人教版初中数学第二十二章二次函数知识点

第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.这里2.⑴2． ⑵22.1.21. a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.例1．若抛物线y=ax 2经过P （1，﹣2），则它也经过 ( )A ．（2，1）B ．（﹣1，2）C ．（1，2）D ．（﹣1，﹣2） 【答案】 【解析】试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点P （1，-2）， ∴x=-1时的函数值也是-2， 即它也经过点（-1，-2）． 故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．例2．若点(2，-1)在抛物线上，那么，当x=2时，y=_________ 【答案】-1 【解析】试题分析：先把(2，-1)直接代入即可得到解析式，再把x=2代入即可.考点：本题考查的是二次函数点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式. 2. 上加下减.例1．若抛物线y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），则它也经过 （ ）A ．P 1（－1，－2 ）B ．P 2（－l ， 2 ）C ．P 3（ l ， 2）D ．P 4（2， 1） 【答案】A 【解析】试题分析：因为抛物线y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），且对称轴是y 轴，所以点P （l ，－2）的对称点是（－1，－2），所以P 1（－1，－2）在抛物线上，故选：A. 考点：抛物线的性质.例2．已知函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），则a ﹣b=（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．3 D ．7 【答案】D ．2y ax =2y ax =【解析】试题分析：∵函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），∴，解得． ∴a ﹣b=5+2=7． 故选D ．考点：1．直线上点的坐标与方程的关系；2．求代数式的值．例3．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的 ( )【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a ，b 的值，看看是否矛盾即可． 解：A 、由y 1的图象可知，a ＜0，b ＜0；由y 2的图象可知，a>0，b<0，两结论矛盾，故错误； B 、由y 1的图象可知，a ＞0，b ＞0；由y 2的图象可知，a ＞0，b<0，两结论相矛盾，故错误； C 、由y 1的图象可知，a>0，b<0；由y 2的图象可知，a ＜0，b ＜0，两结论相矛盾，故错误； D 、由y 1的图象可知，a ＞0，b ＞0；由y 2的图象可知，a<0，b<0，两结论相矛盾，故错误． 故无正确答案．点评：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b 的图象有四种情况： ①当k ＞0，b ＞0，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限； ②当k ＞0，b ＜0，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限； ③当k ＜0，b ＞0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限； ④当k ＜0，b ＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．22.1.3 二次函数()2y a x h k =-+的图象和性质左加右减.a b 3b 2+=⎧⎨=-⎩a 5b 2=⎧⎨=-⎩a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a > 向上()0h ，X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．0a < 向下()0h ，X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，例1．将二次函数y=x 2﹣2x ﹣3化成y=（x ﹣h ）2+k形式，则h+k 结果为（ ）A ．﹣5B ．5C ．3D ．﹣3 【答案】D ． 【解析】试题分析：y=x 2-2x-3=（x 2-2x+1）-1-3=（x-1） 2-4． 则h=1，k=-4， ∴h+k=-3． 故选D ．考点: 二次函数的三种形式．例2．把二次函数y=x 2+6x+4配方成y=a （x-h ）2+k 的形式，得y=___，它的顶点坐标是___． 【答案】（x+3）2-5，（-3，-5） 【解析】试题分析：3，－5）．考点：二次函数的顶点式． 例3y ＝a （x －k ）2＋h 的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴.【答案】y=顶点坐标（3，-），对称轴方程x＝3【解析】试题分析：y=x 2﹣3x+4=（x﹣3）2﹣，则顶点坐标（3，﹣），对称轴方程x=3，考点：二次函数的图像及性质1、二次函数图象的平移（1）平移步骤：方法一：（1（2（2）平移规律概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：（1:（2例1．将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为( )A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1C．y＝(x－1)2D．y＝(x＋1)2【答案】A【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y＝x2－1.故选A.【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位例2．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是A ．y=(x –1)2+2B ．y=(x+1)2+2C ．y=(x –1)2–2D ．y=(x+1)2–2 【答案】A ． 【解析】试题分析：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y=（x ﹣h ）2+k ，代入得y=（x ﹣1）2+2． 故选A ．考点：二次函数图象与几何变换．例3．将二次函数的图象如何平移可得到的图象（ ）A ．向右平移2个单位，向上平移一个单位B ．向右平移2个单位，向下平移一个单位C ．向左平移2个单位，向下平移一个单位D ．向左平移2个单位，向上平移一个单位 【答案】C向左平移2个单位，向下平移一个单位.故选C.例4．已知点P （﹣1，m ）在二次函数y=x 2﹣1的图象上，则m 的值为 ；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 ． 【答案】0，y=x 2﹣2x ． 【解析】∵点P （﹣1，m ）在二次函数y=x 2﹣1的图象上， ∴（﹣1）2﹣1=m ， 解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1）， 平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x ﹣1）2﹣1=x 2﹣2x ， 即y=x 2﹣2x ．故答案为：0，y=x 2﹣2x ．22x y =342++=x x y3确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.则取两组关于对.41.2.例1．当a < 0 时，方程ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在（）A、x轴上方B、x轴下方C、y轴右侧D、y轴左侧【答案】B【解析】试题分析：∵方程ax2+bx+c=0无实数根，∴b2+4ac<0，即函数图形与x轴没有交点又∵a < 0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在x轴下方故选B．考点：二次函数的性质例2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则a、b、c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0B、a＜0，b＜0，c＜0C、a＜0，b＞0，c＞0D、a＞0，b＜0，c＞0【答案】A【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．试题解析：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，又∵对称轴0，∴b＜0，所以A正确．考点：二次函数图象与系数的关系．例3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线与x轴有两个交点，可得△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；根据抛物线对称轴为x=0，与y轴交于负半轴，因此可知ab＞0，c＜0，abc＜0，故②错误；根据抛物线对称轴为x=﹣1，∴2a﹣b=0，故③错误；当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故④正确；当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正确；正确的是①④⑤．故选D．考点：二次函数图象与系数的关系例4．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＞0，b＜0，c＜0【答案】D【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，所以a＞0，又对称轴在y0，所以b＜0，又因为抛物线与y 轴的交点在x轴下方，所以c＜0，所以a＞0，b＜0，c＜0，故选：D．考点：抛物线的性质．例5．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．【答案】x=-1．【解析】试题分析：因为点（-4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=试题解析：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x=-1．考点：抛物线与x轴的交点．5、二次函数解析式的表示方法1. ；2. ；3..注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线互化.6、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.⑴⑵2.⑴⑵右异”总结：3.⑴⑵⑶二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．7、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.2.3. 关于原点对称4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）5.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．22.2二次函数与一元二次方程1..①②③.2.3. 二次函数常用解题方法总结：⑴⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸例1A（0．8B（1．1C）ABCD【答案】C 【解析】象的草图，C．考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点．例2．已知二次函数y=x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是.【答案】m≥-2．【解析】试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．试题解析：抛物线的对称轴为直线，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴-m≤2，解得m≥-2．考点：二次函数的性质．例31，2），则b-c的值为．【答案】1【解析】试题分析：把点（1，2考点：函数图象上的点.例4．已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．【答案】（1）见解析；（2）x=－2【解析】试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．试题解析：（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣2b a ，∴b=－2a∴2a+b=0； （2）∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b ﹣8=0，∵b=﹣2a ，∴16a ﹣8a ﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴a 2x +bx ﹣8=0为：2x ﹣2x ﹣8=0，则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：1x =4，2x =﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点例5．已知函数21y x bx =+-的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的解析式；（2）当0x >时，求使2y ≥的x 的取值范围．【答案】（1）221y x x =--；（2）3x ≥．【解析】试题分析：（1）把（3，2）代入函数解析式求出b 的值，即可确定出解析式；（2）利用二次函数的性质求出满足题意x 的范围即可．试题解析：（1）∵函数21y x bx =+-的图象经过点（3，2），∴9312b +-=，解得：2b =-，则函数解析式为：221y x x =--；（2）当3x =时，2y =，根据二次函数性质当3x ≥时，2y ≥，则当0x >时，使2y ≥的x 的取值范围是3x ≥． 考点：待定系数法求二次函数解析式． 22.3 实际问题与二次函数例1．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（ ）【答案】C【解析】试题分析：A、对于一次函数a＜0，对于二次函数a＞0，则不正确；B、对于一次函数b＜0，对于二次函数b＞0，则不正确；C、正确；D、对于一次函数b＜0，对于二次函数b＞0，则不正确．考点：函数图象例2．学生校服原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（）A．9% B．8．5% C．9．5% D．10%【答案】D．【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，根据等量关系“校服原来每套的售价是100元×（1-下降率）2=每套校服现在的售价是81元”，列出方程100（1-x）2= 81元，解得x即可，故答案选D．考点：一元二次方程的应用．本文档部分内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！。