2019-2020年高三数学大一轮复习 8.8立体几何中的向量方法(Ⅱ)求空间角、距离教案 理 新人教A版

2019-2020年高三数学大一轮复习 8.8立体几何中的向量方法（Ⅱ）求空

间角、距离教案 理 新人教A 版

xx 高考会这样考 1.考查用向量方法求空间角的大小；2.考查简单的空间距离的计算(点面距是重点)．

复习备考要这样做 1.掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；2.会利用向量方法对距离进行转化．

1． 空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.

(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小

1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．

2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．

2. 点面距的求法

如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →

·n |

|n |.

[难点正本 疑点清源]

1． 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻

烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．

2． 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的向量n 1，n 2时，要根据

向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还

是互补．

3． 求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定

已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．

1． 若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，

则l 与α所成角的正弦值为___________． 答案

411

33

解析 ∵n·a ＝－8－3＋3＝－8，|n |＝16＋1＋1＝32， |a |＝4＋9＋9＝22，

∴cos〈n ，a 〉＝n·a |n|·|a |＝－832×22＝－411

33

.

又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝411

33

.

2． 若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的

角为________． 答案 30°

解析 由题意得直线l 与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.

3． 从空间一点P 向二面角α—l —β的两个面α，β分别作垂线PE ，PF ，垂足分别为E ，

F ，若二面角α—l —β的大小为60°，则∠EPF 的大小为__________．

答案 60°或120°

4. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体

ABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为

________． 答案

22

a 解析 由图易知A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A ′(a,0，a )．

∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2，a 2，a

2. ∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫0－a 22 ＝

a 24＋a 2

4＝22

a .

5． 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是CC 1，AD 的

中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________． 答案

155

解析 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

∴F (1,0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)， ∴FD 1→＝(－1,0,2)，OE →

＝(－1,1,1)， ∴cos〈FD 1→，OE →

〉＝1＋25·3

＝155.

题型一 求异面直线所成的角

例1 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形

BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 1、AA 1的中点，设点E 1、G 1

分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影． (1)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；

(2)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．

思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解．

(1)证明 以D 为原点，DD 1→、DC →、DA →

分别为z 轴、y 轴、x 轴的正向，12

|DD 1→

|为1个单位长度建立空间直角坐标系．

由题设知点E 、F 、G 1、E 1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，

∴FE 1→＝(0,1，－1)，FG 1→＝(0，－1，－1)，EE 1→

＝(－1,0,0)， ∴FG 1→·EE 1→＝0，FG 1→·FE 1→＝0⇒FG 1→⊥EE 1→，FG 1→⊥FE 1→， 又∵EE 1∩FE 1＝E 1.∴FG 1⊥平面FEE 1. (2)解 由题意知点A 的坐标为(2,0,0)，

又由(1)可知EA →＝(1，－2，－1)，E 1G 1→

＝(0，－2,0)， ∴cos〈EA →，E 1G 1→

〉＝EA →·E 1G 1→|EA →|·|E 1G 1→|

＝63，