矢量分析与场论基础

上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 3) 矢量面和矢量管 • 对于场中的任意一条曲线C (非矢量线)，在其上的每一点处， 也皆有
且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线 C 的曲面， 称为矢量面， 如图3.6所示。显然在矢量面上的任一点 Ｍ 处，场的对应矢量A(M) 都位于此矢量面在该点的切平面内。 • 特别地，当C为一封闭曲线时，通过 C的矢量面，就构成一管形曲面， 又称之为矢量管， 如图3.7所示。
E可以用单位矢量表示为 E eˆ。
• 基矢量: 是一组互相垂直的单位矢量，在直角坐标系中。用i、j、k表 示。 其方向分别沿x、y、z轴正方向。常矢量: 模和方向都保持不变 的矢量。
• 变矢量: 模和方向均变化或其中之一变化的矢量。变矢量是矢量分析 研究的重要对象。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 在数学上,场是空间和时间的函数，时间坐标一般用t表示， 空间坐标 表示形式为
• x(x，y，z) =ix +jy +kz，其中i、j、k构成右手系。 • 根据场中物理量不同，可以有标量场、 矢量场和张量场等。 • 标量场: 空间的每一个点对应一个标量。 • 矢量场: 空间的每一个点对应一个矢量。 • 在物理上， 场是描述某一物理对象特定分布规律的物理量。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 在标量场中，等值面直观地研究标量在场中的分布状况。若标量场为 Φ(r)，所谓等值面。是指由场中使函数 Φ(r)取相同数值的点所组成的 曲面，即令 Φ(r) =常数，就可求得等值线或等值面。例如， 电位场 中的等值面， 就是由电位相同的点所组成的等值面。如图3.4所示， 这与地图中的等高线的物理意义本质上是相同的。
• 6. 场线 • 1) 矢量线 • 对于矢量场，则常用场线 (也称为力线) 来表示场图，即矢量场中一
族空间有向曲线。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 矢量场的大小用力线的疏密程度表示。力线稠密处矢量场就大，反之 力线稀疏处则矢量场就小，线图曲线上每一点的切线方向为此处矢量 场的方向，矢量场的力线可以通过微分方程求得。
H等。矢量E的模表示为E或E。 • 矢量的性质: 矢量的值与其所在的空间位置无关。 因此空间平移不会
改变一个矢量。一个矢量E 与其逆矢量 － E模值相同。 方向相反。 • 空矢: 一个大小为零的矢量。 即模为0的矢量。
下一页 返回
3.1 矢量分析
• 单位矢量: 模值为1的矢量 (一般用来指示方向)。如 eˆ ，eˆ =1，则矢量
• 由方程式 (３ － ３) 求解可得矢量线族,在 A不为零的假定下， 当函 数Ax、 Ay、Az 均为单值、 连续且有一阶连续偏导数时， 这族矢量 线不仅存在，并且充满了矢量场所在的空间，而且互不相交。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 2) 矢量线的形态 • 矢量线有四种形态，如图3.5所示。 • (1) 无头无尾的闭合曲线。 • (2) 有起点有终点。 • (3) 有起点， 终止于无穷远处。 • (4) 起始于无穷远处，有终点。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 2)矢端曲线(图示法) • 在矢量函数A(t)的起点确定时(比如原点O)，当t变化时，A(t)的终点
M就描绘出一条曲线l,称为矢量函数A(t)的矢端曲线,也称为矢量函数 A(t)的图形，原点O也称为矢端曲线的极,如图3.3所示。 • 5. 等值面 • 研究标量和矢量场时，用场图表示场变量在空间逐点演变的情况具有 很大的意义，它是研究标量场和矢量场在空间逐点演变情况的直观方 法。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 4. 矢量函数
• 设有标量t和变矢A。 如果对于t在某个范围 (区域或空间)D 内的每一 个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称 A为标量t的矢量函 数，记作
• A=A(t)
(3-1)
• 并且称D为矢量函数A的定义域。
• 矢量函数可以用以下两种方法表示。
第3章 矢量分析与场论基础
• 3.1 矢量分析 • 3.2 场论简介 • 3.3 小 结
返回
3.1 矢量分析
• 3.1.1 几个基本概念
• 1. 标量 • 标量是只有大小而没有方向的量 。如电荷量Q、 电位 φ、 电阻R等。 • 2. 矢量 • 矢量: 具有大小和方向特征的量。Leabharlann Baidu如电场强度矢量E、 磁场强度矢量
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 1) 矢量方程 • 矢量方程就是在特定坐标系中,用不同分量及其组合来给出的矢量的
数学表达式,比如在直角坐标系中,用矢量的坐标表示法,矢量函数可写 成 • A(t) ＝ {Ax(t),Ay(t),Az(t)} (3-2) • 其中Ax(t)、Ay(t),、Az(t)都是变量 ｔ 的标量函数,可见一个矢量函数 和三个有序的标量函数构成一一对应关系。
• 法向单位矢量: nˆ 。
• 切向单位矢量: tˆ 。
• 一般令曲线的切向与曲线的正方向相同. 曲线上任意点的法向、 切向 均唯一，如图3.1所示。曲面上任意点的法向唯一、 切向有无数个。 如图3.2所示。
• 3. 场 • 如果某个物理量在给定 (或规定) 区域或空间 (有限或无限) V内的每一
点M，都有一个确定的值，那么这个物理量在这空间形成并且确定了 一个场，该物理量称为场量。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 3.1.2 矢量分析初步
• 一、 三种基本坐标系 • 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定，
由三条正交曲线组成、 确定三维空间任意点位置的体系， 称为正交 曲线坐标系。 三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标 变量。在电磁场与电磁波理论中， 三种常用的正交曲线坐标系为: 直 角坐标系、 圆柱坐标系和球面坐标系。
• 矢量线直观地表示了矢量的分布状况， 在它上面每一点处，曲线都 与对应于该点的矢量A相切，静电场中的力线、 磁场中的磁力线、 流速场中的流线等，都是矢量线的例子。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 按照矢量线的几何意义,在直角坐标系下，它与矢量A在M点处共线， 必有对应分量成比例，由此可以导出矢量线的方程表达式，这就是矢 量线所应满足的微分方程，即