纠缠相干态
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������ ������
由上式可得 ������������ √������! |0〉 = ������ ������ ������0 |0〉, ������������ = ������0 的值由归一化条件确定
∗ 〈������|������〉 〈������|������〉 = ∑ ∑ ������������ ������������ = ∑ |������������ |2 〈������|������〉 ������ ������ 2������ ������
|10〉12 = |1〉1 |0〉2 = |1〉1 ⨂|0〉2 . 为直积态。 二、 相干态及其本征态 对于粒子数算符������ ̂ = ������ ̂ + ������ ̂ ������ ̂|������〉 = ������|������〉, 其中, |������〉为粒子数算符������ ̂ 的本征态, 表示的是粒子的个数, ������是 相应的本征值。 粒子数算符的本征态是正交、完备、归一化的 ∑
������
用������作用在这个态上 ������ ̂|������〉 = ∑ ������������ √������|������ − 1〉 = ������ ∑ ������������ |������〉,
������ ������
用������作用������次之后,得到 ������ ̂ ������ |������〉 = ∑ ������������ √������! |0〉 = ������ ������ ∑ ������������ |������〉.
2 2 |/2
.
−|������ 2 |/2
∑
∞
������ ������
������=0 √������!
Fra Baidu bibliotek
|������〉.
−1/2
是标准化因子,|������〉和| − ������〉是振幅相同,相位相差为������的两个 相干态。|������〉与| − ������〉不相交。 当������ = ������/4时 |������〉12 = 1 √2(1 − ������ 引入奇和偶的相干态 |������〉± = 1 √2(1 ± ������
+ + − (|������〉1 |������〉− 2 − | − ������〉1 |������〉2 ).
3
������ ������ √������!
������0 .
=∑ |
������
������ 2 2 2 = ������ |������ | ������0 = 1. | ������0 ������!
2
解得 ������0 = ������ −|������ 得到 |������〉 = ������ 三、 纠缠相干态 纠缠相干态(entangled coherent states)的形式 |������〉12 = ������������ (cos ������ |������〉1 |������〉2 − sin������ | − ������〉1 | − ������〉2 ). 其中 ������������ = (1 − 2������ −4|������ | cos ������ sin������)
−2|������ 2 | −4|������ 2 |
(|������〉1 |������〉2 − | − ������〉1 | − ������〉2 ). )
(|������〉1 ± | − ������〉), )
|������〉+ 和|������〉− 是正交的,得到新的纠缠相干态形式 |������〉12 = 1 √2
纠缠相干态
一、 纠缠态的定义 一般的,如果存在|������〉������������ = |������〉������ ⨂|������〉������ ,则称|������〉������������ 为直积态 (product state) ;否则称为纠缠态(entangled state) 。 考虑两个粒子的自旋,以|1〉表示自旋向上的态,以|0〉表示自 旋向下的态。那么 |������ ± 〉12 = |������ ± 〉12 = 则为 纠缠态,而 |������ ± 〉12 = 1 √2 (|1〉1 |1〉2 ± |1〉1 |0〉2 ) = |1〉1 ⨂ 1 √2 (|1〉2 ± |0〉2 ), 1 √2 1 √2 (|1〉1 |0〉2 ± |0〉1 |1〉2 ), (|1〉1 |1〉2 ± |0〉1 |0〉2 ).
∞
������=0
|������〉〈������| = 1
, 〈������|������〉 = ������������,������ .
1
粒子数算符中的������ ̂ + 和������ ̂ 为产生算符和湮灭算符, 分别作用在|������〉 上 ������ ̂ + |������〉 = √������ + 1|������ + 1〉, ������ ̂|������〉 = √������|������ − 1〉. 将产生算符的本征值记做〈������|,即〈������|������ ̂ + = ������ ∗ 〈������|,������ ∗ 为相应的 本征值,那么〈������|就成为相干态(coherent state) 。 相应的,对于湮灭算符,������ ̂|������〉 = ������|������〉,其中,|������〉为湮灭算符 的本征态,������为相应的本征值。 对于湮灭算符������ ̂ 的本征值������的计算,先将其相应的本征态|������〉在 粒子数算符的本征态上展开 |������〉 = ∑ ������������ |������〉.
由上式可得 ������������ √������! |0〉 = ������ ������ ������0 |0〉, ������������ = ������0 的值由归一化条件确定
∗ 〈������|������〉 〈������|������〉 = ∑ ∑ ������������ ������������ = ∑ |������������ |2 〈������|������〉 ������ ������ 2������ ������
|10〉12 = |1〉1 |0〉2 = |1〉1 ⨂|0〉2 . 为直积态。 二、 相干态及其本征态 对于粒子数算符������ ̂ = ������ ̂ + ������ ̂ ������ ̂|������〉 = ������|������〉, 其中, |������〉为粒子数算符������ ̂ 的本征态, 表示的是粒子的个数, ������是 相应的本征值。 粒子数算符的本征态是正交、完备、归一化的 ∑
������
用������作用在这个态上 ������ ̂|������〉 = ∑ ������������ √������|������ − 1〉 = ������ ∑ ������������ |������〉,
������ ������
用������作用������次之后,得到 ������ ̂ ������ |������〉 = ∑ ������������ √������! |0〉 = ������ ������ ∑ ������������ |������〉.
2 2 |/2
.
−|������ 2 |/2
∑
∞
������ ������
������=0 √������!
Fra Baidu bibliotek
|������〉.
−1/2
是标准化因子,|������〉和| − ������〉是振幅相同,相位相差为������的两个 相干态。|������〉与| − ������〉不相交。 当������ = ������/4时 |������〉12 = 1 √2(1 − ������ 引入奇和偶的相干态 |������〉± = 1 √2(1 ± ������
+ + − (|������〉1 |������〉− 2 − | − ������〉1 |������〉2 ).
3
������ ������ √������!
������0 .
=∑ |
������
������ 2 2 2 = ������ |������ | ������0 = 1. | ������0 ������!
2
解得 ������0 = ������ −|������ 得到 |������〉 = ������ 三、 纠缠相干态 纠缠相干态(entangled coherent states)的形式 |������〉12 = ������������ (cos ������ |������〉1 |������〉2 − sin������ | − ������〉1 | − ������〉2 ). 其中 ������������ = (1 − 2������ −4|������ | cos ������ sin������)
−2|������ 2 | −4|������ 2 |
(|������〉1 |������〉2 − | − ������〉1 | − ������〉2 ). )
(|������〉1 ± | − ������〉), )
|������〉+ 和|������〉− 是正交的,得到新的纠缠相干态形式 |������〉12 = 1 √2
纠缠相干态
一、 纠缠态的定义 一般的,如果存在|������〉������������ = |������〉������ ⨂|������〉������ ,则称|������〉������������ 为直积态 (product state) ;否则称为纠缠态(entangled state) 。 考虑两个粒子的自旋,以|1〉表示自旋向上的态,以|0〉表示自 旋向下的态。那么 |������ ± 〉12 = |������ ± 〉12 = 则为 纠缠态,而 |������ ± 〉12 = 1 √2 (|1〉1 |1〉2 ± |1〉1 |0〉2 ) = |1〉1 ⨂ 1 √2 (|1〉2 ± |0〉2 ), 1 √2 1 √2 (|1〉1 |0〉2 ± |0〉1 |1〉2 ), (|1〉1 |1〉2 ± |0〉1 |0〉2 ).
∞
������=0
|������〉〈������| = 1
, 〈������|������〉 = ������������,������ .
1
粒子数算符中的������ ̂ + 和������ ̂ 为产生算符和湮灭算符, 分别作用在|������〉 上 ������ ̂ + |������〉 = √������ + 1|������ + 1〉, ������ ̂|������〉 = √������|������ − 1〉. 将产生算符的本征值记做〈������|,即〈������|������ ̂ + = ������ ∗ 〈������|,������ ∗ 为相应的 本征值,那么〈������|就成为相干态(coherent state) 。 相应的,对于湮灭算符,������ ̂|������〉 = ������|������〉,其中,|������〉为湮灭算符 的本征态,������为相应的本征值。 对于湮灭算符������ ̂ 的本征值������的计算,先将其相应的本征态|������〉在 粒子数算符的本征态上展开 |������〉 = ∑ ������������ |������〉.