山西省忻州一中2019_2020学年高一数学下学期期中试题

山西省忻州一中2019-2020学年高一数学下学期期中试题注意事项：1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-2．已知角α的终边经过点P (-3，1)，则cos 2α＝( ) A ．35B ．35-C ．45D ．45-3．cos70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为( )A ．BC ．12-D ．124．已知平面向量a →，b →是非零向量，|a →|=2, a →⊥(a →+2b →)，则向量b →在向量a →方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-25．0>ω函数()sinsin22xxf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，则ω的范围是( ) A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞6．已知向量a →=(1,0)，b →=(1,3)，则与2a →-b →共线的单位向量为( )A ．1,22⎛- ⎝⎭B ．1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．221⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭或221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭ 7．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-8．已知e 1→，e 2→分别为直角坐标系x O y 的x ,y 轴正上方上单位向量，AC →=4e 1→-3e 2→，BD →=6e 1→+8e 2→，则平行四边形ABCD 的面积为( ) A ．25 B ．50C ．75D ．1009．设42ππx ≤≤，则1sin 21sin 2x x ++-=( ) A ．2sin xB ．2cos xC ．2sin x -D ．2cos x -10．设ΔABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足AO →=-2DO →，则OC →=( ) A ．-13AB →+23AC →B ．23AB →-13AC →C ．13AB →-23AC → D ．-23AB →+13AC →11．将函数f (x )=3sin2x -cos2x 向左平移6π个单位，得到g (x )的图象，则g (x )满足( ) A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根12．已知函数f(x)=⎩⎨⎧log 2(1-x)，x ≤0-x 2+4x ，x>0，则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．9二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，弧田的面积__________．14．已知向量a →=(4,2)，b →=(λ,1)，若a →与b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______.15．若sin2α1-cos2α=13，tan(β-2α)=1，则tan(α-β)=______．16．对下列命题：（1）若向量a →与b →同向，且|a →|>|b →|，则a →>b →；（2）若向量|a →|=|b →|，则a →与b →的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意向量|a →|=|b →|，若a →与b →的方向相同，则a →=b →； （4）由于0→方向不确定，故0→不与任意向量平行； （5）向量a →与b →平行，则向量a →与b →方向相同或相反． 其中正确的命题的个数为________三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分)已知，5cos α=，()10sin αβ-=，且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求：（1）cos(2)αβ-的值；（2）β的值.18．(本小题满分12分)如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设AB →=a →，AO →=b →.(1)用向量a →与b →表示向量OC →，CD →；(2)若OE →=45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线.19．(本小题满分12分)为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中a =2b . （1）求a ，b 的值；（2）若按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，)60的概率．20．(本小题满分12分) 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.21．(本小题满分12分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若|AC →|=|BC →|，求角α的值；（2）若AC →•BC →=-1，求22sin sin21tan ααα++的值.22．(本小题满分12分)已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.高一数学期中考试题答案 一、选择题1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-【解析】．B2．已知角α的终边经过点P (-3，1)，则cos 2α＝( ) A ．35B ．35-C ．45D ．45-【解析】．C3．cos70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为( )A ．BC ．12-D ．12【解析】．B4．已知平面向量a →，b →是非零向量，|a →|=2, a →⊥(a →+2b →)，则向量b →在向量a →方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【解析】．B5．0>ω函数()sinsin22xxf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，则ω的范围是( ) A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【解析】．B6．已知向量a →=(1,0)，b →=(1,3)，则与2a →-b →共线的单位向量为( )A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛-⎝⎭ 【解析】．D7．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【解析】．B8．已知e 1→，e 2→分别为直角坐标系x O y 的x ,y 轴正上方上单位向量，AC →=4e 1→-3e 2→，BD →=6e 1→+8e 2→，则平行四边形ABCD 的面积为( ) A ．25 B ．50C ．75D ．100【解析】．A 9．设42ππx ≤≤，则1sin 21sin 2x x ++-=( ) A ．2sin x B ．2cos xC ．2sin x -D ．2cos x -【解析】．A10．设ΔABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足AO →=-2DO →，则OC →=( ) A ．-13AB →+23AC →B ．23AB →-13AC →C ．13AB →-23AC →D ．-23AB →+13AC →【解析】．A11．将函数f (x )=3sin2x -cos2x 向左平移6π个单位，得到g (x )的图象，则g (x )满足( ) A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 【解析】．C12．已知函数f(x)=⎩⎨⎧log 2(1-x)，x ≤0-x 2+4x ，x>0，则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．9【解析】．B 二、填空题13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，弧田的面积__________． 【解析】12π﹣9 314．已知向量a →=(4,2)，b →=(λ,1)，若a →与b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______. 【解析】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭15．若sin2α1-cos2α=13，tan(β-2α)=1，则tan(α-β)=______．【解析】：2 16．对下列命题：（1）若向量a →与b →同向，且|a →|>|b →|，则a →>b →；（2）若向量|a →|=|b →|，则a →与b →的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意向量|a →|=|b →|，若a →与b →的方向相同，则a →=b →； （4）由于0→方向不确定，故0→不与任意向量平行； （5）向量a →与b →平行，则向量a →与b →方向相同或相反． 其中正确的命题的个数为________ 【解析】1个 三、解答题17．已知，cos 5α=，()sin 10αβ-=，且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求：（1）cos(2)αβ-的值；（2）β的值. 【解析】（1）因为α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，又因为()sin 10αβ-=，则()cos 10αβ-=，而sin 5α=，()()()()2cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ⎡⎤-=+-=---=⎣⎦， （2）()()()2cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-=⎣⎦， 又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，4πβ∴=.18．如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设AB →=a →，AO →=b →.(1)用向量a →与b →表示向量OC →，CD →；(2)若OE →=45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线.【解析】解：(1)∵AB a =u u u r r ,AO b =u u u r r ,∴OC OA AC b a =+=--u u u r u u u r u u u r r r,11151()2()33333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r.(2)证明: 45OE OA =u u u r u u u rQ()413555CE OE OC b a b a b CD ∴=-=-++=+=u u u r u u u r u u u r r r r r r u u u r ,∴CE u u u r 与CD uuu r 平行,∵CE u u u r 与CD uuu r有共同点C ,∴C ，D ，E 三点共线.19．为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中a =2b . （1）求a ，b 的值；（2）若按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，)60的概率． 【解析】解：（1）由频率分布直方图得：(0.010.0350.01)101a b ++++⨯=， 0.045a b ∴+=，又2a b =，解得0.030a =，0.015b =．（2）[50Q ，60)，[60，70)两段频率比为0.1:0.152:3=，∴按照分层抽样的方式从[50，60)，[60，70)中随机抽取5人，分数在[50，60)中抽取2人，记为1a ，2a ， 分数在[60，70)中抽取3人，记为1b ，2b ，3b ，∴从这5人中随机抽取2人的所有情况为：1(a ，2)a ，1(a ，1)b ，1(a ，2)b ，1(a ，3)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ，2(a ，3)b ，1(b ，2)b ，1(b ，3)b ，2(b ，3)b ，共10个，其中，至少有1人的分数在[50，60)包含的基本事件有7个，∴至少有1人的分数在[50，60)的概率710P =． 20．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象; (2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)由图得112A ω==，,因为203π⎛⎫-⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ； (2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，, 所以当263x ππ+=-时,()f x取最小值,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1, 因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以2212m m ⎧-+<-⎪⎨⎪<+⎩,即122m ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，. 21．已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭. （1）若|AC →|=|BC →|，求角α的值； （2）若AC →•BC →=-1，求22sin sin21tan ααα++的值. 【解析】（1）∵AC BC =u u u r u u u r化简得tan 1α=，∵3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴54πα=． （2）∵ 1AC BC ⋅=-u u u v u u u v ，∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴52sin cos 9αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 25 2sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++==-++＝． 22．已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220x mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a ---+-+=-++.即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+,211121x ∴-<-<+，∴函数()f x 的值域为()1,1-. （3）由()220x mf x +->，可得，()2 2x mf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->-，令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t +->=-+，函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞。