矢量分析与场论基础
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矢量分析与场论基础
S
根据通量的叠加性：当F 0时，表示矢量场 A 向正侧穿过曲面S 的通量＞向负侧穿过S 的通量。同理当F 0或F 0时，则表示向 正侧穿过曲面S 的通量＜或＝沿负侧穿过S 的通量。 若S 为闭合曲面，则 Φ A n dS 其中 n 为曲面外侧法向
u v grad ( u) u grad (v ) grad ( ) v v2 grad[ f ( u)] f (1) ( u) grad ( u) f f grad[ f ( u, v )] grad ( u) grad (v ) u v
几个特例：
grad ( r a ) a
r grad r l l cos cos sin sin cos( )
r(M)=C r(M0)=C0 M0
0
M
x
二、矢量场的通量与散度
1. 矢量场的通量
矢量场 A( x , y, z ) P ( x , y, z ) i Q( x , y, z ) j R( x , y, z ) k 沿空间 有向曲面S 某一侧的曲面积分
A P i Q j R k
在空间区域V 上具有一阶连续偏导数，则有公式
P Q R ) dV S V x y z 这里的S 是V 的整个边界曲面的外侧。 Φ A n dS (
④通量的物理意义 由定义式 Φ A n dS 通量是一种标量。
a a 0
( a ) b ( a b )
a b b a
根据通量的叠加性：当F 0时，表示矢量场 A 向正侧穿过曲面S 的通量＞向负侧穿过S 的通量。同理当F 0或F 0时，则表示向 正侧穿过曲面S 的通量＜或＝沿负侧穿过S 的通量。 若S 为闭合曲面，则 Φ A n dS 其中 n 为曲面外侧法向
u v grad ( u) u grad (v ) grad ( ) v v2 grad[ f ( u)] f (1) ( u) grad ( u) f f grad[ f ( u, v )] grad ( u) grad (v ) u v
几个特例：
grad ( r a ) a
r grad r l l cos cos sin sin cos( )
r(M)=C r(M0)=C0 M0
0
M
x
二、矢量场的通量与散度
1. 矢量场的通量
矢量场 A( x , y, z ) P ( x , y, z ) i Q( x , y, z ) j R( x , y, z ) k 沿空间 有向曲面S 某一侧的曲面积分
A P i Q j R k
在空间区域V 上具有一阶连续偏导数，则有公式
P Q R ) dV S V x y z 这里的S 是V 的整个边界曲面的外侧。 Φ A n dS (
④通量的物理意义 由定义式 Φ A n dS 通量是一种标量。
a a 0
( a ) b ( a b )
a b b a
矢量分析和场论讲义
圆锥面 x2 y2 z2及平面z H (H 0) 所围成旳封闭
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第01章 矢量分析和场论基础
位置矢量
r e ze z ，如图1-10所示。
柱坐标与直角坐标之间的关系（见图1-10~11）。
x cos y sin z z
x2 y2 arctg y x zz
取值范围
0 0 2 z
A
(1-15)
显然矢量投影为： Al A el
Ax A e x , Ay A e y , Az A e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3. 矢量的矢积
矢量的矢积也称叉积，其定义为
A B A B sin n
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位 矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。 矢量的矢积不满足交换律；由图1-3可以看出，矢量 矢积交换满足如下关系 (1-18) A B B A
(1-47)
利用其逆变换也可得柱坐标分量的直角坐标表达式。
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
三、球坐标系 球坐标系中任一点P在球坐标系下的坐标为( r , , )， 其中 r 为位置矢量 r 的大小，如图1-15所示。
r re r 位置矢量 正交单位矢量为( er , e , e )，并服从右手法则。在 球坐标系下，er , e , e 都是空间坐标点的函数。
Z
Z
Y
Y
X
X
图1-4 温度场分布示意图
图1-5 电场分布示意图
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
1.4 常用正交曲线坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直 线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量 ex、ey 和 ez相互 垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。 位置矢量 r xe x ye y ze z ，如图1-6所示。
r e ze z ，如图1-10所示。
柱坐标与直角坐标之间的关系（见图1-10~11）。
x cos y sin z z
x2 y2 arctg y x zz
取值范围
0 0 2 z
A
(1-15)
显然矢量投影为： Al A el
Ax A e x , Ay A e y , Az A e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3. 矢量的矢积
矢量的矢积也称叉积，其定义为
A B A B sin n
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位 矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。 矢量的矢积不满足交换律；由图1-3可以看出，矢量 矢积交换满足如下关系 (1-18) A B B A
(1-47)
利用其逆变换也可得柱坐标分量的直角坐标表达式。
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
三、球坐标系 球坐标系中任一点P在球坐标系下的坐标为( r , , )， 其中 r 为位置矢量 r 的大小，如图1-15所示。
r re r 位置矢量 正交单位矢量为( er , e , e )，并服从右手法则。在 球坐标系下，er , e , e 都是空间坐标点的函数。
Z
Z
Y
Y
X
X
图1-4 温度场分布示意图
图1-5 电场分布示意图
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
1.4 常用正交曲线坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直 线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量 ex、ey 和 ez相互 垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。 位置矢量 r xe x ye y ze z ，如图1-6所示。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
一、 矢量分析与场论基础
根据散度定理，上式左边等于
(C A) ds ( A ds) C C A ds
S S S
于是得
C ( A)dv C A ds
V S
由于上式中常矢C是任意的，故式必成立。
1 .5 方向导数与梯度, 格林定理
1 .5 .1 方向导数与梯度 ; 标量场u(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为u沿该方向的方 向导数 u / l 它的值与所选取的方向 。
4 3 rds rdv 3 dv 3 r 4r 3 S V V 3
1.4 环量与旋度, 斯托克斯定理
1 .4 .1 环量
矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或
旋涡量), 记为
A dl
l
图 1 -5 矢量场的环量
1 .4 .2 旋度的定义和运算
即
ˆ x
ˆ y
ˆ z
rot A A x y z Ax Ay Az
旋度运算符合如下规则:
( A B) A B (A) A A ( A B) B A A B ( A) 0 A ( A) A
V
Adv A ds
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 利用散度定理可将矢量 散度的体积分化为该矢量的封闭面积分, 或反之。
例1 .1 球面S上任意点的位置矢量为 r 试利用散度定理计算 ds r
S
ˆ ˆ ˆ ˆ xx yy zz rr,
［解］
x y z r 3 x y z
荷Q。 若Q为正电荷, Ψe为正, 有电通量流出; 反之, 若Q为负电荷,
工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础
04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能
最新最全的矢量分析与场论讲义(必考)
矢量分析与场论第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dt dt ''⎰⎰⋅-⋅=⋅A B B A B Adt dt ''⎰⎰⨯+⨯=⨯A B B A B A前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
第一章矢量分析与场论
0.2 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. . 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等.
形象描绘场分布的工具---场线 -标量场---等值线(面). -. 其方程为
矢量场---矢量线 -其方程为
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。 • 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
0.5 矢量场的环量与旋度
一、矢量场环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
Γ=
∫ A ⋅ dl
L
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。
图0.4.1 环量的计算
例：流速场
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 Γ=0，无涡旋运动
≠0 ∇ × F = ? =0
∇⋅F = ?
∇⋅F = ?
=0 ∇ × F = ? ≠0
0.7 三种特殊形式的场
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都 相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同， 即 F=f(r,Φ)，则称这个场为轴对称场。 3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即
流体做涡旋运动 Γ≠0，有产生涡旋的源
二、矢量场的旋度 在直角坐标系中，设
A = Axe x + A ye y + Aze z ,
则环量可写成： 由斯托克斯公式：
Γ =
∫
L
A⋅L =
∫ (A
L
工程电磁场-基本概念
1
1 2 0
C1
100 ,
得 C1
100
1 2 0
代入 C1 和 C2
x2
1
100 x
（V）
20
20
d
x
1
E
dx
ex
0
100
2
0
e
x
（V m）
第三章 恒定电场的基本原理
1、体电流密度的定义式 2、电流密度与电场强度的关系 3、电源中电场强度的表达式 4、电荷守恒原理的表达式 5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式 6、恒定电场边界条件的分类
量为
场点坐标 (r,, z)是不变量，源点坐标 (0,, z) 中 z 是变量，统一用θ表
示
总的电场强度 若为无限长直导线
习题 2-1
（3）静电场环路定理
由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分 的运算
在静电场中，任意一点的电场强度E 的方向总是沿着
电位减少最快方向，其大小等于电位的最大变化率。
有些金属或化合物当温度降到某一临界数值
后， ，变为超导体, J E 不再适用。
3、电源中电场强度的表达式
作用于单位电荷上的局外电场力定义为局外电
场强度，记为 Ee 。 电源中总的电场强度 ET EC Ee 。
在电源以外的区域，只存在库仑电场。
总的电场强度 ET EC 。
4、电荷守恒原理的表达式
1、体电流密度的定义式
将单位时间内流过某个面积 S 的电荷量
定义为穿过该面积的电流，用 I 表示 I lim q dq t0 t dt
电流的单位是安（培）（A）。1 安＝1 库秒。 电荷在空间体积中运动，形成体电流。
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
电磁场与电磁波-1、2、3章矢量分析与场论基础
R e zez
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是 与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。 一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转 角时大拇指所指的方 向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。 在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系 在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢 量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面 积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是 与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。 一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转 角时大拇指所指的方 向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。 在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系 在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢 量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面 积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。
第1章__矢量分析。
27
★梯度的性质
标量场)的梯度是一个矢量函数。 1）一个标量函数u(标量场)的梯度是一个矢量函数。 变化率最大的， 梯度的方向就是函数u变化率最大的，它的模就是 函数在该点的最大变化率的数值。 函数在该点的最大变化率的数值。 2）函数u在给定点沿l方向的方向导数等于函数u 方向的投影。 的梯度在l方向的投影。
16
4、矢量代数公式
v v v v v v v v v （1） Α⋅ (B×C) = B⋅ (C × A) = C ⋅ ( A× B) v v v v v v （2） ( A ⋅ B ) C ≠ A ( B ⋅ C )
v v v v v v （3） A × ( B × C ) ≠ ( A × B ) × C v v v v v v v v v （4） Α × (Β × C ) = (Α ⋅ C )Β − (Α ⋅ B )C
0 ≤ r < ∞ 0 ≤θ ≤ π 0 ≤ϕ ≤ 2π
v v v ar , vθ ,v ϕ a a v er , eθ , eϕ
v 矢量表示： ★矢量表示：A
6
4、坐标变换
★直角坐标系与圆柱坐标系： 直角坐标系与圆柱坐标系：
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z
v 例如： v v 例如： a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ v v v a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ
10
★圆柱坐标系与球坐标系： 圆柱坐标系与球坐标系：
v v v 例如： 例如：a r = a R sin θ + aθ cos θ v v v a R = a r sin θ + a z cos θ
14
v v v v A⋅ B与 ×B的 算 A 计 v
★梯度的性质
标量场)的梯度是一个矢量函数。 1）一个标量函数u(标量场)的梯度是一个矢量函数。 变化率最大的， 梯度的方向就是函数u变化率最大的，它的模就是 函数在该点的最大变化率的数值。 函数在该点的最大变化率的数值。 2）函数u在给定点沿l方向的方向导数等于函数u 方向的投影。 的梯度在l方向的投影。
16
4、矢量代数公式
v v v v v v v v v （1） Α⋅ (B×C) = B⋅ (C × A) = C ⋅ ( A× B) v v v v v v （2） ( A ⋅ B ) C ≠ A ( B ⋅ C )
v v v v v v （3） A × ( B × C ) ≠ ( A × B ) × C v v v v v v v v v （4） Α × (Β × C ) = (Α ⋅ C )Β − (Α ⋅ B )C
0 ≤ r < ∞ 0 ≤θ ≤ π 0 ≤ϕ ≤ 2π
v v v ar , vθ ,v ϕ a a v er , eθ , eϕ
v 矢量表示： ★矢量表示：A
6
4、坐标变换
★直角坐标系与圆柱坐标系： 直角坐标系与圆柱坐标系：
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z
v 例如： v v 例如： a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ v v v a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ
10
★圆柱坐标系与球坐标系： 圆柱坐标系与球坐标系：
v v v 例如： 例如：a r = a R sin θ + aθ cos θ v v v a R = a r sin θ + a z cos θ
14
v v v v A⋅ B与 ×B的 算 A 计 v
《矢量分析与场论》知识点归纳
《矢量分析与场论》知识点归纳一、内容概览首先矢量，是这本书的基础。
它代表的是有大小又有方向的量，像是速度、力等物理量。
书中会详细介绍矢量的各种运算，比如加法、减法、数乘等，还有矢量的几何意义和代数意义。
接下来向量场和标量场是本书的重点之一，向量场可以理解为空间中每个点都有一个矢量，而标量场则是每个点都有一个数值。
这两个概念在物理和工程中有广泛应用，比如风的速度和方向就可以形成一个向量场。
此外书中还会涉及到一些更高级的概念，如矢量函数、矢量场的积分和微分等。
这些内容在物理学、工程学等领域都有着重要的应用。
《矢量分析与场论》是一本帮助我们理解矢量与场论基础知识的书籍。
无论你是数学爱好者，还是物理或工程专业的学子，都可以从中受益匪浅。
让我们一起期待书中更多精彩内容吧！二、矢量基础知识矢量分析与场论，听起来好像很高大上，但其实它就在我们身边，矢量基础知识就是它的基石。
咱们先来聊聊矢量的基本概念。
想象一下我们在谈论一个既有大小又有方向的东西，比如风的速度、水流的方向等。
这时候就需要用到矢量了，矢量就像一个有箭头的线段，箭头表示方向，线段的长度表示大小。
像速度、加速度、力这些我们生活中经常遇到的物理量，都可以看作是矢量。
接下来我们要了解矢量的基本运算，矢量的加减就像我们平时处理数字一样简单，只要对应着加上或减去就可以了。
但是要注意，矢量有方向性，所以我们要沿着正确的方向去加或减。
还有矢量的模，那就是矢量的长度，也就是大小。
这些基础概念了解清楚了之后，咱们就能更好地理解矢量分析的一些内容了。
知道了矢量的基本概念和运算后，我们再来说说场论中矢量的一些重要概念和应用场景。
记住哦矢量基础知识虽然听起来有点复杂，但其实它并不神秘，只要我们掌握了这些基础内容，理解矢量分析与场论就不再是难题了！1. 矢量的定义和性质首先我们来聊聊矢量的定义和性质，矢量简单来说，就是既有大小又有方向的量。
想象一下我们在谈论速度时，不只是说“快”或“慢”，还要指明是往哪个方向。
数学基础_矢量分析与场论
矢量分析与场论一、标量场的梯度，∇算符1、场的概念(The Concept of Field )场是用空间位置函数来表征的。
在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。
如果物理量是标量，并且空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。
如：电势场、温度场等。
如果物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。
如：电场、速度场等。
若场中各点物理量不随时间变化，称为稳定场，否则，称为不稳定场。
2、方向导数(Directional Gradient )方向导数是标量函数)(x ϕ在空间一点沿任意方向l相对距离的变化率，它的数值与所取l 的方向有关。
一般来说，在不同的方向上lP l∂∂ϕ的值是不同的，但它并不是矢量。
如图所示，l为场中的任意方向，P 1是这个方向线上给定的一点，P 2为同一线上邻近的一点。
l ∆为p 2和p 1之间的距离，从p 1沿l到p 2的增量为)()(12p p ϕϕϕ-=∆若下列极限lp p l l l ∆-=∆∆→∆→∆)()(lim lim1200ϕϕϕ(1.1) 存在，则该极限值记作)(x ϕ，称之为标量场lP l∂∂ϕ在p 1处沿l的方向导P 1P 2l数。
3.梯度（Gradient ）在某点沿某一确定方向取得)(xϕ在该点的最大方向导数。
n nˆgrad ∂∂=∇=ϕϕϕ (1.2) l l n n n l ⋅=⋅∂∂=∂∂=∂∂ϕϕϕθϕgrad ˆcos (1.3)4、∇算符（哈密顿算符）(Hamilton Functor )∇算符既具有微分性质又具有方向性质。
在任意方向l上移动线元距离dl ，ϕ的增量ϕd 称为方向微分，即l d dl ld ⋅∇=∂∂=ϕϕϕ (1.4)显然，任意两点ϕ值差为⎰⋅∇=-B AA B l dϕϕϕ (1.5)二、矢量场的散度、旋度、高斯定理和斯托克斯定理1、通量(Fluid )一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场v 方向通过s d的流量是dN ，而dN 是以ds 为底，以v cos θ为高的斜柱体的体积，即s d v ds v dN⋅==θcos(1.6)称为矢量v 通过面元s d的通量。
《矢量分析与场论》 第1讲矢量基础
M
M r F
旋转线速度
F
O
r
O
dr V r dt
r
V
5.矢量的复杂运算
1) 矢量混合积： A ( B C) ，是一个标量。 A C B 矢量混合积满足旋转法则
A ( B C) B (C A) C ( A B)
1.矢量的概念 2)矢量（Vector) 一个有大小和方向的物理量 电场、磁场、力、速度、加速度等
矢量场
也称向量：由现实世界的三维空间抽象出来； 空间任何一点P，均可用有序独立的3个数（P1， P2，P3）来确定（O为起点），记为：
r1 OP (P 1, P 2, P 3)
5.矢量的复杂运算 矢量混合积的常用公式
A ( B C) B (C A) C ( A B)
A ( B C) B( A C) C( A B)
( A B) (C D) ( A C)(B D) ( A D)(B C) A[ B (C D)] ( B D)( A C) ( B C)( A D) 2 ( A B) [(B C) (C A)] [ A ( B C)]
0
O
B
A
A A 0
两矢量的叉积不可交换，具有反对称性。
性质：两个非零矢量叉积为 0 的充要条件是
矢量相互平行。
4.矢量的叉积 3) 单位矢量的叉积
i i 0 j i k k i j
M r F
旋转线速度
F
O
r
O
dr V r dt
r
V
5.矢量的复杂运算
1) 矢量混合积： A ( B C) ，是一个标量。 A C B 矢量混合积满足旋转法则
A ( B C) B (C A) C ( A B)
1.矢量的概念 2)矢量（Vector) 一个有大小和方向的物理量 电场、磁场、力、速度、加速度等
矢量场
也称向量：由现实世界的三维空间抽象出来； 空间任何一点P，均可用有序独立的3个数（P1， P2，P3）来确定（O为起点），记为：
r1 OP (P 1, P 2, P 3)
5.矢量的复杂运算 矢量混合积的常用公式
A ( B C) B (C A) C ( A B)
A ( B C) B( A C) C( A B)
( A B) (C D) ( A C)(B D) ( A D)(B C) A[ B (C D)] ( B D)( A C) ( B C)( A D) 2 ( A B) [(B C) (C A)] [ A ( B C)]
0
O
B
A
A A 0
两矢量的叉积不可交换，具有反对称性。
性质：两个非零矢量叉积为 0 的充要条件是
矢量相互平行。
4.矢量的叉积 3) 单位矢量的叉积
i i 0 j i k k i j
矢量分析与场论基础课件
A yˆ = Ay
A zˆ = Az
直角坐标分量的求法
A的 方 向 与xˆ、yˆ、zˆ的 夹 角 分 别 为、、
Az
A
Ax
A cos
Ay
A cos
o Ay
Ax
Az A cos
y
、、
称
为A的
方向角
cos、cos 、cos
称
为A的
方向余弦
x
直角坐标系中 A矢量的模值计算公式：
A =A=
• 矢量（vector） （又称向量）：
既有大小又有方向的量，如力、速度、动量。 电磁理论中的矢量：电场强度、磁场强度等。
二、矢量的表示方法： • 图示法：一定长短的有向箭头
矢量的方向
矢量的大小（称为模值、模）
• 写法上：手写带箭头上标的字母，如 A、 a
印刷黑体（仅印刷品中采用）
• 矢量的模值表示为：A 或 A
第一章 矢量分析与场论基础
主要内容：
1.1 矢量的基本运算 1.2 矢量函数 1.3 场论基础 1.4 常用正交曲线坐标系
1.1 矢量的基本运算
1.1.1 矢量的概念
一、标量和矢量：
• 标量（scalar）：
只有大小没有方向的量， 用数值表示，如温度、 质量、体积。电磁理论中的标量：电量、电位、 电阻等等
B
A
二、矢量与标量的乘法和除法
• 模值： pA = p A
• 方向：
p>0 p <0
A pA pA
例子： F=ma
• 规则：
设 p , q均为实数
pqA pqA
p
qA
pA
qA
p A B pA pB
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• 法向单位矢量: nˆ 。
• 切向单位矢量: tˆ 。
• 一般令曲线的切向与曲线的正方向相同. 曲线上任意点的法向、 切向 均唯一，如图3.1所示。曲面上任意点的法向唯一、 切向有无数个。 如图3.2所示。
• 3. 场 • 如果某个物理量在给定 (或规定) 区域或空间 (有限或无限) V内的每一
点M，都有一个确定的值，那么这个物理量在这空间形成并且确定了 一个场，该物理量称为场量。
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3.1 矢量分析
• 2)矢端曲线(图示法) • 在矢量函数A(t)的起点确定时(比如原点O)，当t变化时，A(t)的终点
M就描绘出一条曲线l,称为矢量函数A(t)的矢端曲线,也称为矢量函数 A(t)的图形，原点O也称为矢端曲线的极,如图3.3所示。 • 5. 等值面 • 研究标量和矢量场时，用场图表示场变量在空间逐点演变的情况具有 很大的意义，它是研究标量场和矢量场在空间逐点演变情况的直观方 法。
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3.1 矢量分析
• 在标量场中，等值面直观地研究标量在场中的分布状况。若标量场为 Φ(r)，所谓等值面。是指由场中使函数 Φ(r)取相同数值的点所组成的 曲面，即令 Φ(r) =常数，就可求得等值线或等值面。例如， 电位场 中的等值面， 就是由电位相同的点所组成的等值面。如图3.4所示， 这与地图中的等高线的物理意义本质上是相同的。
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3.1 矢量分析
• 1) 矢量方程 • 矢量方程就是在特定坐标系中,用不同分量及其组合来给出的矢量的
数学表达式,比如在直角坐标系中,用矢量的坐标表示法,矢量函数可写 成 • A(t) ＝ {Ax(t),Ay(t),Az(t)} (3-2) • 其中Ax(t)、Ay(t),、Az(t)都是变量 ｔ 的标量函数,可见一个矢量函数 和三个有序的标量函数构成一一对应关系。
H等。矢量E的模表示为E或E。 • 矢量的性质: 矢量的值与其所在的空间位置无关。 因此空间平移不会
改变一个矢量。一个矢量E 与其逆矢量 － E模值相同。 方向相反。 • 空矢: 一个大小为零的矢量。 即模为0的矢量。
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3.1 矢量分析
• 单位矢量: 模值为1的矢量 (一般用来指一页 返回
3.1 矢量分析
• 3) 矢量面和矢量管 • 对于场中的任意一条曲线C (非矢量线)，在其上的每一点处， 也皆有
且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线 C 的曲面， 称为矢量面， 如图3.6所示。显然在矢量面上的任一点 Ｍ 处，场的对应矢量A(M) 都位于此矢量面在该点的切平面内。 • 特别地，当C为一封闭曲线时，通过 C的矢量面，就构成一管形曲面， 又称之为矢量管， 如图3.7所示。
• 6. 场线 • 1) 矢量线 • 对于矢量场，则常用场线 (也称为力线) 来表示场图，即矢量场中一
族空间有向曲线。
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3.1 矢量分析
• 矢量场的大小用力线的疏密程度表示。力线稠密处矢量场就大，反之 力线稀疏处则矢量场就小，线图曲线上每一点的切线方向为此处矢量 场的方向，矢量场的力线可以通过微分方程求得。
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3.1 矢量分析
• 4. 矢量函数
• 设有标量t和变矢A。 如果对于t在某个范围 (区域或空间)D 内的每一 个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称 A为标量t的矢量函 数，记作
• A=A(t)
(3-1)
• 并且称D为矢量函数A的定义域。
• 矢量函数可以用以下两种方法表示。
• 矢量线直观地表示了矢量的分布状况， 在它上面每一点处，曲线都 与对应于该点的矢量A相切，静电场中的力线、 磁场中的磁力线、 流速场中的流线等，都是矢量线的例子。
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3.1 矢量分析
• 按照矢量线的几何意义,在直角坐标系下，它与矢量A在M点处共线， 必有对应分量成比例，由此可以导出矢量线的方程表达式，这就是矢 量线所应满足的微分方程，即
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3.1 矢量分析
• 3.1.2 矢量分析初步
• 一、 三种基本坐标系 • 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定，
由三条正交曲线组成、 确定三维空间任意点位置的体系， 称为正交 曲线坐标系。 三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标 变量。在电磁场与电磁波理论中， 三种常用的正交曲线坐标系为: 直 角坐标系、 圆柱坐标系和球面坐标系。
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3.1 矢量分析
• 在数学上,场是空间和时间的函数，时间坐标一般用t表示， 空间坐标 表示形式为
• x(x，y，z) =ix +jy +kz，其中i、j、k构成右手系。 • 根据场中物理量不同，可以有标量场、 矢量场和张量场等。 • 标量场: 空间的每一个点对应一个标量。 • 矢量场: 空间的每一个点对应一个矢量。 • 在物理上， 场是描述某一物理对象特定分布规律的物理量。
E可以用单位矢量表示为 E eˆ。
• 基矢量: 是一组互相垂直的单位矢量，在直角坐标系中。用i、j、k表 示。 其方向分别沿x、y、z轴正方向。常矢量: 模和方向都保持不变 的矢量。
• 变矢量: 模和方向均变化或其中之一变化的矢量。变矢量是矢量分析 研究的重要对象。
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3.1 矢量分析
• 由方程式 (３ － ３) 求解可得矢量线族,在 A不为零的假定下， 当函 数Ax、 Ay、Az 均为单值、 连续且有一阶连续偏导数时， 这族矢量 线不仅存在，并且充满了矢量场所在的空间，而且互不相交。
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3.1 矢量分析
• 2) 矢量线的形态 • 矢量线有四种形态，如图3.5所示。 • (1) 无头无尾的闭合曲线。 • (2) 有起点有终点。 • (3) 有起点， 终止于无穷远处。 • (4) 起始于无穷远处，有终点。
第3章 矢量分析与场论基础
• 3.1 矢量分析 • 3.2 场论简介 • 3.3 小 结
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3.1 矢量分析
• 3.1.1 几个基本概念
• 1. 标量 • 标量是只有大小而没有方向的量 。如电荷量Q、 电位 φ、 电阻R等。 • 2. 矢量 • 矢量: 具有大小和方向特征的量。 如电场强度矢量E、 磁场强度矢量
• 切向单位矢量: tˆ 。
• 一般令曲线的切向与曲线的正方向相同. 曲线上任意点的法向、 切向 均唯一，如图3.1所示。曲面上任意点的法向唯一、 切向有无数个。 如图3.2所示。
• 3. 场 • 如果某个物理量在给定 (或规定) 区域或空间 (有限或无限) V内的每一
点M，都有一个确定的值，那么这个物理量在这空间形成并且确定了 一个场，该物理量称为场量。
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3.1 矢量分析
• 2)矢端曲线(图示法) • 在矢量函数A(t)的起点确定时(比如原点O)，当t变化时，A(t)的终点
M就描绘出一条曲线l,称为矢量函数A(t)的矢端曲线,也称为矢量函数 A(t)的图形，原点O也称为矢端曲线的极,如图3.3所示。 • 5. 等值面 • 研究标量和矢量场时，用场图表示场变量在空间逐点演变的情况具有 很大的意义，它是研究标量场和矢量场在空间逐点演变情况的直观方 法。
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3.1 矢量分析
• 在标量场中，等值面直观地研究标量在场中的分布状况。若标量场为 Φ(r)，所谓等值面。是指由场中使函数 Φ(r)取相同数值的点所组成的 曲面，即令 Φ(r) =常数，就可求得等值线或等值面。例如， 电位场 中的等值面， 就是由电位相同的点所组成的等值面。如图3.4所示， 这与地图中的等高线的物理意义本质上是相同的。
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3.1 矢量分析
• 1) 矢量方程 • 矢量方程就是在特定坐标系中,用不同分量及其组合来给出的矢量的
数学表达式,比如在直角坐标系中,用矢量的坐标表示法,矢量函数可写 成 • A(t) ＝ {Ax(t),Ay(t),Az(t)} (3-2) • 其中Ax(t)、Ay(t),、Az(t)都是变量 ｔ 的标量函数,可见一个矢量函数 和三个有序的标量函数构成一一对应关系。
H等。矢量E的模表示为E或E。 • 矢量的性质: 矢量的值与其所在的空间位置无关。 因此空间平移不会
改变一个矢量。一个矢量E 与其逆矢量 － E模值相同。 方向相反。 • 空矢: 一个大小为零的矢量。 即模为0的矢量。
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3.1 矢量分析
• 单位矢量: 模值为1的矢量 (一般用来指一页 返回
3.1 矢量分析
• 3) 矢量面和矢量管 • 对于场中的任意一条曲线C (非矢量线)，在其上的每一点处， 也皆有
且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线 C 的曲面， 称为矢量面， 如图3.6所示。显然在矢量面上的任一点 Ｍ 处，场的对应矢量A(M) 都位于此矢量面在该点的切平面内。 • 特别地，当C为一封闭曲线时，通过 C的矢量面，就构成一管形曲面， 又称之为矢量管， 如图3.7所示。
• 6. 场线 • 1) 矢量线 • 对于矢量场，则常用场线 (也称为力线) 来表示场图，即矢量场中一
族空间有向曲线。
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• 矢量场的大小用力线的疏密程度表示。力线稠密处矢量场就大，反之 力线稀疏处则矢量场就小，线图曲线上每一点的切线方向为此处矢量 场的方向，矢量场的力线可以通过微分方程求得。
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• 4. 矢量函数
• 设有标量t和变矢A。 如果对于t在某个范围 (区域或空间)D 内的每一 个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称 A为标量t的矢量函 数，记作
• A=A(t)
(3-1)
• 并且称D为矢量函数A的定义域。
• 矢量函数可以用以下两种方法表示。
• 矢量线直观地表示了矢量的分布状况， 在它上面每一点处，曲线都 与对应于该点的矢量A相切，静电场中的力线、 磁场中的磁力线、 流速场中的流线等，都是矢量线的例子。
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• 按照矢量线的几何意义,在直角坐标系下，它与矢量A在M点处共线， 必有对应分量成比例，由此可以导出矢量线的方程表达式，这就是矢 量线所应满足的微分方程，即
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• 3.1.2 矢量分析初步
• 一、 三种基本坐标系 • 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定，
由三条正交曲线组成、 确定三维空间任意点位置的体系， 称为正交 曲线坐标系。 三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标 变量。在电磁场与电磁波理论中， 三种常用的正交曲线坐标系为: 直 角坐标系、 圆柱坐标系和球面坐标系。
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3.1 矢量分析
• 在数学上,场是空间和时间的函数，时间坐标一般用t表示， 空间坐标 表示形式为
• x(x，y，z) =ix +jy +kz，其中i、j、k构成右手系。 • 根据场中物理量不同，可以有标量场、 矢量场和张量场等。 • 标量场: 空间的每一个点对应一个标量。 • 矢量场: 空间的每一个点对应一个矢量。 • 在物理上， 场是描述某一物理对象特定分布规律的物理量。
E可以用单位矢量表示为 E eˆ。
• 基矢量: 是一组互相垂直的单位矢量，在直角坐标系中。用i、j、k表 示。 其方向分别沿x、y、z轴正方向。常矢量: 模和方向都保持不变 的矢量。
• 变矢量: 模和方向均变化或其中之一变化的矢量。变矢量是矢量分析 研究的重要对象。
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3.1 矢量分析
• 由方程式 (３ － ３) 求解可得矢量线族,在 A不为零的假定下， 当函 数Ax、 Ay、Az 均为单值、 连续且有一阶连续偏导数时， 这族矢量 线不仅存在，并且充满了矢量场所在的空间，而且互不相交。
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3.1 矢量分析
• 2) 矢量线的形态 • 矢量线有四种形态，如图3.5所示。 • (1) 无头无尾的闭合曲线。 • (2) 有起点有终点。 • (3) 有起点， 终止于无穷远处。 • (4) 起始于无穷远处，有终点。
第3章 矢量分析与场论基础
• 3.1 矢量分析 • 3.2 场论简介 • 3.3 小 结
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3.1 矢量分析
• 3.1.1 几个基本概念
• 1. 标量 • 标量是只有大小而没有方向的量 。如电荷量Q、 电位 φ、 电阻R等。 • 2. 矢量 • 矢量: 具有大小和方向特征的量。 如电场强度矢量E、 磁场强度矢量