五年级奥数精编数学蝴蝶模型课件
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
蝴蝶定理模型
蝴蝶定理模型【1】任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”） （1）1243::S S S S =或1324S S S S ⨯=⨯（2）根据1S 与4S 的高相等，3S 与2S 的高相等可以得到1234:():()AO CO S S S S =++ 【2】梯形中的比例关系（“蝴蝶定理”） （1）2213::S S a b =(a 、b 为份数)（2）221324:::::():()S S S S a b ab ab =(a 、b 为份数) （3）梯形面积的对应份数为：()2a b +(a 、b 为份数)【3】已知四边形ABCD ，O 是BD 的中点。
NE 、MF 相交于点O 。
那么OP ＝OQ【例1】已知正方形的面积为12，E 、F 是DC 上三等分点。
求阴影部分的面积。
【分析提示】：由E 、F 是DC 上三等分点可知，:1:3EF AB =。
设1EOF S ∆=(份)，根据梯形蝴蝶定理1可以知道()AOE BOF S S ∆∆==份,()AOB S ∆=份。
又()ADE BFC S S ∆∆==。
从而阴影部分的面积为： 。
【例2】如图，四边形ABCD 被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积如图所示。
求（1）BGC S ∆; (2):AG GC 。
【分析提示】：根据任意四边形中蝴蝶定理可以知道123BGC S ∆⨯=⨯, 那么6BGC S ∆=ABCDODACB EFM NOP QABCDO（2） 。
【训练与提高】1.在直角梯形ABCD 中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。
梯形ABCD的面积是多少平方厘米？解答:连接AE,可得15AEF BFC S S ∆∆==，。
而因为()ABC S ∆= 再次用蝴蝶定理可求()EFC S ∆=所以()ABCD S ∆=2．如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空 白三角形的高均为（ ），因此空白处的总面积为（）， 阴影部分的面积为（ ）＝（ ）。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
部编版数学五年级上册第7讲.蝴蝶模型.优秀A版
面积是多少？
A
D
E
F
B
C
【分析】根据梯形蝴蝶模型，可以得到 SAFB SDFC SAFD SBFC ，而 SAFB SDFC (等积变换)，所
以可得
SAFD
SAFB SCDF S BFC
9 9 27
3 ，并且 SAEF
SADF
SAED
Байду номын сангаас
3 1.8 1.2 ,而
SAFB : SBFC AF : FC 9 : 27 1: 3 ,所以阴影 AEC 的面积是：
知识点回顾
比例模型 : (1)
A
E
FB
DC
同底, 面积比等于高之比． SABC AD S BCE EF
(2) A
B
D
C
同高, 面积比等于底之比． SABD BD ． S ACD DC
1. 如图, 三角形 ABC 中 BC 的高 AD 长 7 厘米, 三角形 BCE 中 BC 的高 EF 长 3 厘米．并且已知 SABC 70 平方厘米, 则 SBCE ____
S a b2 5 72 144 (平方厘米)．
【铺垫】如图,证明梯形蝴蝶模型的结论.
a
A
S1
B
S2 O
S4
S3
a
A
S1 x B
S2 O
S4
y
S3
D b
CD
b
C
① S2 S4
② S1 : S2 S4 : S3 或者 S1 S3 S2 S4 ；
③ S1 : S3 : S2 : S4 : S梯形 a 2 : b2 : ab : ab : (a b)2
【分析】证明: (1)因为 AB∥CD,所以 SACD S BCD (同底等高的两三角形面积相等),所以 S ACD SCOD SBCD S COD ,即 S2 S4
小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？A BCDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
07 蝴蝶模型
基本蝴蝶模型
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梯形蝴蝶模型
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梯形蝴蝶模型
梯形蝴蝶模型两翼三角形面积相等
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梯形蝴蝶模型
25 35
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பைடு நூலகம்
梯形蝴蝶模型
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蝴蝶模型
主讲：五豆
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等积变换
基本蝴蝶模型
梯形蝴蝶模型
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等积变换
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等积变换
当两个三角形同底或等底时，它们的面积比等于对应高之比 当两个三角形同高或等高时，它们的面积比等于对应底之比
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小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
数学：第7讲《蝴蝶模型》
10
（2）如图，已知小正方形边长 为 6 厘米，请求出阴影部分的面
积；
6
（3）如图，正方形 ABCD 和正
方形 ECGF 并排放置，BF 与 EC
相交于点 H，已知 AB 6厘米，
则阴影部分的面积是多少平方
厘米？
E
F
A
D
6
H
B
C
G
【答案】 （1）50 平方厘米；（2）18 平方 厘米；（3）18
连结 EF，显然四边形 ABEF 和
四边形 DCEF 都是梯形，根据梯
形蝴蝶模型中的“翅膀相等”，可
以得到：三角形 EFG 的面积等 于三角形 ABG 的面积；三角形 EFH 的面积等于三角形 CDH 的 面积，所以四边形 EGFH 的面积 是11 23 34.
例5 （1）如图，已知大正方形边长 为 10 厘米，请求出阴影部分的 面积；
五年级数学星队秋季班第七讲
蝴蝶模型
例1
任意四边形中的蝴蝶模型：
（1）如图，四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O，图形中出 现了 4 个小三角形；其中有 3 个 小三角形的面积被标注出来了，
请写出第 4 个小三角形的面积.
A
D
1
2O
3
B
C
【答案】
1.5
【解析】
设所求面积为 x，则根据等高模
D
A O
五年级数学强化专题专讲-[第16讲]蝴蝶模型
![五年级数学强化专题专讲-[第16讲]蝴蝶模型](https://img.taocdn.com/s3/m/702f0ebaeff9aef8941e06d1.png)
蝴蝶模型
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_____平方厘米。
如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为______。
★★
★★★(2007年“迎春杯”高年级初赛) ★★★
★★★( 06年南京智力数学冬令营)。
五年级奥数.几何.蝴蝶模型
四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：O DCBA s 4s 3s 2s 1①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO ba S 3S 2S 1S 4一、任意四边形【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角例题精讲知识框架蝴蝶模型形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDCBA76【巩固】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【巩固】 一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？黄绿15%【例 3】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC =？321GDCBA【巩固】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．OADC B【例 4】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BA【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．A B【例 5】 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．ABCDEF GABCDEF G【巩固】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF G【例 6】 正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．B 6B 54B 3B 2B A 6543A A【巩固】 如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．NM STDCBA【例 7】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形ODE 的面积为6平方厘米。
五年级奥数小升初五大模型之蝴蝶模型的应用练习题.ppt
典题解析
例2.如图，在平行四边形中，△ABN的面积是36平方厘米，四边形EMFN的 面积是64平方厘米，则丙的面积是多少平方厘米？
连接EF，得到梯形ABFE和梯形CDEF 根据蝴蝶模型： S2 ＝ S4 则： S∆ABN ＝ S∆EFN 和 S∆EFM ＝ S∆CDM 得： S∆CDM ＝ S∆EFN ＋ S∆EFM － S∆ABN 所以：S∆CDM ＝ 64－36 ＝ 28（平方厘米） 答：丙的面积是28平方厘米。
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小升初常考点之 图形模块一（蝴蝶定理）
蝴蝶模型：
如果四边形ABCD是梯形，如下图，可以得出结论：
A
D
S1
S2 O S4
S2＝S4
＝ S∆BCD － S∆DEF
＝ 6＋9－4
＝ 11（平方厘米）
E
D
4
6F 6
9
C
答：四边形ABEF的面积是11平方厘米。
典题解析
例4.如图，正方形ABCG与正方形CDEF并排放置，B、C、D在同一条
直线上，且正方形ABCG边长为10，则图中阴影部分的面积是
多少平方厘米？
A
G
连接CE，得到梯形BCEG
根据蝴蝶模型： S2 ＝ S4
A
则： S∆BEF ＝ S∆CDF ＝6（平方厘米）
根据蝴蝶模型： S1×S3＝S2×S4
小学奥数几何之蝴蝶定理
几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CFEADBCBEFDA1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
第25讲--蝴蝶模型课件
5.如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方 厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为多少平方厘米？
43
6.正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点（如图）。四边形OECD的面积为多少？
44
45
板块一、任意四边形中的蝴蝶模型（风筝模型）
46
板块二、梯形中的蝴蝶模型
5
例2、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分， △AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公 园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米 ？
【解析】根据蝴蝶定理求得S2100=3×1+2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面 积是1+2+3+1.5=7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米
6
7
8
例5、如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG的面积.
9
例6、如图，长方形ABCD中，BE:EC=2：3，DF:FC=1：2，三角形DFG的面积为2平 方厘米，求长方形ABCD的面积.
10
板块二、题型中的蝴蝶模型
11
12
13
例10、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm²，问三角形AOD的面 积是多少？
25
例21、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
26
➢课堂狙击
27
2、如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。
28
3.如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：（1）三角形BGC的面积；（2）4G:GC=？
5年级奥数秋季同步课程-07 蝴蝶模型
蝴蝶模型主讲：五豆等积变换基本蝴蝶模型梯形蝴蝶模型等积变换等积变换B C AD B CA D EF当两个三角形同高或等高时，它们的面积比等于对应底之比当两个三角形同底或等底时，它们的面积比等于对应高之比【例题】如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是2，三角形ACF 的面积是4.请问：三角形ABC 的面积是多少？等积变换D EA FB C【例题】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。
等积变换D EA BC67基本蝴蝶模型基本蝴蝶模型面积与线段的比例关系：S△ABD S△CBD =S△ADOS△CDO=S△ABOS△CBO=AOOCS△ADCS△ABC=S△ADOS△ABO=S△DCOS△BCO=DOOB交叉相乘相等：S△ADO×S△BCO=S△ABO×S△DCO基本蝴蝶模型【例题】图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD 的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米。
请问：三角形BOC 的面积是多少？基本蝴蝶模型【例题】如图，三角形ABC的面积是6，三角形BCD的面积是5，三角形ACD的面积是9，那么三角形ABD 的面积是多少？ADB C梯形蝴蝶模型梯形蝴蝶模型梯形蝴蝶模型两翼三角形面积相等梯形蝴蝶模型【例题】如图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC 、BD 交于O ，已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少平方米？AB C DO 2535梯形蝴蝶模型【例题】如图，梯形ABCD中，三角形ABE的面积是60平方米，AC的长是AE的4倍，梯形ABCD的面积是多少平方米？。
五年级奥数小升初五大模型之蝴蝶模型的应用练习题PPT课案
答：三角形BOC的面积是16。
五年级奥数小升初五大模型之蝴蝶模型 的应用练习题PPT课案
典题解析
例2.如图，在平行四边形中，△ABN的面积是36平方厘米，四边形EMFN的 面积是64平方厘米，则丙的面积是多少平方厘米？
连接EF，得到梯形ABFE和梯形CDEF 根据蝴蝶模型： S2 ＝ S4 则： S∆ABN ＝ S∆EFN 和 S∆EFM ＝ S∆CDM 得： S∆CDM ＝ S∆EFN ＋ S∆EFM － S∆ABN 所以：S∆CDM ＝ 64－36 ＝ 28（平方厘米） 答：丙的面积是28平方厘米。
五年级奥数小升初五大模型之蝴蝶模型 的应用练习题PPT课案
五年级奥数小升初五大模型之蝴蝶模型 的应用练习题PPT课案
蝴蝶模型：
如果四边形ABCD是梯形，如下图，可以得出结论：
A
D
S1
S2 O S4
S2＝S4
S3
S1×S3＝S2×S4
B
C
五年级奥数小升初五大模型之蝴蝶模型 的应用练习题PPT课案
典题解析
例1.梯形ABCD中，三角形AOB的面积是8，三角形AOD的面积是4，三角 形DOC的面积是8，求三角形BOC的面积。
典题解析
例3.如图所示，BD、CE将长方形ABCD分成4块，三角形DEF的 面积是4平方厘米，三角形CDF的面积是6平方厘米，四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？
连接CE，得到梯形BCDE
根据蝴蝶模型： S2 ＝ S4
A
则： S∆BEF ＝ S∆CDF ＝6（平方厘米）
蝴蝶定理模型和相似模型—小学数学竞赛模型
蝴蝶定理模型和相似模型—小学数学竞赛模型
这里是对上一篇文章的补充，上一篇文章有粉丝问到，蝴蝶定理的一个题相信看完蝴蝶定理就明白了，想要对应题目的看上一篇文章！
蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：
(1)S1:S2=S4:S3或者S1×S3=S2×S4
(2)AO:OC=（S1+S2）:（S4+S3）
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：
（1）S1:S3=a²：b²；
（2）S1:S3:S2:S4=a²：b²：ab：ab；
（3）梯形S的对应份数为（a+b）²。
相似模型
相似三角形性质：
金字塔和沙漏模型
（1）AD∶AB=AE:AC=DE:BC=AF:AG；
（2）S△ADE:S△ABC=AF²：AG²。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不管怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用性质及定理如下：
（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数之几何蝴蝶定理问题
几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质1） Hh C c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
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蝴蝶模型
五年级 第六课
本讲主线
1、四边形中的蝴蝶模型 2、梯形中的蝴蝶模型
本讲主线
1、四边形中蝴蝶模型
（1） S1×S3=S2×S4
（2）△ABD=AO △CBD OC
例题【一】（★ ★ ）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个 部分， △AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平 方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积 是多少平方千米？
16 △OAB=1×25=25
16 16
例题【五】（★ ★ ★ ★）
如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4平方 厘米，△CED的面积是6平方厘米.问：四边形ABEF的面积是 多少？
连接BF，得到梯形FBCD △FCE=6 根据蝴蝶模型： △BCE=6×6÷4=9 根据一半模型： 四ABEF=9+6-4=11
根据蝴蝶模型可得： △AOD=3×1÷2=1.5 四边形ABCD的面积： 1+2+3+1.5=7.5 人工湖的面积：7.5-6.92=0.58（平方千米）
例题【二】（★ ★ ★）
如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、 板块二:梯形中的蝴蝶模型△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6.求：
△1OCD=35×35÷25 =35×35 25 =49
25+35×2+49=144（平方厘米）
例题【四】（★ ★ ★ ★ ）
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O.已 知AB＝5，CD＝3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积.
梯形中的面积份数，9:25:15:15 共计：64份 一份：4÷64=1
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（2）△ABC=AO △CBD OC
2.梯形中的蝴蝶模型 （1）S1×S3=S2×1 （2）S1：S2：S3：S4=a2：ab：b2：ab
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前言
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超常大挑战
如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、 5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米
连接ED、FC、得到梯形EBCF 长=12×2=24 根据梯形蝴蝶模型：24-5-2-8=9 △EDO=△OCF=4 △FDC=8+4=12
知识链接
1、四边形中蝴蝶模型 （1）S1×S3=S2×S4
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（2）△OEC=8-6=2 根据蝴蝶模型：
OG=△OEF=4=2 GC △ECF 2 1
∴△GCE=2×1=2 33
知识链接
2、梯形中的蝴蝶模型
（1）S1×S3=S2×S4 （2）S1:S2:S3:S4=a2:ab:b2:ab （3）AO=DO=a
OC OB b
例题【三】（★ ★ ★）
如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知 △AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么 梯形ABCD的面积是多少平方厘米.
（1）求△OCF的面积； （2）求△GCE的面积，
（1）△BCD=2+4+4+6=16 △BCO=△CDO=8 △OCF=8-4=4
例题【二】（★ ★ ★）
如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、 板块二:梯形中的蝴蝶模型△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6.求：
（1）求△OCF的面积； （2）求△GCE的面积，