第一讲 进位制与位值原理
进制与位值原理
进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换与计算的规律，并熟悉进制的应用．在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用．⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧； ⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子．两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于1平方米，100平方厘米等于1平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于1千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……．进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”(在十进制下记为２)；比“10”再多一个，记为“11”．依次类推，我们很容易接受二进制下从小到大的数列，列表如下： 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 1 2 3 4 1 10 11 100 5 6 7 8 101 110 111 1000 9 10 11 12 1001 1010 1011 1100 13 14 15 16 1101 1110 1111 10000二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1．这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示．当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多．十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目1999时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，1999110009100=⨯+⨯ 91091+⨯+⨯，也就是说：1999中含有一个1000，九个100，九个10与九个1．为了叙述的方便，我们约定：用2（ ）表示括号内写的数是二进制数，如21010（）；用10（ ）表示括号中写的数是十进制数，如1066（）；十进制的标志可省略，66就代表十进制下的数． 二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数1000000应该表示十进制数64，．那经典精讲第十一讲进位制与位值原理么我们可以得到，二进制数中计数单位与十进制数有如下关系：二进制数 十进制数110 100 1000 10000 1000001 2422=⨯8222=⨯⨯ 162222=⨯⨯⨯ 3222222=⨯⨯⨯⨯⑴ 关于进位制的两个需要注意的地方：二进制数有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，……，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制数有0，1，2，……，13，14，15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”．根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概念和运算．为了区别各种进位制数，n 进制中的数用()n a 表示．如果10n ≥，那么从10到1n -的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示．比如，用A 表示10，B 表示11，C 表示12，D 表示13，E 表示14，F 表示15等等． ⑵ 十进制数与n 进制数的互换： n 进制数110()r r n a a a a -写成十进制数是121210r r r r a n a n a n a n a --+++++．十进制数化成n 进制数，只要把十进制数用n 除，记下余数；再用n 除它的商，又记下余数；直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个n 进制的数．这叫做“除n 取余法”． 如把1234化成三进制数：3123434111313703452315035031201余余余余余余余 所以，(10)(3)12341200201=．⑶ 一般地，一个自然数N 可表示为1210r r r a a a a a --的形式，其中r a ，1r a -，…，1a ，0a 是0，1，2，3，…，9中的一个，且0r a ≠，即：1110101010r r r r N a a a a --=⨯+⨯++⨯+．这就是十进制数，记作(10)N ，简记为N ．十进制数有两个特征：一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位．⑷ 对于进位制需要注意其本质：n 进制就是逢n 进一．［分析］掌握十进制转化为n 进制的基本方法：短除法.以()()10237=和()()108888=为例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是37的二进制数.()()10237100101=.例1237218...129 (02)4...122...021 0...188888111...0813...781...50 (1)同样的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：()()1088881570=.()()()()()()()()10210310510837100101;24222222;1561111;8881570====.［巩固］（基础学案1）将1030（）、1072（）改写成二进制数． ［分析］ 可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.1023016141686168420111110=+=++=++++⨯=（）（）102726486403201680402011001000=+=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=（）（）［巩固］（提高学案1）将10301（）、1072（4）改写成七进制数． ［分析］短除法.()()107301610=；()()107721243=4［提高］（尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用,,,,,A B C D E F 来表示十六进制中的10,11,12,13,14,15.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？ ［分析］仍然用短除法.()()1016234EA =［分析］n 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．()()()()5432102104321031010100112021202021241120211323032313142=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 当然计算时，数位是0的可以省略.［分析］（1）可转化成十进制来计算：222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是例3例22，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））； （2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；（3）本题涉与到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(．［铺垫］（基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法()()()()()()222222100111111010101+=-=［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二当一”.1001110101111011000010101+-［铺垫］（提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法 ［分析］ ⑴ 列竖式： ⑵ 列竖式：1111011111011011011101101×10110110110110011100111001110101011100110011得：2221011011011111101111⨯=（）（）（） 得：22210101011100111001÷=（）（）（）［拓展］（尖子学案2）完成下列进制的转化()()216110010011011;= ()()16295A E =［分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起4216=，就变成了十六进制.那么第一个问题，()2110010011011我们把它每4位数码合在一起()()2161100,C =()()21610019,=()()2161011B =，因此()()2161100100110119C B =.第二个问题，()1695A E 我们把它每一位拆成4位二进制数，()()16291001,=()()1621010,A =()()()()16216250101,1110E ==，因此，()()162951001101001011110A E =.［分析］利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以例4说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以， n 只能是6．［巩固］（基础学案3）在几进制中有12512516324⨯=？［分析］注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n 只能是7．［拓展］（提高学案3）算式153********⨯=是几进制数的乘法？［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．［拓展］（尖子学案3）记号()25k 表示k 进制的数，如果()52k 是()25k 的两倍，那么，()123k 在十进制表示的数是多少？［分析］可用位值原理来进行计算.()()2525,5252k k k k =+=+，依题意，()22552k k ⨯+=+，解得8k =.()()81012318828383=⨯⨯+⨯+=.［分析］设此数为()()43abc cba =，利用位值原理转化为十进制数.164931580a b c c b a a b c ++=++⇒+-=.又,,a b c 是三进制中的数字，所以,,0,1,2a b c =，那么易得1,1,2a b c ===，()411211614222=⨯+⨯+=.十进制表示是22.［巩固］在七进制中有三位数abc ，化为九进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？ ［分析］首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．于是，这个三位数在十进制中为248．例5［拓展］用,,,,a b c d e 分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果5()ade ，5()adc ，5()aab 是由小到大排列的连续正整数，那么5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是多少？［分析］注意555()(1)()adc aab +=，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则0b =，而555(10)(1)(4)c =-=，则4c =．而555()(1)()ade adc +=，所以1e c +=，则3e =． 又1d a +=，所以1d =，2a =．那么，5()cde 为25(413)45153108=⨯+⨯+=． 即5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是108．［提高］自然数10)(abc x =化为二进制后是一个7位数2)1(abcabc ，那么x 是多少？ ［分析］根据位值原理100106432168426436189a b c a b c a b c a b c ++=++++++=+++，于是64648888a b c a b c =--⇒=--.又,,a b c 是二进制中的数字，因此,,0,1a b c =，那么易得1,0,0a b c ===.100x =．[补充],a b 是自然数，a 进制数()47a 和b 进制数()74b 相等，a b +的最小值是多少？ ［分析］,8a b ≥，根据位值原理，4774743a b b a +=+⇒-=．左右两边取4的模，有()()33mod 41mod 4b b ≡⇒≡，那么，b 的最小值是9，此时()793415a =⨯-÷=.那么，24a b +=．［分析］若给每个盒子分别放入：1，2，22，，92发子弹，即相当于二进制数中的：0000000001，0000000010，，1000000000，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0．这样我们可以任意抽出：2101011111023=（）（）以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9个盒子中分别装：1，2，22，，82发子弹，相当于二进制数中的000000001，000000010，000000100，，100000000发子弹，最后一个盒子中只能放9223-（）发子弹，即489发子弹．即可凑出1000以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489．［铺垫］（基础学案4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买1~31中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示．因为531322<=，所以用42，32，22，12，02就可以表示1~31中的所有整数．因为021=，122=，224=，328=，4216=，所以茶叶店只要有5包茶叶，分别重1，2，4，8，16两，就可以满足一位顾客1~31两茶叶的需要．［拓展］（提高学案4）现有六个筹码，上面分别标有数值：1,3,9,27,81,243.任意搭配这些筹码（也可以只选择一个筹码）可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第39个是多少？ ［分析］由例题我们可以知道一共有63个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中例6的39转化为2进制，应记为：2(100111)．所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，将其转化为10进制，有523(100111)1313131256=⨯+⨯+⨯+=．即其中第39个数是256．［拓展］（尖子学案4）我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？［分析］称量1克，需要1克的砝码；称量2克，需要2克的砝码； 称量3克，需要1克和2克的砝码； 称量4克，需要4克的砝码； ……有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码. 以此类推，共需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.10个砝码分别对应于二进制中的()()()()()()222222110100100010000100000，，，，，， ()()()()22221000000100000001000000001000000000，，，.1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以用一个不超过10位的二进制数.如()210231*********=.那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如()25131000000001=，代表我们可以用一个()25121000000000=克和一个()211=克砝码来称量513克.因此最少需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.越玩越聪明： 超常挑战：1. 把下面的二进制数改写成十进制数．⑴ 2101110（） ；⑵ 2111101（）；［分析］⑴2101011100112141801613246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）⑵ 2101111011102141811613261=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）2. ①852567(((=== ） ） ）；②在八进制中，1234456322--=________；［分析］本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））； ②原式1234(456322)12341000234=-+=-=.3. 计算：()()()222(1)1111101+=()()()888(2)357521+=家庭作业［分析］()()()222111*********+=()()()8883575211100+=4. 转化进位制()()8210247=［分析］()()82102471000010100111=5. 在算式2222222000+++++=学习必须努力中，不同的汉字代表不同的数字，并且学、习、必、须、努、力按从大到小的顺序排列，那么，学、习、必、须、努、力应分别是多少？ ［分析］通过观察题目给出的算式，我们很容易将题中的2的乘方和二进制数联系到一起，所以我们只需将2000化成二进制数，再利用二进制定义即可．102200011111010000=（）（），10987642000121212121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯所以学、习、必、须、努、力分别代表的是10、9、8、7、6、4．。
小学奥数数论讲义 15-进制与位值原理强化篇
今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。
【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。
【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。
【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。
【例 3】在几进制中有125⨯125=16324？【巩固】算式1534⨯25=43214是几进制数的乘法？【例 4】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。
将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。
求原的两位数。
【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是 。
进制与位值原理逢n 进1借1当n 位值原理 十进制 除n 取余法【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。
【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。
〖答案〗【例 1】13121【巩固】234【例 2】⑴11100，⑵11000000，⑶500 【巩固】⑴10111110，⑵867【例 3】七进制【巩固】八进制【例 4】14【巩固】97【例 5】1，2，4【巩固】139。
第一讲 进位制与数学归纳法
第一讲 整数的进位制与数学归纳法【基础知识】一、整数的进位制正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有特别说明，我们都认为它是十进制的数字。
随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，就可以表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且01≠-m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=.二、数学归纳法先介绍一些数集的习惯表示：0------------------C Z Z Z +*+表示复数集；R 表示实数集；Q 表示有理数集；表示整数集；N 或N 或表示正整数集；表示非零整数集；N 表示自然数集.1、 正整数集*N 的两个性质⑴阿基米德性质：,,,.a b N n N na b **∈∈>对任意的必有使⑵最小数原理：,N S a S *∃∈∈≤的任意一个非空子集必含有一个最小数，即对于任意的c S 都有a c.2、数学归纳法【第一数学归纳法】设有一个与正整数n 有关的命题，如果：⑴ 当n=1时，命题成立；⑵ 假设n=k 时命题成立，则n=k+1 时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.【推论1】设有一个与正整数n ()00,n n n N *≥∈有关的命题，如果： ⑴ 当0n n =时，命题成立；⑵ 假设()0n k k n =≥ 时命题成立，则n=k+1 时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.【推论2 】设有一个与正整数n 有关的命题，如果：⑴ 当12n m =、、、时，命题成立； ⑵ 假设n k = 时命题成立，则n=k+m 时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.【第二数学归纳法】设有一个与正整数n 有关的命题，如果：⑴ 当n=1时，命题成立；⑵ 假设命题对于小于k 的一切正整数成立，则命题对于n=k+1 时也成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.【柯西数学归纳法】设有一个与正整数n 有关的命题，如果：⑴ 命题对无限多个自然数n 成立；⑵ 假设n k = 时命题成立，则n=k-1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.13．若}100,,2,1{ ∈n 且n 是其各位数字和的倍数，这样的n 有多少个？解：（1）若n 为个位数字时，显然适合，这种情况共有9种；（2）若n 为100时，也适合；（3）若n 为二位数时，不妨设ab n =，则b a n +=10，由题意得)10(|)(b b a ++. 即Z b a b a ∈++10即Z ba a ∈+9也就是ab a 9|)(+； 若0=b 显然适合，此种情况共有9种； 若0≠b ，则由a b a >+，故)(|3b a +若9|)(b a +，则显然可以，此时共有2＋8＝10个；若（b a +）9，则6=+b a 或12=+b a ，这样的数共有24,42,48,84共4个； 综上所述，共有9＋1＋9＋10＋4＝33个。
进位制与位值制
[科目] 数学[关键词] 十进制/二进制/初中[文件] sxbj19.doc[标题] 进位制与位值制[内容]进位制与位值制当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
譬如36082，中国古代表示成|||┸O| ，这样的方法称之为位值制，即同样的符号在不同的位置上表示不同级别的数值。
印度与中国的这种记数法称之为“十进位值制”记数法，这是最科学的记数法。
中国古代的这种记数法，是个位用纵式，十位用横式，千位又用纵式，以此类推，这比起印度的记数法还是麻烦一点，所以印度记数法在世界通行。
据传，14世纪前后欧洲人才从阿拉伯人那里学会了印度人的十进位值制记数法，还误以为是阿拉伯人发明的，称之为阿拉伯数字。
当时，欧洲那些受过教育的贵族们，把这种十进位值制记数法当作一种招待客人的游戏。
选择10作为我们记数体系的基数，也许是因为我们有10个手指头。
从原则上讲，我们可以选用任何一个数作基数，说来也巧，不管我们采用哪一个数作为基数，都可以实行位值制，并且十进位值制记数法，并不依赖于10这个特殊数，而能任意转换为其他基数。
我们先来考察十进位值制的8349这个数，我们可以通过以下步骤，顺序得出这个数各个数位上的数字：余数8349÷10=834+9834÷10=83+483÷10=8+38÷10=0+8把这几个余数逆序从左写到右，便得到（8349）10我们再来选另一种基数的记数法进行同样的步骤，比如用6作为基数吧。
余数8349÷6=1391+31391÷6=231+5231÷6=38+338÷6=6+26÷6=1+01÷6=0+1从而可得（102353）6 =（8349）10十进位值制记数法另一大优点，在于数的运算可以简化成单个数字的运算。
五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)
“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
进位制与位值原理
进位制与位值原理课程要求 1．认真听讲，认真笔记 2．根据老师提示及时暂停视频 3．课程虽然精彩，但是一定要休息知识地图 1. 进位制的含义和不同进制之间的互相转化。
2. 位值原理的基础知识和基本运用。
【课前小知识】1. 很久很久以前，人类是没有数字这个概念的， 但是打猎的时候要计算得到了多少猎物 ， 于是他们只能掰手指头，数到10个的时候就没 法继续，所以就在墙上做一个记号“ ”， 代表10个 ，这就是十进制的来历。
既然十 个 等于一个 ，那么十个 也等于一 个 ，以此类推。
① 以现在的角度来看， ， ， 各相当于哪一位？②“”写成我们习惯的表达形式应该是什么？2. 如果有个外星球种族，他们只有七个手指头， 打猎的时候也要计算得到了多少猎物 ，于 是他们只能掰手指头，数到7个的时候就没法 继续，所以就在墙上做一个记号“ ”，代 表7个 ，7个 等于1个 ，那么7个 也 等于1个 ，以此类推。
① 一个 等于多少个 ？②“”写成十进制应该是什么？③ 按照外星种族的书写习惯，一个数里最多有几个 ？④ 十进制中的100个 在这里应该如何表示？知识要点屋 1. 十进制就是逢十进一，七进制就是逢七进一，以此类推。
2. 十进制中最大的数字是9，七进制中最大的数字是6，以此类推。
【例1】(★★) 十进制的1234化成九进制是多少？【例2】(★★) 八进制的145化成十进制是多少？ 1【例3】(★★) 七进制的125化成八进制是多少？【例4】(★★★) 在七进制下进行计算：(1235)7＋(4251)7＝_____【例4拓展】(★★★) ⑴哪种进制下，4×13＝100成立？ ⑵哪种进制下，135×24＝3636成立？【课中间小知识】 1. 365＝3×100＋6×10＋5×1 abcd＝a×1000＋b×100＋c×10＋d×1 2. 一个十进制的数，可以根据位值原理进行分拆。
数的进位规律——进位原理和规律教案
数的进位规律是我们日常生活中常见的数学知识，它是进行计算和数学推理的重要基础。
本文将介绍进位原理与规律，并提供一些教学方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识。
一、进位原理进位原理是指在十进制数运算中，当某一位数加和达到 10 时，要进位到下一位，即在该位上的数加 1 ，同时将该位上的数减去 10 。
这种进位方法是十进制数字系统的基本运算规则，也是进行复杂数学运算的基础。
例如，在进行 345 + 678 的加法运算时，我们首先计算个位上的数，得到 5+8=13，由于个位上的数只能是 0-9 的个位，所以要将 13 进位到十位，并将个位上的 3 再加上进位后的 1，最终得到 4。
接着，在十位上 4+7=11，同样要进位到百位，并将十位上的 4 加上进位后的 1，得到 5。
在百位上 3+6=9，没有进位，直接写入到结果中，因此，345 + 678 = 1023。
进位原理不仅适用于加法运算，也适用于减法、乘法和除法等基本数学运算。
在进行减法运算时，若需要借位（即将高位上的数借给低位），则在减法中也要同步减去一个单位。
在乘法中，如果两个数字相乘的结果超过了 10，也必须进位。
在除法中，若计算得出商的整数部分超过了 10，那么我们需要对商进行进位。
进位原理在数学中的应用非常广泛。
例如，在逐位比较两个数的大小时，我们要首先比较最高位数的大小。
如果两个数的最高位数相同，那么就继续比较次高位数的大小，直到找到两数之间的大小差别为止。
因为在进位的过程中，高位数的进位会对后续的位数计算产生影响，从而影响整个数的大小。
二、进位规律除了进位原理外，数学中还有一些进位规律，它们可以帮助我们更好地处理数的进位。
以下是几条常见的进位规律：1.五入规律五入规律是指，当一个数的小数点后一位数大于或等于 5 时，就要将该数向上进位。
例如，如果我们要将 3.26 精确到小数点后一位，那么我们要将第二位数上的 6 向上进位，得到3.3。
进制与位值原理
进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律，并熟悉进制的应用．在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用．⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧； ⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子．两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于1平方米，100平方厘米等于1平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于1千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……．进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”(在十进制下记为２)；比“10”再多一个，记为“11”．依次类推，我们很容易接受二进十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 1 2 3 4 1 10 11 100 5 6 7 8 101 110 111 1000 9 10 11 12 1001 1010 1011 1100 13 14 15 16 1101 1110 1111 10000的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示．当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多．十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目1999时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，1999110009100=⨯+⨯ 91091+⨯+⨯，也就是说：1999中含有一个1000，九个100，九个10与九个1．为了叙述的方便，我们约定：用2（ ）表示括号内写的数是二进制数，如21010（）；用10（ ）表示括号中写的数是十进制数，如1066（）；十进制的标志可省略，66就代表十进制下的数．二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数1000000应该表示十进制数64，L ．那经典精讲第十一讲进位制与位值原理二进制数 十进制数1 10 100 1000 10000 100000 L L1 2422=⨯ 8222=⨯⨯ 162222=⨯⨯⨯ 3222222=⨯⨯⨯⨯ L L⑴ 关于进位制的两个需要注意的地方：二进制数有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，……，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制数有0，1，2，……，13，14，15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”．根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概念和运算．为了区别各种进位制数，n 进制中的数用()n a 表示．如果10n ≥，那么从10到1n -的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示．比如，用A 表示10，B 表示11，C 表示12，D 表示13，E 表示14，F 表示15等等． ⑵ 十进制数与n 进制数的互换：n 进制数110()r r n a a a a -L 写成十进制数是121210r r r r a n a n a n a n a --+++++L ．十进制数化成n 进制数，只要把十进制数用n 除，记下余数；再用n 除它的商，又记下余数；直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个n 进制的数．这叫做“除n 取余法”． 如把1234化成三进制数：3123434111313703452315035031201L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 余余余余余余余 所以，(10)(3)12341200201=．⑶ 一般地，一个自然数N 可表示为1210r r r a a a a a --L 的形式，其中r a ，1r a -，…，1a ，0a 是0，1，2，3，…，9中的一个，且0r a ≠，即：1110101010r r r r N a a a a --=⨯+⨯++⨯+L ． 这就是十进制数，记作(10)N ，简记为N ．十进制数有两个特征：一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位．⑷ 对于进位制需要注意其本质：n 进制就是逢n 进一．［分析］掌握十进制转化为n 进制的基本方法：短除法.以()()10237=和()()108888=为例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是37的二进制数.()()10237100101=.例1237218...129...024...122...021 0...188888111...0813...781...50 (1)同样的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：()()1088881570=.()()()()()()()()10210310510837100101;24222222;1561111;8881570====.［巩固］（基础学案1）将1030（）、1072（）改写成二进制数． ［分析］ 可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.1023016141686168420111110=+=++=++++⨯=（）（）102726486403201680402011001000=+=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=（）（）［巩固］（提高学案1）将10301（）、1072（4）改写成七进制数． ［分析］短除法.()()107301610=；()()107721243=4［提高］（尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用,,,,,A B C D E F 来表示十六进制中的10,11,12,13,14,15.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？ ［分析］仍然用短除法.()()1016234EA =［分析］n 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．()()()()5432102104321031010100112021202021241120211323032313142=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 当然计算时，数位是0的可以省略.［分析］（1）可转化成十进制来计算：222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是例3例22，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））； （2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；（3）本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(．［铺垫］（基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法()()()()()()222222100111111010101+=-=［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二当一”.1001110101111011000010101+-［铺垫］（提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法 ［分析］ ⑴ 列竖式： ⑵ 列竖式：1111011111011011011101101×10110110110110011100111001110101011100110011得：2221011011011111101111⨯=（）（）（） 得：22210101011100111001÷=（）（）（）［拓展］（尖子学案2）完成下列进制的转化()()216110010011011;= ()()16295A E =［分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起4216=，就变成了十六进制.那么第一个问题，()2110010011011我们把它每4位数码合在一起()()2161100,C =()()21610019,=()()2161011B =，因此()()2161100100110119C B =.第二个问题，()1695A E 我们把它每一位拆成4位二进制数，()()16291001,=()()1621010,A =()()()()16216250101,1110E ==，因此，()()162951001101001011110A E =.［分析］利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以例4说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以， n 只能是6．［巩固］（基础学案3）在几进制中有12512516324⨯=？［分析］注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n 只能是7．［拓展］（提高学案3）算式153********⨯=是几进制数的乘法？［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．［拓展］（尖子学案3）记号()25k 表示k 进制的数，如果()52k 是()25k 的两倍，那么，()123k 在十进制表示的数是多少？［分析］可用位值原理来进行计算.()()2525,5252k k k k =+=+，依题意，()22552k k ⨯+=+，解得8k =.()()81012318828383=⨯⨯+⨯+=.［分析］设此数为()()43abc cba =，利用位值原理转化为十进制数.164931580a b c c b a a b c ++=++⇒+-=.又,,a b c 是三进制中的数字，所以,,0,1,2a b c =，那么易得1,1,2a b c ===，()411211614222=⨯+⨯+=.十进制表示是22.［巩固］在七进制中有三位数abc ，化为九进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？ ［分析］首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．于是，这个三位数在十进制中为248．例5［拓展］用,,,,a b c d e 分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果5()ade ，5()adc ，5()aab 是由小到大排列的连续正整数，那么5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是多少？［分析］注意555()(1)()adc aab +=，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则0b =，而555(10)(1)(4)c =-=，则4c =．而555()(1)()ade adc +=，所以1e c +=，则3e =． 又1d a +=，所以1d =，2a =．那么，5()cde 为25(413)45153108=⨯+⨯+=． 即5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是108．［提高］自然数10)(abc x =化为二进制后是一个7位数2)1(abcabc ，那么x 是多少？ ［分析］根据位值原理100106432168426436189a b c a b c a b c a b c ++=++++++=+++，于是64648888a b c a b c =--⇒=--.又,,a b c 是二进制中的数字，因此,,0,1a b c =，那么易得1,0,0a b c ===.100x =．[补充],a b 是自然数，a 进制数()47a 和b 进制数()74b 相等，a b +的最小值是多少？［分析］,8a b ≥，根据位值原理，4774743a b b a +=+⇒-=．左右两边取4的模，有()()33mod 41mod 4b b ≡⇒≡，那么，b 的最小值是9，此时()793415a =⨯-÷=.那么，24a b +=．［分析］若给每个盒子分别放入：1，2，22，L ，92发子弹，即相当于二进制数中的：0000000001，0000000010，L ，1000000000，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0．这样我们可以任意抽出：2101011111023=L 123（）（）以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9个盒子中分别装：1，2，22，L ，82发子弹，相当于二进制数中的000000001，000000010，000000100，L ，100000000发子弹，最后一个盒子中只能放9223-（）发子弹，即489发子弹．即可凑出1000以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489．［铺垫］（基础学案4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买1~31中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示．因为531322<=，所以用42，32，22，12，02就可以表示1~31中的所有整数．因为021=，122=，224=，328=，4216=，所以茶叶店只要有5包茶叶，分别重1，2，4，8，16两，就可以满足一位顾客1~31两茶叶的需要．［拓展］（提高学案4）现有六个筹码，上面分别标有数值：1,3,9,27,81,243.任意搭配这些筹码（也可以只选择一个筹码）可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第39个是多少？ ［分析］由例题我们可以知道一共有63个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中例6的39转化为2进制，应记为：2(100111)．所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，将其转化为10进制，有523(100111)1313131256=⨯+⨯+⨯+=．即其中第39个数是256．［拓展］（尖子学案4）我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？［分析］称量1克，需要1克的砝码；称量2克，需要2克的砝码； 称量3克，需要1克和2克的砝码； 称量4克，需要4克的砝码； ……有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码. 以此类推，共需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.10个砝码分别对应于二进制中的()()()()()()222222110100100010000100000，，，，，，()()()()22221000000100000001000000001000000000，，，.1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以用一个不超过10位的二进制数.如()210231*********=.那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如()25131000000001=，代表我们可以用一个()25121000000000=克和一个()211=克砝码来称量513克. 因此最少需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.越玩越聪明： 超常挑战：1. 把下面的二进制数改写成十进制数．⑴ 2101110（） ；⑵ 2111101（）；［分析］⑴2101011100112141801613246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）⑵ 2101111011102141811613261=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）2. ①852567(((=== ） ） ）；②在八进制中，1234456322--=________；［分析］本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））； ②原式1234(456322)12341000234=-+=-=.3. 计算：()()()222(1)1111101+=()()()888(2)357521+=家庭作业［分析］()()()222111*********+=()()()8883575211100+=4. 转化进位制()()8210247=［分析］()()82102471000010100111=5. 在算式2222222000+++++=学习必须努力中，不同的汉字代表不同的数字，并且学、习、必、须、努、力按从大到小的顺序排列，那么，学、习、必、须、努、力应分别是多少？ ［分析］通过观察题目给出的算式，我们很容易将题中的2的乘方和二进制数联系到一起，所以我们只需将2000化成二进制数，再利用二进制定义即可．102200011111010000=（）（），10987642000121212121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯所以学、习、必、须、努、力分别代表的是10、9、8、7、6、4．。
第一讲 进位制与位置原理
第一讲 进制与位值
【知识点】
一、位值原理
二、 进制转换
（1）n 转10
（abcde ）n
=（e ×n 0+d ×n 1+c ×n 2+b ×n 3+a ×n 4）10
（2）10转n
除以n 倒取余数法
（3）n 转n
n 转10转n
三、 四则运算
满n 进1，借1当n
四、 应用题
【周周测】
练习1 把下面的二进制数转化为十进制数。
（11）2 （11011）2 （11111）2
（
1001）2
练习2 把下面的十进制数转化为二进制数
18 158 37
（a b c d e ）n
n 0
n 1 n 2
n 3
n 4
练习3 （1）（111）2+（1011）2（2）（1101）2+（1010）2+（1011）2 练习4 （11011）2－（1011）2
练习5 （10011）2×（101）2
练习6 （1100011）2÷（1001）2
练习7 在算式：2千+2里+2之+2行+2始+2于+2足+2下=2010中，不同的汉字代表不同的数字，则“千”+“里”+“之”+“行”+“始”+“于”+“足”+“下”的值是多少？
练习8 有一架天平，原有1克、2克、4克、8克、16克、32克砝码各1个，后来丢失了其中的一个砝码，因而无法一次称出25克或54克的重量。
丢失的砝码是多少克的砝码。
数的进位知识点
数的进位知识点进位是数学中非常基础的概念，它涉及到整数的表示和运算。
在日常生活和各个学科都会涉及到进位的概念，尤其在计算机科学和金融领域中更为重要。
本文将介绍数的进位的相关知识点，包括进位制、进位运算和进位的应用。
一、进位制进位制是一种计数的方法，根据不同的进位基数，可以分为十进制、二进制、八进制和十六进制等。
具体如下：1. 十进制：十进制是我们常用的计数方式，以0-9的十个数字为基础。
每当个位到达9时，就需要进位到十位，十位到达9时就需要进位到百位，以此类推。
2. 二进制：二进制是计算机中最常用的进位制，只包含0和1两个数字。
每当个位到达1时，就需要进位到十位，十位到达1时就需要进位到百位，以此类推。
3. 八进制：八进制以0-7的八个数字为基础。
每当个位到达7时，就需要进位到十位，十位到达7时就需要进位到百位，以此类推。
4. 十六进制：十六进制以0-9和A-F的共十六个数字表示。
其中A代表10，B代表11，依此类推。
每当个位到达F时，就需要进位到十位，十位到达F时就需要进位到百位，以此类推。
进位制的转换非常常见，可以通过多种方法进行计算和转换。
例如，将十进制转换为二进制可以使用除以2取余法，将十进制转换为八进制可以使用除以8取余法，将十进制转换为十六进制可以使用除以16取余法。
二、进位运算进位运算是指在进行数学运算中，当某一位的结果超过了进位制的基数时，需要把多余的进位向高位进行传递的过程。
进位运算的常见形式包括加法进位和乘法进位。
1. 加法进位：在两个数相加的过程中，当某一位的结果超过了进位制的基数时，就会产生进位。
例如，对于十进制数相加时，当个位相加的结果大于10时，就会产生进位，将个位的进位加到十位上。
2. 乘法进位：在两个数相乘的过程中，当某一位的结果超过了进位制的基数时，也会产生进位。
例如，对于十进制数相乘时，当个位相乘的结果大于10时，就会产生进位，将个位的进位加到十位上。
进位运算在数学计算过程中非常常见，可以通过列竖式的方法进行演算和解决。
进位制和位置值
进位制和位置值抽象的数概念，是通过具体的记数形式来体现的，完整的记数系统包含三个要素，即记数符号、进位制以及较⾼单位的表⽰法。
1、进位制最初的记数没有进位制，以刻痕记数为例，有多少数刻多少道痕。
但数⽬很⼤时就有困难，⾃然会想到进位，以P个数组成⼀个新的单位，P个新单位⼜组成⼀个更⾼的单位，这叫P进制，P叫做进位的基。
如10进制，当数到10时给⼀个新单位“⼗”，数到10个⼗时给⼀个新单位“百”，⽽数到10个百时给⼀个新单位“千”，正所谓的“逢⼗进⼀”，“退⼀当⼗”。
⼈们对⼗进位已经习以为常。
但在历史上曾使⽤过许多⾮10的基数，如2、5、6、12、16、20、60等，量⾓的60进制，⾄今还在使⽤。
为什么选择这些数作基数？这是个很有趣的问题。
5进制和10进制显然和⼈类的10个⼿指头有关。
历史上很多地区都曾使⽤过5进制和10进制，如罗马时5进制，古埃及，中国和印度等都是10进制。
20进制⼤概还和⼈的脚趾有关，玛雅⼈使⽤的就是20进制。
玛雅⼈是中美洲印第安⼈的⼀个部落，地处热带，⼈民喜欢⾚脚，记数时⼿指数不过来就⽤脚趾，发展成20进制是很⾃然地。
欧洲古代有些民族也使⽤20进制，如凯尔⼈。
欧洲许多⽂字还保留20进制的痕迹，如法⽂20叫做Vingt，80叫做Quanre-Vingts（4个20）。
英⽂20也叫Score。
特别值得⼀提的，还有2进制，这是基数最⼩的⼀种记数法，现在⽤10进制，要⽤到10个数码：0、1、2、……9，⽽2进制只要⽤0、1两个数码就可以表⽰任何数。
不过写起来很冗长，如87要写成1010111，所以在使⽤上是很不⽅便的。
⽇常⽣活还是⽤10进制⽽不⽤2进制，但对于电⼦计算机来说却是另⼀种情况，2进制有⽆可⽐拟的优越性，因此被⼴泛采⽤。
除了上述⼏种进位基数外，还有现在全世界都在使⽤的60进制。
⽤在时间上，1⼩时分为60分钟，1分分为60秒。
⽤于量⾓，⼀个圆周⾓分为360度，1度分为60分，1分分为60秒。
数的进制与位值
数的进制与位值在数学中，我们常常会遇到不同的进制表示方式，其中最常见的是十进制、二进制和十六进制。
每个进制都采用不同的位值表示数值，因此了解这些进制和它们的位值对数学运算和计算机科学非常重要。
1. 十进制十进制是我们最熟悉的进制系统，也是我们日常生活和数学运算中使用的最为广泛的进制。
它使用基数为10，并以从右到左的顺序，每一位的位值为10的幂来表示数值。
例如，一个三位的十进制数如123可以被表示为：1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^02. 二进制二进制是计算机科学中最为重要的进制系统之一，它只使用了两个数字0和1作为基数。
在二进制中，每一位的位值都是2的幂，从右到左依次增加。
例如，一个八位的二进制数如11011010可以被表示为： 1*2^7 + 1*2^6 + 0*2^5 + 1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^03. 十六进制十六进制使用基数为16，并且在表示数值时使用了数字0-9和字母A-F作为符号。
在十六进制中，每一位的位值也是16的幂，从右到左依次增加。
与二进制相比，十六进制更为紧凑且易于书写和表示大数字。
例如，一个六位的十六进制数如FFA81E可以被表示为：15*16^5 + 15*16^4 + 10*16^3 + 8*16^2 + 1*16^1 + 14*16^04. 进制转换在数学和计算机科学中，我们经常需要在不同的进制之间进行转换。
这涉及到将一个数值从一个进制转换为另一个进制，并相应地调整位值。
以下是一个从十进制转换为二进制和十六进制的示例： - 十进制数42转换为二进制：42 / 2 = 21余0，21 / 2 = 10余1，10 / 2 = 5余0，5 / 2 = 2余1，2 / 2 = 1余0，1 / 2 = 0余1。
从最后一个余数开始，我们得到二进制数101010。
- 十进制数42转换为十六进制：42 / 16 = 2余10。
进位计数制教学ppt课件
十六进制数中，A-F表示十进制的10-15，例如：A表示十进 制的10，F表示十进制的15。
十六进制数的运算规则
加法运算
逢16进1，例如：2A+3F=5F。
减法运算
借位时从16借1，例如：5F-2A=36。
乘法运算
除法运算
按位相乘后相加，例如：(2A)x(3F)=7EF。
从被除数中连续去掉大于除数的位数，直 到被除数小于除数为止，例如： 7EF/3F=2A余1E。
在其他领域的应用
数学和物理
在数学和物理中，进位计数制被 广泛应用于数论、组合数学、图 论等领域，以及物理量的测量和
计算。
金融和商业
在金融和商业中，使用进位计数 制来表示货币、股票价格பைடு நூலகம்信息
，以及进行财务计算和分析。
语言学和社会科学
在语言学和社会科学中，使用进 位计数制来表示音节、单词、句 子等信息，以及进行语言分析和
在电子工程中的应用
数字电路设计
在数字电路设计中，使用进位计 数制来表示信号的状态和变化， 实现逻辑运算和组合电路的设计
。
通信系统
在通信系统中，使用进位计数制来 表示信号的幅度、频率和相位等信 息，实现信号的传输和调制解调。
自动控制系统
在自动控制系统中，使用进位计数 制来表示控制信号的状态和变化， 实现自动化控制和调节。
进位计数制教学ppt 课件
目录
CONTENTS
• 进位计数制简介 • 二进制数制 • 八进制数制 • 十六进制数制 • 进位计数制的应用
01 进位计数制简介
进位计数制的定义
总结词
进位计数制是一种数字表示方法，它根据进位规则将数值表示为不同的符号或 数字的组合。
小学五年级逻辑思维学习—位值原理与数的进制
小学五年级逻辑思维学习—位值原理与数的进制知识定位本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
知识梳理一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
2二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
例题精讲【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
数的进位与退位
数的进位与退位数的进位和退位是数学中的基本概念，用于在计算和表达大数时方便进行操作。
进位指将数位中的一位数加1，当该位数达到一定值时，进位到更高的位数；退位则相反，将数位中的一位数减1，当该位数小于零时，退位到更低的位数。
本文将详细介绍进位和退位的原理和应用。
一、进位的原理及应用进位是指在进行算术运算时，当某一位数达到一定值时，需要将进位加到更高位的数上。
我们常见的进位是十进制数的进位，即逢十进一。
例如，当某一位数达到9时，就需要进位到更高位。
进位的原理可以用以下公式表示：进位 = 数位值 / 进制其中，数位值是指某一位的数值，进制是指数位的进位基数。
在十进制中，进制为10；在二进制中，进制为2。
进位的应用广泛，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
以加法为例，当两个数的相同位数相加时，若某一位数的和超过进制数时，就需要进行进位。
例如，52 + 49 = 101，其中2和9相加得到11，超过了十进制的进制数10，所以需要进位。
进位后，得到的结果是1，再加上剩余的个位数4，得到最终结果101。
二、退位的原理及应用退位是指在进行算术运算时，当某一位数小于零时，需要将减1的退位借位到更低位的数上。
我们常见的退位是十进制数的退位，即逢零退一。
例如，当某一位数小于零时，就需要退位到更低位。
退位的原理可以用以下公式表示：退位 = （进制值 - 1）/ 进制其中，进制值是指进制下的最大数值。
在十进制中，进制值为9；在二进制中，进制值为1。
退位同样可以应用于加法、减法、乘法和除法等运算。
以减法为例，当两个数相减时，若某一位数小于零时，就需要进行退位。
例如，36 - 47 = -11，其中个位数6小于7，所以需要退位。
退位后，得到的结果是-6，再借位1，得到最终结果-11。
三、进位和退位的实际应用进位和退位不仅仅是数学概念，它们在实际生活和工作中也有着广泛的应用。
1. 财务管理：在会计和财务管理中，数字的进位和退位被广泛运用。
位值原理与数的进制
5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以与二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号的。
进制间的转换：如右图所示。
八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、位置原理【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。