定积分基本计算公式-定积分的计算公式

.
补充 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，则
F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
F(x) d b(x) dx a(x)
f(t)dt
fb (x )b (x ) fa (x )a (x )
证:
0 b (x )
F (x ) f( t) dt
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
.
二 定积分的换元公式 定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
.
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
加函数.
证
dx
dx0
tf(t)dtxf(x),
dx
dx0
f
(t)dtf(x),
x
x
F(x)x(fx)0
f(t)d tf(x)0tf(t)dt
x
2
0 f(t)dt
.
x
F(x)f(x)0x(xt)f2(t)dt,
0 f(t)dt
f( x ) 0 ,( x 0 )
x
0
f(t)dt0,
(x t)f(t) 0 , 0x(xt)f(t)d t0,
dx cosx
dx1
eco2x s(cox)s six neco2x s,
1 et2dt
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
.
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
x
证明函数F ( x)
0 tf
x
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
F (x ) 0(x 0 ).
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
.
例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
x
F (x)2x0f(t)d t1 ,
f(x)1, F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
dx dt
(t )是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
a (x ) 0
b(x)
f(t)dt
a(x)
f(t)d,t
0
0
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
.
例1
1 e t 2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是 0 型不定式，应用洛必达法则. 0
解 d 1 et2dt d coxset2d,t
.
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之 间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
则有
b
a f ( x)dx
f [ (t)] (t)dt .
.
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
af(x)d xF (b)F (a),
令 (t)F [(t)],
(t)dFdxf(x)(t)f[ (t) ](t),
oa
x xxb x
.
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
f()x, 在 x与 x o x之 a间 . x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0 ) 10 ,
F(1)101f(t)dt01[1f(t)d] t 0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
.
基本公式 如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间
[a, b]上的一个原函数，则
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a).
证 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t)dt也是
f ( x)的一个原函数,
F (x ) (x ) C x[a,b]
.
令 xa F ( a ) ( a ) C ,
(a)a af(t)d t0 F (a)C ,
F (x)a xf(t)d tC ,
x
af(t)d tF (x )F (a ), 令 xba bf(x )d x F (b )F (a ).
0
1
o 1 2x
.
例6
求
2
m
axx,x{2}dx.
2
y
解 由图形可知
y x2
f(x)max,xx2{}
yx
x2
x
x
2
2 x0 0 x1 , 1 x2
2
o 1 2x
原 式 0x 2 d x1 xd 2 x x 2 dx 11 .
2
0
1
2
.
例7 求 1 1dx .
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
F
(a)仍成立.
.
例4 求 02(2cox ssix n 1)d.x
解
原式
2sinxcosxx02
3
2
.
例5
设
f(x)52x
0x1
,
1x2
求
2
0
f
(x)dx.
解
2
1
2
y
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x) 5,
原 式 12xdx2 5dx 6.
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
Hale Waihona Puke Baidu
[a, b]上的一点，考察定积分
x
a
f
(x)dxax
f
(t)dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对
于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
x
记 (x) f(t)dt. 积分上限函数 a