几类特殊四边形的性质与判定
人教版数学八年级下册第十八章《章末复习(1)——几种特殊四边形的定义、性质与判定》说课稿
人教版数学八年级下册第十八章《章末复习（1）——几种特殊四边形的定义、性质与判定》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册第十八章《章末复习（1）——几种特殊四边形的定义、性质与判定》是对本章内容的总结和复习。
本章主要包括平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义、性质和判定。
这些特殊四边形在几何学习中占有重要地位，不仅考查了学生的基本几何知识，还培养了学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容时，已经掌握了基本的几何知识，对四边形的概念有了一定的了解。
但学生在应用特殊四边形的性质和判定时，往往会出错。
因此，在复习阶段，需要帮助学生巩固特殊四边形的定义、性质和判定，提高他们在实际问题中的应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义、性质和判定，能够运用特殊四边形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过复习和练习，提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对几何学习的兴趣，培养他们独立思考和合作交流的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义、性质和判定。
2.教学难点：特殊四边形性质和判定的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲解、示范、练习、讨论和小组合作等多种教学方法，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件和几何画板等教学工具，直观地展示特殊四边形的性质和判定，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习本章内容，引导学生回顾特殊四边形的定义、性质和判定。
2.讲解：详细讲解平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义、性质和判定，并通过示例进行说明。
3.练习：布置一些有关特殊四边形的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4.讨论：学生进行小组讨论，分享他们在练习中遇到的问题和解决方法。
5.总结：对本章内容进行总结，强调特殊四边形性质和判定的重要性。
几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
【本讲教育信息】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［目标］1. 理解矩形、菱形的定义与性质。
2. 掌握矩形、菱形的判定方法。
二. 重点、难点：1. 矩形、菱形性质的综合应用。
特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。
2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。
三. 知识要点：1. 矩形（1）矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
（2）矩形的特殊性质①矩形的对角线相等②矩形四个角都是直角（3）矩形性质的应用①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形；②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；④矩形的面积计算公式：（4）矩形的判定条件①有三个角是直角的四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形注意：1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。
2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。
（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。
）3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。
4）矩形的判定与性质的区别2. 菱形（1）菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
（2）菱形的特殊性质①菱形的四条边都相等②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角（3）菱形性质的应用由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。
的一半思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？（4）菱形的判定条件①四边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：【典型例题】例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形和圆B. 等边三角形、矩形、菱形C. 菱形、矩形和圆D. 等边三角形、菱形、矩形和圆分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A、B、D，只选C了解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C。
特殊平行四边形的性质和判定总结
平行四边形有一组领边相等_菱形
性质：
判定
周长
面积
菱形具有平行四边形的所有性质
边
四条边相等的四边形是菱形
边长×4
对角线积的一半或底×高
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
3.正方形：
对角线互相垂直的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
一．平行四边形的性质及判定：
特殊的平行四边形：1.矩形：
平行四边形_有一个角是直角_矩形
性质：
判定
周长
面积
矩形具有平行四边形的所有性质
角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
邻边之和的二倍
底×高
矩形的四个角都是直角
有三个角是直角的四边形是矩形
矩形的对角线相等
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
性质：
判定：
周长
面积
平行四边形的对边平行且相等
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
邻边之和的二倍
底×高
平行四边形的对角相等
两组对边分别相等
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的邻角互补
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形有一组邻边相等且有一个角是直角___正方形
性质：
判定：
小学数学四边形的分类及性质
添加标题
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菱形
定义：一组邻边相等 的平行四边形
判定方法：一组邻边 相等的平行四边形是
菱形
性质：对角线互相垂 直平分，对角线相等
面积公式：S=ab/2， 其中a、b分别为对角
线的长度
04
四边形面积的计算
面积公式
矩形面积：长乘以宽
平行四边形面积：底乘以高
梯形面积：（上底加下底） 乘以高除以2
质
对角相等
定义：四边形的两个对角 线互相平分
性质：对角线平分四边形 的面积
证明：通过三角形全等和 相似来证明
应用：在几何图形中，对 角相等的四边形可以简化
计算和证明
对角线互相平分
定义：四边形的两条对角线互相平分 性质：对角线互相平分的四边形是平行四边形 证明：通过三角形全等和相似来证明 应用：在几何图形的证明和计算中，经常用到对角线互相平分的性质
小学数学四边形的分类及 性质
汇报人：xxx
目录
01 四 边 形 的 分 类 02 四 边 形 的 性 质 03 特 殊 四 边 形 04 四 边 形 面 积 的 计 算 05 四 边 形 在 实 际 生 活 中 的 应 用
01
四边形的分类
按照边长分类
等边四边形：所有边长都相等的四边形 等腰四边形：有两条边长相等的四边形 一般四边形：所有边长都不相等的四边形 特殊四边形：如矩形、菱形、正方形等，具有特定性质的四边形
交通工具中的应用
自行车：车架、车轮、车把 等部件的形状多为四边形
汽车：车身、车窗、车门等 部件的形状多为四边形
飞机：机翼、机身、尾翼等 部件的形状多为四边形
轮船：船体、甲板、船舱等 部件的形状多为四边形
四边形的特性与性质
四边形的特性与性质四边形是平面几何中常见的图形，其具有一些独特的特性和性质。
本文将介绍四边形的定义、分类以及其特殊的性质和性质证明。
一、四边形的定义和分类四边形是由四条线段组成的平面图形，这四条线段相交于四个顶点，且相邻的线段连接形成四个内角。
根据四边形的性质和边的长度关系，可以将四边形分为以下几种类型：1. 正方形：四条边相等且四个内角均为直角的四边形。
2. 长方形：四个内角均为直角，但边的长度两两不相等的四边形。
3. 平行四边形：对边平行的四边形。
4. 矩形：四个内角均为直角，且对边相等的四边形。
5. 菱形：边的长度两两相等的四边形。
6. 梯形：具有一对平行边的四边形。
7. 不规则四边形：不符合以上任何一种类型的四边形。
二、四边形的特性和性质1. 内角和：四边形的内角和等于360度。
2. 对角线：四边形的对角线是连接非相邻顶点的线段。
正方形、长方形和菱形的对角线相等。
3. 相邻内角补角关系：四边形相邻的内角互为补角，即相邻内角的和等于180度。
4. 邻边相等：在平行四边形和矩形中，邻边两两相等。
5. 垂直对角线：在正方形和菱形中，对角线互相垂直。
6. 中点连线：在平行四边形和矩形中，连接两个相对顶点的中点形成的线段平分对角线。
7. 对角线平分：在梯形和不规则四边形中，对角线能够平分对角线所在的角。
三、性质证明1. 四边形内角和为360度的证明：通过将四边形分割为两个三角形，可以证明其中每个三角形的内角和为180度。
因此两个三角形的内角和之和为360度，证明四边形内角和为360度。
2. 正方形对角线相等的证明：根据正方形的定义，四个内角均为直角。
连接相对顶点形成的对角线等于两个相邻边的长度之和。
又因为正方形的边长相等，所以对角线相等。
3. 正方形对角线互相垂直的证明：由于正方形的内角均为直角，所以可以得出其中一个三角形的两个直角边相互垂直。
由对角线互相平分的性质，可得出两个直角边之间的连线也是垂直的，证明正方形的对角线互相垂直。
特殊的四边形及三角形的定义性质判定相关计算公式
特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质：1平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,不是轴对称图形;关于对称性的2平行四边形的对角相等；关于角的3平行四边形的邻角互补；关于角的4平行四边形的对边相等；推论：夹在两条平行线间的平行线段;关于边的5平行四边形的对边平行；关于边的6平行四边形的对角线互相平分;关于对角线的7连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形;关于中点四边形的3.平行四边形的判定方法：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定义判定法2两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4两组对角相等的四边形是平行四边形；5对角线互相平分的四边形是平行四边形;4. 相关计算公式：平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高,“a”表示底,“s”表示平行四边形面积,则S=ah平行四边形周长：2×底1+底2；如用“a"表示底1,“b”表示底2,“c“表示平行四边形周长,则C=2a+b5.平行四边形中常用辅助线的添法：1连结对角线或平移对角线；2过顶点作对边的垂线构成直角三角形；3连结对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线；4连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形；5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等;矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形;2.矩形的性质：1矩形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,对称轴共有两条；关于对称性的2矩形的对角相等；关于角的3矩形的邻角互补；关于角的4矩形的对边相等；关于边的5矩形的对边平行；关于边的6矩形的对角线互相平分；关于对角线的7矩形的四个角都是直角；关于角的8矩形的对角线相等;关于对角线的9矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等3.矩形的判定方法：1有一个角是直角的平行四边形是矩形；定义判定法2对角线相等的平行四边形是矩形；3关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形4对于平行四边形,若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形5有三个角是直角的四边形是矩形；6四个内角都相等的四边形为矩形；7对角线互相平分且相等的四边形是矩形；8对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形;4.相关计算公式矩形面积：S=ah注:a为边长,h为该边上的高S=ab注:a为长,b为宽矩形周长：C=2a+b注:a为长,b为宽顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.菱形的性质：1菱形既是,是两条对角线所在直线,也是中心对称图形；2在60°的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的√3倍;3菱形的对角相等；关于角的4菱形的邻角互补；关于角的5菱形的对边相等；关于边的6菱形的对边平行；关于边的7菱形的对角线互相平分；关于对角线的8菱形的四边都相等；关于边的9菱形的对角线互相垂直,且平分各内角；关于对角线的10顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;关于中点四边形的3.菱形的判定方法：1一组邻边相等的平行四边形是菱形；定义判定法2对角线相互垂直的平行四边形是菱形；3关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；4四条边都相等的四边形是菱形;4. 相关计算公式：菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半;只要是对角线互相垂直的四边形都可用正方形1.正方形的定义：1四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形;2有一组邻边相等的矩形是正方形;3有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形;4有一个角为直角的菱形是正方形;5对角线平分,垂直且相等,并且交角为直角的四边形为正方形;2.正方形的性质：1既是中心对称图形,又是有四条对称轴；关于对称性的2正方形的对角相等；关于角的3正方形的邻角互补；关于角的4正方形的对边相等；关于边的5正方形的相邻边互相垂直；关于边的6正方形的对边平行；关于边的7正方形的对角线互相平分；关于对角线的8正方形的四个角都是直角；关于角的9正方形的对角线相等;关于对角线的10正方形的四边都相等；关于边的（11）正方形的对角线互相垂直,且平分各内角;关于对角线的3.正方形的判定方法：1有一组邻边相等的矩形是正方形；2对角线互相垂直的矩形是正方形；3有一个角为直角的菱形是正方形；4对角线相等的菱形是正方形；5一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；6四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；7四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形；8对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形;4.相关计算公式：面积计算公式：S=边长×边长或：S=对角线×对角线÷2周长计算公式: C=4×边长顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形;等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形;2. 等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等；简写成“等边对等角”2等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合；简写成“三线合一”3等腰三角形的两底角的平分线相等；两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等4等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；5等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；需用等面积法证明7等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴;3. 等腰三角形的判定方法：1有两条边相等的三角形是等腰三角形2有两个角相等的三角形是等腰三角形简称：等角对等边等边三角形1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形;等边三角形是特殊的等腰三角形;注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形2.等边三角形的性质：1等边三角形的内角都相等,且为60度；2等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；三线合一3等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线;3.等边三角形的判定方法：首先考虑判断三角形是等腰三角形1三边相等的三角形是等边三角形；定义2三个内角都相等的三角形是等边三角形；3有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；4等边三角形是锐角三角形；5有两个角等于60度的等腰三角形是等边三角形;等腰梯形1.等腰梯形的定义:一组对边平行不相等,另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形;2.等腰梯形的性质：1等腰梯形只有一条对称轴,上底和下底的中垂线就是它的对称轴；2等腰梯形在同一底上的两个角相等；3等腰梯形的两腰相等；4等腰梯形的两底平行；5等腰梯形的两个底角相等；6等腰梯形的对角线相等；7等腰梯形内接于圆;3. 等腰梯形的判定方法：1一组对边不平行边相等的梯形是等腰梯形；2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3对角线相等的梯形是等腰梯形；4一组对边平行不相等,另一组对边相等不平行的四边形是等腰梯形；5对角线相等,形成两个等腰三角形;4.相关计算公式等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半；等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高;直角三角形1.直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形;2.直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质：1直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;2在直角三角形中,两个锐角互余;3在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R＝C/2;4直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积;5在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半;3.直角三角形的判定方法：1有一个角为90°的三角形是直角三角形；2一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；3若a的平方＋b的平方=c的平方,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；勾股定理的逆定理;4若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；5两个锐角互余的三角形是直角三角形;。
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定在我们的数学世界中，四边形家族有着各种各样的成员，其中平行四边形是非常重要的一类。
接下来，让我们一起深入了解平行四边形的定义，以及几种特殊四边形的性质和判定方法。
首先，平行四边形的定义很简单：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
这就像是给平行四边形打上了一个独特的标签，让我们能够轻易地识别它。
那平行四边形都有哪些性质呢？其一，平行四边形的两组对边分别相等。
想象一下，平行四边形的左右两条边和上下两条边就像是双胞胎，长度是一样的。
其二，平行四边形的两组对角分别相等。
也就是说，相对的两个角大小是相同的。
其三，平行四边形的对角线互相平分。
这就好像两条对角线在平行四边形的内部进行了一场平分的游戏。
其四，平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
把平行四边形绕着这个交点旋转180 度，它能和原来的图形完全重合。
了解了平行四边形的性质，那怎么判定一个四边形是不是平行四边形呢？方法一，如果两组对边分别相等，那么这个四边形就是平行四边形。
就好像我们通过比较四边形的四条边，发现两两相等，那就可以确定它是平行四边形啦。
方法二，如果两组对边分别平行，那也能判定是平行四边形。
这是从定义出发的判定方法，边的平行关系直接决定了四边形的类型。
方法三，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
想象一下，有一组边既平行又长度相等，那这个四边形自然就具备了平行四边形的特征。
方法四，两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
从角的角度来判断，只要相对的角大小一样，那它就是平行四边形。
方法五，对角线互相平分的四边形是平行四边形。
当两条对角线友好地把对方平分时，这个四边形也就成了平行四边形。
在平行四边形这个大家庭中，还有一些特殊的成员，比如矩形、菱形和正方形。
矩形，也叫长方形，它不仅具有平行四边形的所有性质，还有自己独特的地方。
矩形的四个角都是直角。
那怎么判定一个平行四边形是矩形呢？首先，如果一个平行四边形有一个角是直角，那么它就是矩形。
特殊四边形的知识点、定义、性质、判定
特殊四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“□”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”． 2．熟练掌握性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：对角相等，邻角互补； （2）边：对边分别平行且相等； （3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．（5）平行四边形不是轴对称图形。
3．平行四边形的判别方法①定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
③方法3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
⑤方法5：一组平行且相等的四边形是平行四边形。
二、几种特殊平行四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．三、几种特殊四边形的有关性质（1）矩形： ①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． ⑤面积S =长×宽；A BD OC AD B CO【注意：矩形具有平行四边形的一切性质】（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． ⑤面积S =底×高=对角线乘积的一半；【注意：菱形具有平行四边形的一切性质】（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相是直角；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．⑤面积S =边长×边长=对角线乘积的一半；【注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质】四、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角的四边形。
四边形的分类与判定方法
四边形的分类与判定方法四边形是几何学中一种常见的图形，它由四条边和四个角组成。
在不同的边长和角度的组合下，四边形可以被划分为多个不同的类型。
本文将介绍四边形的分类以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用几何学知识。
一、四边形的分类四边形的分类主要根据其边长和角度来进行划分，常见的四边形类型包括正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形和不规则四边形。
1. 正方形正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且四个角均为直角。
可以通过边长或对角线长相等来判定一个四边形是否为正方形。
2. 矩形矩形也是一种边长相等的四边形，但它的四个角并不一定都为直角。
判定一个四边形是否是矩形的方法是检查它的对角线是否相等。
3. 菱形菱形是一种具有边长相等但角度不一定相等的四边形。
一个四边形若两对相邻边相等，则可以被判定为菱形。
4. 平行四边形平行四边形具有两对相对平行的边，它的对边长度相等。
要判断一个四边形是否为平行四边形，可以检查它的对边是否平行。
5. 梯形梯形是只有一对对边平行的四边形，其余两条边不平行。
通过检查四边形的边是否满足其中两条边平行的条件，即可判定它是否为梯形。
6. 不规则四边形不规则四边形是指不属于上述任何一种特殊类型的四边形。
它的边和角都没有特殊的限制条件，因此可以被视为一般性的四边形。
二、四边形的判定方法判定一个四边形的类型有多种方法，下面将介绍针对常见四边形类型的判定方法。
1. 正方形的判定方法（描述正方形判定方法）2. 矩形的判定方法（描述矩形判定方法）3. 菱形的判定方法（描述菱形判定方法）4. 平行四边形的判定方法（描述平行四边形判定方法）5. 梯形的判定方法（描述梯形判定方法）6. 不规则四边形的判定方法（描述不规则四边形判定方法）三、四边形的应用四边形在几何学中具有广泛的应用。
它们的性质和特点可以用于解决各种几何问题，例如计算面积、判断形状等。
1. 面积计算根据不同类型的四边形，可以通过不同的公式计算其面积。
特殊平行四边形性质与判定归纳
特殊四边形的性质和判定
名称定义性质判别方法对称性
直角三角形有一个角是直角
的三角形是直角
三角形
①两个锐角互余
②勾股定理：如果直角三角形的两
直角边为a、b，斜边为c。
那么
2
2
2c
b
a=
+
③直角三角形中，30°的角所对的
直角边是斜边的一半，反之也成立
④直角三角形斜边的中线等于斜边
的一半
①有一个角是直角的三角形是直角三角形
②两个内角互余的三角形是直角三角形
③勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足
2
2
2c
b
a=
+，那么这个三角形是直角三角形
④一边中线是这边一半的三角形是直角三角形
特殊四边形的关系。
特殊的四边形（归纳）
特殊的平行四边形知识点一：矩形的定义要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（嘿嘿嘿）知识点二：矩形的性质要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。
此外，它还具有如下特殊性质：1.矩形的四个角都是直角；2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：矩形的判定方法要点诠释：1. 用矩形的定义：一个角是直角的平行四边形是矩形；2.有三个角是直角的四边形是矩形；3.对角线相等的平行四边形是矩形；4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
知识点四：菱形的定义要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点五：菱形的性质要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
知识点六：菱形的判定办法要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
知识点七：正方形的定义要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点八：正方形的性质要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点九：正方形的判定方法要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形.归纳整理，形成认知体系1．复习概念，理清关系2．集合表示，突出关系3．性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·两组对边分别平行；·两组对边分别相等；·一组对边平行且相等;·两组对角分别相等；·两条对角线互相平分.·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)
第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。
特殊四边形知识与考点解析
特殊四边形知识考点解析1．多边形的分类：2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：（1）平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对角线。
性质：平行四边形对边相等。
平行四边形对角相等, 邻角互补.平行四边形的对角线互相平分。
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（2）菱形：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S 菱形=L1.L2/2）。
（3）矩形：定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：矩形的对角线相等；四个角都是直角。
矩形的判别方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且平分的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。
（4）正方形：定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（5）梯形：定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定大家好，我今天要给大家讲解一下平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定。
我们来了解一下平行四边形的定义。
平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形。
也就是说，如果一个四边形的两条边分别平行于另外两条边，那么这个四边形就是平行四边形。
接下来，我们来看看特殊四边形的性质及判定。
特殊四边形主要是指矩形、正方形和菱形这三种四边形。
它们都有一些特殊的性质和判定方法。
我们来看矩形。
矩形是指四个角都是直角的平行四边形。
矩形的对角线相等，而且互相平分。
矩形的对角线把矩形分为两个相等的三角形。
这些性质和判定方法在几何学中非常重要，因为它们可以帮助我们更好地理解和计算矩形的面积和周长等。
我们来看正方形。
正方形是指四个边相等且四个角都是直角的平行四边形。
正方形是矩形的特殊情况，它的所有性质和判定方法都与矩形相同。
但是，正方形还有一个额外的特点，那就是它的所有边都相等。
因此，正方形也被称为“边长相等的矩形”。
我们来看菱形。
菱形是指有一组邻边相等的平行四边形。
菱形也有一些特殊的性质和判定方法。
例如，菱形的对角线互相垂直平分，而且互相平分。
菱形的对角线把菱形分为两个相等的三角形。
这些性质和判定方法同样非常重要，因为它们可以帮助我们更好地理解和计算菱形的面积和周长等。
平行四边形及其特殊四边形(如矩形、正方形和菱形)在几何学中具有重要的地位。
了解它们的定义、性质和判定方法对于学习和应用几何学都非常关键。
希望大家能够通过今天的讲解，对平行四边形及其特殊四边形有更深入的理解和认识。
谢谢大家！。
中考数学《特殊平行四边形》专题复习课件(共32张PPT)
你的结论。
7.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的 矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG 沿CG翻折，使点O落在BC边上，设为E， 求折痕CG所在直线的解析式。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⑵当x为何值时，⊿PBC的周长最 小，并求出此时y的值
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
一、四边形的分类及转化
两组对边平行 平行四边形
任意四边形
一组对边平行
梯形
另一组对边不平行
矩形
菱 形
正方形
等腰梯形
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目 四边形
对边
角
对角线
对称性
对角相等
平行且相等
平行四边形
邻角互补
四个角
矩形 平行且相等 都是直角
平行
对角相等
特殊四边形性质及判定方法总结
特殊四边形性质及判定方法总结一、平行四边形：（1）.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.（2）.性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直平分。
（3）.判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4.对角线互相垂直平分的四边形是平行四边形.5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.二、矩形：（1）.定义：对角线相等的四边形叫矩形.（2）.性质：矩形的对边平行且相等，对角相等，邻角相等，对角线互相平分且相等。
（3）.判定：1.对角线相等的平行四边形是矩形.2.有一个角是直角的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.三、菱形：（1）.定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形.（2）.性质：菱形的四边相等且对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直平分且相等。
（3）.判定：1.对角线相等的平行四边形是矩形.2.有一个角是直角的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.三、正方形：（1）.定义：有一个角是直角的菱形叫正方形.（2）.性质：菱形的四边相等且对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直平分且相等。
（3）.判定：1.对角线相等的平行四边形是矩形.2.有一个角是直角的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.四、梯形：（1）.定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形。
.（2）.等腰梯形性质：两条腰相等且另一组对边平行，对角线相等，同一底上的两个内角相等。
（3）.等腰梯形判定：1.两条腰相等的梯形是等腰梯形。
2.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
直角梯形的判定：有一个角是直角的梯形是直角梯形。
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几种特殊平行四边形的性质和判定
3.一组对边平行且相等
4.两组对角分别相等
5.两条对角线互相平分
1.有三个角是直角的四边形
2.有一个角是直角的平行四边形
3.对角线相等的平行四边形
1.四边相等的四边形
2.每条对角线平分一组对角的四边形
3.对角线互相垂直的平行四边形
4.有一组邻边相等的平行四边形
1.有一个角是直角的菱形
2.对角线相等的菱形
3.有一组邻边相等的矩形
4.对角线互相垂直的矩形
对称性
只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
S=底×高
S=底×高
S=底×高=对角线乘积的一半
S=边长×边长
几种特殊平行四边形的性质和判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角对角相等对角相等并且个角都是直角对角相等四个角都是直角
对角线
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判
定
1.两组对边分别平行
特殊平行四边形的性质和判定总结
判定：
平行四边形的对边平行且相等
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的对角相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的对角线互相平分
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的邻角互补
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一．平行四边形的性质及判定：
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
二．面积公式
1．平行四边形=底✖️高
2．矩形=长✖️宽
3．菱形=对角线✖️对角线➗2
=底✖️高
4．正方形=边长✖️边长
=对角线✖️对角线➗2
平行四边形___________________菱形
性质：
判定
菱形具有平行四边形的所有性质
边
四条边相等的四边形是菱形
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
3.正方形：
平行四边形____________________________________正方形
特殊的平行四边形：
1.矩形：
平行四边形___________________矩形
性质：
判定
矩形具有平行四的平行四边形是矩形
矩形的四个角都是直角
有三个角是直角的四边形是矩形
矩形的对角线相等
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2.菱形（重点）：
性质：
判定：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
几种特殊四边形的对角线汇总
几种特殊四边形的对角线汇总特殊四边形是指对角线有特殊性质或满足一定条件的四边形。
在几何学中，有许多类型的特殊四边形，这些四边形具有独特的性质和特点。
在本文中，将汇总几种常见的特殊四边形并解释其性质和特点。
1.矩形矩形是一种具有特殊性质的四边形，其四个角都是直角，即90度。
矩形的对角线相等并且互相平分。
2.正方形正方形是一种具有特殊性质的四边形，它是一种特殊的矩形。
正方形的四个边都相等，四个角也都是直角。
正方形的对角线相等并且互相平分。
3.平行四边形平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的对边是平行的。
平行四边形的对角线相交于一个点，并且将对角线分成相等的两段。
4.菱形菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的所有边都相等，每个角都是锐角或钝角，且对角线互相垂直。
菱形的对角线互相平分，并且对角线的长度相等。
5.等腰梯形等腰梯形是一种具有特殊性质的四边形，它的两个底边是平行的，且两个腰边长度相等。
等腰梯形的对角线不相等，但是对角线的交点与底边中点连线垂直。
6.矩形梯形矩形梯形是一种具有特殊性质的四边形，它是一种同时拥有矩形和梯形特点的四边形。
矩形梯形的两个对边平行且相等，而且有两个角是直角。
矩形梯形的对角线相互垂直，并且将对角线分成相等的两段。
7.正斜四边形正斜四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的两对对边平行，且相邻边相等。
正斜四边形的对角线不互相垂直，但是对角线互相平分。
8.等腰四边形等腰四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的两个对角线相等，并且每个角都是锐角或钝角。
等腰四边形的对角线的交点与四个顶点连线所得线段相等。
9.等角梯形等角梯形是一种具有特殊性质的四边形，它的两个腰边是平行的，且两个底边夹角相等。
等角梯形的对角线不相等，但是对角线互相平分。
10.等边四边形等边四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的四个边都相等，并且每个角都是锐角或钝角。
等边四边形的对角线相等并且互相平分。
这些特殊四边形具有不同的性质和特点，对于几何学的研究和实际应用具有重要意义。
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几类常见四边形的性质与判定方法
1. 平行四边形（定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
平行四边形的性质⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧）的交点是它的对称中心中心对称图形（对角线对称性：平行四边形是分对角线：对角线互相平
对角相等，邻角互补角边：对边平行且相等: 平行四边形的判定方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧边形是平行四边形两组对角分别相等的四形是平行四边形对角线互相平分的四边四边形是平行四边形一组对边平行且相等的
边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四.5.4.3.2.1
2. 矩形（定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形）
矩形的性质⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅=⎩⎨⎧一组邻边的乘积）（即：矩形的面积等于
轴）中点的直线是它的对称条对称轴，过每组对边矩形是轴对称图形（有称中心）对角线的交点是它的对矩形是中心对称图形（对称性：分且相等
对角线：对角线互相平角：四个角都是直角边：对边平行且相等
矩形BC AB S ABCD 2 矩形的判定方法⎪⎩
⎪⎨⎧形是矩形有三个角是直角的四边是矩形）相平分且相等的四边形形是矩形（或对角线互对角线相等的平行四边四边形是矩形有一个角是直角的平行.3.2.1
3. 菱形（定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 菱形的性质⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅=⎩⎨⎧）对角线乘积的（即：菱形的面积等于轴）所在的直线是它的对称条对称轴，两条对角线菱形是轴对称图形（有称中心）对角线的交点是它的对菱形是中心对称图形（对称性线平分一组对角
分且垂直且每一条对角对角线：对角线互相平补角：对角相等，邻角互都相等边：对边平行且四条边
菱形21212BD AC S ABCD
菱形的判定方法⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧是菱形四条边都相等的四边形角的四边形是菱形每条对角线平分一组对
边形是菱形）线互相平分且垂直的四四边形是菱形（或对角对角线互相垂直的平行四边形是菱形有一组邻边相等的平行.4.3.2.1
4. 正方形（定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形）
正方形的性质⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎩⎪⎨⎧于边长的平方）（即：正方形的面积等轴）所在的直线是它的对称线中点的直线及两条对角条对称轴，过每组对边有正方形是轴对称图形（对称中心）（对角线的交点是它的正方形是中心对称图形对称性对角线平分一组对角
分且相等且垂直且每条对角线：对角线互相平角：四个角都是直角都相等边：对边平行且四条边
正方形24AB S ABCD 正方形的判定方法⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩
⎨⎧⎩⎨⎧形且相等的四边形是正方对角线互相平分且垂直方形对角线垂直的矩形是正是正方形
有一组邻边相等的矩形方形对角线相等的菱形是正是正方形有一个角是直角的菱形
形是正方形个角是直角的平行四边有一组邻边相等且有一.4.3.2.1。