高考数学总复习章节练习题及解答 (50)

课时作业·当堂清

一、选择题

1．(2010年湖北襄樊调研)某班要从6名同学中选4人参加校运会的4×100 m接力比赛，其中甲、乙两名同学必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有( )

A．24种 B．72种

C．144种 D．360种

[解析]　甲、乙两人中有一人跑最后一棒有C种选法，再从除甲、乙之外的4人中选出2人，有C种选法，这2人与甲、乙中的另一人跑其余三棒，有A种排法，则不同的安排方法共有CCA＝72种，故选B.

[答案]　B

2．(2010年北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )

A．AA B．AC

C．AA D．AC

[解析]　不相邻问题有插空法，8名学生先排有A种，产生9个空，2位老师插空有A种排法，所以最终有A·A种排法．故选A.

[答案]　A

3．(2009年辽宁卷理)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )种．

A．70 B．80

C．100 D．140

[解析]　直接法：一男两女，有CC＝5×6＝30种，两男一女，有CC＝10×4＝40种，共计70种．

间接法：任意选取C＝84种，其中都是男医生有C＝10种，都是女医生有C＝4种，于是符合条件的有84－10－4＝70种．

[答案]　A

4．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有( )种．

A．A B．43

C．34 D．C

[解析]　四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3＝34种．

5．某校在推行教育管理年活动中，计划邀请部分学生的父母来校召开一个小型家长座谈会，抽样确定5位学生的父母参加．座谈会召开时恰好来了5位家长且有1位学生的父母因临时有事都没能来参加，则所有参加座谈会的学生父母的出席情况有( )

A．120种 B．140种

C．160种 D．180种

[解析]　先选出父母都没有来的学生，有C＝5种方法，再从余下的4位学生中选取1位父母都来参加的，有C＝4种方法，最后从余下的3对家长(父亲，母亲)中各选1位，有(C)3＝8种方法，根据分步计数原理，共有5×4×8＝160种情况．故选C.

[答案]　C

6．(2010年重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( ) A．504种 B．960种

C．1008种 D．1108种

[解析]　①甲、乙排在相邻两天的情况有AA种；

②甲、乙排在相邻两天，且丙排在10月1日的情况有AA种；

③甲、乙排在相邻两天，且丁排在10月7日的情况有AA种；

④甲、乙排在相邻两天，且丙排在10月1日，丁排在10月7日的情况有AA种；

所以甲、乙排在相邻两天，且丙不排在10月1日，丁不排在10月7日的情况有AA－AA－AA＋AA＝1008种．故选C.

[答案]　C

7．(2010年河南郑州)2010年2月，我国部分地区遭遇雪灾，电煤库存吃紧．为了支援这部分地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从某采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有( )

A．36种 B．108种

C．216种 D．432种

[解析]　甲乙的安排方法均为3种，另外4列列车的安排方法有A＝24种，则共有216种，故选C.

8．(2011年江西十校)已知集合A＝{1,2,3,4}，函数f(x)的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f(i)≠i.设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为 ( ) A．216 B．108

C．48 D．24

[解析]　a1，a2，a3，a4共有A种排列，对其中任意一种排列f(a i)都有9种情况．则共有9A＝216种．

[答案]　A

二、填空题

9．如图②，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连结起来，则不同的建桥方案共有________一种．

[解析]　如图①，构造三棱锥A－BCD，四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连结任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成；从六条棱中任取三条棱的不同取法为C种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法为C－4＝16种．

[答案]　16

10．(2009年天津卷理)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位数、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有

________个(用数字作答)

[解析]　个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：

CAC＋AC＝90种；

个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：CAC＋CCAC ＝234种，

所以共有：90＋234＝324个．

[答案]　324

11．(2010年黄冈3月质检)将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件．若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放入相邻的抽屉内，则满足条件的所有不同的放法有________种．

[解析]　依题意，将A，B与C，D分别视为一个整体，然后与E进行排列，显然相应的放法共有A·A·A＝24种，另外空抽屉的位置可以是(A，B)、(C，D)、E所形成的四个空位中的任意一个，因此满足题意的放法有24×4＝96种．

[答案]　96

三、解答题

12．用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间．问粉刷这6间办公室，有多少种安排方法？

[解]　先固定一种粉刷方法．如黄色粉刷3间，蓝色粉刷2间，白色粉刷1间，则有C·C·C种，三种颜色互换有A种方法，由分步计数原理知不同的方案有N＝A·C·C·C＝6×20×3×1＝360(种)．

13．(1)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

(2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

(3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

(4)7位同学站成一排，其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种？

[解]　(1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共A种方法．

(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有A种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种，共A·A种方法．

(3)先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种，共A·A种方法．本题也可考虑特殊位置优先，即两端的排法有A种，中间5个位置有A种，共A·A种方