浙教版7年级下册因式分解复习

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专题4-11 《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解)-七年级数学下册(浙教版)

专题4.11 《因式分解》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1. 理解因式分解概念，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2. 掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等四种基本方法，并能进行因式分解；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，直到每一项不能再分解为止。

【典型例题】类型一、提取公因式1．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）28()2()()m n m n m n +-+- 【答案】2()(35)m n m n ++ 【分析】先提公因式2（m+n ），再化简计算即可解答．解：原式=2（m+n ）[4(m+n)﹣（m ﹣n ）]=2(m+n)(4m+4n ﹣m+n) =2(m+n)(3m+5n)．【点拨】本题考查因式分解、合并同类项，熟练掌握用提公因式法分解因式的方法，找到公因式是解答的关键．举一反三：【变式】（2020·耒阳市冠湘中学八年级月考）分解因式：2318()12()a b b a ---【答案】26()(322)a b a b -+-【分析】原式先变形为()()231812a b a b +--，再利用提公因式法分解．解：原式=()()231812a b a b +--=()26()32b a b a +--⎡⎤⎣⎦=()()23622a b b a +--．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．类型二、公式法2．（2019·山西九年级专题练习）分解因式：()()229x y x y -+-．【答案】()()422x y x y ++ 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：()()()()()()2222229333x y x y x y x y x y x y -=-=⎡⎤⎣⎦+-+-+--∵()()()()()()22=3333334224x y x y x y x y y y x x x x y y ++-+-+=+++-- ∵()()()()()()224224=2942x y x y y x x y x y x y +++-=++-．【点拨】本题考查了平方差公式、整式运算的知识；求解的关键是熟练掌握平方差公式进行分解因式，即可得到答案．举一反三：【变式】（2020·北京西城区·北师大实验中学八年级期中）因式分解；22(2)(2)a b a b +-+．【答案】3()(-)+a b a b【分析】利用平方差公式进行因式分解后，再进行化简即可. 解:原式=[][](2)+(2)(2)(2)+++-+a b a b a b a b=(33)(-)+a b a b =3()(-)+a b a b【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．3（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）()()243624x y x y ++-+ 【答案】()243x y +- 【分析】先提公因式4，将（x+y ）看成一个整体，利用完全平方公式2222()a ab b a b ++=+分解因式即可．解：原式()()2496x y x y ⎡⎤=++-+⎣⎦()243x y =+-．【点拨】本题考查了提公因式法和完全平方公式法分解因式，解答的关键是掌握完全平方公式的结构特征，公式中的a 、b 可以表示数、字母，也可以是整式．举一反三：【变式】（2020·辽宁沈阳市·八年级期末）分解因式：（1）3x －12x 3；（2）4m 2＋2mn ＋14n 2．【答案】（1）3(12)(12)x x x +-；（2）21(4)4m n +．【分析】（1）先提取公因式3x ，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式14，再利用完全平方公式进行因式分解即可．解：（1）原式23(1)4x x =-231(2)x x ⎡⎤=-⎣⎦3(12)(12)x x x =+-；（2）原式221(1684)m mn n +=+ 2281(4)4m mn n =++⎡⎤⎣⎦ 21(4)4m n =+．【点拨】本题考查了利用提取公因式法和公式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．类型三、十字相乘法4．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：()()2550x y x y -+-- 【答案】()()105x y x y -+--【分析】将（x -y ）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．解：()()2550x y x y -+--=()()105x y x y -+--．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）32233672m n m n mn -- 【答案】()()364mn m n m n -+【分析】先提公因式3mn ，再利用十字相乘法分解因式即可．解：原式()223224mn m mn n=--()()364mn m n m n =-+．【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解答的关键．类型四、分组分解法5．（2020·上海松江区·七年级期末）因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y -+-=22(4)3(4)x x y x -+- =2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】（2019·上海奉贤区·七年级期末）分解因式：256152x y x xy +--．【答案】(3)(52)x x y --【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式．解：256152x y x xy +-- =2(515)(62)x x y xy -+- =5(3)2(3)x x y x -+- =(3)(52)x x y --．【点拨】此题考查分解因式：分组分解法、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选用适合的分解方法是解题的关键．6．（2020·信阳市商城思源实验学校八年级月考）分解因式 x 2-y 2-z 2-2yz 【答案】 ()()x y z x y z ++-- 【分析】（3）原式后三项运用完全平方公式分解，最后运用平方差公式进行因式分解即可；解： x 2-y 2-z 2-2yz ；=222(2)x y z yz -++ =22()x y z -+； =()()x y z x y z ++--【点拨】此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．【变式】（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：2221--+x y x【答案】(1)(1)x y x y -+--【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有x 的二次项，x 的一次项，有常数项．所以要考虑后三项x 2-2x+1为一组．解：x 2-y 2-2x+1，=-y 2+（x 2-2x+1）， =-y 2+（x -1）2， =（x+y -1）（x -y -1）．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有x 的二次项，x 的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．类型五、综合练习7．（2020·山东东营市·丁庄镇中心初级中学八年级月考）（一）因式分解（1）()()323a m n m n +++ （2）()222224a b a b +-（二）用简便方法计算（1）2222211111111...1123420182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）29991002998-⨯ ．【答案】（一）（1）(2)(3)a m n ++；（2）22()()a b a b -+；（二）（1）10102019；（2）1995- 【分析】（一）（1）根据提取公因式的方法分解即可；（2）首先运用平方差公式分解，然后运用完全平方公式继续分解；（二）（1）运用平方差公式解答便可；（2）根据平方差公式计算即可．解：（一）（1）原式(2)(3)a m n =++；（2）原式2222()(2)a b ab =+-，2222(2)(2)a b ab a b ab =+-++， 22()()a b a b =-+；（二）（1）原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22334420192019=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⋯⨯-⨯+， 1324352018202022334420192019，1202022019=⨯， 10102019=；（2）原式2(10001)(10002)(10002)=--+⨯-，2210002000110004=-+-+，1995=-．【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解以及平方差公式的应用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，熟记公式是解答本题的关键．8.（2020·重庆南开中学八年级开学考试）()()()222222x y x y x y -+++-+- 【答案】84-+xy 【分析】运用完全平方公式、平方差公式进行计算．解：原式()()222222x y x y =-+-+()()222222x y x y =--++()()22224x y x y x y x y =-++---+()424x y =⋅-+ 84xy =-+．【点拨】本题考查完全平方公式、平方差公式，灵活变形应用平方差公式是关键．举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）利用分解因式计算：（1）359910088⨯ （2）2220152253851-+⨯ 【答案】（1）39999964；（2）253000 【分析】（1）利用平方差公式运算；（2）先利用平方差公式进行运算，然后再提公因式继续运算即可．【详解】（1）原式5510010088⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2251008⎛⎫=- ⎪⎝⎭251000064=- 39999964= （2）原式()()2015220152253851=+⨯-+⨯253149253851=⨯+⨯ ()253149851=⨯+2531000=⨯ 253000=【点拨】本题考查了因式分解，根据具体数据分析确定因式分解的方法是解题的关键．类型六、因式分解的应用9．（2020·江西九江市·八年级期末）解答下列问题：()1一正方形的面积是()22690,0a ab b a b ++>>，则表示该正方形的边长的代数式是．()2求证：当n 为正整数时， ()()222121n n +--能被8整除．【答案】（1）3a b +；（2）见解析【分析】（1）根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，分解因式即可；（2）原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．解：（1）∵()22269=+3++a ab b a b ，该正方形的边长的代数式是3a b +，故答案为：3a b +．（2）证明：∵ ()()()()()()22212121212121n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+--=++-+--⎣⎦⎣⎦=42n ⨯ =8n∵原式能被8整除．【点拨】本题考查了因式分解，是分解因式的实际应用，要知道分解所得的因式在实际环境中所表示的意思．同时还考查了用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的结构特点需要熟记．举一反三：【变式】（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）若a ，b ，c 为ABC 的三边．（1）化简：|a ﹣b+c|+|c ﹣a ﹣b|﹣|a+b|；（2）若a ，b ，c 都是正整数，且a 2+b 2﹣2a ﹣8b+17＝0，ABC 的周长．【答案】（1）a ﹣b ；（2）9 【分析】（1）根据三角形的三边关系化简即可；（2）根据非负数的性质和三角形的三边关系化简即可得到结论．解：（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边，∵a ﹣b+c ＞0，c ﹣a ﹣b ＜0，a+b ＞0，∵|a ﹣b+c|+|c ﹣a ﹣b|﹣|a+b|＝a ﹣b+c ﹣c+a+b ﹣a ﹣b ＝a ﹣b ；（2）∵a 2+b 2﹣2a ﹣8b+17＝（a 2﹣2a+1）+（b 2﹣8b+16）＝（a ﹣1）2+（b ﹣4）2＝0，∵a ＝1，b ＝4，∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵4﹣1＜c ＜4+1， ∵3＜c ＜5，∵若a ，b ，c 都是正整数，。

浙教版初中数学七年级下册《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系；2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则；3. 会用公式法分解因式；4. 综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号.要点四、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、已知21x x +-＝0，求3223x x ++的值．【思路点拨】观察题意可知21x x +=，将原式化简可得出答案．【答案与解析】解：依题意得：21x x +=，∴3223x x ++，＝3223x x x +++，＝22()3x x x x +++，＝23x x ++，＝4；【总结升华】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值．【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--，＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0．【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（）A ．229a y+ B ．229a y -+ C ．229a y - D ．229a y -- 【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码．【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x y x x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．举一反三：【变式】利用因式分解计算（1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317- 【答案】解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+ ＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯-＝1000×366＝366000．4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++；（2）222xy x y--- （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x yx y ---=-++=-+ （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+＝()()24222x xy y x y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全．举一反三：【变式】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A ．21x +B ．221x x +-C ．21x x ++D ．244x x ++【答案】D ；5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x x x x +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+．【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；（2）根据（1）的结论直接作答．【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++ ②()()271234y y x x -+=-- 【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2．（1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系；（2）指出A 与C 哪个大？说明理由．解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-，＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．。

【最新精选】浙教版七年级下册《因式分解》期末复习试卷及答案

期末复习四因式分解复习目标必备知识与防范点一、必备知识：1．把一个多项式化成几个，叫做因式分解．因式分解和整式乘法具有的关系．2．一个多项式中每一项都含有的，叫做这个多项式各项的公因式．把该公因式提取出来进行因式分解的方法，叫做．3．公式法分解因式：a2-b2= ；a2±2ab+b2= .4．括号前面是“+”号，括到括号里的各项都；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都．二、防范点：1．提取公因式法分解因式时提取的公因式要彻底，并且注意不要漏项．2．因式分解要注意分解到底．例题精析考点一因式分解的概念例1 （1）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（a+1）（a-1）=a2-1 B． 2a-2b=2（a-b）C． a2-2a+1=a（a-2）+1 D． a+2b=（a+b）+b（2）下列因式分解正确的是（）A． ab+ac+ad+1=a（b+c+d）+1B．（x+1）（x+2）=x2+3x+2C． a3+3a2b+a=a（a2+3ab+1）D． x2-y2=（x+y）（y-x）反思：因式分解是把多项式变成乘积形式，判断因式分解先要看是否符合形式，再判断运算的正确性．考点二添括号例2 下列添括号错误的是（）A． 3-4x=-（4x-3）B．（a+b）-2a-b=（a+b）-（2a+b）C． -x2+5x-4=-（x2-5x+4）D． -a2+4a+a3-5=-（a2-4a）-（a3+5）反思：添括号和去括号类似，注意括号前为“-”号，括号里各项都要变号．考点三用提取公因式法、公式法分解因式例3 （1）在下面的多项式中，能因式分解的是（）A． m2+n B． m2-m-1C． m2-m+1 D． m2-2m+1（2）加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是（）A. 2xB. 4xC. -4xD. 4x4（3）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b，c的值为（）A． b=3，c=-1 B． b=-6，c=2C． b=-6，c=-4 D． b=-4，c=-6（4）因式分解：①7x2-63；②x3-6x2+9x；③4（a-b）2-8a+8b；④a4-8a2b2+16b4.反思：分解因式时常先看有无公因式，再考虑能否使用公式法分解，并注意分解一定要进行到底．考点四因式分解的应用例4 （1）对于任何整数，多项式（n+5）2-n2一定是（）A． 2的倍数B． 5的倍数C． 8的倍数 D． n的倍数（2）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．（3）已知正方形的面积是9a2+6a+1（a>0），则该正方形的边长是．（4）用简便方法计算：①20192-2018×2019；②0.932+2×0.93×0.07+0.072.反思：因式分解的应用往往是利用因式分解进行求值，注意把各代数式进行因式分解即可．校对练习1．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是（）A． 1 B． -1 C． 3 D． -32． 9x3y2+12x2y2-6xy3的公因式为．3．若关于x的多项式x2-ax-6含有因式x-1，则实数a= ．4. 因式分解：16-8（x-y）+（x-y）2= .5. 简便计算：101×99= .6. 如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE= .7. 已知x2+y2+2x-4y+5=0，则x+y= .8. 分解因式：（1）2a3－8a；（2）－3x2－12＋12x；（3）（a ＋2b ）2＋6（a ＋2b ）＋9；（4）2（x-y ）2-x+y ；（5）（a 2＋4b 2）2－16a 2b 2.9. 已知x 2＋5x －991＝0，求x 3＋6x 2－986x ＋1027的值．10. 先阅读下面例题的解法，然后解答问题：例：若多项式2x 3-x 2+m 分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m 的值.解：设2x 3-x 2+m=（2x+1）·A （A 为整式）.若2x 3-x 2+m=（2x+1）·A=0，则2x+1=0或A=0.由2x+1=0，解得x=-21. ∴x=-21是方程2x 3-x 2+m=0的解. ∴2×（-21）3-（-21）2+m=0，即-41-41+m=0. ∴m=21. 请你模仿上面的方法尝试解决下面的问题：若多项式x 4+mx 3+nx-16分解因式的结果中有因式（x-1）和（x-2），求实数m ，n 的值.参考答案【必备知识与防范点】一、1. 整式的积的形式互逆2. 相同的因式提取公因式法3. （a+b）（a-b）（a±b）24. 不变号变号【例题精析】例1 （1）B （2）C例2 D例3 （1）D （2）A （3）D（4）①7x2-63=7（x2-9）=7（x+3）（x-3）；②x3-6x2+9x=x（x2-6x+9）=x（x-3）2；③4（a-b）2-8a+8b=4（a-b）2-8（a-b）=4（a-b）（a-b-2）；④a4-8a2b2+16b4=（a2-4b2）2=（a-2b）2（a+2b）2.例4 （1）B （2）24 （3）3a+1（4）①20192-2018×2019=2019×（2019-2018）=2019；②0.932+2×0.93×0.07+0.072=（0.93+0.07）2=1.【校内练习】1. C2. 3xy23. -54. （4-x+y）25. 99996. 27. 18. （1）原式＝2a（a2－4）＝2a（a＋2）（a－2）．（2）原式＝－3（x2－4x＋4）＝－3（x－2）2.（3）原式＝[（a＋2b）＋3]2＝（a＋2b＋3）2.（4）原式＝2（x-y）2-（x-y）=（x-y）（2x-2y-1）.（5）原式＝（a2＋4b2）2－（4ab）2＝（a2＋4b2＋4ab）（a2＋4b2－4ab）＝（a＋2b）2（a－2b）2.9. 原式＝x3＋5x2－991x＋x2＋5x－991＋991＋1027＝x（x2＋5x－991）＋（x2＋5x－991）＋2018＝2018.10. 设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）·C（C为整式）.若x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）·C=0，则x-1=0或x-2=0或C=0，由x-1=0或x-2=0，解得x=1或x=2.∴x=1，x=2都是方程x4+mx3+nx-16=0的解.∴14+m·13+n·1-16=0或24+m·23+n·2-16=0，即m+n=15①，4m+n=0②，①②联立解得m=-5，n=20.。

第4章因式分解复习浙教版数学七年级下册课件

ห้องสมุดไป่ตู้
（2 ）
an an2 a2n an ( 1＋a2＋an ) .
3、分解因式：m(x-y)2－x+y =(x－y)[m(x－y-1)]
知识点2 公式法
1．公式法： (1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
2．用平方差公式分解因式，关键是将多项式转化为 a2－ b2 的形式，对所给多项式要先观察，再作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看做一个整体，分解后注
巩固练习
1、因式分解 x2－ax＋b，甲看错了 a 的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了 b 的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，那么 x2＋ax＋b 分解因式正确的结果为（ B ）
3．已知 x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，求 x2+y2 的值．【答案】x2+y2=5．
4．因式分解：x4-16y4
5【．答已知案】a，b 是实数，试说明 a2 b2 2a 4b 8 的值是正数.
3．已知 x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，求 x2+y2 的值．
意合并同类项． 3．用完全平方公式分解因式，关键是掌握公式的特征．
例题LM解析
【例 2】分解因式：
(1)4x2－25．
(2)16x4－72x2y2＋81y4．
例题LM解析
【例 2】分解因式：
(1)4x2－25．
(2)16x4－72x2y2＋81y4．
【解析】 (1)原式＝(2x)2－52 ＝(2x＋5)(2x－5)． (2)原式＝(4x2－9y2)2＝[(2x＋3y)(2x－3y)]2 ＝(2x＋3y)2(2x－3y)2．【答案】 (1)(2x＋5)(2x－5) (2)(2x＋3y)2(2x－3y)2

浙教版数学七年级下册期末复习（第四章：因式分解）

浙教版数学七年级下册期末复习（第四章：因式分解）浙教版七年级下册期末复习（第四章：因式分解）学习目标知道因式分解的意义。

明白因式分解与整式乘法的关系。

会用提取公因式法分解因式。

清楚添括号法则。

会用平方差公式分解因式。

会用完全平方公式分解因式。

初步会综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题。

知识点1 因式分解的概念把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

如：知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc 中的各项都有一个公共的因式,我们把这个因式叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc = 就是把ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是ma+mb+mc 除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x 2 – x = x （ )，8a 2b-4ab+2a = 2a( )知识点3 公式法(1)平方差公式：a 2-b 2=( )( ).例如：4x 2-9=( )2-（）2=( )( ).(2)完全平方公式：a 2±2ab+b 2=( )2其中，叫做完全平方式.例如：4x 2-12xy+9y 2=（）2一：选择题1．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（）．A 、ax ＋bx ＋c ＝()c b a x ++B 、()()1112-=-+a a aC 、()ay ax y x a +=+D 、()22112-=+-m m m 2、下列分解因式中,正确的是（）．A 、()()y x y x y x -+=+22B 、()()y x y x y x -+=-22C 、()()y x y x y x --+-=+-22D 、()()y x y x y x -+-=--223．下列多项式中, 有（）个是完全平方式. ①412+-x x ②16922+-ab b a ③2293n mn m ++ ④25102--x x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个X 2-1 (X+1)(X-1)（）（）4．某多项式分解因式结果为()()y x y x 22-+，那么这个多项式是（）．A 、224y x -B 、224y x -C 、224y x +D 、224y x +5．下列各式中,能运用平方差公式分解因式的是（）.A 、21x +-B 、22y x +C 、42--xD 、()22b a --- 6．若m x x +-82是一个完全平方式, 则m 的值为（）．A 、4B 、8C 、16D 、32二、解答题：把下列各式因式分解：（1）()()y x y x a ---3 （2）71472+-x x（3）962+-x x （4）3222y xy y x +-（5）()()()b a a b a b a +--+23322 （6）xy y x 43-（7）4233ay ax - （8）22363ay axy ax ++ （9）3123x x -（10）xy y x 4422+-- （11）25)(10)(2+---b a b a三. 已知：a +b =3，ab =2，求下列各式的值：（1）a 2b +ab 2 （2）a 2+b 2四. 若。

浙教版七年级数学下册第四章因式分解复习教案

第四章因式分解一、提公因式法.知识点1：分解因式的定义1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。

分解因式需知；（1）只有多项式才能够分解因式，单项式不能分解因式（2）结果必须是整式，不能有分式出现（3）结果必须是积的形式【经典例题】判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①8)3)(3(892+-+=+-x x x x （） ②)49)(49(4922y x y x y x -+=- （）③ 9)3)(3(2-=-+x x x （） ④)2(222y x xy xy xy y x -=+- （）知识点2：公因式公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；【经典例题】：1错误！未指定书签。

．的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2错误！未指定书签。

．多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（）A ．24ab c -B ．38ab -C ．32abD ．3324a b c3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

1可以直接提公因式的类型：（1）3442231269b a b a b a +-=________________；（2）11n n n a a a +--+=___________（3）（3）542)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值2.式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864y x y x y x -+- =_______________②243)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=_______（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如： 22188y x +- 【变式练习】1．多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( )y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431--2.分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)33. 公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。

浙教版数学七年级下第六章《因式分解》重点复习

七年级下数学因式分解复习按住ctrl 键点击查看更多初中七年级资源【知识点归纳】（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解．（2）常用分解因式方法：①提取公因式法：_____________=++mc mb ma ．其分解步骤为：★确定多项式的公因式：公因式＝各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． ②运用公式法：__________22=-b a ；__________222=+±b ab a ．注意： ★如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式，再考虑运用公式法；★★公式中的字母，即可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式． ③分组分解法．多项式四项及以上的考虑用这种方法．（3）分解因式的一般步骤：一提二套三分组，二次三项想十字．注：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．（4）整式乘法与分解因式的区别和联系：互为逆变形．多项式整式的积【解题指导】热点：（1）提公因式法与公式法结合；（2）应用问题；（3）逆向思维的应用。

趋势：题型一般是重点考查概念和公式的灵活运用，突出“小、巧、活”及“新颖”等特点，探索性问题仍将是重点考查的题型。

因式分解的步骤：一提(公因式)，二套(公式)，三(分解)彻底．【例题解析】例1、①分解因式：a (x －y )－b (y －x )＋c (x －y )＝；②分解因式：2327x -= ；③因式分解：22(21)x x y ++-= ．析解：按照因式分解的三个步骤“一提(公因式)，二套(公式)，三(分解)彻底”进行． ① 利用提公因式法，但需要进行适当变形．原式＝a (x －y )＋b (x －y )＋c (x －y )＝(x －y )(a ＋b ＋c )．②2327x -=23(9)x -＝3(3)(3)x x -+．③22(21)x x y ++-＝22(1)x y +-＝(1)(1)x y x y ++-+．例2 请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.你编写的三项式是_______________，分解因式的结果是________________.析解：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如2m (m +n )2＝ 2m (m 2+2m n +n 2)＝2m 3+2m 2n +2m n 2，3a (2x －5y )2＝3a [(2x )2－2×2x ×5y +(5y )2]＝3a (4x 2－20x y +25y 2)＝12a x 2－60a x y +75a y 2，等等．于是编写的三项式可以是2m 3+2m 2n +2m n 2，分解因式的结果是2m (m +n )2；或者编写的三项式可以是12a x 2－60a x y +75a y 2，分解因式的结果是3a (2x －5y )2，等等.例3 如图1所示，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是____________。

七年级数学下：第六章因式分解复习教案浙教版

第六章因式分解复习课教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教具准备：多媒体教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。

二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.（教师提问）判断下列各式哪些是因式分解?（让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系）(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解(2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法(4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法(6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、.规律总结（教师讲解）分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点:（1）.分解的对象必须是多项式.（2）.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.（3）.要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6x 2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1)公因式的概念；公因式的求法公式法平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a 2+2ab+b 2=(a+b)24、强化训练试一试把下列各式因式分解:(1).1-x 2＝（1＋x ）（1－x ）(2).4a 2+4a+1＝（2a+1）2(3).4x 2-8x ＝4x(x-2)(4).2x 2y-6xy 2 ＝2xy(x-3y)通过以上的复习，使学生对因式分解有一个更深层次的理解。

数学浙教版七下-《因式分解》复习课件PPT文档共29页

三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提” 或能“套”。[如(x+y)²-x-y=(x+y)(x+y-1）
四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。
第二步第二环节
主要应用
简化计算解方程多项式的除法
简化计算
超级变变变
(1)562+56×44 (2)1012 - 992
数学浙教版七下-《因式分解》复习课件
因式分解的复习
B层练习
基本概念
检验下列因式分解是否正确？(5′×4=20′)
(1)2ab2+8ab3=2ab2 (1 + 4b) (2) 2x2-9= (2x+3)(2x-3) (3) x2-2x-3=(x-3)(x+1) (4) 36a2-12a-1= (6a-1) 2
基本方法
挑战自我：
A层练习 B层练习 C层练习
A层练习
基本方法
将下列各式分解因式：(4′×5=20′)
⑴ -a²-ab；
=-a(a+b)
⑵ m²-n²； ⑶ x²+2xy+y²
= (m+n)(m-n) =(x+y)²
(4) 3am²-3an²； =3a (m+n)(m-n)
(5) 3x³+6x²y+3xy² =3x(x+y)²
是答
案
答否
案
答是
案
答否案
C层练习
基本概念
填空(5′×3=15′)
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m= -7 ,n= -10 。
2．x2-8x+m=(x-4)(x-4 ),且m= 16 。

因式分解(考点剖析)浙江省七年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)

专题07 因式分解【考点剖析】1、因式分解的概念分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．注意：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．2、因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2；③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)；④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) ．3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4、因式分解的应用（1）利用因式分解解决求值问题；（2）利用因式分解解决证明问题；（3）利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．因式分解的定义【典例】例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．ax﹣ay＝a（x﹣y）B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4C．x2﹣9+8x＝（x+3）（x﹣3）+8xD．（3a﹣2）（﹣3a﹣2）＝4﹣9a2【答案】A【解析】解：A、是因式分解，正确；B、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；C、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；D、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误．故选：A．【点睛】因式分解就是把多项式分解成整式的积的形式，依据定义即可判断．本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．【巩固练习】1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．am+bm﹣1＝m（a+b）﹣1D．（x﹣1）2﹣1＝（x﹣1）（x﹣1）【答案】B【解析】解：A．属于整式的乘法运算，不合题意；B．符合因式分解的定义，符合题意；C．右边不是乘积的形式，不合题意；D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B．因式分解计算【典例】例1．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2【答案】见解析【解析】解：（1）x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；（2）4ax2﹣48ax+128a＝4a（x2﹣12x+32）＝4a（x﹣4）（x﹣8）；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2．【点睛】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式根据十字相乘法分解因式；（3）先根据平方差公式分解因式，再采用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．【巩固练习】1．分解因式：（1）ax+ay（2）x4﹣b4（3）3ax2﹣6axy+3ay2【答案】见解析【解析】解：（1）ax+ay＝a（x+y）；（2）x4﹣b4＝（x2+b2）（x2﹣b2）＝（x2+b2）（x+b）（x﹣b）；（3）3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．2．因式分解（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab（2）（x+1）（x+2）．【答案】见解析【解析】解：（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab＝﹣2ab（2a2b2﹣3a+1）（2）（x+1）（x+2）＝x2+3x+2＝x2+3x＝（x）2．因式分解综合【典例】例1．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______________；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）故选：C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x＝y，原式＝（y+1）（y+7）+9，＝y2+8y+16，＝（y+4）2，＝（x2﹣4x+4）2，＝（x﹣2）4；故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x＝y，原式＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2+2x+1）2，＝（x+1）4．【点睛】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．例2．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2﹣5x+6＝________________________；（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数P的所有可能值是______________．【答案】见解析【解析】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）．故答案是：（x﹣2）（x﹣3）．（2）∵8＝1×8；8＝﹣8×（﹣1）；8＝﹣2×（﹣4）；8＝﹣4×（﹣2），则p的可能值为﹣1+（﹣8）＝﹣9；8+1＝9；﹣2+（﹣4）＝﹣6；4+2＝6．∴整数p的所有可能值是±9，±6，故答案为：±9或±6．【点睛】（1）、（2）发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q＝（x+a）（x+b）．此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．【巩固练习】1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．【答案】见解析【解析】解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）．2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，则原式＝（y+2）（y+6）+4＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2（1）该同学因式分解的结果是否彻底？__________（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______________．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4，故答案为：不彻底、（x﹣2）4．（2）设：x2﹣2x＝y．原式＝y（y﹣2）﹣3，＝（y﹣3）（y+1），＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1），＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果_____________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：否，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．因式分解的应用【典例】例1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．【点睛】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．【巩固练习】1．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，则△ABC为等腰三角形．故选：C．2．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积．【答案】见解析【解析】解：由图可得，草坪的面积是：a2﹣4b2，当a＝13.6，b＝1.8时，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（13.6+2×1.8）×﹣2×1.8）×10＝172，即草坪的面积是172．3．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．【答案】见解析【解析】解：（1）2a•a﹣2b2＝2（a2﹣b2）；（2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b﹣4.3）＝456．。

《因式分解》复习课件浙教版七年级下册

2
四.知识拓展运用
1.计算：
101 99
2
2
解原式（ 101 99 ）（ 101 99 ） 200 2 400
2．求值
(1)解 : x 2 y xy 2 xy( x y ) 当x y 3, xy 2时，原式 3 2 6
2 2 x y xy （1）当x y 3, xy 2 ，求的值.
1.把下列各式分解因式： 2 (1)4 x 16
(2)a 2a b b
4 2 2 4
(3)9(a b)2 4(a b)2
(4)a b a b
2 2
2.若多项式x2+ax+b因式分解为 (x+1)(x-2),则a=( -1 ),b=( -2 ).
2 3.如果|x-y-2|+(x+y+5) =0,则
2
2 2
C.a ab b
D.式分解因式：
做一做
(1)( x 1) (2 y 1)
2 2
2 2
(2)4(m n) 9(2m 3n) (3) x 4 y 4 xy
2 2
(4)(a b) 6(a b) 9
概念
知识梳理
与整式乘法的关系
因式分解
提公因式法
方法运用公式法完全平方公式平方差公式
提：提公因式
步骤
公：运用公式
查：查结果是否彻底
一.知识回顾: 1.什么叫因式分解? 把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解.因式分解是整式乘法的逆变形。 2.因式分解有哪些方法？（1）提公因式法；（2）运用公式法：
相信你能行!

浙教版七年级数学下册第四章《因式分解复习课件》优课件

将下列各式分解因式： ⑴ (2a+b)²–(a–b)²； (2) (x+y)²-10(x+y)+25 (3) 4a²–3b(4a–3b) (4)(x2－5)2＋2(x2－5)＋1
（5）(x2+y2)(x2+y2-4)+4
基本方法
第二步第一环节
C层练习
◆（1）不论a、b为何数，代数式 a2+b2-2a+4b+5的值总是（ D ） A.0 B.负数 C.正数 D.非负数
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，
即：一个多项式 →几个整式的积
分解因式几个特点 (l)结果一定是积的形式； (2)每个因式必须是整式； (3)各因式要分解到不能再分解为止．
分解因式与多项式乘法关系
mambmc
m(abc)
a 2 b 2 因式分解 (ab)(ab)
例如：4x2-12xy+9y2 =(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9 (4) 3x³+6x²y+3xy²
(5)(a+ b+c)2-(a+b-c)2
(6)x²y²-4xy+4 (7)3ax2-3ay4；
(3)（ x －y）3 －（ x －y） (4) a2 － x2y2
(5) 4p(1-q)3+2(q-1)2
2. 公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

浙教版七年级下第六章_因式分解_知识点+习题

第六章因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212x x x x a c bx ax --=++因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是（）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y2 C. x 2-1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值考点二提取公因式法提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc2、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（）A 、-12B 、-32C 、38D 、723、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x ---（3）12n n n x x x ---+ （4）20112010(3)(3)-+-4、先分解因式，在计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=185、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值6、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值7、已知a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ca c a ++=++=++=，求(1)(1)(1)a b c +++的值。