDP ＝BEP ，∠DPG ＝∠EPB ，DG ＝EB ， ∴△DGP ≌△EBP ，∴DP =PE ．∴在运动过程中，点P 始终为线段DE 的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？【答案】（1）1k =-，2b =-，1a =-；（2）22(12)L m m m =-++-<<；（3）当12m =时，S 取最大值，最大值为278【解析】 【分析】（1）把A 、B 坐标分别代入抛物线和一次函数解析式即可求出a 、b 、k 的值；（2）根据a 、b 、k 的值可得抛物线和直线AB 的解析式，根据P 点横坐标为m 可用m 表示P 、C 两点坐标，根据两点间距离公式即可得L 与m 的关系式；（3）如图，作AD ⊥PC 于D ，BE ⊥PC 于E ，根据PAB PAC PBC S S S ∆∆∆=+，可用m 表示出S ，配方求出二次函数的最值即可得答案. 【详解】（1）∵点A （-1，-1）在抛物线2(0)y ax a =≠图象上， ∴2(1)1a -=-， 解得：1a =-，∵点A （-1，-1）、B （2，-4）在一次函数y kx b =+的图象上，∴124k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩， 解得12k b =-⎧⎨=-⎩，∴1k =-，2b =-，（2）∵1k =-，2b =-，a =-1，∴直线AB 的解析式为2y x =--，抛物线的解析式为2y x =-，∵点P 在抛物线上，点C 在直线AB 上，点P 横坐标为m ，PC //y 轴， ∴()2,P m m-，(,2)C m m --，∴L 关于m 的解析式：22(12)L m m m =-++-<<，（3）如图，作AD ⊥PC 于D ，BE ⊥PC 于E ， ∴AD =m +1，BE =2-m ， ∵PAB PAC PBC S S S ∆∆∆=+， ∴S =12PC ·AD +12PC ·BE ()()()()2211122222m m m m m m =+-+++--++ ()2322m m =-++ 233322m m =-++配方得：23127228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当12m =时，S 取最大值，最大值为278【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值，熟练运用配方法求二次函数的最值是解题关键. 5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°； （2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上． 【答案】（1）t ＝125s 时，∠CPM ＝90°；（2）t ＝3s 时，S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形；（3）当t ＝83s 时，点P在∠CAD 的平分线上． 【解析】 【分析】（1）首先证明QM =PC ，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形MQCP ＝ABCD1532S 矩形，构建方程即可解决问题． （3）如图1中，作PH ⊥AC 于H ．证明△P AD ≌△P AH （AAS ），推出AD =AH =8，DP =PH ，设DP =PH =x ，在Rt △PCH 中，构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ＝6，BC ＝AD ＝8，∠D ＝90°，∴AC 10，∵∠CPM ＝∠D ＝90°， ∴PM ∥AD ， ∵QM ∥AB ∥CD ，∴四边形PCQM 是平行四边形， ∴PC ＝QM ＝6﹣t ，∵QM AB ＝CQCB ， ∴66t -＝28t ，解得t ＝125，∴t ＝125s 时，∠CPM ＝90°．（2）∵S 四边形MQCP ＝ABCD15S 32矩形， ∴12•（6﹣t ）•2t +12•2t •34×2t ＝1532×6×8，解得t ＝3或﹣15（舍弃）， 答：t ＝3s 时，S 四边形MQCP ＝ABCD 15S 32矩形． （3）如图1中，作PH ⊥AC 于H ．∵∠D ＝∠AHP ＝90°，AP ＝AP ，∠P AD ＝∠P AH ， ∴△P AD ≌△P AH （AAS ），∴AD ＝AH ＝8，DP ＝PH ，设DP ＝PH ＝x ， ∵AC ＝10， ∴CH ＝2，在Rt △PCH 中，∵PH 2+CH 2＝PC 2， ∴t 2+22＝（6﹣t ）2， 解得t ＝83，答：当t ＝83s 时，点P 在∠CAD 的平分线上．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．在等边三角形ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、AC （含线段AB 、AC 的端点）上的动点，且∠EDF ＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB ＝90°时，BE +CF ＝nAB ，则n 的值为 ；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?【答案】（1）12；（2）①见解析；②见解析；（3）周长L取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2．【解析】【分析】（1）先利用等边三角形判断出BD=CD=12AB，进而判断出BE=12BD，再判断出∠DFC=90°，得出CF=12CD，即可得出结论；（2）①构造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出结论；②由（1）知，BG+CH=12AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出结论；（3）由（1）（2）判断出L=2DE+12，再判断出DE⊥AB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC，∵点D是BC的中点，∴BD=CD=12BC=12AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°-∠B=30°，在Rt△BDE中，BE=12 BD，∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°，∵∠C=60°，∴∠DFC=90°，在Rt△CFD中，CF=12 CD，∴BE +CF =12BD +12CD =12BC =12AB ， ∵BE +CF =nAB ， ∴n =12， 故答案为：12； （2）如图，①过点D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ， ∴∠DGB =∠AGD =∠CHD =∠AHD =90°， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =60°，∴∠GDH =360°-∠AGD -∠AHD -∠A =120°， ∵∠EDF =120°， ∴∠EDG =∠FDH ，∵△ABC 是等边三角形，且D 是BC 的中点， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵DG ⊥AB ，DH ⊥AC ， ∴DG =DH ，在△EDG 和△FDH 中，90DGE DHF DG DHEDG FDH ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△EDG ≌△FDH （ASA ）， ∴DE =DF ，即：DE 始终等于DF ；②同（1）的方法得，BG+CH=12 AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），∴EG=FH，∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=12 AB，∴BE与CF的和始终不变；（3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=12 AB，∵AB=8，∴BE+CF=4，∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD =DE+AB-BE+AC-CF+DF=DE+AB-BE+AB-CF+DE=2DE+2AB-（BE+CF）=2DE+2×8-4=2DE+12，∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，L最小，此时∠BDE=90°-60°=30°，BE=12BD=2，当点F和点C重合或点E和点B重合时，DE最大，点F和点C重合时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°，∵∠B=60°，∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE=DE=BD=12AB=4，当点E和点B重合时，DE=BD=4，周长L有最大值，即周长L取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2．【点睛】本题是四边形综合题，考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线定理，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．【答案】（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm2.【解析】【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积-2个直角三角形的面积．【详解】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=16-t，解得t=8．答：当t=8时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形8t t时，四边形AQCP为菱形．当AQ=CQ22解得：t=6．答：当t=6时，四边形AQCP是菱形；（3）当t=6时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm，面积为：10×8=80（cm2）．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．。
初中数学压轴题-动点问题
通常动点的运动场所将从以下选出：
1、在直角三角形的边上运动
2、在梯形的边上运动
3、在坐标轴上运动
4、在抛物线上运动
如果设时间为t,一般情况将从以下12个问题中选出
（1）求某条线段的长度
（2）求某个三角形的面积s与时间t的函数关系式
（3）求两个图形重叠部分或动点所带的射线扫某个图形部分的面积s与时间t的函数关系式并求面积的最大值
（4）t取何值时两直线平行
（5）t取何值时两直线垂直？
（6）t取何值时某三角形为等腰三角形三角形？
（7）t取何值时某三角形为直角三角形？
（8）t取何值时某四边形为特殊四边形？
（9）t取何值时两个三角形全等或相似
（10）当动点所带的射线把某个中心对称图形的面积二等分时求t.
（11）点在运动的过程中，某个图形的面积或角度是否发生变化，若不变，求出这个面积或角的度数，若变化，说明怎样变？
（12）当抛物线等分某些特殊点的数量时求t的取值范围
E
图1
C
D P
D、A的距离之差最大，求出点
第2题图
），用待第2题图
R 1
R 2
R 3
D
的函数关系式?
E 93。
初中数学动点问题及练习题附参考问题详解
初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
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现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（4）当t为何值时，S等于正方形ABCD面积
的八分之一。
D
CD
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
如图，在组合图形ABCDEF中，AB垂直BC，BC垂直
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
AP
B
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
A
B
P
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
（3）以下能大致反映S与t的函数图象的是（ A ）
0 24 6 0246 0 24 6 0 2 4 6
D
CD
CD
C
P
A
P
0≤t≤2
S=4t
P
BA
2＜t≤4
S=8
BA
B
4＜t≤6
S= 4t+24
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，
有关图形运动问题大体有三种 点的运动 线的运动 图形的运动
运动问题从所求问题来看，大体分 为两类：
•一.求运动时间型。
•二.求函数解析式型。
例1.已知线段AB长为20厘米，动点P从A
出发以每秒1厘米的速度向点B运动，当点P到
达点B时停止运动，设运动时间为t秒，当t为
何值时点P将线段AB分成的两部分的比值为1
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点到达点D。设运动时
间为t秒。
（1）P点在运动过程中
①动点P到点A、点D的距离AP、PD的长度发生怎样
的变化？
D
C
P
AP
B
P
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
• 1.读题，找出已知条件和未知条件。 • 2.确定运动元素有几个，确定每个运动元素的起点、终点
、速度、时间和路程。 • 3.确定问题中所求函数解析式的几何图形，并画出图形。 • 4.根据问题中所求的几何图形，确定等量关系，如三角形
的面积、周长公式等。有时可能用到分割或框图的方法。 • 5.设运动时间为未知数，并用这个未知数表示等量关系中
,点C的坐标是
（2）当t= ＿
秒或
＿
秒时，MN=
1
2
AC
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
y
（4）:（3）中得到的函数 S有没有最大值？若 m
变化的量。有时会用到勾股定理、三角函数、相似的相关 知识。 • 6.根据等量关系列出函数关系式，注意一般动点每经过一 条线段就有一个函数解析式，另外要写清自变量的取值范 围。
解决图形运动问题
策略是：
“以静制动”，把动态问题，变为静态问题, 抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
关键是：
明确运动路径、运动速度、起始点、终点，从而确 定自变量的取值范围，画出相应的图形。
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
②点P在运动过程中到边AD的距离发生怎样
的变化？
D
C
P
AP
PB
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度， 沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时 间为t秒。
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
CD，CD垂直DE，DE垂直EF，EF垂直AF，动点Q沿A至B
至C至D至E至F运动，到F停止运动，速度为2个单位每
秒，已知AF=6，EF=8，AB=4，BC=3，设运动时间为x
秒，三角形AQF的面Q积为S，Q求SQ与x的函数关系式。
DQ
E Q
BQQ Q Q
Q
C
Q
A
F
解运动问题的一般步骤：求函数解析式型
P P PP
D
A
B Q EQ
C Q FQ
解运动问题的一般步骤：求运动时间型。
• 1.读题找出已知条件和未知条件。 • 2.确定运动元素有几个，确定每个运动元素
的起点、终点、速度、时间和路程。 • 3.从问题入手，思考符合问题的情况有几种
，画出图形。 • 4.找出每种情况的等量关系，通常是线段的
等量关系，有时周长、面积等也可作为等量 关系。 • 5.设运动时间为未知数，并用这个未知数表 示等量关系中的每一个量。 • 6.根据等量关系列出方程并解方程求出运动 时间。
找出一个基本关系式，把相关的量用一个自 变量的表达式表达出来。
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形， 点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原 点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）
（1）点A的坐标是
CD，CD垂直DE，DE垂直EF，ED垂直AF，动点Q沿A至B
至C至D至E至F运动，到F停止运动，速度为2个单位每
秒，已知AF=6，EF=8，AB=4，BC=3，设运动时间为x
秒，三角形AQF的面Q积为S，Q求SQ与x的函数关系式。
DQ
E
BQQ Q Q
Q
C
Q
A
F
如图，在组合图形ABCDEF中，AB垂直BC，BC垂直
：2.
P
A 三分之一A三B 分之二AB
B
P
P
A
B
1×t 1×t
思考：如果将问题中的比值改为：1：1，1：3或1：4将如何求t 值。
例2.如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90度 ，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A出发，以 1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向B运动。其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动。从运动开始，经过多 少时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯 形？成为直角梯形？
③由动点P和点A、点D形成的△APD的
形状发生怎样的变化？面积呢？
D
C
P
A
B
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，
现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，
沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时
间为t秒。
（2）设△APD的面积为S，求S关于t的
函数关系式，并写出t 的取值范围；
D
CD