箱梁扭转3

剪切变形：
未知剪力流
剪切变形：
注意：q1 方向与量值
切口剪切变形协调：
s ds 0
最终剪力流
注意：剪应力方向，剪应力零点位置
对于闭口多室截面，对每室设一个切口，
每个切口列一个变形协调方程：
si ds 0
i
i 1~ n
变形协调方程：
q1 , q2 , q3 , ~ qn
2 2a1 ( K12 K 2 K1K 2 ) 1 2 b1 2 b2 2 K3 EI R K K 2 1 3E I4 I2 I1
令 Vd Pv ( z )
b2 ，则上式又可写为 b2 b1
EI D 2 EI R 2 Vd b2
横截面纵向变形
自由扭转时的变形
纵向纤维无应变、应力
根据基本假定3，约束扭转时的变形
约束扭转函数
2、约束扭转正应力
截面上合力的平衡条件

——广义扇性坐标
Jd

S
0
ds t
'( z ) ——表示截面翘曲程度的未知函数。 和扭率有一定相似关系，但计算精 度更精确。（即乌氏第一、第二理 论。
不均匀分布称为由剪力滞效应。
二、箱梁弯曲的剪应力
开口截面
一般梁理论中，开口截面弯曲剪应力计算公式为：
式中：b——计算剪应力处的梁宽；
是由截面的自由表面（剪应力等于零处）积分至所求剪应 力处的面积矩（或静矩）。
闭口单室截面： 问题：无法确定 积分起点，在平 面内为超静定结 构，必须通过变 形协调条件求解
4、约束扭转扭角微分方程
由 u( z) u0 ( z) ( z)
导出剪力以及内力矩
根据截面上内外扭矩平衡，得
翘曲系数
u v 导出轴向位移，积分一周增量为零 s G z
截面抗扭惯矩
2 Jd ds
截面极惯性矩
由 得
合并两微分方程后得到
约束扭转的弯 扭特性系数
`
4
M1
`
M4 M3 2 M2 a)
` `
`
M3
`
3 M2
`
b)
横向框架变形与横向弯矩图
θ σ D1 σ DX θ σ D1 M4
βD h y= 1+β D 1 h h-y = 1+β D
`
σ D2
M2
翘曲应力
将箱梁截面的应力表达成 D
根据应变
能计算箱体的翘曲应变能
2 d 2 EK 2 (b1 d ) 1 D 4 b2 2 2a11 ( D D 1) H 6 b1 2 4
2 用能量变分法分析斜腹板箱梁的畸变 应力和变形 （1） 偏心荷载分解(畸变荷载和畸变荷 载) 思路： 按自由扭转计算刚性扭转剪力流； 根据静力平衡计算计算畸变荷载。
ΣP e ΣP e 1 N 4 1 N 4 1 N 4 1 N ΣP ΣP P= ΣP e b P= ΣP e b 4
2
3
2
3
2
3
（3） 求箱梁畸变总的势能： 2. 横向框架畸变应变能 翘曲应变能 荷载势能
横向框架畸变应变能:
。
荷载势能
结构畸变总势能
U1 U 2 V
2 l b2 ) dz 总势能： K dz H ( 2 2 P4 ( z )dz 0 0 0 (b2 b1 ) l 2 3 2 l 2
2 P b v 2 P 4 (b2 b1 ) h
根据静力平衡条件求出畸变荷载：
P v a1b2 P 1 P 3 (b2 b1 ) h P vb 1b2 P 2 (b2 b1 ) h 畸变荷载的特点：自相平衡的内力，但产生畸变角 2 。
扭矩、剪应变与扭转角变化率的关系
积分一周, u=u0，求扭率：
G
s

ds '
MK t
Mk '( z ) G2
ds M k s t GJ d
2 其中，J d ds t
称为自由扭转慣矩
（3）扭率与截面轴向变形的关系
广义扇性坐标
参阅教材图2-2
扇性坐标
工程结构常用几种截面的扭转剪力流分布
（1）、实心截面杆扭转
抗扭模量，与截面形状 及尺寸有关 矩形截面
圆截面
Wd (1/16) d 3
（2）、开口薄壁杆自由扭 转
剪应力沿截面表面 环流，
按各分肢矩形截面 的抗扭惯矩总和计 算获得抗扭模量
（3），闭口单室薄壁杆自由扭转
剪应力沿截面厚度方向相等，在全截面 形成环流。剪力流q，剪力 q / t
（4）轴向变形特征，注意对称性
（5） 开口闭口薄壁杆自由扭转剪力流比较
（6）闭口多室薄壁杆自由扭转
多室箱梁扭转时，截面内是超静定结构， 必须将各室切开，利用切口变形协调条 件求解超静定剪流
对每个箱室
补充方程
对全截面
四、箱梁约束扭转应力
1 定义和基本假定 纵向变形有约束。 刚周边假定； 截面正应力和剪应力均匀分布； 轴向位移和自由扭转相同。
常用边 界条件
五、箱梁的畸变应力
1 畸变的变形和受力特征:
周边变形。
产生 翘曲正应力dw ，畸变剪应力dw ，横向弯曲应
力dt 。
小跨度时：翘曲应力可达到恒、活载共同作用弯曲 应力的24%-26%，而由截面畸变产生的横向弯曲 应力可达到与纵向弯曲应力同一数量级水平。 大跨度时：恒载增加，正应力占10%左右。
总变形
纵向弯曲
：＋ 横向弯曲
刚性扭转
畸变
一、箱梁纵向弯曲变形和应力
箱梁在对称挠曲时，仍认为服从平截面假定原则，梁截面上某点的应
力与距中性轴的距离成正比。因此，箱梁的弯曲时，挠度：
w
正应力为：
M EI My
M
I
应指出，如同T梁或I梁一样，箱梁顶、底板中的弯曲正应力，是通过顶、
底板与腹板相接处的受剪面传递的，因在顶、底板发布是不均匀的，这一
2 P b v 2 P 4 (b2 b1 ) h
γ2 a1 sinθ M1
`
M4 1
`
4
M1
`
M
2
`M3 2 M3`来自`3（2） 畸变的应变能 基本未知数箱梁畸变角 2或 D ，变形后截面 产生的内力与变形： 注意：畸变产生变形和内力都是反对称特点。
γ2 a1 sinθ
M1
`
M4 1
坐标系以及正负号如教材所示
根据薄壁杆件结构力学：对扭转中心，选择广义 扇性静矩积分起点，广义扇性静矩为零。
定义：
约束扭转双力矩 约束扭 转惯矩
3、约束扭转剪应力
微元上Z方向力的平衡
根据截面内外力矩平衡计算
自由扭转
S MK w E "'( z ) t t
约束扭转增量 主广义扇性静矩
2
3
Pv
b1
Pv P4 (力) P4
P1
P3
P1 P2
P3
h
b2
a2
a1
P2
扭转剪应力
Pv b1 MK MK q ( , ) b b 2 b2 b1 h 2 2 1 h 2
各板件刚性扭转荷载：
P v a1b2 P 1 P 3 (b2 b1 ) h P vb 1b2 P 2 (b2 b1 ) h
（2.3-24）
（5）求解微分方程—— 弹性地基梁比拟法应用
畸变角微分方程
EI R EI D
————框架畸变框架刚度； ————箱梁畸变翘曲刚度。
求解该微分方程，得各截面畸变角，再根据畸 变角，求出截面畸变翘曲正应力、剪应力、畸变横 向应力。在求解微分方程时通常采用比拟法求解。
弹性地基梁微分方程
, 2 )dF F ( z, 2 , 2
0
l
（4）畸变控制微分方程
将以上各式代入欧拉—拉格朗日条件中得到
2 b2 2H 2 2K3 2 Pv ( z ) (b2 b1 )
（2.3-23）
2 EK d 2 2 式中： 2 H EI D (b1 d ) 1 t4 b2t2 2a1t1 ( 1) 3 b1 2 4
解题思路：1. 切开断面变开口，静定。q0（开口 截面剪力流）, q0 0t ，q1 待求； 2. 变形协调： ，求出 q ， q ； ds 0 1 0 s
3. q1，q0迭加。（解题过程如下图所示）
具体演算步骤： 剪力流q0按开 口薄壁杆件计 算
q0
Qy S x 0 Ix
扭转剪应力：
翘曲正应力：
w ( z)
Bw ( z ) 0 J
4.箱梁的畸变变形和畸变应力
七.讨论
1.有限元在箱梁扭转计算的应用。 单元选取，模型建立。 2.有限元和解析解的比较。 有限元和解析解的优缺点
My I
注意剪力滞问题；
剪应力：超静定问题，按变形协调方法求解。
2.箱梁自由扭转变形和应力
定义：轴向自由变形是否受约束
扭转角： ( z ) 轴向变形：
Mk 扭转剪应力： t
Mk GJ d
3.箱梁约束扭转变形和应力
定义：轴向自由变形有约束 轴向变形：
扭转角：
MK '( z ) '( z) GJ
薄壁箱梁受力特性分析
扭转变形---翘曲正应力dw ，畸变剪应力dw ，横向弯曲应 力dt 。
箱梁在偏心荷载作用下的变形与应力： 变形： 1. 纵向弯曲; 2. 横向弯曲; 3. 扭转(刚周边假定:又分为自由扭转和约束扭 转) 4. 畸变。（见图） 引起的相应的应力： 纵向弯曲---纵向弯曲正应力m ，弯曲剪应力m ； 横向弯曲---横向正应力c ； 自由扭转---自由扭转剪应力 ； 约束扭转---翘曲正应力w ，约束扭转剪应力w ；
弹性地基梁与受畸荷载箱梁各物理量之间 相似关系
6 箱梁弯扭状态下应力计算汇总
纵向正应力σ (Z)= σ M+σ W+σ dW 剪应力τ =τ M+τ K+ τ W +τ 横向正应力σ (S)= c + σ dt
dW
六 小结
1.箱梁弯曲变形和应力
挠曲变形： y
M EI
，
M 正应力：
2. 箱梁截面自由扭转应力和变形
（1） 自由扭转扭矩与剪应力关系
根据内外扭矩平衡
MK t
Ω 为箱梁薄壁中线所 围面积的两倍 注意：扭转中心，剪切中心，截面形心定义和概 念上不 同， 值定义。
（2）扭矩与扭转角变化率的关系
描述箱梁截面上各点空间位置的坐标——曲线坐标。 Z——轴向坐标，表示箱梁截面位置； s ——表示箱梁截面上点的位置坐标，须确 定起点位置和方向，即所谓零点位置。 u——坐标点的轴向位移； v ——坐标点的沿周边方向位移； ——截面绕扭转中心的转角。
联合求解可得各室剪力流
然后对各室相关剪力流迭加，求得各壁的剪力流
三、箱梁自由扭转变形和剪应力
自由扭转的定义：
扭矩作用下，截面无纵向约束，可自由凹凸变 形的扭转成为自由扭转，或称为圣维南扭转。
自由扭转受力特征：
可以认为在扭矩作用下，只引起扭转扭转角、 截面轴向变形和扭转剪应力，而不引起纵向正应力。
1 几种常用截面（非箱形截面）自由扭转剪力流 分布